Definicija. Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj (GCD) ove brojke.
Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Djelitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji broja 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno prosti.
Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju međusobno prosti, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (NOD) 1.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.
Rastavljajući brojeve 48 i 36 na faktore, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva, križamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.
Pronaći najveći zajednički djelitelj
2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.
Ako su svi zadani brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj djeljiv najveći zajednički djelitelj zadani brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su njime djeljivi svi ostali brojevi: 45, 75 i 180.
Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) Prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni brojevi koji su višekratnici i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavimo 75 i 60 na proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i pribrojimo im faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja drugog broja (tj. kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.
Također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.
Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) rastavite ih na proste faktore;
2) zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.
Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.
Pitagora (VI. st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih svojih djelitelja (bez samog broja) nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33,550,336 Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali znanstvenici još uvijek ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve proizlazi iz činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao umnožak primarni brojevi, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi manje uobičajeni. Postavlja se pitanje postoji li zadnji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi “Elementi”, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja stoji još veći prost broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složeni broj, zatim precrtao kroz jedan sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojevi koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze nakon 3 (brojevi koji su bili višekratnici 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su prekriženi. na kraju su samo prosti brojevi ostali neprekrižani.
Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji olakšavaju rad s razlomcima. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.
Osnovni koncepti
Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim se X dijeli bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je višekratnik broja 12.
Za svaki par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da izračuni koriste najveći djelitelj GCD i najmanji višekratnik LCM.
Najmanji djelitelj je besmislen, jer je za svaki broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, jer niz višekratnika ide u beskonačnost.
Pronalaženje gcd-a
Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:
- sekvencijalno traženje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
- rastavljanje brojeva na nedjeljive faktore;
- Euklidov algoritam;
- binarni algoritam.
Danas u obrazovnim ustanovama najpopularnije metode su dekompozicija na proste faktore i Euklidov algoritam. Potonji se pak koristi pri rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru mogućnosti razlučivanja u jednadžbi u cijelim brojevima.
Pronalaženje NOO-a
Najmanji zajednički višekratnik također se određuje sekvencijalnim pretraživanjem ili dekompozicijom na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Na primjer, ako je GCM(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitiji primjer korištenja LCM je pronaći zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik zadani razlomci.
Koprosti brojevi
Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva međusobno prostim. Gcd za takve parove uvijek je jednaka jedinici, a na temelju veze između djelitelja i višekratnika, gcd za međusobno proste parove jednaka je njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su relativno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti relativno prosti.
Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator
Pomoću našeg kalkulatora možete izračunati GCD i LCM za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci o izračunu zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, ali GCD i LCM ključni su pojmovi u matematici i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.
Primjeri iz stvarnog života
Zajednički nazivnik razlomaka
Najmanji zajednički višekratnik koristi se pri pronalaženju zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka. Recimo da u aritmetičkom problemu trebate zbrojiti 5 razlomaka:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada trebate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM-a i nazivnika. Tako bi dodatni množitelji izgledali ovako:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Lako možemo zbrojiti takve razlomke i dobiti rezultat kao 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.
Rješavanje linearnih Diofantovih jednadžbi
Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d / gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi da vidimo imaju li cjelobrojno rješenje. Prvo provjerimo jednadžbu 150x + 8y = 37. Pomoću kalkulatora nalazimo GCD (150,8) = 2. Podijelimo 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.
Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Upotrijebite kalkulator da pronađete GCD(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, stoga je Diofantova jednadžba rješiva u cjelobrojnim koeficijentima .
Zaključak
GCD i LCM igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti naširoko se koriste u raznim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračun najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.
Pogledajmo tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.
Nalaženje faktoriziranjem
Prva metoda je pronaći najmanji zajednički višekratnik rastavljanjem danih brojeva na proste faktore.
Recimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, rastavimo svaki od ovih brojeva na proste faktore:
Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, trebamo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću moguću potenciju i pomnožiti ih zajedno:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860 Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije djeljiv s 99, 30 ili 28.
Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, rastavite ih na njihove proste faktore, zatim uzmete svaki prosti faktor s najvećim eksponentom u kojem se pojavljuje i pomnožite te faktore.
Budući da relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su relativno prosti brojevi. Zato
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Isto se mora učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Pronalaženje odabirom
Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik odabirom.
Primjer 1. Kada se najveći od zadanih brojeva podijeli s drugim zadanim brojem, tada je LCM tih brojeva jednak najvećem od njih. Na primjer, dana su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:
- Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
- Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja tako da ga množimo prirodnim brojevima rastućim redoslijedom i provjeravamo je li dobiveni umnožak djeljiv s preostalim danim brojevima.
Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Određujemo najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i 3:
24 · 1 = 24 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.
24 · 2 = 48 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.
24 · 3 = 72 - djeljivo s 3 i 18.
Prema tome, LCM (24, 3, 18) = 72.
Nalaženje sekvencijalnim nalaženjem LCM
Treća metoda je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.
LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljenih njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.
Primjer 1. Odredite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:
Proizvod dijelimo prema njihovom gcd-u:
Prema tome, LCM (12, 8) = 24.
Da biste pronašli LCM tri ili više brojeva, koristite sljedeći postupak:
- Prvo pronađite LCM bilo koja dva od ovih brojeva.
- Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i treći zadani broj.
- Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
- Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok ima brojeva.
Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Preostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik broja 24 i trećeg zadanog broja - 9. Odrediti njihov najveći zajednički djelitelj: NOD (24, 9) = 3. Pomnožiti LCM s brojem 9:
Proizvod dijelimo prema njihovom gcd-u:
Prema tome, LCM (12, 8, 9) = 72.
Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pozornost posvetit ćemo rješavanju primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pozornost na izračunavanje LCM-a negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a
Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD omogućuje nam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva preko poznatog najvećeg zajedničkog djelitelja. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a pomoću dane formule.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70.
Riješenje.
U ovom primjeru a=126 , b=70 . Poslužimo se vezom između LCM i GCD izraženom formulom LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega pomoću zapisane formule možemo izračunati LCM tih brojeva.
Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: NOD(126, 70)=126·70:NOD(126, 70)= 126·70:14=630.
Odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primjer.
Čemu je jednako LCM(68, 34)?
Riješenje.
Jer 68 je djeljiv sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: NOD(68, 34)=68·34:NOD(68, 34)= 68·34:34=68.
Odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako sastavite umnožak od svih prostih faktora danih brojeva, a zatim iz tog umnoška isključite sve zajedničke proste faktore prisutne u proširenjima danih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku danih brojeva .
Navedeno pravilo za određivanje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD-a korištenjem ekspanzije brojeva u proste faktore).
Navedimo primjer. Recimo da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo umnožak svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore prisutne i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primjer.
Rastavite brojeve 441 i 700 na proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Riješenje.
Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:
Dobivamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Kreirajmo sada umnožak svih faktora uključenih u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tako, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM-a korištenjem faktorizacije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako se faktorima iz proširenja broja a dodaju faktori koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihova dekompozicija na proste faktore je sljedeća: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 pribrojimo nedostajuće faktore 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2·3·5·5·7 čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Riješenje.
Prvo dobivamo rastave brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 pribrojimo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
Odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Riješenje.
U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nalazimo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle NOD(140, 9)=140 9:NOT(140, 9)= 140·9:1=1,260. Odnosno, m 2 =1 260.
Sada nalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), koji također određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, iz čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.
Ostaje samo pronaći m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prema tome, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To jest, m 4 =94,500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.
Odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
U mnogim je slučajevima prikladno pronaći najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva korištenjem prostih faktora danih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći se broj dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.
Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika korištenjem proste faktorizacije.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje.
Prvo, dobivamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se s njegovim rastavljanjem na proste faktore) i 143=11·13.
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Rastavljanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u rastavljanju prvog broja 84. Dalje, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebno dodavati množitelje ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Na kraju faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.
Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOC je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se proučava u srednjoj školi, a nije osobito teško razumjeti gradivo; proizlaziti.
Definicija
Zajednički višekratnik je broj koji se može potpuno podijeliti na dva broja istovremeno (a i b). Najčešće se taj broj dobiva množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.
NOC je skraćeni naziv usvojen za oznaku, sakupljen od prvih slova.
Načini dobivanja broja
Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a; mnogo je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Uobičajeno je dijeliti na faktore; što je veći broj, to će biti više faktora.
Primjer #1
Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je vrlo jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.
Primjer br. 2
Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, pronalaženje LOC-a je obavezno. Za rješavanje problema pretpostavljaju se sljedeće radnje:
Rastavljanje prvog i drugog broja na proste faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.
Druga faza uključuje rad s već dobivenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora sudjelovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja uzet je iz izvornih brojeva. LCM je opći broj, pa se u njemu moraju ponavljati faktori brojeva, svaki pojedini, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, u različitim potencijama;
Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj potenciji predstavljenoj u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor ako je točno ispunjen, zadatak se sastoji od dva koraka bez objašnjenja:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, tada odgovor definitivno neće biti točan, jer 300 * 1260 = 378 000.
Ispitivanje:
6300 / 300 = 21 - točno;
6300 / 1260 = 5 - točno.
Točnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a s oba izvorna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, tada je odgovor točan.
Što NOC znači u matematici?
Kao što znate, u matematici ne postoji niti jedna beskorisna funkcija, ova nije iznimka. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Što se obično uči u razredima 5-6 Srednja škola. Također je dodatno zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u problemu. Takav izraz može pronaći višekratnike ne samo dva broja, već i mnogo većih brojeva - tri, pet i tako dalje. Kako više brojeva- što je više radnji u zadatku, ali se složenost ne povećava.
Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, trebate pronaći njihov zajednički LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje rastavljanje na faktore, bez redukcije.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Za sastavljanje izraza potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su navedeni 2, 5, 3 - za sve te brojeve potrebno je odrediti maksimalni stupanj.
Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do točke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponirani na razinu jednoznamenkastih brojeva.
Ispitivanje:
1) 3000 / 250 = 12 - točno;
2) 3000 / 600 = 5 - točno;
3) 3000 / 1500 = 2 - točno.
Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.
Drugi način
U matematici su mnoge stvari povezane, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda može se koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju se okomito upisuje množitelj, vodoravno množitelj, a umnožak se označava u ćelijama stupca koje se sijeku. Tablicu možete odraziti linijom, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 točaka, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se događa dok se ne pronađe zajednički višekratnik.
S obzirom na brojeve 30, 35, 42, trebate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:
1) Višekratnici od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Višekratnici od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Višekratnici od 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj im je 210, pa će to biti NOO. Među procesima uključenim u ovaj izračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se izračunava prema sličnim principima i često se nalazi u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji se dijeli sa svim danim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveća vrijednost kojima se dijele izvorni brojevi.
