تعريف.أكبر عدد طبيعي يمكن به القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي العامل المشترك الأكبر (GCD)هذه الارقام.
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 35.
ستكون قواسم 24 هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 ، والمقسومات على 35 هي الأرقام 1 ، 5 ، 7 ، 35.
نرى أن العددين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام بشكل متبادل.
تعريف.تسمى الأعداد الطبيعية بشكل متبادلإذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو 1.
أكبر قاسم مشترك (GCD)يمكن العثور عليها دون كتابة جميع قواسم الأرقام المحددة.
تحليل العددين 48 و 36 ، نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المدرجة في تحليل أول هذه الأرقام ، احذف تلك التي لم يتم تضمينها في تحلل الرقم الثاني (أي اثنين اثنين).
تبقى العوامل 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 36. كما تم إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.
لايجاد العامل المشترك الاكبر
2) من العوامل المدرجة في تحليل أحد هذه الأرقام ، احذف تلك التي لم يتم تضمينها في تحليل الأرقام الأخرى ؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.
إذا كانت كل هذه الأرقام قابلة للقسمة على أحدها ، فهذا الرقم هو العامل المشترك الاكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال ، القاسم المشترك الأكبر للعدد 15 ، و 45 ، و 75 ، و 180 هو 15 ، نظرًا لأن جميع الأعداد الأخرى قابلة للقسمة: 45 ، و 75 ، و 180.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM)
تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)يُطلق على الأعداد الطبيعية a و b أصغر عدد طبيعي ، وهو مضاعف لكل من a و b. يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نحلل 75 و 60 إلى عوامل أولية: 75 = 3 * 5 * 5 ، و 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
دعنا نكتب العوامل المتضمنة في تحليل أول هذه الأرقام ، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و 2 من تحلل الرقم الثاني (أي اجمع العوامل).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ، حاصل ضربها 300. هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر 75 و 60.
تم العثور أيضًا على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.
ل إيجاد المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية تحتاج:
1) تحللهم إلى عوامل أولية ؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في تحليل أحد الأرقام ؛
3) أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية ؛
4) أوجد ناتج العوامل الناتجة.
لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى ، فإن هذا الرقم هو أقل مضاعف مشترك لهذه الأرقام.
على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر لـ 12 و 15 و 20 و 60 هو 60 لأنه يقبل القسمة على كل هذه الأعداد.
درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية الأرقام للقسمة. رقم يساوي مجموع كل المقسوم عليه (بدون الرقم نفسه) ، أطلقوا عليه رقمًا مثاليًا. على سبيل المثال ، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3) ، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496 ، 8128 ، 33550 336. عرف الفيثاغوريون أول ثلاثة أعداد كاملة فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفًا في القرن الأول. ن. NS. تم العثور على الخامس - 33550336 - في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983 ، كان 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن حتى الآن ، لا يعرف العلماء ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية ، وما إذا كان هناك أكبر عدد كامل.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدامى بالأعداد الأولية إلى حقيقة أن أي رقم إما أولي أو يمكن تمثيله كمنتج الأعداد الأولية، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تُبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة من الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها ، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، قل شيوع الأعداد الأولية. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك عدد أولي (أكبر) أخير؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) في كتابه "البدايات" ، الذي كان لمدة ألفي عام الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات ، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، أي أن هناك عددًا أوليًا أكبر من وراء كل رئيس. .
للعثور على الأعداد الأولية ، ابتكر عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت ، إراتوستينس ، مثل هذه الطريقة. قام بتدوين جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما ، ثم شطب وحدة ، وهي ليست عددًا أوليًا ولا رقمًا مركبًا ، ثم شطب جميع الأرقام بعد 2 (الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، أي 4 ، 6 ، 8 ، إلخ). كان الرقم الأول المتبقي بعد 2 هو 3. ثم تم شطب جميع الأرقام بعد 3 (الأرقام التي هي مضاعفات 3 ، أي 6 ، 9 ، 12 ، إلخ) بعد رقمين. في النهاية ، بقيت الأعداد الأولية فقط غير متقاطعة.
القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تسهل التعامل مع الكسور. المضاعف المشترك الأصغر ويستخدم غالبًا لإيجاد المقام المشترك للكسور المتعددة.
مفاهيم أساسية
المقسوم على العدد الصحيح X هو عدد صحيح آخر Y يقسم X بدون باقي. على سبيل المثال ، القاسم على 4 هو 2 ، و 36 هو 4 ، 6 ، 9. العدد الصحيح مضاعف X هو الرقم Y الذي يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال ، 3 هو مضاعف 15 و 6 هو 12.
يمكننا إيجاد القواسم والمضاعفات المشتركة لأي زوج من الأعداد. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى 6 و 9 ، المضاعف المشترك هو 18 ، والمقسوم عليه المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة قواسم ومضاعفات ، وبالتالي ، يتم استخدام القاسم الأكبر من GCD وأصغر مضاعف للمضاعف المشترك الأصغر في العمليات الحسابية.
أصغر قاسم لا معنى له ، لأنه دائمًا ما يكون واحدًا لأي رقم. المضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا ، لأن تسلسل المضاعفات يميل إلى اللانهاية.
البحث عن GCD
توجد طرق عديدة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر وأشهرها:
- التعداد المتسلسل للمقسومات ، واختيار مشترك للزوج وإيجاد أكبرها ؛
- تحلل الأعداد إلى عوامل غير قابلة للتجزئة ؛
- خوارزمية إقليدس
- خوارزمية ثنائية.
اليوم ، الأكثر شيوعًا في المؤسسات التعليمية هي طرق العوامل الأولية والخوارزمية الإقليدية. الأخير ، بدوره ، يستخدم عند حل معادلات ديوفانتين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لإمكانية حلها في أعداد صحيحة.
البحث عن شهادة عدم الممانعة
يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر أيضًا عن طريق التعداد المتسلسل أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. علاوة على ذلك ، من السهل إيجاد المضاعف المشترك الأصغر إذا تم تحديد القاسم الأكبر بالفعل. بالنسبة للأرقام X و Y ، يرتبط LCM و GCD بالعلاقة التالية:
المضاعف المشترك الأصغر (X ، Y) = X × Y / GCD (X ، Y).
على سبيل المثال ، إذا كان GCD (15.18) = 3 ، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15.18) = 15 × 18/3 = 90. أوضح مثال على استخدام المضاعف المشترك الأصغر هو إيجاد مقام مشترك ، وهو المضاعف المشترك الأصغر لكسور معينة.
الأعداد الأولية بشكل متبادل
إذا كان زوج من الأرقام لا يحتوي على قواسم مشتركة ، فإن هذا الزوج يسمى coprime. دائمًا ما تكون GCD لمثل هذه الأزواج مساوية لواحد ، وبناءً على العلاقة بين القواسم والمضاعفات ، فإن المضاعف المشترك الأصغر للجريمة المشتركة يساوي منتجها. على سبيل المثال ، العددين 25 و 28 عددان أوليان نسبيًا ، لأنه لا يوجد بينهما قواسم مشتركة ، والمضاعف المشترك الأصغر (25 ، 28) = 700 ، والذي يتوافق مع حاصل ضربهما. أي رقمين غير قابلين للتجزئة سيكونان دائمًا أوليًا بشكل متبادل.
القاسم المشترك والآلة الحاسبة المتعددة
باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا ، يمكنك حساب GCD و LCM لعدد عشوائي من الأرقام للاختيار من بينها. توجد مهام حساب القواسم والمضاعفات المشتركة في الحساب في الصفوف 5 و 6 ، ومع ذلك ، فإن GCD و LCM هي مفاهيم أساسية في الرياضيات وتستخدم في نظرية الأعداد وقياس الكواكب والجبر التواصلي.
أمثلة من الحياة الواقعية
المقام المشترك للكسور
يستخدم المضاعف المشترك الأصغر لإيجاد المقام المشترك للكسور المتعددة. دعونا في مسألة حسابية مطلوب جمع 5 كسور:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
لجمع كسور ، يجب اختزال التعبير إلى مقام مشترك ، والذي ينخفض إلى مشكلة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. للقيام بذلك ، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقامات في الخلايا المقابلة. سيحسب البرنامج المضاعف المشترك الأصغر (8 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18) = 360. الآن أنت بحاجة إلى حساب العوامل الإضافية لكل كسر ، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. وبالتالي ، ستبدو العوامل الإضافية كما يلي:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
بعد ذلك ، نضرب كل الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
يمكننا بسهولة جمع هذه الكسور والحصول على النتيجة بالصيغة 159/360. قللنا الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.
حل معادلات ديوفانتاين الخطية
معادلات ديوفانتين الخطية هي تعبيرات من الشكل ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd (a، b) عددًا صحيحًا ، فإن المعادلة قابلة للحل في أعداد صحيحة. دعنا نتحقق من معادلتين لإيجاد حلول للأعداد الصحيحة. أولاً ، افحص المعادلة 150x + 8y = 37. باستخدام الآلة الحاسبة ، أوجد GCD (150.8) = 2. اقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا ، لذلك لا تحتوي المعادلة على جذور صحيحة.
دعنا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد GCD (1320 ، 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. نتيجة لذلك ، نحصل على عدد صحيح ، وبالتالي ، فإن معادلة ديوفانتاين قابلة للحل في عدد صحيح المعاملات.
استنتاج
يلعب GCD و LCM دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد ، والمفاهيم نفسها مستخدمة على نطاق واسع في مجالات مختلفة من الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة لحساب أكبر قسوم وأقل مضاعفات لأي عدد من الأرقام.
فكر في ثلاث طرق لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
إيجاد عن طريق التخصيم
الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و 30 و 28. للقيام بذلك ، نحلل كل من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:
لكي يكون الرقم المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و 30 و 28 ، من الضروري والكافي أن تدخل فيه جميع العوامل الأولية لهذه القواسم. للقيام بذلك ، علينا أن نأخذ كل العوامل الأولية لهذه الأعداد لأقصى قوة ممكنة ونضربها معًا:
2 2 3 2 5 7 11 = 13860
إذن المضاعف المشترك الأصغر (99 ، 30 ، 28) = 13860. لا يوجد رقم آخر أقل من 13860 يقبل القسمة على 99 أو 30 أو 28.
لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ، عليك تحليلها إلى عوامل أولية ، ثم أخذ كل عامل أولي مع الأس الأكبر الذي يلتقي به ، واضرب هذه العوامل معًا.
نظرًا لأن أرقام الجريمة الجماعية لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام. على سبيل المثال ، ثلاثة أرقام: 20 و 49 و 33 هي أعداد متبادلة. وبالتالي
المضاعف المشترك الأصغر (20 ، 49 ، 33) = 20 49 33 = 32340.
يجب القيام بالشيء نفسه عند البحث عن المضاعف الأقل شيوعًا للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (3 ، 7 ، 11) = 3 7 11 = 231.
البحث عن طريق الاختيار
الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الملاءمة.
مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر عدد من الأرقام المعطاة بالكامل على الأرقام المعينة الأخرى ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي الأكبر منها. على سبيل المثال ، عند إعطاء أربعة أرقام: 60 و 30 و 10 و 6. كل واحد منهم قابل للقسمة على 60 ، لذلك:
المضاعف المشترك الأصغر (60، 30، 10، 6) = 60
بخلاف ذلك ، يتم استخدام الإجراء التالي للعثور على المضاعف المشترك الأصغر:
- حدد أكبر عدد من الأعداد المعطاة.
- بعد ذلك ، نجد الأعداد التي تكون مضاعفات العدد الأكبر ، وضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي ، والتحقق مما إذا كانت الأرقام المتبقية قابلة للقسمة على المنتج الناتج.
مثال 2. بإعطاء ثلاثة أعداد 24 و 3 و 18. حدد أكبرها - هذا هو الرقم 24. بعد ذلك ، ابحث عن الأرقام التي تكون مضاعفات العدد 24 ، وتحقق مما إذا كان كل منها يقبل القسمة على 18 و 3:
24 1 = 24 - يقبل القسمة على 3 ، لكن لا يقبل القسمة على 18.
24 2 = 48 - يقبل القسمة على 3 ، لكن لا يقبل القسمة على 18.
24 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و 18.
إذن المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتسلسل
الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتتابع.
المضاعف المشترك الأصغر لرقمين معطيين يساوي حاصل ضرب هذين العددين مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر بينهما.
مثال 1. لنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين محددين: 12 و 8. حدد القاسم المشترك الأكبر بينهما: GCD (12 ، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:
نقسم العمل إلى GCD الخاصة بهم:
وهكذا ، المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 8) = 24.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، استخدم الإجراء التالي:
- أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي رقمين معطيين.
- بعد ذلك ، المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر الذي تم العثور عليه والثالث المحدد.
- ثم المضاعف المشترك الأصغر الناتج عن المضاعف المشترك الأصغر والرقم الرابع ، إلخ.
- وبالتالي ، يستمر البحث عن المضاعف المشترك الأصغر طالما أن هناك أرقامًا.
مثال 2. لنجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12 و 8 و 9. المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و 8 التي وجدناها بالفعل في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر: GCD (24 ، 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر بالرقم 9:
نقسم العمل إلى GCD الخاصة بهم:
إذن المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 8 ، 9) = 72.
المواد المعروضة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت عنوان LCM - المضاعف المشترك الأقل ، التعريف ، الأمثلة ، العلاقة بين LCM و GCD. هنا سنتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً ، نوضح كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.
التنقل في الصفحة.
حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) بدلالة gcd
تعتمد إحدى طرق العثور على المضاعف المشترك الأصغر على العلاقة بين LCM و GCD. تسمح العلاقة الحالية بين LCM و GCD بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: gcd (أ ، ب) ... دعنا نفكر في أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر وفقًا للصيغة أعلاه.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و 70.
المحلول.
في هذا المثال ، أ = 126 ، ب = 70. دعونا نستخدم العلاقة بين LCM و GCD ، والتي يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: gcd (أ ، ب)... أي علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 70 و 126 ، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين باستخدام الصيغة المكتوبة.
ابحث عن GCD (126 ، 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56 ، 70 = 56 1 + 14 ، 56 = 14 4 ، لذلك ، GCD (126 ، 70) = 14.
الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: GCD (126 ، 70) = 126 70: 14 = 630.
إجابه:
المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 630.
مثال.
ما هو المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34)؟
المحلول.
كما 68 يقبل القسمة على 34 ، ثم GCD (68 ، 34) = 34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: GCD (68 ، 34) = 68 34: 34 = 68.
إجابه:
المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68.
لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a و b: إذا كانت a قابلة للقسمة على b ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج لجميع العوامل الأولية لهذه الأرقام ، فاستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في توسعات هذه الأرقام ، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.
القاعدة المذكورة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تأتي من المساواة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: gcd (أ ، ب)... في الواقع ، حاصل ضرب العددين a و b يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في تمددات العددين a و b. في المقابل ، GCD (أ ، ب) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في توسعات الأرقام أ وب (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية)
دعنا نعطي مثالا. افترض أننا نعلم أن 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. لنؤلف الناتج من كل عوامل التوسعات هذه: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. نستبعد الآن من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من تحلل الرقم 75 وفي تحلل الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5) ، ثم يأخذ المنتج الشكل 2 · 3 · 5 · 5 · 7. قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر لـ 75 و 210 ، أي ، المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210) = 2 3 5 5 7 = 1050.
مثال.
بعد تحليل 441 و 700 إلى عوامل أولية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذين الأعداد.
المحلول.
لنفكك العددين 441 و 700 في العوامل الأولية:
نحصل على 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.
سنقوم الآن بتكوين حاصل ضرب جميع العوامل المتضمنة في توسعات هذه الأعداد: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في وقت واحد في كلا التوسيعين (يوجد عامل واحد فقط - هذا هو الرقم 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. هكذا، المضاعف المشترك الأصغر (441، 700) = 2 2 3 3 3 5 5 7 7 = 44100.
إجابه:
المضاعف المشترك الأصغر (441،700) = 44100.
يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي بطريقة مختلفة قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من توسيع b إلى العوامل من توسيع الرقم a ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام a و b.
على سبيل المثال ، خذ نفس الأرقام 75 و 210 ، تحللها إلى عوامل أولية كما يلي: 75 = 3 · 5 · 5 و 210 = 2 · 3 · 5 · 7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من توسيع العدد 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من توسيع العدد 210 ، نحصل على الناتج 2 · 3 · 5 · 5 · 7 ، قيمته هي يساوي المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210).
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 84 و 648.
المحلول.
أولًا ، نحصل على تحليل العددين 84 و 648 إلى عوامل أولية. لديهم الشكل 84 = 2 · 2 · 3 · 7 و 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من توسيع العدد 84 أضف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من توسيع العدد 648 ، نحصل على الناتج 2 2 2 2 3 3 3 3 3 7 ، وهو 4536 ... وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعدد 84 و 648 هو 4،536.
إجابه:
المضاعف المشترك الأصغر (84، 648) = 4،536.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين بالتسلسل. لنتذكر النظرية المقابلة ، والتي تعطي طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.
نظرية.
دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 ، a 2 ، ... ، ak تُعطى ، يمكن إيجاد المضاعف المضاعف الأقل شيوعًا من هذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM (a 1 ، a 2) ، m 3 = LCM (m 2 أ 3) ، ... ، م ك = المضاعف المشترك الأصغر (م ك - 1 ، آك).
دعونا نفكر في تطبيق هذه النظرية بمثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 140 و 9 و 54 و 250.
المحلول.
في هذا المثال ، 1 = 140 ، 2 = 9 ، 3 = 54 ، 4 = 250.
أولا نجد م 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) = المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9)... للقيام بذلك ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نحدد GCD (140 ، 9) ، لدينا 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4.5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 ، لذلك ، GCD ( 140 ، 9) = 1 من أين المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: GCD (140 ، 9) = 140 9: 1 = 1260. أي م 2 = 1260.
الآن نجد م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2 ، أ 3) = المضاعف المشترك الأصغر (1260 ، 54)... نحسبها من خلال GCD (1260 ، 54) ، والتي تحددها أيضًا الخوارزمية الإقليدية: 1260 = 54 23 + 18 ، 54 = 18 3. ثم gcd (1،260 ، 54) = 18 ، حيث gcd (1،260 ، 54) = 1،260،54: gcd (1،260،54) = 1،260،54: 18 = 3780. أي م 3 = 3780 3.
يبقى أن نجد م 4 = م 3 م (م 3 ، أ 4) = م م 3 (3780 ، 250)... للقيام بذلك ، نجد GCD (3780 ، 250) وفقًا للخوارزمية الإقليدية: 3780 = 250 15 + 30 ، 250 = 30 8 + 10 ، 30 = 10 3. لذلك ، GCD (3780 ، 250) = 10 ، من حيث المضاعف المشترك الأصغر (3780 ، 250) = 3780250: GCD (3780 ، 250) = 3780250: 10 = 94500. أي م 4 = 94500.
إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.
إجابه:
المضاعف المشترك الأصغر (140، 9، 54، 250) = 94،500.
في كثير من الحالات ، من الملائم العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليل الأولي لهذه الأرقام. في هذه الحالة ، يجب الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج ، والذي يتكون على النحو التالي: إلى جميع العوامل من توسيع الرقم الأول ، تتم إضافة العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني ، والعوامل المفقودة من التوسع من الرقم الثالث تضاف إلى العوامل التي تم الحصول عليها ، وهكذا.
ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84 ، 6 ، 48 ، 7 ، 143.
المحلول.
أولاً ، نحصل على تحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 ، 6 = 2 3 ، 48 = 2 2 2 2 3 ، 7 (7 عدد أولي ، يتزامن مع تحللها إلى عوامل أولية) و 143 = 11 13.
لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و 2 و 3 و 7) ، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من توسيع العدد الثاني 6. لا يحتوي عامل 6 على عوامل مفقودة ، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحلل الرقم الأول 84. بعد ذلك ، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 ، أضف العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثالث 48 ، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية ، حيث أن 7 متضمنة فيها بالفعل. أخيرًا ، أضف العوامل المفقودة 11 و 13 من تحليل 143 إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 3 و 7. نحصل على المنتج 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 ، وهو 48،048.
تتطلب التعبيرات والمسائل الرياضية الكثير من المعرفة الإضافية. تعتبر شهادة عدم الممانعة واحدة من العناصر الرئيسية ، خاصة المستخدمة غالبًا في تتم دراسة الموضوع في المدرسة الثانوية ، في حين أنه ليس من الصعب بشكل خاص فهم المواد ، فإن الشخص الذي يعرف الدرجات وجدول الضرب لن يجد صعوبة في تحديد ما هو ضروري الأرقام والعثور على النتيجة.
تعريف
المضاعف المشترك هو رقم يمكن تقسيمه بالكامل إلى رقمين في نفس الوقت (أ و ب). في أغلب الأحيان ، يتم الحصول على هذا الرقم بضرب الأرقام الأصلية أ وب. يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على كلا الرقمين في وقت واحد ، دون انحرافات.
NOC هو اسم قصير تم اعتماده للتسمية ، وقد تم تجميعه من الأحرف الأولى.
طرق الحصول على الرقم
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر ، فإن طريقة ضرب الأرقام ليست مناسبة دائمًا ؛ فهي مناسبة بشكل أفضل للأرقام البسيطة المكونة من رقم واحد أو رقمين. من المعتاد القسمة على العوامل ، فكلما زاد العدد ، زاد عدد العوامل.
مثال رقم 1
لأبسط مثال ، تستخدم المدارس عادةً أرقامًا بسيطة أو مفردة أو مكونة من رقمين. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المشكلة التالية ، والعثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 7 و 3 ، والحل بسيط للغاية ، فقط اضربهما. نتيجة لذلك ، يوجد رقم 21 ، ببساطة ليس هناك رقم أصغر.
مثال رقم 2
البديل الثاني للمهمة أكثر صعوبة. بالنظر إلى العددين 300 و 1260 ، فإن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر أمر إلزامي. لحل المهمة ، يتم افتراض الإجراءات التالية:
تحلل الرقمين الأول والثاني لأبسط العوامل. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ؛ 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. تم الانتهاء من المرحلة الأولى.
تتضمن المرحلة الثانية العمل مع البيانات المستلمة بالفعل. يجب أن يشارك كل من الأرقام التي تم الحصول عليها في حساب النتيجة النهائية. لكل عامل ، يتم أخذ أكبر عدد من التكرارات من الأرقام الأصلية. المضاعف المشترك الأصغر هو العدد الإجمالي ، لذلك يجب تكرار عوامل الأرقام فيه لواحد ، حتى تلك الموجودة في نسخة واحدة. يحتوي كلا الرقمين الأصليين في تكوينهما على الأرقام 2 و 3 و 5 ، بدرجات مختلفة ، و 7 في حالة واحدة فقط.
لحساب النتيجة النهائية ، عليك أن تأخذ كل رقم في أكبر الأسس المعروضة في المعادلة. كل ما تبقى هو الضرب والحصول على الإجابة ، مع التعبئة الصحيحة ، تتناسب المهمة مع خطوتين دون شرح:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) المضاعف المشترك الأصغر = 6300.
هذه هي المشكلة برمتها ، إذا حاولت حساب العدد المطلوب عن طريق الضرب ، فإن الإجابة بالتأكيد لن تكون صحيحة ، لأن 300 * 1260 = 378000.
فحص:
6300/300 = 21 - صحيح ؛
6300/1260 = 5 - صحيح.
يتم تحديد صحة النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق التحقق - قسمة المضاعف المشترك الأصغر على كلا الرقمين الأوليين ، إذا كان الرقم عددًا صحيحًا في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة صحيحة.
ماذا يعني LCM في الرياضيات
كما تعلم ، لا توجد وظيفة واحدة عديمة الفائدة في الرياضيات ، وهذا ليس استثناءً. الاستخدام الأكثر شيوعًا لهذا الرقم هو تقريب الكسور إلى مقام مشترك. ما يدرس عادة في الصفوف 5-6 المدرسة الثانوية... وهو أيضًا قاسم مشترك لجميع المضاعفات ، إذا كانت هذه الشروط في المشكلة. يمكن أن يجد تعبير مشابه مضاعفًا ليس فقط لرقمين ، ولكن أيضًا لعدد أكبر بكثير - ثلاثة وخمسة وما إلى ذلك. كيف المزيد من الأرقام- كلما زادت الإجراءات في المهمة ، لكن التعقيد لا يزيد من هذا.
على سبيل المثال ، بالنظر إلى الأرقام 250 و 600 و 1500 ، تحتاج إلى إيجاد إجمالي المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - يصف هذا المثال التحليل بالتفصيل دون إلغاء.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
من أجل تكوين تعبير ، يجب ذكر جميع العوامل ، في هذه الحالة يتم إعطاء 2 ، 5 ، 3 ، - لكل هذه الأرقام ، يلزم تحديد الدرجة القصوى.
انتباه: يجب إحضار جميع المضاعفات لاستكمال التبسيط ، إن أمكن ، والتوسع إلى مستوى تلك التي لا لبس فيها.
فحص:
1) 3000/250 = 12 - صحيح ؛
2) 3000/600 = 5 - صحيح ؛
3) 3000/1500 = 2 - صحيح.
لا تتطلب هذه الطريقة أي حيل أو قدرات على مستوى العبقرية ، فكل شيء بسيط ومباشر.
طريق اخر
في الرياضيات ، يرتبط الكثير ، ويمكن حل الكثير بطريقتين أو أكثر ، وينطبق الشيء نفسه على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، المضاعف المشترك الأصغر. يمكن استخدام الطريقة التالية في حالة الأرقام البسيطة المكونة من رقمين والأرقام الفردية. يتم تجميع جدول يتم فيه إدخال المضاعف عموديًا ، والمضاعف أفقيًا ، والمنتج موضح في الخلايا المتقاطعة للعمود. يمكنك عكس الجدول عن طريق خط ، يتم أخذ رقم ونتائج ضرب هذا الرقم بالأعداد الصحيحة ، من 1 إلى ما لا نهاية ، تتم كتابتها في صف ، وأحيانًا تكون 3-5 نقاط كافية ، والأرقام الثانية والأرقام اللاحقة تخضع لنفس العملية الحسابية. كل شيء يحدث حتى يتم العثور على المضاعف المشترك.
بالنظر إلى الأرقام 30 ، 35 ، 42 ، تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر الذي يربط جميع الأرقام:
1) مضاعفات 30: 60 ، 90 ، 120 ، 150 ، 180 ، 210 ، 250 ، إلخ.
2) مضاعفات 35: 70 ، 105 ، 140 ، 175 ، 210 ، 245 ، إلخ.
3) مضاعفات 42:84 ، 126 ، 168 ، 210 ، 252 ، إلخ.
من الملاحظ أن جميع الأرقام مختلفة تمامًا ، والرقم المشترك الوحيد بينهم هو 210 ، لذلك سيكون المضاعف المشترك الأصغر. من بين العمليات المرتبطة بهذا الحساب ، هناك أيضًا القاسم المشترك الأكبر ، والذي يتم حسابه وفقًا لمبادئ مماثلة وغالبًا ما يتم مواجهته في المشكلات المجاورة. الفرق صغير ، لكنه مهم بدرجة كافية ، يفترض المضاعف المشترك الأصغر حساب رقم مقسومًا على جميع القيم الأولية المعطاة ، ويفترض GCD الحساب أعظم قيمةالتي تقسم بها الأرقام الأصلية.
