Teorem. Hər bir X vektoru əsas vektorların birləşmələri kimi unikal şəkildə təmsil oluna bilər

Qoy L – sahə üzərində xətti fəza R . Qoy А1, а2, …, а (*) vektorların sonlu sistemi L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) adlanır Vektorların xətti birləşməsi ( *), ya da vektor olduğunu deyirlər IN vektorlar sistemi (*) vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir.

Tərif 14. Vektorlar sistemi (*) adlanır Xətti asılı , yalnız və yalnız sıfırdan fərqli a1, a2, … əmsalları toplusu olduqda, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Əgər a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0 olarsa, sistem (*) çağırılır Xətti müstəqil.

Xətti asılılığın və müstəqilliyin xassələri.

10. Əgər vektorlar sistemində sıfır vektor varsa, o, xətti asılıdır.

Həqiqətən, əgər sistemdə (*) vektor A1 = 0, Bu 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Ан = 0 .

20. Əgər vektorlar sistemində iki mütənasib vektor varsa, o, xətti asılıdır.

Qoy A1 = L×a2. Sonra 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. n ³ 2 üçün sonlu vektorlar sistemi (*) o halda xətti asılıdır ki, onun vektorlarından ən azı biri bu sistemin qalan vektorlarının xətti kombinasiyası olsun.

Þ (*) xətti asılı olsun. Sonra a1, a2, …, an əmsallarının sıfırdan fərqli çoxluğu var, bunun üçün a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Ümumiliyi itirmədən, a1 ¹ 0 olduğunu güman edə bilərik. Sonra mövcuddur A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Beləliklə, vektor A1 qalan vektorların xətti kombinasiyasıdır.

Ü (*) vektorlarından biri digərlərinin xətti kombinasiyası olsun. Bunun ilk vektor olduğunu güman edə bilərik, yəni. A1 = B2 A2+ … + milyard A N, Beləliklə (–1)× A1 + b2 A2+ … + milyard A N= 0 , yəni (*) xətti asılıdır.

Şərh. Sonuncu xassədən istifadə edərək sonsuz vektorlar sisteminin xətti asılılığını və müstəqilliyini təyin edə bilərik.

Tərif 15. Vektor sistemi А1, а2, …, а , … (**) adlanır Xətti asılı, Əgər onun vektorlarından ən azı biri bəzi sonlu sayda digər vektorların xətti kombinasiyasıdırsa. Əks halda sistem (**) çağırılır Xətti müstəqil.

40. Sonlu vektorlar sistemi o zaman xətti müstəqildir ki, onun vektorlarından heç biri onun qalan vektorları ilə xətti şəkildə ifadə edilə bilmir.

50. Vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə, onun hər hansı altsistemləri də xətti müstəqildir.

60. Verilmiş vektorlar sisteminin hansısa alt sistemi xətti asılıdırsa, bütün sistem də xətti asılıdır.

İki vektor sistemi verilsin А1, а2, …, а , … (16) və В1, В2, …, Вs, … (17). Əgər (16) sisteminin hər bir vektorunu (17) sistemin sonlu vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təqdim etmək olarsa, (17) sistemin (16) xətti ilə ifadə olunduğu deyilir.

Tərif 16. İki vektor sistemi adlanır Ekvivalent , əgər onların hər biri digəri vasitəsilə xətti olaraq ifadə edilirsə.

Teorem 9 (əsas xətti asılılıq teoremi).

Qoy olsun – iki sonlu vektor sistemi L . Əgər birinci sistem xətti müstəqildirsə və ikincisi vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilirsə, onda N£ s.

Sübut. Belə iddia edək N> S. Teoremin şərtlərinə görə

birgə Tənliklərin sayı naməlumların sayından çox olduğu üçün sistemin sonsuz sayda həlli var. Buna görə də, sıfırdan fərqlidir X10, x20, …, xN0. Bu qiymətlər üçün bərabərlik (18) doğru olacaqdır ki, bu da vektorlar sisteminin xətti müstəqil olması faktına ziddir. Deməli bizim fərziyyəmiz yanlışdır. Beləliklə, N£ s.

Nəticə.Əgər iki ekvivalent vektor sistemi sonlu və xətti müstəqildirsə, onda onlar eyni sayda vektoru ehtiva edir.

Tərif 17. Vektor sistemi adlanır Vektorların maksimal xətti müstəqil sistemi Xətti fəza L , əgər xətti müstəqildirsə, lakin ona hər hansı vektor əlavə edildikdə L , bu sistemə daxil deyil, xətti asılı olur.

Teorem 10. Hər iki sonlu maksimal xətti müstəqil vektor sistemi L Eyni sayda vektor ehtiva edir.

Sübut hər hansı iki maksimal xətti müstəqil vektor sisteminin ekvivalent olmasından irəli gəlir .

Kosmik vektorların istənilən xətti müstəqil sisteminin olduğunu sübut etmək asandır L bu fəzada vektorların maksimal xətti müstəqil sisteminə qədər genişləndirilə bilər.

Nümunələr:

1. Bütün kollinear həndəsi vektorlar çoxluğunda sıfırdan fərqli bir vektordan ibarət istənilən sistem maksimum xətti müstəqildir.

2. Bütün müştərək həndəsi vektorlar toplusunda istənilən iki qeyri-kollinear vektor maksimum xətti müstəqil sistem təşkil edir.

3. Üçölçülü Evklid fəzasının bütün mümkün həndəsi vektorları çoxluğunda üç qeyri-komplanar vektordan ibarət istənilən sistem maksimum xətti müstəqildir.

4. Bütün çoxhədlilərin çoxluğunda dərəcələr -dən yüksək deyil N Həqiqi (mürəkkəb) əmsallarla, çoxhədlilər sistemi 1, x, x2, … , xn Maksimum xətti müstəqildir.

5. Həqiqi (mürəkkəb) əmsallı bütün çoxhədlilər çoxluğunda maksimum xətti müstəqil sistemin nümunələri.

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...

6. Ölçü matrisləri toplusu M´ N xətti fəzadır (bunu yoxlayın). Bu fəzada maksimal xətti müstəqil sistemə misal matris sistemidir E11= , E12 =, …, EMn = .

Vektorlar sistemi verilsin C1, c2, …, bax (*). (*) vektorlarının alt sistemi adlanır Maksimum xətti müstəqil Alt sistem Sistemlər ( *) , əgər xətti müstəqildirsə, lakin ona bu sistemin hər hansı digər vektorunu əlavə edərkən, xətti asılı olur. Əgər sistem (*) sonludursa, onun maksimum xətti müstəqil alt sistemlərindən hər hansı biri eyni sayda vektor ehtiva edir. (Özünüz sübut edin). Sistemin maksimum xətti müstəqil alt sistemindəki vektorların sayı (*) adlanır Rütbə Bu sistem. Aydındır ki, ekvivalent vektor sistemləri eyni dərəcələrə malikdir.

Funksiyalar çağırılır xətti müstəqil,Əgər

(yalnız eyni şəkildə sıfıra bərabər olan funksiyaların əhəmiyyətsiz xətti kombinasiyasına icazə verilir). Vektorların xətti müstəqilliyindən fərqli olaraq, burada xətti birləşmə bərabərlik deyil, sıfırla eynidir. Bu başa düşüləndir, çünki arqumentin istənilən dəyəri üçün xətti birləşmənin sıfıra bərabərliyi təmin edilməlidir.

Funksiyalar çağırılır xətti asılı, sıfırdan fərqli sabitlər dəsti varsa (bütün sabitlər sıfıra bərabər deyil) belə ki (sıfıra bərabər olan funksiyaların qeyri-trivial xətti kombinasiyası mövcuddur).

Teorem.Funksiyaların xətti asılı olması üçün onlardan hər hansı birinin digərləri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunması (onların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilməsi) zəruri və kifayətdir.

Bu teoremi özünüz sübut edin, o, vektorların xətti asılılığı ilə bağlı oxşar teoremlə eyni şəkildə isbat edilir.

Vronskinin təyinedicisi.

Funksiyalar üçün Wronski determinantı sütunları sıfırdan (funksiyaların özləri) n-1-ci sıraya qədər bu funksiyaların törəmələri olan determinant kimi təqdim edilir.

.

Teorem. Əgər funksiyaları o zaman xətti asılıdır

Sübut. Funksiyalara görə xətti asılıdır, onda onlardan hər hansı biri digərləri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir, məsələn,

Şəxsiyyəti fərqləndirmək olar, yəni

Sonra Wronski determinantının birinci sütunu qalan sütunlar vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir, ona görə də Wronski determinantı eyni şəkildə sıfıra bərabərdir.

Teorem.n-ci dərəcəli xətti homojen diferensial tənliyin həllərinin xətti asılı olması üçün zəruri və kifayətdir ki,.

Sübut. Zərurət əvvəlki teoremdən irəli gəlir.

Adekvatlıq. Gəlin bəzi məqamları düzəldək. Çünki bu nöqtədə hesablanmış determinantın sütunları xətti asılı vektorlardır.

, münasibətləri qane edir

Xətti homojen tənliyin həllərinin xətti kombinasiyası onun həlli olduğundan, formanın həllini təqdim edə bilərik.

Eyni əmsallı həllərin xətti birləşməsi.

Qeyd edək ki, bu həll sıfır ilkin şərtləri ödəyir, bu yuxarıda yazılmış tənliklər sistemindən irəli gəlir; Lakin xətti homojen tənliyin əhəmiyyətsiz həlli də eyni sıfır başlanğıc şərtlərini ödəyir. Buna görə də, Koşi teoremindən belə çıxır ki, təqdim edilən həll eyni dərəcədə əhəmiyyətsizə bərabərdir, buna görə də,

buna görə də həllər xətti asılıdır.

Nəticə.Xətti homojen tənliyin həlli üzərində qurulmuş Wronski determinantı ən azı bir nöqtədə yox olarsa, o, eyni şəkildə sıfıra bərabərdir.

Sübut. Əgər , onda həllər xətti asılıdır, deməli, .

Teorem.1. Həlllərin xətti asılılığı üçün zəruri və kifayətdir(və ya ).

2. Həlllərin xətti müstəqilliyi üçün zəruri və kifayətdir.

Sübut. Birinci ifadə yuxarıda sübut edilmiş teoremdən və nəticədən irəli gəlir. İkinci ifadəni ziddiyyətlə asanlıqla sübut etmək olar.

Həlllər xətti müstəqil olsun. Əgər , onda həllər xətti asılıdır. Ziddiyyət. Beləliklə, .

Qoy . Əgər həllər xətti asılıdırsa, onda , deməli, bir ziddiyyət. Buna görə də həllər xətti müstəqildir.

Nəticə.Wronski determinantının ən azı bir nöqtədə yox olması həllərin xətti homojen tənliyə xətti asılılığının meyarıdır.

Wronski determinantı ilə sıfır arasındakı fərq xətti homojen tənliyin həllərinin xətti müstəqilliyi üçün meyardır.

Teorem.n-ci dərəcəli xətti homojen tənliyin həll fəzasının ölçüsü n-ə bərabərdir.

Sübut.

a) Göstərək ki, n-ci dərəcəli xətti homojen diferensial tənliyin n xətti müstəqil həlli var. Həll yollarını nəzərdən keçirək , aşağıdakı ilkin şərtləri ödəməklə:

...........................................................

Belə həllər mövcuddur. Həqiqətən, Koşi teoreminə görə, nöqtə vasitəsilə tək inteqral əyridən-həlldən keçir. Nöqtə vasitəsilə həll nöqtəsindən keçir

- həll, nöqtə vasitəsilə - həll .

Bu həllər xətti müstəqildir, çünki .

b) Göstərək ki, xətti bircinsli tənliyin istənilən həlli bu həllər vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir (onların xətti birləşməsidir).

Gəlin iki həll yolu nəzərdən keçirək. Biri - ilkin şərtləri olan ixtiyari həll . Ədalətli nisbət

Tərif 1. Sistemin vektorlarından biri sistemin qalan vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təmsil oluna bilsə, vektorlar sistemi xətti asılı, əks halda isə xətti asılı adlanır.

Tərif 1'. Əgər ədədlər varsa, vektorlar sistemi xətti asılı adlanır ilə 1 , ilə 2 , …, ilə k , hamısı sıfıra bərabər deyil ki, verilmiş əmsallı vektorların xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabər olsun: = , əks halda sistem xətti müstəqil adlanır.

Bu təriflərin ekvivalent olduğunu göstərək.

1-ci tərif təmin edilsin, yəni. Sistem vektorlarından biri digərlərinin xətti kombinasiyasına bərabərdir:

Vektorlar sisteminin xətti birləşməsi sıfır vektora bərabərdir və bu birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil, yəni. 1´ tərifi təmin edilir.

Tərif 1'i saxlasın. Vektorlar sisteminin xətti birləşməsi -ə bərabərdir və birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil, məsələn, vektorun əmsalları.

Sistem vektorlarından birini digərlərinin xətti kombinasiyası kimi təqdim etdik, yəni. Tərif 1 təmin edilir.

Tərif 2. Vahid vektor və ya vahid vektor deyilir n-ölçülü vektor, hansı i-ci koordinat birə bərabərdir, qalanları isə sıfırdır.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorem 1. Müxtəlif vahid vektorlar n-ölçülü fəza xətti müstəqildir.

Sübut. Bu vektorların ixtiyari əmsallı xətti kombinasiyası sıfır vektoruna bərabər olsun.

Bu bərabərlikdən belə nəticə çıxır ki, bütün əmsallar sıfıra bərabərdir. Bir ziddiyyətimiz var.

Hər bir vektor n-ölçülü məkan ā (A 1 , A 2 , ..., A n) vektor koordinatlarına bərabər əmsallı vahid vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bilər

Teorem 2. Vektorlar sistemində sıfır vektor varsa, o, xətti asılıdır.

Sübut. Vektorlar sistemi verilsin və vektorlardan biri sıfır olsun, məsələn =. Sonra bu sistemin vektorları ilə sıfır vektoruna bərabər xətti birləşmə yarada bilərsiniz və bütün əmsallar sıfır olmayacaq:

Buna görə də sistem xətti asılıdır.

Teorem 3. Vektorlar sisteminin hansısa alt sistemi xətti asılıdırsa, bütün sistem xətti asılıdır.

Sübut. Vektorlar sistemi verilmişdir. Tutaq ki, sistem xətti asılıdır, yəni. rəqəmlər var ilə 1 , ilə 2 , …, ilə r , hamısı sıfıra bərabər deyil, belə ki = . Sonra

Məlum oldu ki, bütün sistemin vektorlarının xətti birləşməsi --ə bərabərdir və bu birləşmənin bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil. Nəticə etibarı ilə vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Nəticə.Əgər vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə, onun hər hansı alt sistemi də xətti müstəqildir.

Sübut.

Bunun əksini fərz edək, yəni. bəzi alt sistemlər xətti asılıdır. Teoremdən belə nəticə çıxır ki, bütün sistem xətti asılıdır. Biz bir ziddiyyətə gəldik.

Teorem 4 (Steinitz teoremi).Əgər vektorların hər biri vektorların xətti kombinasiyasıdırsa və m>n, onda vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Nəticə.İstənilən n ölçülü vektor sistemində n-dən çox xətti müstəqil ola bilməz.

Sübut. Hər n-ölçülü vektor n vahid vektorun xətti kombinasiyası kimi ifadə edilir. Bu səbəblə sistem əgər varsa m vektorlar və m>n, onda teoremə görə bu sistem xətti asılıdır.

Vektorlar sisteminin xətti asılılıq və müstəqillik anlayışları vektor cəbrini öyrənərkən çox vacibdir, çünki məkanın ölçüsü və əsası anlayışları onlara əsaslanır. Bu yazıda biz təriflər verəcəyik, xətti asılılıq və müstəqilliyin xassələrini nəzərdən keçirəcəyik, xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin öyrənilməsi üçün alqoritm əldə edəcəyik və nümunələrin həllini ətraflı təhlil edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Vektorlar sisteminin xətti asılılığının və xətti müstəqilliyinin təyini.

p n ölçülü vektorlar toplusunu nəzərdən keçirək, onları aşağıdakı kimi işarə edək. Bu vektorların və ixtiyari ədədlərin xətti kombinasiyasını yaradaq (real və ya mürəkkəb): . n-ölçülü vektorlar üzərində əməliyyatların tərifinə, həmçinin vektorların toplanması və vektorun ədədə vurulması əməliyyatlarının xassələrinə əsaslanaraq belə bir fikir söyləmək olar ki, yazılı xətti kombinasiya hansısa n-ölçülü vektoru təmsil edir, yəni. .

Vektorlar sisteminin xətti asılılığının tərifinə belə yanaşdıq.

Tərif.

Xətti birləşmə sıfır vektoru təmsil edə bilərsə, o zaman ədədlər arasında ən azı bir sıfırdan fərqli olduqda vektorlar sistemi adlanır xətti asılı.

Tərif.

Xətti kombinasiya sıfır vektor olduqda yalnız bütün ədədlər sıfıra bərabərdir, onda vektorlar sistemi adlanır xətti müstəqil.

Xətti asılılığın və müstəqilliyin xassələri.

Bu təriflərə əsaslanaraq biz formalaşdırır və sübut edirik vektorlar sisteminin xətti asılılığının və xətti müstəqilliyinin xassələrini.

Xətti asılı vektorlar sisteminə bir neçə vektor əlavə edilərsə, nəticədə alınan sistem xətti asılı olacaqdır.

Sübut.

Vektorlar sistemi xətti asılı olduğundan, ədədlərdən ən azı sıfırdan fərqli bir ədəd olarsa bərabərlik mümkündür. . Qoy .

İlkin vektorlar sisteminə s daha çox vektor əlavə edək və sistemi əldə edirik. və olduğundan, bu sistemin vektorlarının xətti kombinasiyası formadadır

sıfır vektorunu təmsil edir və . Nəticə etibarı ilə vektorlar sistemi xətti asılıdır.

Xətti müstəqil vektor sistemindən bir neçə vektor xaric edilirsə, nəticədə yaranan sistem xətti müstəqil olacaqdır.

Sübut.

Fərz edək ki, yaranan sistem xətti asılıdır. Bütün atılmış vektorları bu vektorlar sisteminə əlavə etməklə, vektorların orijinal sistemini əldə edirik. Şərtinə görə, o, xətti müstəqildir, lakin xətti asılılığın əvvəlki xüsusiyyətinə görə, xətti asılı olmalıdır. Biz bir ziddiyyətə gəldik, ona görə də fərziyyəmiz yanlışdır.

Əgər vektorlar sisteminin ən azı bir sıfır vektoru varsa, belə bir sistem xətti asılıdır.

Sübut.

Bu vektorlar sistemindəki vektor sıfır olsun. Fərz edək ki, vektorların ilkin sistemi xətti müstəqildir. Onda vektor bərabərliyi yalnız o zaman mümkündür. Bununla belə, sıfırdan fərqli hər hansı birini götürsək, onda bərabərlik hələ də doğru olacaq, çünki . Nəticə etibarı ilə, bizim fərziyyəmiz yanlışdır və vektorların ilkin sistemi xətti asılıdır.

Əgər vektorlar sistemi xətti asılıdırsa, onda onun vektorlarından ən azı biri digərləri ilə xətti şəkildə ifadə edilir. Əgər vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə, onda vektorların heç biri digərləri ilə ifadə edilə bilməz.

Sübut.

Əvvəlcə birinci ifadəni sübut edək.

Vektorlar sistemi xətti asılı olsun, onda ən azı bir sıfırdan fərqli ədəd var və bərabərlik doğrudur. Bu bərabərlik ilə bağlı həll edilə bilər, çünki bu halda biz var

Nəticə etibarı ilə vektor sistemin qalan vektorları vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir ki, bu da sübut edilməli idi.

İndi ikinci ifadəni sübut edək.

Vektorlar sistemi xətti müstəqil olduğundan bərabərlik yalnız üçün mümkündür.

Fərz edək ki, sistemin hansısa vektoru digərləri ilə xətti olaraq ifadə edilir. O zaman bu vektor olsun. Bu bərabərliyi belə yenidən yazmaq olar, onun sol tərəfində sistem vektorlarının xətti kombinasiyası var və vektorun qarşısındakı əmsal sıfırdan fərqlidir ki, bu da ilkin vektorlar sisteminin xətti asılılığını göstərir. Beləliklə, bir ziddiyyətə gəldik, yəni mülk sübut edilmişdir.

Son iki xüsusiyyətdən əhəmiyyətli bir ifadə gəlir:
vektorlar sistemində vektorlar varsa və burada ixtiyari ədəddirsə, o, xətti asılıdır.

Xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin tədqiqi.

Gəlin bir məsələ qoyaq: vektorlar sisteminin xətti asılılığını və ya xətti müstəqilliyini qurmalıyıq.

Məntiqi sual: “Bunu necə həll etmək olar?”

Praktiki nöqteyi-nəzərdən faydalı bir şey yuxarıda müzakirə olunan vektorlar sisteminin xətti asılılığının və müstəqilliyinin təriflərindən və xassələrindən öyrənilə bilər. Bu təriflər və xassələr aşağıdakı hallarda vektorlar sisteminin xətti asılılığını təyin etməyə imkan verir:

Əksəriyyət olan digər hallarda nə etməli?

Gəlin bunu anlayaq.

Məqalədə təqdim etdiyimiz matrisin rütbəsi haqqında teoremin tərtibini xatırlayaq.

Teorem.

Qoy r – p sıralı A matrisinin n ilə dərəcəsi, . M, A matrisinin əsas minoru olsun. Əsas minor M-in formalaşmasında iştirak etməyən A matrisinin bütün sətirləri (bütün sütunları) M əsas minorunu yaradan matrisin sətirləri (sütunları) vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilir.

İndi matrisin rütbəsi haqqında teoremlə xətti asılılıq üçün vektorlar sisteminin tədqiqi arasındakı əlaqəni izah edək.

Satırları tədqiq olunan sistemin vektorları olacaq A matrisini tərtib edək:

Vektorlar sisteminin xətti müstəqilliyi nə deməkdir?

Vektorlar sisteminin xətti müstəqilliyinin dördüncü xassəsindən bilirik ki, sistemin vektorlarından heç biri digərləri ilə ifadə edilə bilməz. Başqa sözlə, A matrisinin heç bir cərgəsi digər cərgələr baxımından xətti olaraq ifadə edilməyəcək, buna görə də, vektorlar sisteminin xətti müstəqilliyi Rank(A)=p şərtinə ekvivalent olacaq.

Vektorlar sisteminin xətti asılılığı nə demək olacaq?

Hər şey çox sadədir: A matrisinin ən azı bir cərgəsi digərləri baxımından xətti şəkildə ifadə ediləcək, buna görə də, vektorlar sisteminin xətti asılılığı Rank(A) şərtinə bərabər olacaq

.