1 0 Градиентът е насочен нормално към равната повърхност (или към линията на нивото, ако полето е плоско).
2 0 Градиентът е насочен към увеличаване на полевата функция.
3 0 Модулът на градиента е равен на най-голямата производна по посока в дадена точка от полето:
Тези свойства осигуряват инвариантна характеристика на градиента. Казват, че векторът gradU показва посоката и големината на най-голямата промяна в скаларното поле в дадена точка.
Забележка 2.1.Ако функцията U(x,y) е функция на две променливи, тогава векторът
лежи в окси равнината.
Нека U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) са диференцируеми в точката M 0 (x,y,z) функции. Тогава важат следните равенства:
а) grad()= ; б) град(УВ)=ВградУ+УградВ;
в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) град = , V ;
д) gradU( = gradU, където , U=U() има производна по отношение на .
Пример 2.1.Дадена е функцията U=x 2 +y 2 +z 2. Определете градиента на функцията в точка M(-2;3;4).
Решение.Съгласно формула (2.2) имаме
Повърхнините на нивото на това скаларно поле са семейството от сфери x 2 +y 2 +z 2 , векторът gradU=(-4;6;8) е нормалният вектор на равнините.
Пример 2.2.Намерете градиента на скаларното поле U=x-2y+3z.
Решение.Съгласно формула (2.2) имаме
Повърхнините на нивото на дадено скаларно поле са равнини
x-2y+3z=C; векторът gradU=(1;-2;3) е нормалният вектор на равнините от това семейство.
Пример 2.3.Намерете най-голямата стръмност на издигането на повърхността U=x y в точка M(2;2;4).
Решение.Ние имаме:
Пример 2.4.Намерете единичния нормален вектор към повърхността на нивото на скаларното поле U=x 2 +y 2 +z 2 .
Решение.Нивелираните повърхности на дадена скаларна полева сфера x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Градиентът е насочен нормално към равната повърхност, така че
Определя нормалния вектор към повърхността на нивото в точка M(x,y,z). За единичен нормален вектор получаваме израза
Пример 2.5.Намерете градиента на полето U=, където и са постоянни вектори, r е радиус векторът на точката.
Решение.Нека
След това: . По правилото за диференциране на детерминантата получаваме
следователно
Пример 2.6.Намерете градиента на разстоянието, където P(x,y,z) е изследваната точка на полето, P 0 (x 0,y 0,z 0) е някаква фиксирана точка.
Решение.Имаме единичен вектор на посоката.
Пример 2.7.Намерете ъгъла между градиентите на функциите в точката M 0 (1,1).
Решение.Намираме градиентите на тези функции в точката M 0 (1,1), имаме
; Ъгълът между gradU и gradV в точка M 0 се определя от равенството
Следователно =0.
Пример 2.8.Намерете производната по посока, на която е равен радиус векторът
Решение.Намерете градиента на тази функция:
Замествайки (2.5) в (2.4), получаваме
Пример 2.9.Намерете в точка M 0 (1;1;1) посоката на най-голямата промяна в скаларното поле U=xy+yz+xz и величината на тази най-голяма промяна в тази точка.
Решение.Посоката на най-голямото изменение на полето се обозначава с вектора grad U(M). Намираме го:
А това означава... Този вектор определя посоката на най-голямото увеличение на това поле в точка M 0 (1;1;1). Големината на най-голямата промяна на полето в тази точка е равна на
Пример 3.1.Намерете векторните линии на векторното поле, където е постоянен вектор.
Решение.Имаме така че
Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по x, на втората по y, на третата по z и добавете член по член. Използвайки свойството на пропорциите, получаваме
Следователно xdx+ydy+zdz=0, което означава
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Сега като умножим числителя и знаменателя на първата дроб (3.3) по c 1, втората по c 2, третата по c 3 и добавим член по член, получаваме
Където от 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
И следователно с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.
Необходимите уравнения на векторни прави
Тези уравнения показват, че векторните линии се получават от пресичането на сфери с общ център в началото с равнини, перпендикулярни на вектора. От това следва, че векторните прави са окръжности, чиито центрове са на права линия, минаваща през началото по посока на вектор c. Равнините на окръжностите са перпендикулярни на посочената права.
Пример 3.2.Намерете линията на векторното поле, минаваща през точката (1,0,0).
Решение.Диференциални уравнения на векторни прави
Следователно имаме. Решаване на първото уравнение. Или ако въведем параметъра t, тогава ще имаме В този случай уравнението приема формата или dz=bdt, откъдето z=bt+c 2.
Определение 1
Ако за всяка двойка $(x,y)$ от стойности на две независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $z$, тогава се казва, че $z$ е функция на две променливи $(x,y) $. Нотация: $z=f(x,y)$.
Да разгледаме функцията $z=f(x,y)$, която е дефинирана в някакъв регион в пространството $Oxy$.
следователно
Определение 3
Ако за всяка тройка $(x,y,z)$ от стойности на три независими променливи от някакъв домейн е свързана определена стойност $w$, тогава се казва, че $w$ е функция на три променливи $(x, y,z)$ в тази област.
Обозначение:$w=f(x,y,z)$.
Да разгледаме функцията $w=f(x,y,z)$, която е дефинирана в някакъв регион в пространството $Oxyz$.
За дадена функция ние дефинираме вектор, за който проекциите върху координатните оси са стойностите на частните производни на дадената функция в дадена точка $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac( \partial z)(\partial y) $.
Определение 4
Градиентът на дадена функция $w=f(x,y,z)$ е вектор $\overrightarrow(gradw)$ със следната форма:
Теорема 3
Нека поле от градиенти е дефинирано в някакво скаларно поле $w=f(x,y,z)$
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]
Производната $\frac(\partial w)(\partial s) $ в посоката на даден вектор $\overrightarrow(s) $ е равна на проекцията на градиентния вектор $\overrightarrow(gradw) $ върху даден вектор $\overrightarrow(s) $.
Пример 4
Решение:
Изразът за градиента се намира с помощта на формулата
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]
следователно
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
Пример 5
Определете градиента на дадена функция
в точка $M(1;2;1)$. Изчислете $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.
Решение:
Изразът за градиента в дадена точка се намира с помощта на формулата
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]
Частичните производни имат формата:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]
Производни в точка $M(1;2)$:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]
следователно
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]
Нека изброим някои свойства на градиента:
Производната на дадена функция в дадена точка в посоката на някакъв вектор $\overrightarrow(s) $ има най-голяма стойност, ако посоката на този вектор $\overrightarrow(s) $ съвпада с посоката на градиента. В този случай тази най-голяма стойност на производната съвпада с дължината на градиентния вектор, т.е. $|\стрелка надясно(граду) |$.
Производната на дадена функция по посока на вектор, който е перпендикулярен на градиентния вектор, т.е. $\overrightarrow(gradw) $ е равно на 0. Тъй като $\varphi =\frac(\pi )(2) $, тогава $\cos \varphi =0$; следователно $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
Ако във всяка точка от пространството или част от пространството се определя стойността на определено количество, тогава те казват, че полето на това количество е определено. Едно поле се нарича скаларно, ако разглежданата величина е скаларна, т.е. напълно характеризиран с числовата си стойност. Например температурното поле. Скаларното поле е дадено от скаларната точкова функция u = /(M). Ако в пространството се въведе декартова координатна система, тогава има функция от три променливи x, yt z - координатите на точка M: Определение. Повърхнината на нивото на скаларно поле е набор от точки, в които функцията f(M) приема една и съща стойност. Уравнение на повърхността на нивото Пример 1. Намерете повърхности на ниво на скаларно поле ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхнини на ниво и линии Производна на посоката Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантно определение на градиент Правила за изчисляване на градиент -4 Според дефиницията, уравнението на равна повърхност ще бъде. Това е уравнението на сфера (с Ф 0) с център в началото. Скаларното поле се нарича плоско, ако полето е еднакво във всички равнини, успоредни на определена равнина. Ако посочената равнина се приеме за равнина xOy, тогава функцията на полето няма да зависи от координатата z, т.е. тя ще бъде функция само на аргументите x и y. Плоско поле може да се характеризира с помощта на линии на ниво - a набор от точки на равнината, в които функцията /(x, y) има едно, а също и значението. Уравнение на линия на ниво - Пример 2. Намерете линии на ниво на скаларно поле Линиите на ниво са дадени с уравнения. Когато c = 0 получаваме двойка прави линии, получаваме семейство хиперболи (фиг. 1). 1.1. Производна по посока Нека има скаларно поле, дефинирано от скаларната функция u = /(Af). Нека вземем точка Afo и изберем посоката, определена от вектор I. Нека вземем друга точка M, така че вектор M0M да е успореден на вектор 1 (фиг. 2). Нека означим дължината на MoM вектора с A/, а увеличението на функцията /(Af) - /(Afo), съответстваща на движението на D1, с Di. Отношението определя средната скорост на изменение на скаларното поле на единица дължина в дадената посока, така че векторът M0M да остане успореден на вектора I през цялото време. Ако при D/O има крайна граница на отношението (5), то тя се нарича производна на функцията в дадена точка Afo спрямо дадената посока I и се означава със символа 3!^. Така че, по дефиниция, това определение не е свързано с избора на координатна система, т.е. има **вариантен характер. Нека намерим израз за производната по посока в декартовата координатна система. Нека функцията / е диференцируема в точка. Нека разгледаме стойността на /(Af) в точка. Тогава общото нарастване на функцията може да се запише в следния вид: където и символите означават, че частните производни се изчисляват в точката Afo. Следователно тук величините jfi, ^ са насочващите косинуси на вектора. Тъй като векторите MoM и I са еднопосочни, техните косинуси на посоката са еднакви: Тъй като M Afo, винаги на права линия, успоредна на вектор 1, ъглите са постоянни, следователно Накрая, от равенствата (7) и (8) получаваме Eamuan е 1. Частичните производни са производни на функцията и по посоките на координатните оси, така че-Пример 3. Намерете производната на функцията по посока към точката Векторът има дължина. Неговите насочващи косинуси: Съгласно формула (9), ще имаме Фактът, че означава, че скаларното поле в точка в дадена посока на възраст - За плоско поле, производната по отношение на посоката I в точка е изчислено по формулата където a е ъгълът, образуван от вектора I с оста Oh. Zmmchmm 2. Формула (9) за изчисляване на производната по отношение на посоката I в дадена точка Afo остава в сила, когато точка M клони към точка Mo по крива, за която векторът I е допирателен в точка PrIShr 4. Изчислете производната на скаларното поле в точка Afo(l, 1). принадлежащи на парабола по посока на тази крива (по посока на нарастване на абсцисата). Така производната на функцията u по посока 1 е равна на скаларното произведение на градиента на функцията u(M) и единичния вектор 1° на посока I. 2.1. Основни свойства на градиента Теорема 1. Градиентът на скаларното поле е перпендикулярен на повърхността на нивото (или на линията на нивото, ако полето е плоско). (2) Нека начертаем нивелирна повърхност u = const през произволна точка M и да изберем върху тази повърхност гладка крива L, минаваща през точката M (фиг. 4). Нека I е вектор, допирателен към кривата L в точка М. Тъй като на повърхността на нивото u(M) = u(M|) за всяка точка Mj e L, тогава от друга страна, = (граду, 1°). Ето защо. Това означава, че векторите grad и 1° са ортогонални. Следователно векторът grad и е ортогонален на всяка допирателна към повърхността на нивото в точка М. Следователно, той е ортогонален на самата повърхност на нивото в точка М. Теорема 2. градиентът е насочен към увеличаване на функцията на полето. Въз основа на трите свойства на градиента на скаларното поле, доказани по-горе, можем да дадем следната инвариантна дефиниция на градиента. Определение. Градиентът на скаларното поле е вектор, насочен нормално към повърхността на нивото в посока на нарастване на полевата функция и имащ дължина, равна на най-голямата производна по посока (в дадена точка). Нека е единичен нормален вектор, насочен в посока на нарастващо поле. След това Пример 2. Намерете градиента на разстоянието - някаква фиксирана точка и M(x,y,z) - текущата. 4 Имаме къде е единичният вектор на посоката. Правила за изчисляване на градиента, където c е постоянно число. Дадените формули се получават директно от дефиницията на градиента и свойствата на производните.
Концепция производна на посоката разглеждани за функции на две и три променливи. За да разберете значението на производната на посоката, трябва да сравните производните по дефиниция
следователно
Сега можем да намерим производната по посока на тази функция, използвайки нейната формула:
А сега – домашното. Той дава функция не на три, а само на две променливи, но векторът на посоката е зададен малко по-различно. Така че ще трябва да го повторите отново векторна алгебра .
Пример 2.Намерете производната на функция в точка М0 (1; 2) по посока на вектора, където М1 - точка с координати (3; 0).
Векторът, задаващ посоката на производната, може да бъде даден и във формата, както в следния пример - във формата разширение в единични вектори на координатни оси, но това е позната тема от самото начало на векторната алгебра.
Пример 3.Намерете производната на функция 
в точката М0
(1; 1; 1)
по посока на вектора.
Решение. Нека намерим насочващите косинуси на вектора
Нека намерим частните производни на функцията в точката М0 :
Следователно можем да намерим производната по посока на тази функция, използвайки нейната формула:
.
Градиентна функция
Градиент на функция на няколко променливи в точка М0 характеризира посоката на максимален растеж на тази функция в точката М0 и величината на този максимален растеж.
Как да намерите градиента?
Трябва да се определи вектор, чиито проекции върху координатните осиса ценностите частични производни, , тази функция в съответната точка:
.
Тоест трябва да се получи представяне на вектор чрез единични вектори на координатни оси, в която частната производна, съответстваща на нейната ос, се умножава по всяка единица.
От училищния курс по математика знаем, че вектор в равнина е насочен сегмент. Началото и краят му имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане на началните координати от крайните координати.
Концепцията за вектор може да се разшири до n-мерно пространство (вместо две координати ще има n координати).
Градиент gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) е векторът на частните производни на функцията в точка, т.е. вектор с координати.
Може да се докаже, че градиентът на функция характеризира посоката на най-бързо нарастване на нивото на функция в дадена точка.
Например, за функцията z = 2x 1 + x 2 (виж Фигура 5.8), градиентът във всяка точка ще има координати (2; 1). Можете да го конструирате върху равнина по различни начини, като вземете всяка точка за начало на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1), или точка (1; 0) с точка (3; 1), или точка (0; 3) с точка (2; 4), или така нататък. (Вижте Фигура 5.8). Всички вектори, конструирани по този начин, ще имат координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
От фигура 5.8 ясно се вижда, че нивото на функцията нараства в посока на градиента, тъй като построените линии на ниво съответстват на стойностите на нивото 4> 3> 2.
Фигура 5.8 - Градиент на функция z= 2x 1 + x 2
Нека разгледаме друг пример - функцията z = 1/(x 1 x 2). Градиентът на тази функция вече няма да бъде винаги еднакъв в различни точки, тъй като нейните координати се определят от формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Фигура 5.9 показва линиите на функционалното ниво z = 1/(x 1 x 2) за нива 2 и 10 (правата линия 1/(x 1 x 2) = 2 е обозначена с пунктирана линия, а правата линия 1/( x 1 x 2) = 10 е плътна линия).
Фигура 5.9 - Градиенти на функцията z= 1/(x 1 x 2) в различни точки
Вземете например точката (0,5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Обърнете внимание, че точката (0,5; 1) лежи на линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 2, защото z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да начертаете вектора ( -4; 2) на фигура 5.9 свържете точката (0,5; 1) с точката (-3,5; -1), защото (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, например точка (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Нека изчислим градиента в тази точка (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го изобразим на фигура 5.9, свързваме точката (1; 0.5) с точката (-1; -3.5), защото (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, но само сега в неположителна координатна четвърт. Например точка (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентът в тази точка ще бъде равен на (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Нека го изобразим на фигура 5.9, като свържем точката (-0,5; -1) с точката (3,5; 1), защото (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Трябва да се отбележи, че и в трите разгледани случая градиентът показва посоката на нарастване на функционалното ниво (към линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Може да се докаже, че градиентът винаги е перпендикулярен на линията на нивото (равнината), минаваща през дадена точка.
Екстремуми на функция на няколко променливи
Нека дефинираме понятието екстремумза функция на много променливи.
Функция на много променливи f(X) има в точка X (0) максимум (минимум),ако има околност на тази точка, така че за всички точки X от тази околност са изпълнени неравенствата f(X)f(X (0)) ().
Ако тези неравенства са изпълнени като строги, тогава се нарича екстремум силен, и ако не, тогава слаб.
Обърнете внимание, че дефинираният по този начин екстремум е местенхарактер, тъй като тези неравенства са изпълнени само за определена околност на точката на екстремума.
Необходимо условие за локален екстремум на диференцируема функция z=f(x 1, . . ., x n) в точка е равенството на нула на всички частични производни от първи ред в тази точка: 
.
Точките, в които важат тези равенства, се наричат стационарен.
По друг начин необходимото условие за екстремум може да се формулира по следния начин: в точката на екстремума градиентът е нула. Може да се докаже и едно по-общо твърдение: в точката на екстремума производните на функцията във всички посоки се нулират.
Стационарните точки трябва да бъдат подложени на допълнителни изследвания, за да се определи дали са изпълнени достатъчни условия за съществуването на локален екстремум. За да направите това, определете знака на диференциала от втори ред. Ако за всеки , който не е едновременно равен на нула, той винаги е отрицателен (положителен), тогава функцията има максимум (минимум). Ако може да стигне до нула не само с нулеви стъпки, тогава въпросът за екстремума остава открит. Ако може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма екстремум в стационарна точка.
В общия случай определянето на знака на диференциала е доста сложен проблем, който няма да разглеждаме тук. За функция на две променливи може да се докаже, че ако в стационарна точка 
, тогава екстремумът е налице. В този случай знакът на втория диференциал съвпада със знака 
, т.е. Ако 
, тогава това е максимумът и ако 
, тогава това е минимумът. Ако 
, тогава няма екстремум в тази точка и ако 
, тогава въпросът за екстремума остава открит.
Пример 1. Намерете екстремумите на функцията 
.
Нека намерим частни производни, използвайки метода на логаритмично диференциране.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
По същия начин 
.
Нека намерим стационарни точки от системата от уравнения:
Така са открити четири стационарни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).
Нека намерим частните производни от втори ред:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
По същия начин 
;
.
защото 
, изразителен знак 
зависи само от 
. Обърнете внимание, че и в двете от тези производни знаменателят винаги е положителен, така че можете да вземете предвид само знака на числителя или дори знака на изразите x(x 2 – 3) и y(y 2 – 3). Нека го дефинираме във всяка критична точка и да проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремума.
За точка (1; 1) получаваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0 и 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
За точка (1; -1) получаваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Защото произведение на тези числа 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
За точката (-1; -1) получаваме (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Тъй като произведение на две положителни числа 
> 0 и 
> 0, в точката (-1; -1) може да се намери минимумът. Равно е на 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Намерете глобаленмаксимум или минимум (най-голямата или най-малката стойност на функция) е малко по-сложно от локален екстремум, тъй като тези стойности могат да бъдат постигнати не само в стационарни точки, но и на границата на домейна на дефиницията. Не винаги е лесно да се изследва поведението на функция на границата на тази област.
