असंभव त्रिभुज अद्भुत गणितीय विरोधाभासों में से एक है। जब आप पहली बार इसे देखते हैं, तो आप एक पल के लिए भी इसके वास्तविक अस्तित्व पर संदेह नहीं कर सकते। हालाँकि, यह केवल एक भ्रम है, एक धोखा है। और ऐसे भ्रम की संभावना हमें गणित द्वारा समझाई जाएगी!
पेनरोज़ का खुलना
1958 में, ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी ने एल. पेनरोज़ और आर. पेनरोज़ का एक लेख प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने परिचय दिया नया प्रकारएक ऑप्टिकल भ्रम जिसे उन्होंने "असंभव त्रिकोण" कहा।
एक दृष्टि से असंभव त्रिभुज को एक संरचना के रूप में माना जाता है जो वास्तव में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद है, जो आयताकार सलाखों से बना है। लेकिन यह सिर्फ एक दृष्टि भ्रम है. एक असंभव त्रिभुज का वास्तविक मॉडल बनाना असंभव है।
पेनरोज़ के लेख में एक असंभव त्रिभुज को चित्रित करने के लिए कई विकल्प शामिल थे। - उनकी "क्लासिक" प्रस्तुति।
एक असंभव त्रिभुज बनाने के लिए किन तत्वों का उपयोग किया जाता है?
अधिक सटीक रूप से, यह हमें किन तत्वों से निर्मित प्रतीत होता है? डिज़ाइन एक आयताकार कोने पर आधारित है, जो दो समान आयताकार पट्टियों को समकोण पर जोड़कर प्राप्त किया जाता है। ऐसे तीन कोनों की आवश्यकता होती है, और इसलिए सलाखों के छह टुकड़े। इन कोनों को एक निश्चित तरीके से एक दूसरे से "जुड़ा" होना चाहिए ताकि वे एक बंद श्रृंखला बना सकें। जो होता है वह एक असंभव त्रिकोण है।
पहले कोने को क्षैतिज तल में रखें। हम इसके एक किनारे को ऊपर की ओर निर्देशित करते हुए, इसमें एक दूसरा कोना जोड़ देंगे। अंत में, हम इस दूसरे कोने में एक तीसरा कोना जोड़ते हैं ताकि इसका किनारा मूल क्षैतिज तल के समानांतर हो। इस मामले में, पहले और तीसरे कोने के दो किनारे समानांतर होंगे और अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होंगे।
यदि हम एक बार को इकाई लंबाई का एक खंड मानते हैं, तो पहले कोने की सलाखों के सिरों में निर्देशांक होते हैं, और, दूसरे कोने में - और, तीसरे कोने में - और। हमें एक "मुड़ी हुई" संरचना मिली जो वास्तव में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद है।
आइए अब इसे अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से मानसिक रूप से देखने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि यह एक बिंदु से, दूसरे से, तीसरे से कैसा दिखता है। जैसे-जैसे देखने का बिंदु बदलता है, हमारे कोनों के दो "अंत" किनारे एक-दूसरे के सापेक्ष घूमते दिखाई देंगे। ऐसी स्थिति ढूंढना मुश्किल नहीं है जिसमें वे जुड़ेंगे।
लेकिन अगर पसलियों के बीच की दूरी कोनों से उस बिंदु तक की दूरी से बहुत कम है जहां से हम अपनी संरचना को देखते हैं, तो दोनों पसलियों की मोटाई हमारे लिए समान होगी, और यह विचार आएगा कि ये दोनों पसलियां वास्तव में एक निरंतरता हैं एक दूसरे का. इस स्थिति को दर्शाया गया है 4.
वैसे, यदि हम एक साथ दर्पण में संरचना के प्रतिबिंब को देखें, तो हमें वहां कोई बंद सर्किट नहीं दिखाई देगा।
और चुने हुए अवलोकन बिंदु से हम अपनी आँखों से वह चमत्कार देखते हैं जो घटित हुआ है: तीन कोनों की एक बंद श्रृंखला है। बस अपना अवलोकन बिंदु न बदलें ताकि यह भ्रम न टूटे। अब आप एक ऐसी वस्तु बना सकते हैं जिसे आप देख सकते हैं या पाए गए बिंदु पर एक कैमरा लेंस रख सकते हैं और एक असंभव वस्तु की तस्वीर ले सकते हैं।
पेनरोज़ इस घटना में रुचि लेने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने त्रि-आयामी अंतरिक्ष और त्रि-आयामी वस्तुओं को दो-आयामी विमान पर मैप करते समय उत्पन्न होने वाली संभावनाओं का लाभ उठाया और कुछ डिज़ाइन अनिश्चितताओं पर ध्यान आकर्षित किया - तीन कोनों की एक खुली संरचना को एक बंद सर्किट के रूप में माना जा सकता है।
पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण
एक समतल पर त्रि-आयामी वस्तुओं की द्वि-आयामी छवि की विशेषताओं का विश्लेषण करके, हमने समझा कि कैसे इस प्रदर्शन की विशेषताएं एक असंभव त्रिकोण की ओर ले जाती हैं। शायद किसी को विशुद्ध गणितीय प्रमाण में रुचि होगी।
यह साबित करना बेहद आसान है कि एक असंभव त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है, क्योंकि इसका प्रत्येक कोण समकोण है, और उनका योग "स्थिति" 180 डिग्री के बजाय 270 डिग्री है।
इसके अलावा, भले ही हम 90 डिग्री से कम कोणों से एक साथ चिपके हुए एक असंभव त्रिभुज पर विचार करें, तो इस मामले में हम यह साबित कर सकते हैं कि एक असंभव त्रिभुज मौजूद नहीं है।
हमें तीन सपाट किनारे दिखाई देते हैं। वे सीधी रेखाओं में जोड़े में प्रतिच्छेद करते हैं। इन चेहरों वाले तल जोड़े में ऑर्थोगोनल हैं, इसलिए वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसके अलावा, विमानों के पारस्परिक प्रतिच्छेदन की रेखाएं इस बिंदु से होकर गुजरनी चाहिए। इसलिए, सीधी रेखाएं 1, 2, 3 एक बिंदु पर अवश्य प्रतिच्छेद करती हैं।
लेकिन यह सच नहीं है. अत: प्रस्तुत डिज़ाइन असंभव है।
"असंभव" कला
इस या उस विचार का भाग्य - वैज्ञानिक, तकनीकी, राजनीतिक - कई परिस्थितियों पर निर्भर करता है। और बिल्कुल नहीं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इस विचार को किस सटीक रूप में प्रस्तुत किया जाएगा, यह आम जनता के सामने किस रूप में आएगा। क्या अवतार शुष्क और समझने में कठिन होगा, या, इसके विपरीत, विचार की अभिव्यक्ति उज्ज्वल होगी, जो हमारी इच्छा के विरुद्ध भी हमारा ध्यान आकर्षित करेगी।
असंभव त्रिभुज का भाग्य सुखद होता है। 1961 में, डच कलाकार मोरिट्ज़ एस्चर ने एक लिथोग्राफ पूरा किया जिसे उन्होंने वॉटरफॉल कहा। कलाकार ने एक असंभव त्रिभुज के विचार से लेकर इसके आश्चर्यजनक कलात्मक अवतार तक एक लंबा लेकिन तेज़ सफर तय किया है। आइए याद रखें कि पेनरोज़ का लेख 1958 में प्रकाशित हुआ था।
"झरना" दिखाए गए दो असंभव त्रिकोणों पर आधारित है। एक त्रिभुज बड़ा है, दूसरा त्रिभुज उसके अंदर स्थित है। ऐसा लग सकता है कि तीन समान असंभव त्रिभुज दर्शाए गए हैं। लेकिन बात यह नहीं है, प्रस्तुत डिज़ाइन काफी जटिल है।
एक त्वरित नज़र में, इसकी बेतुकीता तुरंत सभी को दिखाई नहीं देगी, क्योंकि प्रस्तुत प्रत्येक कनेक्शन संभव है। जैसा कि वे कहते हैं, स्थानीय स्तर पर, यानी ड्राइंग के एक छोटे से क्षेत्र में, ऐसा डिज़ाइन संभव है... लेकिन सामान्य तौर पर यह असंभव है! इसके अलग-अलग टुकड़े एक साथ फिट नहीं होते, एक-दूसरे से सहमत नहीं होते।
और इसे समझने के लिए हमें कुछ बौद्धिक और दृश्य प्रयास करने होंगे।
आइए संरचना के पहलुओं के माध्यम से एक यात्रा करें। यह पथ इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसके साथ, जैसा कि हमें लगता है, क्षैतिज तल के सापेक्ष स्तर अपरिवर्तित रहता है। इस पथ पर चलते हुए हम न तो ऊपर जाते हैं और न ही नीचे।
और सब कुछ ठीक, परिचित होगा, यदि पथ के अंत में - अर्थात् बिंदु पर - हमें पता नहीं चलेगा कि, प्रारंभिक, प्रारंभिक बिंदु के सापेक्ष, हम किसी रहस्यमय, अकल्पनीय तरीके से किसी तरह लंबवत ऊपर उठ गए थे!
इस विरोधाभासी परिणाम पर पहुंचने के लिए, हमें बिल्कुल यही रास्ता चुनना होगा, और क्षैतिज तल के सापेक्ष स्तर की निगरानी भी करनी होगी... कोई आसान काम नहीं है। अपने निर्णय में, एस्चर पानी की सहायता के लिए आई। आइए हम फ्रांज शुबर्ट के अद्भुत गायन चक्र "द ब्यूटीफुल मिलर्स वाइफ" के आंदोलन के बारे में गीत को याद करें:
और पहले कल्पना में, और फिर एक अद्भुत गुरु के हाथ के नीचे, नंगी और सूखी संरचनाएँ जलसेतुओं में बदल जाती हैं जिनके माध्यम से पानी की स्वच्छ और तेज़ धाराएँ बहती हैं। उनकी गति हमारी दृष्टि को पकड़ लेती है, और अब, अपनी इच्छा के विरुद्ध, हम रास्ते के सभी मोड़ों और मोड़ों का अनुसरण करते हुए नीचे की ओर भागते हैं, प्रवाह के साथ नीचे गिरते हैं, पानी की चक्की के ब्लेड पर गिरते हैं, और फिर से नीचे की ओर भागते हैं...
हम इस रास्ते पर एक, दो, तीन बार घूमते हैं... और तभी हमें एहसास होता है: नीचे की ओर बढ़ते हुए, हम किसी तरह हैं शानदार तरीके सेआइए शीर्ष पर पहुंचें! प्रारंभिक आश्चर्य एक प्रकार की बौद्धिक परेशानी में बदल जाता है। ऐसा लगता है कि हम किसी तरह के व्यावहारिक मज़ाक का शिकार हो गए हैं, किसी मज़ाक का विषय जिसे हम अभी तक समझ नहीं पाए हैं।
और फिर से हम इस पथ को एक अजीब नाली के साथ दोहराते हैं, अब धीरे-धीरे, सावधानी के साथ, जैसे कि विरोधाभासी तस्वीर से एक चाल से डर रहे हों, इस रहस्यमय पथ पर होने वाली हर चीज को गंभीर रूप से समझ रहे हों।
हम उस रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं जिसने हमें आश्चर्यचकित कर दिया है, और हम इसकी कैद से तब तक नहीं बच सकते जब तक हम उस छिपे हुए झरने को नहीं खोज लेते जो इसके आधार पर स्थित है और अकल्पनीय बवंडर को बिना रुके गति में लाता है।
कलाकार विशेष रूप से वास्तविक त्रि-आयामी वस्तुओं की छवि के रूप में अपनी पेंटिंग की धारणा पर जोर देता है और हम पर थोपता है। टावरों पर बहुत वास्तविक पॉलीहेड्रॉन की छवि, एक्वाडक्ट की दीवारों में प्रत्येक ईंट के सबसे सटीक प्रतिनिधित्व के साथ ईंटवर्क और पृष्ठभूमि में बगीचों के साथ बढ़ती छतों द्वारा वॉल्यूमेट्रिकिटी पर जोर दिया जाता है। सब कुछ दर्शकों को जो हो रहा है उसकी वास्तविकता को समझाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। और कला और उत्कृष्ट तकनीक की बदौलत यह लक्ष्य हासिल किया गया है।
जब हम उस कैद से बाहर निकलते हैं जिसमें हमारी चेतना गिरती है, तो हम तुलना, विरोधाभास, विश्लेषण करना शुरू करते हैं, हम पाते हैं कि इस तस्वीर का आधार, स्रोत डिजाइन सुविधाओं में छिपा हुआ है।
और हमें एक और प्राप्त हुआ - "असंभव त्रिकोण" की असंभवता का "भौतिक" प्रमाण: यदि ऐसा त्रिकोण मौजूद होता, तो एस्चर का "झरना", जो अनिवार्य रूप से एक सतत गति मशीन है, भी मौजूद होता। लेकिन एक सतत गति मशीन असंभव है, इसलिए, "असंभव त्रिकोण" भी असंभव है। और शायद यह "सबूत" सबसे अधिक विश्वसनीय है।
किस चीज़ ने मोरित्ज़ एस्चर को एक ऐसी घटना बना दिया, एक अनोखी घटना जिसका कला में कोई स्पष्ट पूर्ववर्ती नहीं था और जिसकी नकल नहीं की जा सकती? यह विमानों और आयतनों का एक संयोजन है, जो सूक्ष्म जगत के विचित्र रूपों - सजीव और निर्जीव, सामान्य चीज़ों पर असामान्य दृष्टिकोण पर बारीकी से ध्यान देता है। उनकी रचनाओं का मुख्य प्रभाव परिचित वस्तुओं के बीच असंभव संबंधों के प्रकट होने का प्रभाव है। पहली नज़र में, ये स्थितियाँ आपको डरा भी सकती हैं और मुस्कुरा भी सकती हैं। आप कलाकार द्वारा प्रस्तुत मनोरंजन को आनंदपूर्वक देख सकते हैं, या आप गंभीरता से द्वंद्वात्मकता की गहराई में उतर सकते हैं।
मोरिट्ज़ एस्चर ने दिखाया कि दुनिया हम जिस तरह से इसे देखते हैं और इसे समझने के आदी हैं, उससे पूरी तरह से अलग हो सकती है - हमें बस इसे एक अलग, नए कोण से देखने की ज़रूरत है!
मोरित्ज़ एस्चर
मोरित्ज़ एस्चर एक कलाकार की तुलना में एक वैज्ञानिक के रूप में अधिक भाग्यशाली थे। उनकी नक्काशी और लिथोग्राफ को प्रमेयों या मूल प्रति-उदाहरणों के प्रमाण की कुंजी के रूप में देखा जाता था जो सामान्य ज्ञान को चुनौती देते थे। सबसे खराब स्थिति में, उन्हें क्रिस्टलोग्राफी, समूह सिद्धांत, संज्ञानात्मक मनोविज्ञान या कंप्यूटर ग्राफिक्स पर वैज्ञानिक ग्रंथों के लिए उत्कृष्ट चित्रण के रूप में माना जाता था। मोरित्ज़ एस्चर ने बुनियादी मोज़ेक पैटर्न का उपयोग करके और उनमें परिवर्तन लागू करके अंतरिक्ष, समय और उनकी पहचान के बीच संबंधों के क्षेत्र में काम किया। यह महागुरुदृष्टिभ्रम। एस्चर की नक्काशी सूत्रों की दुनिया को नहीं, बल्कि दुनिया की सुंदरता को दर्शाती है। उनकी बौद्धिक संरचना अतियथार्थवादियों की अतार्किक रचनाओं के बिल्कुल विपरीत है।
डच कलाकार मोरित्ज़ कॉर्नेलियस एस्चर का जन्म 17 जून, 1898 को हॉलैंड प्रांत में हुआ था। जिस घर में एस्चर का जन्म हुआ वह अब एक संग्रहालय है।
1907 से, मोरित्ज़ बढ़ईगीरी का अध्ययन कर रहे हैं और पियानो बजा रहे हैं, अध्ययन कर रहे हैं हाई स्कूल. ड्राइंग को छोड़कर, सभी विषयों में मोरिट्ज़ के ग्रेड खराब थे। कला शिक्षक ने लड़के की प्रतिभा को देखा और उसे लकड़ी पर नक्काशी करना सिखाया।
1916 में, एस्चर ने अपना पहला प्रदर्शन किया ग्राफिक कार्य, बैंगनी लिनोलियम पर एक उत्कीर्णन - उनके पिता जी ए एस्चर का एक चित्र। वह कलाकार गर्ट स्टिगमैन के स्टूडियो में जाता है, जिसके पास एक प्रिंटिंग प्रेस थी। एस्चर की पहली नक्काशी इसी प्रेस पर छपी थी।
1918-1919 में, एस्चर ने डच शहर डेल्फ़्ट में टेक्निकल कॉलेज में दाखिला लिया। अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए उन्हें सैन्य सेवा से मोहलत मिलती है, लेकिन खराब स्वास्थ्य के कारण मोरित्ज़ अपनी पढ़ाई पूरी करने में असमर्थ रहे। पाठ्यक्रम, और निष्कासित कर दिया गया। परिणामस्वरूप, उसे कभी प्राप्त नहीं हुआ उच्च शिक्षा. वह हार्लेम शहर में स्कूल ऑफ आर्किटेक्चर एंड ऑर्नामेंट में पढ़ता है, वहां वह सैमुअल गेसेरिन डी मेस्काइट से ड्राइंग सबक लेता है, जिसका एस्चर के जीवन और काम पर प्रारंभिक प्रभाव था।
1921 में, एस्चर परिवार ने रिवेरा और इटली का दौरा किया। भूमध्यसागरीय जलवायु की वनस्पति और फूलों से मोहित होकर मोरित्ज़ ने कैक्टि और जैतून के पेड़ों के विस्तृत चित्र बनाए। उन्होंने कई रेखाचित्र बनाये पहाड़ी परिदृश्य, जो बाद में उनके काम का आधार बना। बाद में वे लगातार इटली लौटते रहे, जो उनके लिए प्रेरणा स्रोत का काम करेगा।
एस्चर अपने लिए एक नई दिशा में प्रयोग करना शुरू करता है, फिर भी उसके कार्यों में दर्पण छवियाँ, क्रिस्टलीय आकृतियाँ और गोले पाए जाते हैं।
बीस के दशक का अंत मोरित्ज़ के लिए बहुत ही फलदायी अवधि साबित हुआ। उनका काम हॉलैंड में कई प्रदर्शनियों में दिखाया गया और 1929 तक उनकी लोकप्रियता इस स्तर तक पहुंच गई कि एक वर्ष में हॉलैंड और स्विट्जरलैंड में पांच एकल प्रदर्शनियां आयोजित की गईं। इसी अवधि के दौरान एस्चर की पेंटिंग्स को पहली बार यांत्रिक और "तार्किक" कहा गया था।
आशेर बहुत यात्रा करता है। इटली और स्विट्जरलैंड, बेल्जियम में रहता है। वह मूरिश मोज़ाइक का अध्ययन करता है, लिथोग्राफ और उत्कीर्णन बनाता है। यात्रा रेखाचित्रों के आधार पर, वह असंभव वास्तविकता की अपनी पहली तस्वीर, स्टिल लाइफ विद स्ट्रीट बनाता है।
तीस के दशक के अंत में, एस्चर ने मोज़ाइक और परिवर्तनों के साथ प्रयोग जारी रखा। वह एक दूसरे की ओर उड़ते हुए दो पक्षियों के रूप में एक मोज़ेक बनाता है, जिसने पेंटिंग "दिन और रात" का आधार बनाया।
मई 1940 में, नाजियों ने हॉलैंड और बेल्जियम पर कब्जा कर लिया और 17 मई को ब्रुसेल्स कब्जे वाले क्षेत्र में प्रवेश कर गया, जहां उस समय एस्चर और उनका परिवार रहता था। वे वर्ना में एक घर ढूंढते हैं और फरवरी 1941 में वहां चले जाते हैं। आशेर अपने जीवन के अंत तक इसी नगर में रहेगा।
1946 में, एस्चर को इंटैग्लियो प्रिंटिंग तकनीक में दिलचस्पी होने लगी। और यद्यपि यह तकनीक एस्चर द्वारा पहले उपयोग की गई तकनीक से कहीं अधिक जटिल थी और चित्र बनाने के लिए अधिक समय की आवश्यकता थी, परिणाम प्रभावशाली थे - बारीक रेखाएँ और छाया का सटीक प्रतिपादन। इंटैग्लियो प्रिंटिंग तकनीक में सबसे प्रसिद्ध कार्यों में से एक, "ड्यू ड्रॉप" 1948 में पूरा हुआ था।
1950 में, मोरित्ज़ एस्चर ने एक व्याख्याता के रूप में लोकप्रियता हासिल की। फिर, 1950 में, उनकी पहली व्यक्तिगत प्रदर्शनी संयुक्त राज्य अमेरिका में हुई और उनकी कृतियों को खरीदा जाने लगा। 27 अप्रैल, 1955 को, मोरिट्ज़ एस्चर को नाइट की उपाधि दी गई और वह एक रईस बन गए।
50 के दशक के मध्य में, एस्चर ने मोज़ाइक को अनंत तक फैली आकृतियों के साथ जोड़ा।
60 के दशक की शुरुआत में, एस्चर की कृतियों वाली पहली पुस्तक, ग्राफिएक एन टेकेनिंगन, प्रकाशित हुई थी, जिसमें 76 कृतियों पर लेखक ने स्वयं टिप्पणी की थी। इस पुस्तक ने रूस और कनाडा सहित गणितज्ञों और क्रिस्टलोग्राफरों के बीच समझ हासिल करने में मदद की।
अगस्त 1960 में एस्चर ने कैंब्रिज में क्रिस्टलोग्राफी पर एक व्याख्यान दिया। एस्चर के काम के गणितीय और क्रिस्टलोग्राफिक पहलू बहुत लोकप्रिय हो रहे हैं।
उसके बाद 1970 में नई शृंखलाएस्चर का संचालन आगे बढ़ा नया घरलारेन में, जहां एक स्टूडियो था, लेकिन खराब स्वास्थ्य के कारण ज्यादा काम करना असंभव हो गया।
1971 में, मोरित्ज़ एस्चर का 73 वर्ष की आयु में निधन हो गया। द वर्ल्ड ऑफ एम. सी. एस्चर का अनुवाद देखने के लिए एस्चर काफी समय तक जीवित रहे अंग्रेजी भाषाऔर इससे बहुत प्रसन्न हुआ।
गणितज्ञों और प्रोग्रामरों की वेबसाइटों पर विभिन्न असंभव चित्र पाए जा सकते हैं। अधिकांश पूर्ण संस्करणजिन्हें हमने देखा, हमारी राय में, वह व्लाद अलेक्सेव की साइट है
यह साइट न केवल विस्तृत श्रृंखला प्रस्तुत करती है प्रसिद्ध चित्र, जिसमें एम. एस्चर भी शामिल हैं, बल्कि एनिमेटेड छवियां, असंभव जानवरों के मज़ेदार चित्र, सिक्के, टिकटें आदि भी शामिल हैं। यह साइट जीवंत है, इसे समय-समय पर अद्यतन किया जाता है और अद्भुत चित्रों से भर दिया जाता है।
कई असंभव आकृतियों का आविष्कार किया गया है - एक सीढ़ी, एक त्रिकोण और एक एक्स-प्रोंग। त्रि-आयामी छवि में ये आंकड़े वास्तव में काफी वास्तविक हैं। लेकिन जब कोई कलाकार मात्रा को कागज पर उतारता है, तो वस्तुएं असंभव लगती हैं। त्रिभुज, जिसे "ट्राइबार" भी कहा जाता है, इस बात का एक अद्भुत उदाहरण बन गया है कि जब आप प्रयास करते हैं तो असंभव कैसे संभव हो जाता है।
ये सभी आकृतियाँ सुंदर भ्रम हैं। मानव प्रतिभा की उपलब्धियों का उपयोग उन कलाकारों द्वारा किया जाता है जो कला शैली में पेंटिंग करते हैं।
कुछ भी असंभव नहीं है। पेनरोज़ त्रिकोण के बारे में यह कहा जा सकता है। यह ज्यामितीय रूप से असंभव आकृति है, जिसके तत्वों को जोड़ा नहीं जा सकता। आख़िरकार असंभव त्रिकोण संभव हो गया। स्वीडिश चित्रकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड ने 1934 में दुनिया को घनों से बने असंभव त्रिभुज से परिचित कराया। ओ रॉयटर्सवार्ड को इस दृश्य भ्रम का खोजकर्ता माना जाता है। इस घटना के सम्मान में, इस चित्र को बाद में स्वीडिश डाक टिकट पर मुद्रित किया गया।
और 1958 में, गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ ने असंभव आंकड़ों के बारे में एक अंग्रेजी पत्रिका में एक प्रकाशन प्रकाशित किया। उन्होंने ही भ्रम का वैज्ञानिक मॉडल बनाया। रोजर पेनरोज़ एक अविश्वसनीय वैज्ञानिक थे। उन्होंने सापेक्षता के क्षेत्र के साथ-साथ आकर्षक क्वांटम सिद्धांत पर भी शोध किया। उन्हें एस. हॉकिंग के साथ वुल्फ पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।
यह ज्ञात है कि कलाकार मौरिट्स एस्चर ने, इस लेख से प्रभावित होकर, अपने अद्भुत काम - लिथोग्राफ "वॉटरफॉल" को चित्रित किया। लेकिन क्या पेनरोज़ त्रिकोण बनाना संभव है? यदि संभव हो तो यह कैसे करें?
जनजाति और वास्तविकता
हालाँकि यह आंकड़ा असंभव माना जाता है, अपने हाथों से पेनरोज़ त्रिकोण बनाना नाशपाती के गोले जितना आसान है। इसे कागज से बनाया जा सकता है. ओरिगेमी प्रेमी इस जनजाति को नज़रअंदाज नहीं कर सके और फिर भी उन्होंने एक ऐसी चीज़ बनाने और अपने हाथों में पकड़ने का एक तरीका ढूंढ लिया जो पहले एक वैज्ञानिक की कल्पना से परे लगती थी।
हालाँकि, जब हम तीन लंबवत रेखाओं से त्रि-आयामी वस्तु के प्रक्षेपण को देखते हैं तो हम अपनी आँखों से धोखा खा जाते हैं। प्रेक्षक सोचता है कि उसे एक त्रिभुज दिखाई देता है, हालाँकि वास्तव में उसे ऐसा नहीं दिखता।
ज्यामिति शिल्प
जैसा कि कहा गया है, जनजातीय त्रिभुज वास्तव में एक त्रिभुज नहीं है। पेनरोज़ त्रिकोण एक भ्रम है। केवल एक निश्चित कोण पर ही कोई वस्तु समबाहु त्रिभुज जैसी दिखती है। हालाँकि, वस्तु अपने प्राकृतिक रूप में एक घन के 3 फलक हैं। ऐसे सममितीय प्रक्षेपण में, 2 कोण समतल पर संपाती होते हैं: एक दर्शक के सबसे निकट और सबसे दूर।
निस्संदेह, जैसे ही आप इस वस्तु को उठाते हैं, ऑप्टिकल भ्रम तुरंत ही प्रकट हो जाता है। छाया भी भ्रम को प्रकट करती है, क्योंकि जनजाति की छाया स्पष्ट रूप से दिखाती है कि कोण वास्तविकता में मेल नहीं खाते हैं।
कागज से बनी जनजाति। योजना
कागज से अपने हाथों से पेनरोज़ त्रिकोण कैसे बनाएं? क्या इस मॉडल के लिए कोई रूपरेखा है? आज ऐसे असंभव त्रिभुज को मोड़ने के लिए 2 लेआउट का आविष्कार किया गया है। बुनियादी ज्यामिति आपको सटीक रूप से बताती है कि किसी वस्तु को कैसे मोड़ना है।
पेनरोज़ त्रिकोण को अपने हाथों से मोड़ने के लिए, आपको केवल 10-20 मिनट आवंटित करने की आवश्यकता होगी। आपको गोंद, कई कटों के लिए कैंची और कागज तैयार करने की आवश्यकता है जिस पर आरेख मुद्रित है।
ऐसे रिक्त स्थान से सर्वाधिक लोकप्रिय असंभव त्रिभुज प्राप्त होता है। ओरिगेमी शिल्प बनाना बहुत कठिन नहीं है। इसलिए, यह निश्चित रूप से पहली बार काम करेगा, यहां तक कि उस स्कूली बच्चे के लिए भी जिसने अभी-अभी ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक बहुत अच्छा शिल्प बन गया है। दूसरा टुकड़ा अलग दिखता है और अलग तरह से मुड़ता है, लेकिन पेनरोज़ त्रिकोण स्वयं वैसा ही दिखता है।
कागज से पेनरोज़ त्रिकोण बनाने के चरण।
अपने लिए सुविधाजनक 2 रिक्त स्थानों में से एक चुनें, फ़ाइल की प्रतिलिपि बनाएँ और प्रिंट करें। यहां हम दूसरे लेआउट मॉडल का उदाहरण देते हैं, जो थोड़ा सरल है।
"ट्राइबर" ओरिगेमी ब्लैंक में पहले से ही सभी आवश्यक युक्तियाँ शामिल हैं। वास्तव में, सर्किट के लिए निर्देशों की आवश्यकता नहीं है। इसे मोटे कागज़ के माध्यम पर डाउनलोड करना ही पर्याप्त है, अन्यथा काम करना असुविधाजनक होगा और आंकड़ा काम नहीं करेगा। यदि आप तुरंत कार्डबोर्ड पर प्रिंट नहीं कर सकते हैं, तो आपको स्केच को नई सामग्री से जोड़ना होगा और समोच्च के साथ ड्राइंग को काटना होगा। सुविधा के लिए, आप पेपर क्लिप से बांध सकते हैं।
आगे क्या करना है? पेनरोज़ त्रिकोण को अपने हाथों से चरण दर चरण कैसे मोड़ें? आपको इस कार्य योजना का पालन करना होगा:
- हम निर्देशन करते हैं विपरीत पक्षनिर्देशों के अनुसार उन रेखाओं को कैंची से काट लें जहां आपको झुकना है। सभी रेखाओं को मोड़ें
- हम जहां आवश्यक हो वहां कटौती करते हैं।
- पीवीए का उपयोग करके, हम उन स्क्रैप को एक साथ चिपकाते हैं जिनका उद्देश्य भाग को एक पूरे में एक साथ रखना होता है।
तैयार मॉडल को किसी भी रंग में दोबारा रंगा जा सकता है, या आप पहले से काम के लिए रंगीन कार्डबोर्ड ले सकते हैं। लेकिन भले ही वस्तु श्वेत पत्र से बनी हो, फिर भी, जो कोई भी पहली बार आपके लिविंग रूम में प्रवेश करेगा, वह निश्चित रूप से इस तरह के शिल्प से हतोत्साहित होगा।
त्रिभुज रेखांकन
पेनरोज़ त्रिभुज कैसे बनाएं? हर किसी को ओरिगेमी करना पसंद नहीं है, लेकिन बहुत से लोगों को चित्र बनाना पसंद है।
आरंभ करने के लिए, किसी भी आकार का एक नियमित वर्ग बनाएं। फिर अंदर एक त्रिभुज बनाया जाता है, जिसका आधार वर्ग का निचला भाग होता है। प्रत्येक कोने में एक छोटा आयत रखा गया है, जिसके सभी किनारे मिटा दिए गए हैं; केवल वे भुजाएँ जो त्रिभुज के समीपवर्ती हैं, शेष रहती हैं। यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि रेखाएँ सीधी हों। परिणाम कटे हुए कोनों वाला एक त्रिभुज है।
अगला चरण दूसरे आयाम की छवि है। ऊपरी निचले कोने के बाईं ओर से एक बिल्कुल सीधी रेखा खींची जाती है। वही रेखा निचले बाएँ कोने से शुरू करके खींची जाती है, और दूसरे आयाम की पहली पंक्ति में थोड़ी सी लाई जाती है। मुख्य आकृति के निचले हिस्से के समानांतर दाहिने कोने से एक और रेखा खींची गई है।
अंतिम चरण तीन और छोटी रेखाओं का उपयोग करके दूसरे आयाम के अंदर तीसरी रेखा खींचना है। छोटी रेखाएँ दूसरे आयाम की रेखाओं से शुरू होती हैं और त्रि-आयामी आयतन की छवि को पूरा करती हैं।
अन्य पेनरोज़ आकृतियाँ
उसी सादृश्य का उपयोग करके, आप अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं - एक वर्ग या एक षट्भुज। भ्रम बना रहेगा. लेकिन फिर भी ये आंकड़े अब उतने आश्चर्यजनक नहीं रहे. ऐसे बहुभुज अत्यंत मुड़े हुए प्रतीत होते हैं। आधुनिक ग्राफ़िक्स आपको और अधिक करने की अनुमति देते हैं दिलचस्प संस्करणप्रसिद्ध त्रिकोण.
त्रिकोण के अलावा पेनरोज़ सीढ़ी भी विश्व प्रसिद्ध है। विचार आंख को धोखा देने के लिए है, जिससे यह प्रतीत हो कि एक व्यक्ति दक्षिणावर्त दिशा में चलते समय लगातार ऊपर की ओर बढ़ रहा है, और वामावर्त दिशा में चलते समय नीचे की ओर।
सतत सीढ़ी एम. एस्चर की पेंटिंग "चढ़ाई और उतरना" के साथ अपने जुड़ाव के लिए सबसे ज्यादा जानी जाती है। यह दिलचस्प है कि जब कोई व्यक्ति इस भ्रामक सीढ़ी की सभी चार उड़ानों पर चलता है, तो वह हमेशा वहीं पहुँच जाता है जहाँ से उसने शुरू किया था।
ऐसी अन्य वस्तुएं भी ज्ञात हैं जो मानव मस्तिष्क को गुमराह करती हैं, जैसे असंभव ब्लॉक। या भ्रम के समान नियमों के अनुसार एक दूसरे को काटते किनारों वाला एक बक्सा। लेकिन इन सभी वस्तुओं का आविष्कार एक उल्लेखनीय वैज्ञानिक - रोजर पेनरोज़ के एक लेख के आधार पर पहले ही किया जा चुका है।
पर्थ में असंभव त्रिकोण
गणितज्ञ के नाम पर बनी आकृति को सम्मानित किया जाता है। उसके लिए एक स्मारक बनाया गया था। 1999 में, ऑस्ट्रेलिया के एक शहर (पर्थ) में एल्यूमीनियम से बना एक बड़ा पेनरोज़ त्रिकोण स्थापित किया गया था, जिसकी ऊंचाई 13 मीटर है। पर्यटक एल्यूमीनियम विशाल के बगल में तस्वीरें लेने का आनंद लेते हैं। लेकिन अगर आप फोटोग्राफी के लिए एक अलग कोण चुनते हैं, तो धोखा स्पष्ट हो जाता है।
नमस्कार, ब्लॉग साइट के प्रिय पाठकों। रुस्तम ज़कीरोव संपर्क में हैं और मेरे पास आपके लिए एक और लेख है, जिसका विषय है पेनरोज़ त्रिकोण कैसे बनाएं। आज मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि एक असंभव त्रिभुज बनाना कितना आसान और सरल है। हम इस त्रिभुज के दो चित्र बनाएंगे, एक नियमित होगा, और दूसरा वास्तविक 3D चित्र होगा। और यह सब आश्चर्यजनक रूप से सरल होगा. आप इस त्रिभुज का वास्तविक 3डी चित्रण प्राप्त कर सकते हैं। मुझे संदेह है कि यह आपको कहीं और दिखाया जाएगा, इसलिए लेख को अंत तक और बहुत ध्यान से पढ़ें।
हमारे चित्रों के लिए, हमेशा की तरह, हमें आवश्यकता होगी: कागज का एक टुकड़ा साधारण पेंसिलें(अधिमानतः एक "मध्यम", "दूसरा नरम") और कई रंगीन पेंसिल या मार्कर।
किसी भी 3D चित्र को आसानी से कैसे बनाएं।
मैंने इस असंभव त्रिभुज को इस सामान्य चित्र से निकाला, जो मुझे इंटरनेट पर मिला था। ये रही वो।
और फिर कुछ मिनटों में मैंने मदद से इसे 3डी में बदल दिया . इस तरह आप लगभग किसी भी छवि को 3D में परिवर्तित कर सकते हैं। अगर आप भी इसी तरह सीखना चाहते हैं तो यहां क्लिक करें।
और हम अपनी ड्राइंग की ओर आगे बढ़ते हैं।
एक नियमित त्रिभुज पैटर्न बनाएं.
स्टेप 1। हम मॉनिटर स्क्रीन से अनुवाद करते हैं।
एक त्रिभुज बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे। आप अपना कागज का टुकड़ा लें और इसे मॉनिटर स्क्रीन पर त्रिकोण के सामने झुकाएं, और बस इसका अनुवाद करें।
और चूँकि हमारा त्रिभुज बिल्कुल भी जटिल नहीं है, इसलिए इसके सभी कोनों में केवल मुख्य बिंदु रखना ही पर्याप्त है।
और फिर हम मूल को देखते हैं और एक रूलर का उपयोग करके इन बिंदुओं को जोड़ते हैं। मुझे यह इस तरह मिला.
हमारा त्रिकोण बिल्कुल तैयार है. आप इसे ऐसे ही छोड़ सकते हैं, लेकिन चलिए इसे थोड़ा और सजाते हैं। मैंने रंगीन पेंसिलों का उपयोग करके ऐसा किया। अपने त्रिकोण को पूरी तरह से सजाने के बाद, हम इसे एक साधारण मुलायम पेंसिल से फिर से पूरी तरह से रेखांकित करते हैं।
इस बिंदु पर, हमारा सामान्य पेनरोज़ त्रिकोण पूरी तरह से तैयार है, और हम उसी त्रिकोण पर आगे बढ़ते हैं।
एक त्रिभुज का 3डी चित्र बनाएं।
स्टेप 1। हम अनुवाद करते हैं.
हम नियमित पैटर्न की तरह ही उसी योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं। मैं आपको एक तैयार त्रिकोण देता हूं, जो पहले से ही 3डी प्रारूप में अनुवादित है। यहाँ वह है।
और आप इसका अनुवाद करें. हम सब कुछ एक नियमित पैटर्न की तरह ही करते हैं। आप कागज की अपनी शीट लेते हैं, इसे मॉनिटर स्क्रीन के सामने झुकाते हैं, कागज की शीट चमकती है, और आप बस तैयार 3डी ड्राइंग को अपने कागज की शीट पर स्थानांतरित कर देते हैं।
मेरा साथ ऐसा ही हुआ था।
त्रिभुज का आकार बढ़ाया या घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस अपने मॉनिटर का पैमाना बदलना होगा। क्लैंप Ctrl कुंजीऔर माउस व्हील घुमाएँ।
हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि हमारी 3डी ड्राइंग पहले से ही तैयार है। इसमें मुझे लगभग 3 मिनट लगे। सिद्धांत रूप में, हम यहां सुरक्षित रूप से समाप्त कर सकते हैं, लेकिन आइए अपने त्रिकोण को कुछ और सजाएं।
दिमित्री राकोव
हमारी आंखें नहीं जान सकतीं
वस्तुओं की प्रकृति.
इसलिए इसे उन पर थोपें नहीं
कारण का भ्रम.
टाइटस ल्यूक्रेटियस कारस
सामान्य अभिव्यक्ति "ऑप्टिकल इल्यूजन" मूलतः गलत है। आंखें हमें धोखा नहीं दे सकतीं, क्योंकि वे वस्तु और मानव मस्तिष्क के बीच केवल एक मध्यवर्ती कड़ी हैं। ऑप्टिकल भ्रम आमतौर पर हम जो देखते हैं उसके कारण नहीं होता है, बल्कि इसलिए होता है क्योंकि हम अनजाने में तर्क करते हैं और अनजाने में गलती हो जाती है: "दिमाग दुनिया को आंख से देख सकता है, आंख से नहीं।"
ऑप्टिकल आर्ट (ऑप-आर्ट) के कलात्मक आंदोलन के सबसे शानदार क्षेत्रों में से एक इम्प-आर्ट (असंभव कला) है, जो असंभव आकृतियों के चित्रण पर आधारित है। असंभव वस्तुएं एक समतल पर बनाए गए चित्र हैं (कोई भी समतल द्वि-आयामी होता है) जो त्रि-आयामी संरचनाओं को दर्शाते हैं जिनका वास्तविक त्रि-आयामी दुनिया में अस्तित्व में होना असंभव है। क्लासिक और सबसे सरल आकृतियों में से एक असंभव त्रिभुज है।
एक असंभव त्रिभुज में, प्रत्येक कोण स्वयं संभव है, लेकिन जब हम इसे संपूर्ण मानते हैं तो एक विरोधाभास उत्पन्न होता है। त्रिभुज की भुजाएँ दर्शक की ओर और दूर दोनों ओर निर्देशित हैं, इसलिए इसके अलग-अलग हिस्से वास्तविक त्रि-आयामी वस्तु नहीं बना सकते हैं।
कड़ाई से बोलते हुए, हमारा मस्तिष्क एक विमान पर एक चित्र की व्याख्या त्रि-आयामी मॉडल के रूप में करता है। चेतना वह "गहराई" निर्धारित करती है जिस पर छवि का प्रत्येक बिंदु स्थित होता है। वास्तविक दुनिया के बारे में हमारे विचारों में विरोधाभास, कुछ असंगतता है, और हमें कुछ धारणाएँ बनानी होंगी:
- सीधी 2D रेखाओं की व्याख्या सीधी 3D रेखाओं के रूप में की जाती है;
- 2डी समानांतर रेखाओं की व्याख्या 3डी समानांतर रेखाओं के रूप में की जाती है;
- न्यून और अधिक कोणों की व्याख्या परिप्रेक्ष्य में समकोण के रूप में की जाती है;
- बाहरी रेखाओं को रूप की सीमा माना जाता है। संपूर्ण छवि के निर्माण के लिए यह बाहरी सीमा अत्यंत महत्वपूर्ण है।
मानव चेतना पहले किसी वस्तु की एक सामान्य छवि बनाती है, और फिर उसके अलग-अलग हिस्सों की जांच करती है। प्रत्येक कोण स्थानिक परिप्रेक्ष्य के साथ संगत है, लेकिन जब वे पुन: एकजुट होते हैं तो एक स्थानिक विरोधाभास बनाते हैं। यदि आप त्रिभुज के किसी भी कोने को बंद कर दें, तो असंभवता गायब हो जाती है।
असंभव आंकड़ों का इतिहास
एक हजार साल पहले भी कलाकारों को स्थानिक निर्माण में त्रुटियों का सामना करना पड़ा था। लेकिन असंभव वस्तुओं का निर्माण और विश्लेषण करने वाले पहले व्यक्ति स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड को माना जाता है, जिन्होंने 1934 में पहला असंभव त्रिकोण बनाया था, जिसमें नौ घन शामिल थे।
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"मॉस्को", ग्राफिक्स (काजल, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2003 |
रॉयटर्स के अनुसार, अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज़ ने असंभव त्रिकोण को फिर से खोजा और 1958 में एक ब्रिटिश मनोविज्ञान पत्रिका में इसकी एक छवि प्रकाशित की। भ्रम "झूठे परिप्रेक्ष्य" का उपयोग करता है। कभी-कभी इस परिप्रेक्ष्य को चीनी कहा जाता है, क्योंकि ड्राइंग की एक समान विधि, जब ड्राइंग की गहराई "अस्पष्ट" होती है, अक्सर चीनी कलाकारों के कार्यों में पाई जाती थी।
"थ्री स्नेल्स" ड्राइंग में, छोटे और बड़े क्यूब सामान्य आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण में उन्मुख नहीं होते हैं। छोटा घन आगे और पीछे की तरफ बड़े घन के निकट है, जिसका अर्थ है, त्रि-आयामी तर्क का पालन करते हुए, इसकी कुछ भुजाओं के आयाम बड़े घन के समान हैं। सबसे पहले, चित्र एक ठोस शरीर का वास्तविक प्रतिनिधित्व प्रतीत होता है, लेकिन जैसे-जैसे विश्लेषण आगे बढ़ता है, इस वस्तु के तार्किक विरोधाभास सामने आते हैं।
"थ्री स्नेल्स" चित्र दूसरी प्रसिद्ध असंभव आकृति - असंभव घन (बॉक्स) की परंपरा को जारी रखता है।
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"आईक्यू", ग्राफिक्स (काजल, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2001 |
"उतार व चढ़ाव", एम. एस्चर |
विभिन्न वस्तुओं का संयोजन पूरी तरह से गंभीर नहीं ड्राइंग "आईक्यू" (बुद्धिमत्ता भागफल) में भी पाया जा सकता है। दिलचस्प बात यह है कि कुछ लोग असंभव वस्तुओं को नहीं देख पाते क्योंकि उनका दिमाग त्रि-आयामी वस्तुओं के साथ सपाट चित्रों की पहचान करने में असमर्थ होता है।
डोनाल्ड ई. सिमानेक ने सुझाव दिया है कि दृश्य विरोधाभासों को समझना उस रचनात्मकता की पहचान है जो सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास होती है। विरोधाभासी वस्तुओं वाले कई कार्यों को "बौद्धिक गणितीय खेल" के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। आधुनिक विज्ञान विश्व के 7-आयामी या 26-आयामी मॉडल की बात करता है। ऐसी दुनिया को केवल गणितीय सूत्रों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, मनुष्य इसकी कल्पना भी नहीं कर सकता है; यहीं पर असंभव आंकड़े काम आते हैं। दार्शनिक दृष्टिकोण से, वे एक अनुस्मारक के रूप में कार्य करते हैं कि किसी भी घटना (सिस्टम विश्लेषण, विज्ञान, राजनीति, अर्थशास्त्र, आदि में) को सभी जटिल और गैर-स्पष्ट संबंधों में माना जाना चाहिए।
पेंटिंग "असंभव वर्णमाला" में विभिन्न प्रकार की असंभव (और संभव) वस्तुओं को प्रस्तुत किया गया है।
तीसरी लोकप्रिय असंभव आकृति पेनरोज़ द्वारा बनाई गई अविश्वसनीय सीढ़ी है। आप इसके अनुदिश लगातार या तो चढ़ेंगे (वामावर्त दिशा में) या नीचे उतरेंगे (घड़ी की दिशा में)। पेनरोज़ के मॉडल ने एम. एस्चर की प्रसिद्ध पेंटिंग "अप एंड डाउन" ("आरोही और अवरोही") का आधार बनाया।
वस्तुओं का एक और समूह है जिसे लागू नहीं किया जा सकता है। क्लासिक आकृति असंभव त्रिशूल, या "शैतान का कांटा" है।
यदि आप चित्र का ध्यानपूर्वक अध्ययन करेंगे तो आप देखेंगे कि एक ही आधार पर तीन दांत धीरे-धीरे दो में बदल जाते हैं, जिससे संघर्ष होता है। हम ऊपर और नीचे दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है।
क्या दिमागी खेल की तुलना में असंभव रेखाचित्रों से कोई बड़ा लाभ है? कुछ अस्पताल जानबूझकर असंभव वस्तुओं की तस्वीरें लटकाते हैं, क्योंकि उन्हें देखने से मरीज़ लंबे समय तक व्यस्त रह सकते हैं। ऐसे चित्र टिकट कार्यालयों, पुलिस स्टेशनों और अन्य स्थानों पर लटकाना तर्कसंगत होगा जहां कतार में प्रतीक्षा करना कभी-कभी अनंत काल तक चलता है। चित्र "क्रोनोफ़ेज" के रूप में कार्य कर सकते हैं, अर्थात। समय गवांने वाले।
के रूप में भी जाना जाता है असंभव त्रिकोणऔर जनजाति.
कहानी
1958 में अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ द्वारा ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में असंभव आंकड़ों पर एक लेख के प्रकाशन के बाद यह आंकड़ा व्यापक रूप से जाना जाने लगा। इस लेख में, असंभव त्रिभुज को उसके सबसे सामान्य रूप में दर्शाया गया था - समकोण पर एक दूसरे से जुड़े तीन बीम के रूप में। इस लेख से प्रभावित होकर, डच कलाकार मौरिट्स एस्चर ने अपना प्रसिद्ध लिथोग्राफ, "वॉटरफॉल" बनाया।
मूर्तियों
एल्यूमीनियम से बनी एक असंभव त्रिभुज की 13 मीटर की मूर्ति 1999 में पर्थ (ऑस्ट्रेलिया) में बनाई गई थी।
डॉयचेस टेक्निकम्यूजियम बर्लिन फरवरी 2008 0004.जेपीजी
दृष्टिकोण बदलते समय वही मूर्तिकला
अन्य आंकड़े
यद्यपि नियमित बहुभुजों के आधार पर पेनरोज़ त्रिकोण के एनालॉग्स का निर्माण करना काफी संभव है, लेकिन उनसे दृश्य प्रभाव इतना प्रभावशाली नहीं है। जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, वस्तु बस मुड़ी हुई या मुड़ी हुई दिखाई देती है।
यह सभी देखें
- तीन खरगोश (अंग्रेज़ी) तीन खरगोश )
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पेनरोज़ त्रिभुज की विशेषता बताने वाला एक अंश
जो कुछ भी उन्हें आदेश दिया गया था उसे व्यक्त करने के बाद, बालाशेव ने कहा कि सम्राट अलेक्जेंडर शांति चाहते हैं, लेकिन इस शर्त के अलावा बातचीत शुरू नहीं करेंगे कि... यहां बालाशेव झिझके: उन्हें वे शब्द याद आए जो सम्राट अलेक्जेंडर ने पत्र में नहीं लिखे थे, लेकिन जो उन्होंने निश्चित रूप से साल्टीकोव को प्रतिलेख में सम्मिलित करने का आदेश दिया और जिसे बालाशेव ने नेपोलियन को सौंपने का आदेश दिया। बालाशेव को ये शब्द याद थे: "जब तक रूसी भूमि पर एक भी सशस्त्र दुश्मन नहीं रहेगा," लेकिन किसी कारण से जटिल भावनाउसे वापस पकड़ लिया. वह ये शब्द नहीं कह सका, हालाँकि वह ऐसा करना चाहता था। उन्होंने झिझकते हुए कहा: इस शर्त पर कि फ्रांसीसी सेना नेमन से आगे पीछे हट जाए।बोलते समय नेपोलियन ने बालाशेव की शर्मिंदगी पर ध्यान दिया अंतिम शब्द; उसका चेहरा कांपने लगा, उसकी बाईं पिंडली लयबद्ध रूप से कांपने लगी। अपनी जगह छोड़े बिना वह पहले से भी अधिक ऊंची और जल्दी-जल्दी आवाज में बोलने लगा। बाद के भाषण के दौरान, बालाशेव ने एक से अधिक बार अपनी आँखें नीची करते हुए, अनजाने में नेपोलियन के बाएं पैर में बछड़े के कांपने को देखा, जो जितना अधिक उसने अपनी आवाज उठाई, उतना ही तेज हो गया।
उन्होंने कहा, "मैं सम्राट अलेक्जेंडर से कम शांति की कामना नहीं करता।" "क्या यह मैं नहीं हूं जो इसे पाने के लिए अठारह महीने से सब कुछ कर रहा हूं?" मैं स्पष्टीकरण के लिए अठारह महीने से इंतज़ार कर रहा हूँ। लेकिन बातचीत शुरू करने के लिए मुझसे क्या अपेक्षित है? - उसने त्योरियां चढ़ाते हुए और अपने छोटे, सफेद और मोटे हाथ से ऊर्जावान प्रश्नवाचक मुद्रा बनाते हुए कहा।
बालाशेव ने कहा, "नेमन से परे सैनिकों की वापसी, श्रीमान।"
- नेमन के लिए? - नेपोलियन ने दोहराया। - तो अब आप चाहते हैं कि वे नेमन से आगे पीछे हटें - केवल नेमन से आगे? - नेपोलियन ने सीधे बालाशेव की ओर देखते हुए दोहराया।
बालाशेव ने आदरपूर्वक सिर झुकाया.
चार महीने पहले नंबरानिया से पीछे हटने की मांग के बजाय अब उन्होंने केवल नेमन से आगे पीछे हटने की मांग की है. नेपोलियन तेजी से मुड़ा और कमरे के चारों ओर घूमने लगा।
- आप कहते हैं कि बातचीत शुरू करने के लिए वे मुझसे नेमन से आगे पीछे हटने की मांग करते हैं; लेकिन उन्होंने दो महीने पहले ठीक उसी तरह मुझसे ओडर और विस्तुला से आगे पीछे हटने की मांग की थी, और इसके बावजूद, आप बातचीत के लिए सहमत हैं।
वह चुपचाप कमरे के एक कोने से दूसरे कोने तक चला गया और फिर बालाशेव के सामने रुक गया। उसका चेहरा अपनी कठोर अभिव्यक्ति में कठोर लग रहा था, और उसका बायां पैर पहले से भी अधिक तेजी से कांप रहा था। नेपोलियन को अपनी बायीं पिंडली का यह कम्पन मालूम था। "ला वाइब्रेशन डे मोन मोलेट गौचे इस अन ग्रैंड साइन चेज़ मोई," उन्होंने बाद में कहा।
