त्रिकोणमितीय फलनों के लक्षण. त्रिकोणमितीय वृत्त

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चिह्न पूरी तरह से निर्देशांक चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें संख्यात्मक तर्क स्थित है। पिछली बार हमने तर्कों को रेडियन माप से डिग्री माप में बदलना सीखा था (पाठ "कोण का रेडियन और डिग्री माप देखें"), और फिर इसी समन्वय तिमाही का निर्धारण करना सीखा। आइए अब वास्तव में साइन, कोसाइन और टेंगेंट का चिह्न निर्धारित करें।

कोण α की ज्या एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु की कोटि (y निर्देशांक) है जो तब होती है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की कोज्या एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु का भुज (x निर्देशांक) है, जो तब होता है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है। या, जो एक ही बात है, y निर्देशांक का x निर्देशांक से अनुपात।

संकेतन: पाप α = y ; cos α = x ; टीजी α = y : x .

ये सभी परिभाषाएँ आपको हाई स्कूल बीजगणित से परिचित हैं। हालाँकि, हमें स्वयं परिभाषाओं में रुचि नहीं है, बल्कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर उत्पन्न होने वाले परिणामों में रुचि है। नज़र रखना:

नीला रंग ओए अक्ष (ऑर्डिनेट अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है, लाल रंग ओएक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है। इस "रडार" पर त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत स्पष्ट हो जाते हैं। विशेष रूप से:

1. पाप α > 0 यदि कोण α I या II निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, साइन एक कोटि (y निर्देशांक) है। और y निर्देशांक I और II समन्वय तिमाहियों में सटीक रूप से सकारात्मक होगा;
2. cos α > 0, यदि कोण α पहले या चौथे निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। क्योंकि केवल वहां x निर्देशांक (उर्फ एब्सिस्सा) शून्य से अधिक होगा;
3. tan α > 0 यदि कोण α I या III निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। यह परिभाषा से निम्नानुसार है: आखिरकार, tan α = y : x, इसलिए यह केवल वहीं सकारात्मक है जहां x और y के चिह्न मेल खाते हैं। यह पहली समन्वय तिमाही (यहां x > 0, y > 0) और तीसरी समन्वय तिमाही (x) में होता है< 0, y < 0).

स्पष्टता के लिए, आइए हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - के संकेतों को अलग-अलग "रडार" पर नोट करें। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

कृपया ध्यान दें: अपनी चर्चाओं में मैंने चौथे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - कोटैंजेंट के बारे में कभी बात नहीं की। तथ्य यह है कि कोटैंजेंट चिह्न स्पर्शरेखा चिह्नों से मेल खाते हैं - वहां कोई विशेष नियम नहीं हैं।

अब मैं गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के परीक्षण से समस्या बी11 के समान उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं, जो 27 सितंबर, 2011 को हुआ था। सबसे अच्छा तरीकासिद्धांत को समझना अभ्यास है। खूब अभ्यास करने की सलाह दी जाती है. बेशक, कार्यों की शर्तें थोड़ी बदल गईं।

काम। त्रिकोणमितीय कार्यों और अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें (फ़ंक्शन के मानों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है):

1. पाप(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. टीजी(5π/3);
4. पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6)।

कार्य योजना यह है: पहले हम सभी कोणों को रेडियन माप से डिग्री (π → 180°) में परिवर्तित करते हैं, और फिर देखते हैं कि परिणामी संख्या किस समन्वय तिमाही में निहित है। तिमाहियों को जानने के बाद, हम आसानी से संकेत पा सकते हैं - वर्णित नियमों के अनुसार। हमारे पास है:

1. पाप (3π/4) = पाप (3 · 180°/4) = पाप 135°. चूँकि 135° ∈, यह II निर्देशांक चतुर्थांश से एक कोण है। लेकिन दूसरी तिमाही में ज्या धनात्मक है, इसलिए पाप (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7·180°/6) = cos 210°. क्योंकि 210° ∈, यह तीसरे निर्देशांक चतुर्थांश से कोण है, जिसमें सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं। इसलिए cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ के बाद से, हम IV तिमाही में हैं, जहां स्पर्शरेखा नकारात्मक मान लेती है। इसलिए tan (5π/3)< 0;
4. पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6) = पाप (3 180°/4) क्योंकि (5 180°/6) = पाप 135° क्योंकि 150°। आइए साइन से निपटें: क्योंकि 135° ∈, यह दूसरी तिमाही है जिसमें ज्याएँ धनात्मक हैं, अर्थात्। पाप (3π/4) > 0. अब हम कोसाइन के साथ काम करते हैं: 150° ∈ - फिर से दूसरी तिमाही, वहां कोसाइन नकारात्मक हैं। इसलिए cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°। हम कोसाइन को देखते हैं: 120° ∈ II समन्वय तिमाही है, इसलिए कॉस (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. फिर हमें एक उत्पाद मिला जिसमें कारकों के अलग-अलग चिह्न हैं। चूँकि "माइनस बाय प्लस माइनस देता है", हमारे पास है: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) = पाप (5 180°/6) क्योंकि (7 180°/4) = पाप 150° क्योंकि 315°। हम साइन के साथ काम करते हैं: चूँकि 150° ∈ , हम बात कर रहे हैंद्वितीय समन्वय तिमाही के बारे में, जहाँ ज्याएँ धनात्मक हैं। इसलिए, पाप (5π/6) > 0. इसी तरह, 315° ∈ IV समन्वय तिमाही है, वहां कोसाइन सकारात्मक हैं। इसलिए cos (7π/4) > 0. हमने दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल प्राप्त किया है - ऐसा व्यंजक सदैव धनात्मक होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°। लेकिन कोण 135° ∈ दूसरी तिमाही है, यानी। टीजी(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. चूँकि "माइनस बाय प्लस एक माइनस साइन देता है," हमारे पास है: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6) = सीटीजी (4 180°/3) टीजी (180°/6) = सीटीजी 240° टीजी 30°। हम कोटैंजेंट तर्क को देखते हैं: 240° ∈ III समन्वय तिमाही है, इसलिए ctg (4π/3) > 0. इसी तरह, स्पर्शरेखा के लिए हमारे पास है: 30° ∈ I समन्वय तिमाही है, यानी। सबसे सरल कोण. इसलिए tan (π/6) > 0. फिर से हमारे पास दो सकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं - उनका उत्पाद भी सकारात्मक होगा। इसलिए cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

अंत में, आइए कुछ और जटिल समस्याओं पर नजर डालें। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न का पता लगाने के अलावा, आपको यहां थोड़ा गणित करना होगा - ठीक उसी तरह जैसे यह वास्तविक समस्याओं B11 में किया जाता है। सिद्धांत रूप में, ये लगभग वास्तविक समस्याएं हैं जो वास्तव में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में दिखाई देती हैं।

काम। यदि पाप 2 α = 0.64 और α ∈ [π/2; π].

चूँकि पाप 2 α = 0.64, हमारे पास है: पाप α = ±0.8। जो कुछ बचा है वह तय करना है: प्लस या माइनस? शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π/2; π] द्वितीय समन्वय तिमाही है, जहां सभी ज्याएँ धनात्मक हैं। इसलिए, पाप α = 0.8 - संकेतों के साथ अनिश्चितता समाप्त हो जाती है।

काम। यदि cos 2 α = 0.04 और α ∈ [π; 3π/2]।

हम समान रूप से कार्य करते हैं, अर्थात्। निकालना वर्गमूल: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2। शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π; 3π/2], अर्थात हम तीसरी समन्वित तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं। वहां सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं, इसलिए cos α = −0.2.

काम। यदि पाप 2 α = 0.25 और α ∈ है तो पाप α ज्ञात करें।

हमारे पास है: पाप 2 α = 0.25 ⇒ पाप α = ±0.5। हम कोण को फिर से देखते हैं: α ∈ IV समन्वय तिमाही है, जिसमें, जैसा कि हम जानते हैं, साइन नकारात्मक होगा। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप α = −0.5।

काम। tan α ज्ञात करें यदि tan 2 α = 9 और α ∈ है।

सब कुछ समान है, केवल स्पर्शरेखा के लिए। वर्गमूल निकालें: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3। लेकिन शर्त के अनुसार, कोण α ∈ I समन्वय तिमाही है। सभी त्रिकोणमितीय फलन, सहित। स्पर्शरेखा, धनात्मक हैं, इसलिए tan α = 3. बस!

आपको कई विशिष्ट परिणाम स्थापित करने की अनुमति देता है - साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुण. इस लेख में हम तीन मुख्य गुणों पर गौर करेंगे। उनमें से पहला कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को इंगित करता है, जो इस पर निर्भर करता है कि कोण का समन्वय तिमाही α है। आगे हम आवधिकता की संपत्ति पर विचार करेंगे, जो कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की अपरिवर्तनीयता स्थापित करता है जब यह कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है। तीसरा गुण विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

यदि आप फलन साइन, कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों में रुचि रखते हैं, तो आप लेख के संबंधित अनुभाग में उनका अध्ययन कर सकते हैं।

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चौथाई भाग द्वारा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चिह्न

इस पैराग्राफ में नीचे वाक्यांश "I, II, III और IV समन्वय तिमाही का कोण" दिखाई देगा। आइये बताते हैं क्या हैं ये कोण.

आइए एक इकाई वृत्त लें, उस पर प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) अंकित करें, और इसे बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घुमाएं, और हम मान लेंगे कि हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंच जाएंगे।

वे कहते हैं कि कोण α I, II, III, IV समन्वय चतुर्थांश का कोण है, यदि बिंदु A 1 क्रमशः I, II, III, IV तिमाहियों में स्थित है; यदि कोण α ऐसा है कि बिंदु A 1 किसी भी समन्वय रेखा Ox या Oy पर स्थित है, तो यह कोण चार तिमाहियों में से किसी से संबंधित नहीं है।

स्पष्टता के लिए, यहां एक ग्राफिक चित्रण है। नीचे दिए गए चित्र 30, -210, 585, और -45 डिग्री के घूर्णन कोण दिखाते हैं, जो क्रमशः I, II, III और IV समन्वय क्वार्टर के कोण हैं।

एंगल्स 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...डिग्रियाँ किसी भी समन्वित तिमाही से संबंधित नहीं हैं।

अब आइए जानें कि किन चिह्नों में घूर्णन कोण α की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट का मान होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा चतुर्भुज कोण α है।

साइन और कोसाइन के लिए यह करना आसान है।

परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि है। जाहिर है, I और II समन्वय तिमाहियों में यह सकारात्मक है, और III और IV तिमाहियों में यह नकारात्मक है। इस प्रकार, कोण α की ज्या में पहली और दूसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, और तीसरी और छठी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।

बदले में, कोण α की कोज्या बिंदु A 1 का भुज है। पहली और चौथी तिमाही में यह सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में यह नकारात्मक है। नतीजतन, I और IV तिमाहियों में कोण α की कोज्या का मान सकारात्मक है, और II और III तिमाहियों में वे नकारात्मक हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चतुर्थांशों के चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, आपको उनकी परिभाषाओं को याद रखने की आवश्यकता है: स्पर्शरेखा बिंदु A 1 की कोटि का भुज से अनुपात है, और कोटैंजेंट बिंदु A 1 के भुज और कोटि का अनुपात है। फिर से संख्याओं को विभाजित करने के नियमसमान और अलग-अलग चिह्नों के साथ यह इस प्रकार है कि जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न समान होते हैं तो स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में प्लस चिह्न होता है, और जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न भिन्न होते हैं तो ऋण चिह्न होता है। नतीजतन, कोण के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में I और III समन्वय तिमाहियों में + चिह्न होता है, और II और IV तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में बिंदु A 1 का भुज x और कोटि y दोनों सकारात्मक हैं, फिर भागफल x/y और भागफल y/x दोनों सकारात्मक हैं, इसलिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में + चिह्न होते हैं। और दूसरी तिमाही में, भुज x ऋणात्मक है, और कोटि y धनात्मक है, इसलिए x/y और y/x दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में ऋण चिह्न होता है।

आइए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अगली संपत्ति पर चलते हैं।

आवधिकता संपत्ति

अब हम किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की शायद सबसे स्पष्ट संपत्ति को देखेंगे। यह इस प्रकार है: जब कोण पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो इस कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान नहीं बदलते हैं।

यह समझ में आता है: जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो हम हमेशा यूनिट सर्कल पर प्रारंभिक बिंदु ए से बिंदु ए 1 तक पहुंचेंगे, इसलिए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं, चूँकि बिंदु A 1 के निर्देशांक अपरिवर्तित हैं।

सूत्रों का उपयोग करते हुए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की मानी गई संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: पाप (α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , जहां α रेडियन में घूर्णन का कोण है, z कोई है, निरपेक्ष मूल्यजो पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करता है जिसके द्वारा कोण α बदलता है, और संख्या z का चिह्न घूर्णन की दिशा को इंगित करता है।

यदि घूर्णन कोण α को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो संकेतित सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा पाप(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, , क्योंकि , ए . यहाँ एक और उदाहरण है: या.

यह गुण, कमी सूत्रों के साथ, "बड़े" कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की मानी जाने वाली संपत्ति को कभी-कभी आवधिकता की संपत्ति कहा जाता है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के गुण

मान लीजिए A 1 प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को बिंदु O के चारों ओर कोण α द्वारा घुमाने से प्राप्त बिंदु है, और बिंदु A 2 बिंदु A को कोण α के विपरीत कोण −α द्वारा घुमाने का परिणाम है।

विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति काफी स्पष्ट तथ्य पर आधारित है: ऊपर उल्लिखित बिंदु ए 1 और ए 2 या तो मेल खाते हैं (पर) या ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हैं। अर्थात्, यदि बिंदु A 1 के निर्देशांक (x, y) हैं, तो बिंदु A 2 के निर्देशांक (x, −y) होंगे। यहां से, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का उपयोग करके, हम समानताएं लिखते हैं और।
उनकी तुलना करने पर, हम फॉर्म के विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंधों पर आते हैं।
यह सूत्रों के रूप में विचाराधीन संपत्ति है।

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, समानताएं और .

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि पिछली संपत्ति की तरह, विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति का उपयोग अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय किया जाता है, और आपको नकारात्मक से पूरी तरह से बचने की अनुमति मिलती है। कोण.

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विविध। उनमें से कुछ इस बारे में हैं कि किन तिमाहियों में कोज्या धनात्मक और ऋणात्मक है, किन तिमाहियों में ज्या धनात्मक और ऋणात्मक है। यदि आप विभिन्न कोणों में इन फ़ंक्शनों के मान की गणना करना जानते हैं और ग्राफ़ पर फ़ंक्शंस को प्लॉट करने के सिद्धांत से परिचित हैं, तो सब कुछ सरल हो जाता है।

कोसाइन मान क्या हैं?

यदि हम इस पर विचार करें, तो हमारे पास निम्नलिखित पक्षानुपात है, जो इसे निर्धारित करता है: कोण की कोज्या एआसन्न पैर BC का कर्ण AB से अनुपात है (चित्र 1): cos ए= बीसी/एबी.

उसी त्रिभुज का उपयोग करके आप किसी कोण की ज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ज्ञात कर सकते हैं। ज्या कोण AC की विपरीत भुजा और कर्ण AB का अनुपात होगा। किसी कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात की जाती है यदि वांछित कोण की ज्या को उसी कोण की कोज्या से विभाजित किया जाता है; साइन और कोसाइन खोजने के लिए संबंधित सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह tg मिलता है ए= एसी/बीसी. कोटैंजेंट, स्पर्शरेखा के व्युत्क्रम फलन के रूप में, इस प्रकार पाया जाएगा: ctg ए= बीसी/एसी.

अर्थात्, समान कोण मानों के साथ, यह पता चला कि एक समकोण त्रिभुज में पहलू अनुपात हमेशा समान होता है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह स्पष्ट हो गया है कि ये मान कहाँ से आते हैं, लेकिन हमें ऋणात्मक संख्याएँ क्यों मिलती हैं?

ऐसा करने के लिए, आपको कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में त्रिभुज पर विचार करने की आवश्यकता है, जहां सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हैं।

क्वार्टर के बारे में स्पष्ट रूप से, कौन सा कहाँ है

कार्तीय निर्देशांक क्या हैं? यदि हम द्वि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात करते हैं, तो हमारे पास दो निर्देशित रेखाएं हैं जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं - ये भुज अक्ष (Ox) और कोटि अक्ष (Oy) हैं। बिंदु O से सीधी रेखा की दिशा में धनात्मक संख्याएँ हैं, और अंदर विपरीत पक्ष- नकारात्मक। अंततः, यह सीधे तौर पर निर्धारित करता है कि किस तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है और किसमें, तदनुसार, नकारात्मक है।

पहली तिमाही

यदि आप पहली तिमाही (0 o से 90 o तक) में एक समकोण त्रिभुज रखते हैं, जहां x और y अक्षों के सकारात्मक मान हैं (खंड AO और BO उन अक्षों पर स्थित हैं जहां मानों का "+" है) चिह्न), तो साइन और कोसाइन दोनों में सकारात्मक मान होंगे और प्लस चिह्न के साथ एक मान निर्दिष्ट किया जाएगा। लेकिन यदि आप त्रिभुज को दूसरी तिमाही (90 o से 180 o तक) में ले जाएँ तो क्या होगा?

दूसरी छमाही

हम देखते हैं कि y-अक्ष के अनुदिश AO के पैर प्राप्त हुए नकारात्मक अर्थ. कोण की कोज्या एअब यह पक्ष ऋण के संबंध में है, और इसलिए इसका अंतिम मान ऋणात्मक हो जाता है। इससे पता चलता है कि किस तिमाही में कोज्या धनात्मक है, यह कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के स्थान पर निर्भर करता है। और इस स्थिति में, कोण की कोज्या एक ऋणात्मक मान प्राप्त करती है। लेकिन साइन के लिए कुछ भी नहीं बदला है, क्योंकि इसके चिह्न को निर्धारित करने के लिए आपको ओबी पक्ष की आवश्यकता होती है, जो इस मामले में धन चिह्न के साथ बना हुआ है। आइए पहली दो तिमाहियों का सारांश प्रस्तुत करें।

यह पता लगाने के लिए कि किस तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है और किसमें नकारात्मक है (साथ ही साइन और अन्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन), आपको यह देखने की ज़रूरत है कि किस पक्ष को कौन सा चिह्न सौंपा गया है। कोण की कोज्या के लिए एसाइड AO महत्वपूर्ण है, साइन के लिए - OB।

पहली तिमाही अब तक एकमात्र ऐसी तिमाही बन गई है जो इस प्रश्न का उत्तर देती है: "किस तिमाही में एक ही समय में साइन और कोसाइन सकारात्मक होते हैं?" आगे देखते हैं कि क्या इन दोनों कार्यों की राशियों में आगे भी संयोग बनेगा।

दूसरी तिमाही में, पक्ष AO का मान ऋणात्मक होने लगा, जिसका अर्थ है कि कोसाइन भी ऋणात्मक हो गया। साइन को धनात्मक रखा जाता है.

तीसरी तिमाही

अब दोनों पक्ष AO और OB ऋणात्मक हो गए हैं। आइए हम कोज्या और ज्या के संबंधों को याद करें:

क्योंकि ए = एओ/एबी;

पाप ए = वीओ/एवी।

किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में एबी का हमेशा एक सकारात्मक चिह्न होता है, क्योंकि यह अक्षों द्वारा परिभाषित दो दिशाओं में से किसी में भी निर्देशित नहीं होता है। लेकिन पाद नकारात्मक हो गए हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों कार्यों का परिणाम भी नकारात्मक है, क्योंकि यदि आप संख्याओं के साथ गुणा या भाग संक्रिया करते हैं, जिनमें से केवल और केवल एक में ऋण चिह्न है, तो परिणाम भी इस चिह्न के साथ होगा।

इस स्तर पर परिणाम:

1) किस तिमाही में कोज्या धनात्मक है? तीन में से पहले में.

2) किस तिमाही में साइन पॉजिटिव है? तीन में से पहले और दूसरे में.

चौथी तिमाही (270 बजे से 360 बजे तक)

यहां भुजा AO फिर से धन चिह्न प्राप्त कर लेती है, और इसलिए कोज्या भी।

साइन के लिए, चीजें अभी भी "नकारात्मक" हैं, क्योंकि पैर ओबी प्रारंभिक बिंदु ओ से नीचे रहता है।

निष्कर्ष

यह समझने के लिए कि किन तिमाहियों में कोसाइन सकारात्मक, नकारात्मक आदि है, आपको कोसाइन की गणना के लिए संबंध को याद रखने की आवश्यकता है: कर्ण द्वारा विभाजित कोण से सटे पैर। कुछ शिक्षक इसे याद रखने का सुझाव देते हैं: k(ओसाइन) = (k) कोण। यदि आपको यह "धोखा" याद है, तो आप स्वचालित रूप से समझ जाते हैं कि साइन कोण के विपरीत पैर और कर्ण का अनुपात है।

यह याद रखना काफी कठिन है कि किस तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है और किसमें नकारात्मक है। कई त्रिकोणमितीय फलन हैं, और उन सभी के अपने-अपने अर्थ हैं। लेकिन फिर भी, परिणामस्वरूप: साइन के लिए सकारात्मक मान 1.2 क्वार्टर (0 o से 180 o तक) हैं; कोसाइन 1.4 क्वार्टर के लिए (0 o से 90 o तक और 270 o से 360 o तक)। शेष तिमाहियों में फ़ंक्शन का मान ऋणात्मक है।

शायद फ़ंक्शन का चित्रण करके किसी के लिए यह याद रखना आसान हो जाएगा कि कौन सा चिन्ह कौन सा है।

साइन के लिए यह स्पष्ट है कि शून्य से 180 डिग्री तक रिज पाप (x) मान की रेखा से ऊपर है, जिसका अर्थ है कि यहां फ़ंक्शन सकारात्मक है। कोसाइन के लिए यह समान है: किस तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है (फोटो 7), और जिसमें यह नकारात्मक है, आप कॉस (x) अक्ष के ऊपर और नीचे रेखा को घुमाकर देख सकते हैं। परिणामस्वरूप, हम साइन और कोसाइन फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करने के दो तरीके याद रख सकते हैं:

1. एक के बराबर त्रिज्या वाले एक काल्पनिक वृत्त पर आधारित (हालाँकि, वास्तव में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वृत्त की त्रिज्या क्या है, पाठ्यपुस्तकों में अक्सर यही उदाहरण दिया जाता है; इससे इसे समझना आसान हो जाता है, लेकिन उसी समय, जब तक यह निर्धारित न हो कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, बच्चे भ्रमित हो सकते हैं)।

2. अंतिम आंकड़े की तरह, तर्क x पर (x) के साथ फ़ंक्शन की निर्भरता को चित्रित करके।

पहली विधि का उपयोग करके, आप समझ सकते हैं कि चिन्ह वास्तव में किस पर निर्भर करता है, और हमने इसे ऊपर विस्तार से बताया है। इन आंकड़ों से निर्मित चित्र 7, परिणामी फ़ंक्शन और उसके चिह्न को सर्वोत्तम संभव तरीके से दर्शाता है।