I. V. Yakovlev | მათემატიკის მასალები | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური ტიპის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა ვისაუბროთ მნიშვნელოვანი კონცეფციარიცხვების თანმიმდევრობა.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზეც გამოსახულია გარკვეული ნომრები ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : რიცხვების ეს ნაკრები არის ზუსტად მიმდევრობის მაგალითი.

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ ასოცირებული ერთ ნატურალურ რიცხვთან)1. რიცხვი n ნომრით იწოდება მე-9 ტერმინითანმიმდევრობები.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველი რიცხვია 2, ეს არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; ნომერი ხუთი აქვს რიცხვი 6 არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a5-ით. საერთოდ, მე-9 ტერმინითანმიმდევრობები აღინიშნება ან (ან bn, cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც მიმდევრობის n-ე წევრი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 1; 1; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ამრიგად, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს "ძალიან ბევრ" რიცხვს, რომ გადაინომროს. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დადასტურებულია მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; 8; 11; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; 8; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულის ტოლი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (n-ისგან დამოუკიდებელი).

არითმეტიკული პროგრესიას ეწოდება მზარდი, თუ მისი სხვაობა დადებითია და კლება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 მაგრამ აქ არის უფრო ლაკონური განმარტება: მიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის f ფუნქცია: N ! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ გვაწუხებს სასრული მიმდევრობების გათვალისწინებით; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, დასასრული თანმიმდევრობა არის 1; 2; 3; 4; 5 შედგება ხუთი რიცხვისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა, პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის საჭირო ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; 8; 11; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (დაწყებული მეორიდან) არის მისი მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(d) + (an + d)

რაც საჭირო იყო.

უფრო ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) ემსახურება არა მხოლოდ როგორც აუცილებელ, არამედ საკმარის პირობას იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესირების ნიშანი. თუ თანასწორობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

აქედან ვხედავთ, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს ზუსტად ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი დებულების სახით; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მსუ, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და მიუთითეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

თუ x = 1, მაშინ მივიღებთ კლებად პროგრესირებას 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მივიღებთ მზარდ პროგრესიას 40, 22, 4; ეს შემთხვევა არ არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთ დღეს მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

ჩავწეროთ ეს თანხა საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ 100 ასეთი ტერმინია

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება, თუ მასში ჩავანაცვლებთ n-ე ტერმინის ფორმულას an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

ამოცანა 3. იპოვეთ ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც იყოფა 13-ზე.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, პირველი წევრი არის 104 და სხვაობა 13; ამ პროგრესირების მე-n ტერმინს აქვს ფორმა:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ ტერმინს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის მოდით გადავჭრათ უტოლობა:

ან 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის გამოყენებით (4) ვიპოვით საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

შესვლის დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორია მაგალითებით (2019)

რიცხვების თანმიმდევრობა

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (როგორც მერვე ნომერი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვების მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

გაიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-ე წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-თე წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის მნიშვნელობა:


სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი შემოვიტანოთ იგი ზოგადი ხედიდა ვიღებთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
მაგალითად:

დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 ტერმინები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ნაცნობი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

აბსოლუტურად მართალია. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასების სტუდენტების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაუსვა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზივიდან“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. ყურადღებით დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ, თუ რის ტოლია th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინთა ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტეხოლო იმ დროის ყველაზე დიდი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. გაიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

ამოცანები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთი ჟურნალის ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი ბოლო ნომერი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე ნომრის წერა. მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, ნება მიეცით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. რა განსხვავებაა? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. ასე რომ,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის ის კვირაში, თუ პირველ დღეს გაიარა კმ მ?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ:.
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

ბევრს სმენია არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ, მაგრამ ყველას არ აქვს კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის ეს. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ შესაბამის განმარტებას და ასევე განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.

მათემატიკური განმარტება

ასე რომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთარითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესიის შესახებ (ეს ცნებები განსაზღვრავს ერთსა და იმავეს), ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული რიცხვითი სერია, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ კანონს: სერიების ყოველი ორი მიმდებარე რიცხვი განსხვავდება ერთი და იგივე მნიშვნელობით. მათემატიკურად ასე წერია:

აქ n ნიშნავს a n ელემენტის რაოდენობას მიმდევრობაში, ხოლო რიცხვი d არის პროგრესიის სხვაობა (მისი სახელი გამომდინარეობს წარმოდგენილი ფორმულიდან).

რას ნიშნავს d განსხვავების ცოდნა? იმის შესახებ, თუ რამდენად "დაშორებულია" მეზობელი რიცხვები ერთმანეთისგან. თუმცა, d-ის ცოდნა აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობაა მთელი პროგრესიის დასადგენად (აღდგენისთვის). თქვენ უნდა იცოდეთ კიდევ ერთი რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს მოცემული სერიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ელემენტი, მაგალითად, 4, a10, მაგრამ, როგორც წესი, ისინი იყენებენ პირველ რიცხვს, ანუ 1-ს.

პროგრესირების ელემენტების განსაზღვრის ფორმულები

ზოგადად, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია კონკრეტული პრობლემების გადაჭრაზე გადასასვლელად. მიუხედავად ამისა, სანამ არითმეტიკული პროგრესია იქნება მოცემული და საჭირო იქნება მისი განსხვავების პოვნა, ჩვენ წარმოგიდგენთ რამდენიმე სასარგებლო ფორმულას, რაც ხელს შეუწყობს პრობლემების გადაჭრის შემდგომ პროცესს.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიმდევრობის ნებისმიერი ელემენტი n ნომრით შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

a n = a 1 + (n - 1) * d

მართლაც, ყველას შეუძლია შეამოწმოს ეს ფორმულა მარტივი ძიებით: თუ ჩაანაცვლებთ n = 1-ს, თქვენ მიიღებთ პირველ ელემენტს, თუ ჩაანაცვლებთ n = 2, მაშინ გამონათქვამი იძლევა პირველი რიცხვისა და სხვაობის ჯამს და ა.შ.

მრავალი ამოცანის პირობები ისეა შედგენილი, რომ რიცხვების ცნობილი წყვილის გათვალისწინებით, რომელთა რიცხვებიც თანმიმდევრობითაა მოცემული, აუცილებელია მთელი რიცხვების სერიის რეკონსტრუქცია (იპოვეთ განსხვავება და პირველი ელემენტი). ახლა ჩვენ გადავჭრით ამ პრობლემას ზოგადი ფორმით.

მაშ ასე, მოცემულია ორი ელემენტი n და m რიცხვებით. ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ შექმნათ ორი განტოლების სისტემა:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

უცნობი სიდიდეების საპოვნელად გამოვიყენებთ ასეთი სისტემის ამოხსნის ცნობილ მარტივ ტექნიკას: გამოვაკლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები წყვილებში, ტოლობა ძალაში რჩება. ჩვენ გვაქვს:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ამრიგად, ჩვენ გამოვრიცხეთ ერთი უცნობი (a 1). ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო გამოხატულება d-ის დასადგენად:

d = (a n - a m) / (n - m), სადაც n > m

ჩვენ მივიღეთ ძალიან მარტივი ფორმულა: იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ განსხვავება d პრობლემის პირობების შესაბამისად, საჭიროა მხოლოდ ავიღოთ თვით ელემენტებსა და მათ სერიულ ნომრებს შორის განსხვავებების თანაფარდობა. ყურადღება უნდა მიაქციოს ერთს მნიშვნელოვანი წერტილიყურადღება: განსხვავებები აღებულია „უმაღლეს“ და „უმცროს“ წევრებს შორის, ანუ n > m („უმაღლესი“ ნიშნავს მას, რომელიც მდებარეობს მიმდევრობის დასაწყისიდან უფრო შორს, მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა შეიძლება იყოს მეტი ან ნაკლები. "უმცროსი" ელემენტი).

d პროგრესიის სხვაობის გამოხატულება უნდა შეიცვალოს რომელიმე განტოლებაში პრობლემის გადაჭრის დასაწყისში პირველი წევრის მნიშვნელობის მისაღებად.

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების ჩვენს ეპოქაში, ბევრი სკოლის მოსწავლე ცდილობს იპოვნოს გადაწყვეტილებები მათი დავალებისთვის ინტერნეტში, ამიტომ ხშირად ჩნდება ამ ტიპის კითხვები: იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება ინტერნეტში. ასეთი მოთხოვნისთვის საძიებო სისტემა დააბრუნებს უამრავ ვებ გვერდს, რომლებშიც გადასვლით დაგჭირდებათ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემების შეყვანა (ეს შეიძლება იყოს პროგრესირების ორი ტერმინი ან მათი გარკვეული რაოდენობის ჯამი. ) და მყისიერად მიიღეთ პასუხი. მიუხედავად ამისა, პრობლემის გადაჭრის ეს მიდგომა არაპროდუქტიულია მოსწავლის განვითარებისა და მისთვის დაკისრებული დავალების არსის გააზრების თვალსაზრისით.

გამოსავალი ფორმულების გამოყენების გარეშე

მოდით გადავჭრათ პირველი პრობლემა მოცემული ფორმულის გამოყენების გარეშე. მიეცით რიგის ელემენტები: a6 = 3, a9 = 18. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ცნობილი ელემენტები ზედიზედ ერთმანეთთან ახლოს დგანან. რამდენჯერ უნდა დაემატოს განსხვავება d უმცირესს, რომ მივიღოთ უდიდესი? სამჯერ (პირველად d-ს მიმატებით ვიღებთ მე-7 ელემენტს, მეორედ - მერვეს, ბოლოს, მესამედ - მეცხრეს). რა რიცხვი უნდა დაემატოს სამს სამჯერ, რომ მივიღოთ 18? ეს არის ნომერი ხუთი. ნამდვილად:

ამრიგად, უცნობი განსხვავება d = 5.

რა თქმა უნდა, გამოსავალი შეიძლებოდა განხორციელებულიყო შესაბამისი ფორმულით, მაგრამ ეს არ გაკეთებულა განზრახ. პრობლემის გადაჭრის დეტალური ახსნა უნდა იყოს მკაფიო და ნათელი მაგალითირა არის არითმეტიკული პროგრესია?

წინა მსგავსი დავალება

ახლა მოდით გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა, მაგრამ შევცვალოთ შეყვანის მონაცემები. ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ a3 = 2, a9 = 19.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ კვლავ მიმართოთ გადაწყვეტის მეთოდს "პირდაპირი". მაგრამ ვინაიდან მოცემულია სერიის ელემენტები, რომლებიც შედარებით შორს არიან ერთმანეთისგან, ეს მეთოდი მთლად მოსახერხებელი არ იქნება. მაგრამ მიღებული ფორმულის გამოყენება სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

აქ დავამრგვალეთ საბოლოო რიცხვი. რამდენად გამოიწვია ამ დამრგვალებამ შეცდომა, შეიძლება ვიმსჯელოთ მიღებული შედეგის შემოწმებით:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

ეს შედეგი მხოლოდ 0.1%-ით განსხვავდება პირობით მოცემული მნიშვნელობიდან. ამიტომ, დამრგვალება, რომელიც გამოყენებულია უახლოეს მეასედამდე, შეიძლება ჩაითვალოს წარმატებულ არჩევნად.

ტერმინის ფორმულის გამოყენებასთან დაკავშირებული პრობლემები

განვიხილოთ ამოცანის კლასიკური მაგალითი უცნობი d-ის დასადგენად: იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 12, a5 = 40.

როდესაც მოცემულია უცნობი ალგებრული მიმდევრობის ორი რიცხვი და მათგან ერთი არის ელემენტი a 1, მაშინ არ გჭირდებათ დიდხანს ფიქრი, მაგრამ დაუყოვნებლივ უნდა გამოიყენოთ a n ტერმინის ფორმულა. ამ შემთხვევაში გვაქვს:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

ჩვენ მივიღეთ ზუსტი რიცხვი გაყოფისას, ამიტომ აზრი არ აქვს გამოთვლილი შედეგის სიზუსტის შემოწმებას, როგორც ეს გაკეთდა წინა აბზაცში.

გადავჭრათ კიდევ ერთი მსგავსი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 16, a8 = 37.

ჩვენ ვიყენებთ წინა მსგავსი მიდგომას და ვიღებთ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

კიდევ რა უნდა იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

უცნობი განსხვავების ან ცალკეული ელემენტების პოვნის ამოცანების გარდა, ხშირად საჭიროა მიმდევრობის პირველი წევრთა ჯამის ამოცანების ამოხსნა. ამ პრობლემების განხილვა სცილდება სტატიის ფარგლებს, თუმცა ინფორმაციის სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ზოგად ფორმულას n რიცხვების ჯამისთვის სერიის:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ძირითადიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ გავიგოთ თანხის მნიშვნელობა და ფორმულა. და მერე გადავწყვეტთ. თქვენივე სიამოვნებისთვის.) თანხის მნიშვნელობა ისეთივე მარტივია, როგორც მოო. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა პირობა. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა შველის.

თანხის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n - არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველასწევრებთან ერთად პირველიმიერ ბოლო.ეს მნიშვნელოვანია. ისინი ზუსტად აგროვებენ ყველაწევრები ზედიზედ, გამოტოვების ან გამოტოვების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან მეხუთედან მეოცე პუნქტების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებას გამოიწვევს.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. სერიის ბოლო ნომერი. არც თუ ისე ნაცნობი სახელია, მაგრამ თანხაზე გამოყენებისას ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ - ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. რთული კითხვა: რომელი წევრი იქნება უკანასკნელითუ მოცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?)

თავდაჯერებულად პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, საბოლოო, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა პროგრესია მოცემულია: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების სერია, თუ ფორმულა n-ე წევრისთვის.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. დავალების დროს, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არ მადარდებს, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს ვამხელთ.)

დავალებების მაგალითები არითმეტიკული პროგრესიის ჯამზე.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების ძირითადი სირთულე მდგომარეობს ფორმულის ელემენტების სწორად განსაზღვრაში.

ამოცანების დამწერები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მათი უბრალოდ გაშიფვრა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც ეფუძნება რეალურ GIA-ს.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ მისი პირველი 10 წევრის ჯამი.

კარგი სამუშაო. მარტივია.) რა უნდა ვიცოდეთ ფორმულით თანხის დასადგენად? პირველი წევრი a 1, ბოლო ვადა a nდიახ, ბოლო წევრის ნომერი ნ.

სად შემიძლია მივიღო ბოლო წევრის ნომერი? ნ? დიახ, იქ, იმ პირობით! ნათქვამია: იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა ნომრით იქნება? ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში a 10და სამაგიეროდ ნ-ათი. ვიმეორებ, ბოლო წევრის რაოდენობა ემთხვევა წევრების რაოდენობას.

რჩება განსაზღვრა a 1და a 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია პრობლემის განცხადებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? დაესწარით წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე გზა არ არის.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

ესე იგი. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 = 2.3. იპოვეთ მისი პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

რჩება ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულაში და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nჩვენ უბრალოდ ვცვლით ფორმულას n-ე წევრისთვის და ვიღებთ:

მოდით წარმოვიდგინოთ მსგავსი და მივიღოთ ახალი ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო a n. ზოგიერთ პრობლემაში ეს ფორმულა ძალიან ეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. ან შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

ვაა! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი საერთოდ... როგორ იცხოვრო!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. ჩვენ ვიცით რა არის ორნიშნა რიცხვები. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ა ბოლოორნიშნა რიცხვი? 99, რა თქმა უნდა! სამნიშნაები მოჰყვებიან მას...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის პირობების მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესიით? რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინადან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს დაუმატებთ 2 ან 4-ს, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: d = 3.ეს გამოდგება!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება? ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99, სასიკვდილოდ ცდება... რიცხვები ყოველთვის ზედიზედ მიდის, მაგრამ ჩვენი წევრები სამზე ახტებიან. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ ჩაწეროთ პროგრესია, რიცხვების მთელი სერია და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა დაიმახსოვროთ n-ე ტერმინის ფორმულა. თუ ჩვენს პრობლემას გამოვიყენებთ ფორმულას, აღმოვაჩენთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ჩვენ ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის განცხადებიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება მხოლოდ ელემენტარული არითმეტიკა. ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხი:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ ტერმინების ჯამი მეოცედან ოცდათოთხმეტამდე.

თანხის ფორმულას ვუყურებთ და... ვწუწუნებთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის თანხას. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მთელი პროგრესი სერიებში და დაამატოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ... ეს რაღაცნაირად სულელურია და დიდ დროს მოითხოვს, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით გავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოციდან ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის პირობების ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესირების ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. მოსწონს ეს:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ იპოვნეთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე თანხა მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. დავიწყოთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს პრობლემის განცხადებიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34-ე წევრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

აღარაფერი დარჩა. 34 წევრის ჯამს გამოაკელი 19 წევრის ჯამი:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან სასარგებლო ხრიკი არსებობს. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ ის, რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი სახის „ყურებით გამოცხადება“ ხშირად გიხსნის ბოროტ პრობლემებს.)

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ პრობლემები, რომლებისთვისაც საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც მოიცავს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

ფორმულა n-ე ტერმინისთვის:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ და რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4-ე პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ მისი პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! და გადავწყვიტე ჩემს საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მიმეცა). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს, ხოლო ყოველი მომდევნო დღეს დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი, ვიდრე წინა! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :)

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდი-მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, გრძელი შესავლებით არ დაგტანჯავთ და პირდაპირ საქმეზე გადავალ.

პირველი, რამდენიმე მაგალითი. მოდით შევხედოთ რიცხვების რამდენიმე კომპლექტს:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვებია, ყოველი შემდეგი წინაზე ერთით მეტია. მეორე შემთხვევაში, განსხვავება სერიას შორის მუდმივი ნომრებიუკვე უდრის ხუთს, მაგრამ ეს სხვაობა მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ფესვები საერთოდ არსებობს. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ და $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და ნუ გეშინიათ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იგივე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება უბრძანარიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა შეუძლებელია.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად არის სასრული არითმეტიკული პროგრესია. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე უსასრულო პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს იმაზე, რომ წინ კიდევ რამდენიმე რიცხვია. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად.

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

კარგი, კარგი: ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესია იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ მიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ მოცემული სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ მარცხნივ მდებარე რიცხვი მარჯვენა რიცხვს. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ვხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება რეალურად უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როდესაც ჩვენ მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გაერკვნენ, თუ როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესირების პირობები და განმეორების ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების გაცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\ მარცხნივ(((ა)_(ნ)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((ა)_(1)),\ ((ა)_(2)),((ა)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესირების მეზობელი ტერმინები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ამ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი მხოლოდ წინა (და სინამდვილეში, ყველა წინა) ცოდნით. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო მზაკვრული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებაზე:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ უკვე წააწყდით ამ ფორმულას. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნებში და პრობლემურ წიგნებში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება No1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და სხვაობა $d=-5$ პროგრესიაში. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\მარცხნივ(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; −2)

ესე იგი! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება ვერ მოხერხდა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთიანობის ჩანაცვლებით დავრწმუნდით, რომ პირველივე ვადითაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევაში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება No2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრი უდრის -40-ს, ხოლო მეჩვიდმეტე წევრი უდრის -50-ს.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ნაცნობი ტერმინებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი დავდე იმიტომ, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა აღვნიშნოთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასე ადვილია პროგრესის სხვაობის პოვნა! რჩება მხოლოდ ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (−34; −35; −36)

დააკვირდით პროგრესიის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთს, მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესირების მრავალი პრობლემის გადაჭრა. აი ამის ნათელი მაგალითი:

დავალება No3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრი არის 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, შესაბამისად $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

ესე იგი! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შექმნა და პირველი წევრის და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი მოგვარდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით შევხედოთ სხვა ტიპის პრობლემას - პროგრესის უარყოფითი და დადებითი ტერმინების ძიებას. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება და მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა „პირისპირ“ ელემენტების თანმიმდევრული გავლის გზით. ხშირად პრობლემები ისე იწერება, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - პასუხის პოვნისას უბრალოდ დავიძინებდით. ამიტომ, შევეცადოთ ეს პრობლემები უფრო სწრაფად მოვაგვაროთ.

დავალება No4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში −38,5; −35,8; ...?

გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც მაშინვე ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესირება იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ რამდენ ხანს (ე.ი. რომელ ბუნებრივ რიცხვამდე $n$) რჩება ტერმინების ნეგატიურობა:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორე მხრივ, ჩვენ ვკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი არის ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16. .

დავალება No5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველში და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა დავალების ანალოგიით. მოდით გავარკვიოთ ჩვენი მიმდევრობის რომელ მომენტში გამოჩნდება დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\მარჯვენა ისარი ((n)_(\წთ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ უტოლობის მინიმალური მთელი რიცხვი არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო ამოცანაში ყველაფერი მკაცრ უთანასწორობამდე მივიდა, ასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. ოღონდ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში.

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი ჩაღრმავები

განვიხილოთ $\left((a)_(n)) \right)$ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

რიცხვთა წრფეზე არითმეტიკული პროგრესიის პირობები

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა ზოგიერთი $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ და ა.შ. იმის გამო, რომ წესი, რომლის შესახებაც ახლა მოგიყვებით, იგივე მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და ჩავწეროთ ყველა მონიშნული ტერმინისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მერე რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ ერთსა და იმავე მანძილზეა $((a)_(n)) $-დან. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იმავე მანძილზე უდრის $2d$-ს. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის ილუსტრირებული სურათზე

პროგრესირების პირობები დევს ცენტრიდან იმავე მანძილზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ $((a)_(n))$ შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი უდრის მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია დავიხიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და ფორმულა მაინც სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლოს. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი პრობლემა სპეციალურად არის მორგებული საშუალო არითმეტიკის გამოსაყენებლად. შეხედე:

დავალება No6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ არის თანმიმდევრული ტერმინები. არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. ვინაიდან ეს რიცხვები პროგრესიის წევრები არიან, მათთვის საშუალო არითმეტიკული პირობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტების მიხედვით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კლასიკური აღმოჩნდა კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2.

დავალება No7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $-1;4-3;(()^(2))+1$ ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას (ამ თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. მოდით კვლავ გამოვხატოთ შუა რიცხვი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2 \მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არის ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში გამოგივათ რაღაც სასტიკი რიცხვები, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავწყვიტეთ პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები −3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიან. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ რიცხვები −54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამრიგად, პრობლემა სწორად მოგვარდა. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველი და ბოლო საშუალო არითმეტიკული, მაშინ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის პირობებზე დაყრდნობით. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობაში“ ჩაერთვებით, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და შეჯამება

ისევ რიცხვთა ღერძს დავუბრუნდეთ. აქვე აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტი

შევეცადოთ გამოვხატოთ „მარცხენა კუდი“ $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო „მარჯვენა კუდი“ $((a)_(k))$-ით და $d$-ით. ძალიან მარტივია:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ დასაწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან გადადგმულ ნაბიჯს საპირისპირო მიმართულებით (ერთმანეთისკენ ან პირიქით გადაადგილებისთვის), მაშინ ელემენტების ჯამები, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე ტოლი იქნება$S$. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად წარმოდგენილი გრაფიკულად:

თანაბარი ჩაღრმავები იძლევა თანაბარ რაოდენობას

გაგება ეს ფაქტისაშუალებას მოგვცემს პრობლემების ფუნდამენტურად მეტი გადაჭრა მაღალი დონისსირთულეები, ვიდრე ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ესენი:

დავალება No8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი ყველაზე მცირეა.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით პროგრესირების სხვაობა $d$. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, ვინაიდან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \მარჯვნივ)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო (გასწორება)\]

ავზში მყოფთათვის: მე ავიღე 11-ის საერთო მულტიპლიკატორი მეორე ფრჩხილიდან. ამრიგად, საჭირო პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ გავაფართოვებთ ფრჩხილებს, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, უმაღლესი წევრის კოეფიციენტი არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვი, ასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან აღმავალი ტოტებით:

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი - პარაბოლა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვეროზე $((d)_(0))$ აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემის გამოყენებით (არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ უფრო გონივრული იქნებოდა აღნიშვნა. რომ სასურველი წვერო დევს პარაბოლას ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $((d)_(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი საპოვნელი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის −66 და −6 რიცხვების საშუალო არითმეტიკულს:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას (სხვათა შორის, ჩვენ არასდროს გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ეს ჩვენგან არ არის საჭირო). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის ორიგინალური პროგრესიის განსხვავება, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება No9. $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ჩადეთ სამი რიცხვი ისე, რომ ამ ციფრებთან ერთად მათ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გამოსავალი. არსებითად, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვები ავღნიშნოთ $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ჩვენ ვართ $x$ და $z$ რიცხვებიდან მომენტშიჩვენ ვერ მივიღებთ $y$-ს, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესის ბოლოებით. გავიხსენოთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს რიცხვებს შორის: $-\frac(1)(2)$ და $y=-\frac(1)(3)$, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ. ამიტომაც

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება No10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვებიდან პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გამოსავალი. კიდევ უფრო რთული პრობლემა, რომელიც, თუმცა, წყდება იგივე სქემით, როგორც წინა - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმაა საჭირო. მაშასადამე, დანამდვილებით დავუშვათ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, საჭირო არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((ა)_(3))-((ა)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი პირობების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი პრობლემა. ასე მარტივია: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს პრობლემები შეიძლება რთული ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, ეს არის პრობლემების ტიპები, რომლებიც ჩნდება OGE-სა და მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება No11. გუნდმა იანვარში დაამზადა 62 ნაწილი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში 14-ით მეტი ნაწილი გამოუშვა, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი ნაწილი დაამზადა გუნდმა ნოემბერში?

გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით ჩამოთვლილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის წარმოება მოხდება.

დავალება No12. იანვარში წიგნების აკინძვის სახელოსნომ 216 წიგნი შეკრა, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში წინა თვესთან შედარებით 4 წიგნით მეტი შეკრა. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გამოსავალი. ყველაფერი იგივეა:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ არითმეტიკული პროგრესიების "ახალგაზრდა მებრძოლის კურსი". შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.