კვადრატული განტოლება - ადვილად ამოსახსნელი! *შემდგომში მოხსენიებული, როგორც „KU“.მეგობრებო, როგორც ჩანს, მათემატიკაში არაფერია მარტივი, ვიდრე ასეთი განტოლების ამოხსნა. მაგრამ რაღაცამ მითხრა, რომ ბევრს აქვს მასთან პრობლემები. გადავწყვიტე მენახა, რამდენ შთაბეჭდილებას აწვდის Yandex-ს მოთხოვნით თვეში. აი რა მოხდა, ნახეთ:

რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თვეში დაახლოებით 70 000 ადამიანი ეძებს ამ ინფორმაციას და ეს ზაფხულია და რა იქნება სასწავლო წლის განმავლობაში - ორჯერ მეტი მოთხოვნა იქნება. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ის ბიჭები და გოგონები, რომლებმაც სკოლა დიდი ხნის წინ დაამთავრეს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ემზადებიან, ამ ინფორმაციას ეძებენ და სკოლის მოსწავლეებიც ცდილობენ მეხსიერების განახლებას.

იმისდა მიუხედავად, რომ უამრავი საიტია, რომელიც გეტყვით, როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება, მე გადავწყვიტე მეც შემეტანა წვლილი და გამოვაქვეყნო მასალა. უპირველეს ყოვლისა, მინდა, რომ ვიზიტორები მოვიდნენ ჩემს საიტზე ამ მოთხოვნის საფუძველზე; მეორეც, სხვა სტატიებში, როცა „KU“-ს თემა გაჩნდება, ამ სტატიის ბმულს მივცემ; მესამე, მე გეტყვით ცოტა მეტს მისი გადაწყვეტის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივ ნათქვამია სხვა საიტებზე. მოდი დავიწყოთ!სტატიის შინაარსი:

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

სადაც კოეფიციენტები a,ბდა c არის თვითნებური რიცხვები, a≠0-ით.

სასკოლო კურსში მასალა მოცემულია შემდეგი ფორმით - განტოლებები იყოფა სამ კლასად:

1. მათ აქვთ ორი ფესვი.

2. *ჰქონდეთ მხოლოდ ერთი ფესვი.

3. მათ არ აქვთ ფესვები. აქ განსაკუთრებით უნდა აღინიშნოს, რომ მათ არ აქვთ რეალური ფესვები

როგორ გამოითვლება ფესვები? უბრალოდ!

ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს. ამ "საშინელი" სიტყვის ქვეშ არის ძალიან მარტივი ფორმულა:

ფესვის ფორმულები შემდეგია:

*ეს ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ და გადაჭრათ:

მაგალითი:

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

2. თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

3. თუ დ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

მოდით შევხედოთ განტოლებას:

ავტორი ამ შემთხვევაში, როცა დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, სკოლის კურსში ნათქვამია, რომ შედეგი არის ერთი ფესვი, აქ უდრის ცხრას. ყველაფერი სწორია, ასეა, მაგრამ...

ეს აზრი გარკვეულწილად არასწორია. სინამდვილეში, არსებობს ორი ფესვი. დიახ, დიახ, ნუ გაგიკვირდებათ, თქვენ მიიღებთ ორ თანაბარ ფესვს და მათემატიკურად ზუსტი რომ ვიყოთ, მაშინ პასუხი უნდა დაწეროს ორი ფესვი:

x 1 = 3 x 2 = 3

მაგრამ ეს ასეა - მცირე გადახვევა. სკოლაში შეგიძლიათ დაწეროთ და თქვათ, რომ ერთი ფესვია.

ახლა შემდეგი მაგალითი:

როგორც ვიცით, უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება შეუძლებელია, ამიტომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ეს არის გადაწყვეტილების მთელი პროცესი.

კვადრატული ფუნქცია.

ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება გამოსავალი გეომეტრიულად. ამის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია (მომავალში, ერთ-ერთ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნას).

ეს არის ფორმის ფუნქცია:

სადაც x და y არის ცვლადები

a, b, c – მოცემული რიცხვები, a ≠ 0-ით

გრაფიკი არის პარაბოლა:

ანუ, გამოდის, რომ კვადრატული განტოლების ამოხსნით „y“ ნულის ტოლი, ვპოულობთ პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. ამ წერტილებიდან შეიძლება იყოს ორი (დისკრიმინანტი დადებითია), ერთი (დისკრიმინანტი არის ნული) და არცერთი (დისკრიმინანტი უარყოფითია). დეტალები კვადრატული ფუნქციის შესახებ შეგიძლიათ ნახოთინა ფელდმანის სტატია.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1: ამოხსნა 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

პასუხი: x 1 = 8 x 2 = –12

*შესაძლებელია განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის დაუყოვნებლივ გაყოფა 2-ზე, ანუ მისი გამარტივება. გათვლები უფრო ადვილი იქნება.

მაგალითი 2: გადაწყვიტე x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ x 1 = 11 და x 2 = 11

დასაშვებია პასუხში x = 11 ჩაწერა.

პასუხი: x = 11

მაგალითი 3: გადაწყვიტე x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალურ რიცხვებში გამოსავალი არ არის.

პასუხი: გამოსავალი არ არის

დისკრიმინანტი უარყოფითია. გამოსავალი არსებობს!

აქ ვისაუბრებთ განტოლების ამოხსნაზე იმ შემთხვევაში, როდესაც მიიღება უარყოფითი დისკრიმინანტი. კომპლექსური რიცხვების შესახებ იცით რამე? აქ დეტალურად არ განვიხილავ, თუ რატომ და სად გაჩნდა ისინი და რა არის მათი კონკრეტული როლი და აუცილებლობა მათემატიკაში, ეს არის დიდი ცალკეული სტატიის თემა.

რთული რიცხვის კონცეფცია.

ცოტა თეორია.

რთული რიცხვი z არის ფორმის რიცხვი

z = a + bi

სადაც a და b რეალური რიცხვებია, i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული.

ა+ბი - ეს არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

წარმოსახვითი ერთეული უდრის მინუს ერთის ფესვს:

ახლა განიხილეთ განტოლება:

ვიღებთ ორ კონიუგატულ ფესვს.

არასრული კვადრატული განტოლება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები, როდესაც კოეფიციენტი “b” ან “c” უდრის ნულს (ან ორივე ტოლია ნულის). მათი მოგვარება მარტივად შეიძლება ყოველგვარი დისკრიმინაციული საკითხების გარეშე.

შემთხვევა 1. კოეფიციენტი b = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით გარდავქმნათ:

მაგალითი:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

შემთხვევა 2. კოეფიციენტი c = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით ტრანსფორმირება და ფაქტორიზაცია:

* ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითი:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ან x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

შემთხვევა 3. კოეფიციენტები b = 0 და c = 0.

აქ ცხადია, რომ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

სასარგებლო თვისებები და კოეფიციენტების ნიმუშები.

არსებობს თვისებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლებები დიდი კოეფიციენტებით.

აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა + ბ+ c = 0,რომ

- თუ განტოლების კოეფიციენტებისთვის აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა+ c =ბ, რომ

ეს თვისებები ხელს უწყობს გარკვეული ტიპის განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

შანსების ჯამი არის 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, რაც ნიშნავს

მაგალითი 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

თანასწორობა მოქმედებს ა+ c =ბ, ნიშნავს

კოეფიციენტების კანონზომიერებები.

1. თუ განტოლებაში ax 2 + bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. თუ განტოლებაში ax 2 – bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. თუ განტოლებაში. ax 2 + bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 - 1) და კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები თანაბარია

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. თუ განტოლებაში ax 2 – bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 – 1), ხოლო c კოეფიციენტი რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ვიეტას თეორემა.

ვიეტას თეორემა ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელს ატარებს. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვხატოთ თვითნებური KU-ს ფესვების ჯამი და ნამრავლი მისი კოეფიციენტების მიხედვით.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

საერთო ჯამში რიცხვი 14 იძლევა მხოლოდ 5-ს და 9-ს. ეს ფესვებია. გარკვეული ოსტატობით, წარმოდგენილი თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება ზეპირად.

გარდა ამისა, ვიეტას თეორემა. მოსახერხებელია იმით, რომ კვადრატული განტოლების ჩვეული გზით ამოხსნის შემდეგ (დისკრიმინანტის საშუალებით) შესაძლებელია მიღებული ფესვების შემოწმება. გირჩევთ ამის გაკეთებას ყოველთვის.

ტრანსპორტირების მეთოდი

ამ მეთოდით კოეფიციენტი „ა“ მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს „გააგდეს“ მასზე, რის გამოც მას ე.წ. "გადაცემის" მეთოდი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემის გამოყენებით და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი არის ზუსტი კვადრატი.

თუ ა± ბ+გ≠ 0, შემდეგ გამოიყენება გადაცემის ტექნიკა, მაგალითად:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ვიეტას თეორემის გამოყენებით (2) განტოლებაში ადვილია იმის დადგენა, რომ x 1 = 10 x 2 = 1

განტოლების შედეგად მიღებული ფესვები უნდა გაიყოს 2-ზე (რადგან ეს ორი "გადააგდეს" x 2-დან), მივიღებთ

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

რა არის დასაბუთება? შეხედე რა ხდება.

(1) და (2) განტოლებების დისკრიმინანტები ტოლია:

თუ გადავხედავთ განტოლებების ფესვებს, მიიღებთ მხოლოდ სხვადასხვა მნიშვნელებს და შედეგი დამოკიდებულია ზუსტად x 2 კოეფიციენტზე:

მეორეს (შეცვლილ) აქვს 2-ჯერ დიდი ფესვები.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვყოფთ შედეგს 2-ზე.

*თუ სამს გადავატრიალებთ, შედეგს გავყოფთ 3-ზე და ა.შ.

პასუხი: x 1 = 5 x 2 = 0.5

კვ. ur-ie და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

მოკლედ გეტყვით მის მნიშვნელობაზე - თქვენ უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება სწრაფად და დაუფიქრებლად, თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ ფესვებისა და დისკრიმინანტების ფორმულები. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში შეტანილი ბევრი პრობლემა მოდის კვადრატული განტოლების ამოხსნით (გეომეტრიულიც).

აღნიშვნის ღირსი რამეა!

1. განტოლების დაწერის ფორმა შეიძლება იყოს „იმპლიციტური“. მაგალითად, შესაძლებელია შემდეგი ჩანაწერი:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ან 15x+42+9x 2 - 45x=0 ან 15 -5x+10x 2 = 0.

თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში (ისე, რომ არ დაიბნეთ ამოხსნისას).

2. გახსოვდეთ, რომ x უცნობი სიდიდეა და მისი აღნიშვნა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვა ასოთი - t, q, p, h და სხვა.

უბრალოდ. ფორმულებისა და მკაფიო, მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე

აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ფორმამდე:

თუ განტოლება უკვე მოგეცემათ ამ ფორმით, თქვენ არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება. მთავარია ამის სწორად გაკეთება

განსაზღვრეთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა.

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი . როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ჩვენ

ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტებიდან კვადრატული განტოლება. უბრალოდ ფრთხილად ჩადეთ

ღირებულებები a, b და cჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფორმულაში. ჩვენ ვცვლით მათინიშნები!

მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ = -4.

ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს და ვწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა ა, ბდა თან. უფრო სწორად, ჩანაცვლებით

უარყოფითი მნიშვნელობებიფესვების გამოთვლის ფორმულაში. ფორმულის დეტალური ჩანაწერი სამაშველოში მოდის

თან კონკრეტული ნომრები. თუ პრობლემები გაქვთ გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთეთ ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ჩვენ აღვწერთ ყველაფერს დეტალურად, ფრთხილად, არაფრის გამოტოვების გარეშე ყველა ნიშნით და ფრჩხილებით:

კვადრატული განტოლებები ხშირად ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

პირველი დანიშვნა. მანამდე არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

რას ნიშნავს ეს?

ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.

სწორად შექმენით მაგალითი. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. მოსწონს ეს:

მოიშორეთ მინუსი. როგორ? მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა.

თავად გადაწყვიტეთ. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1.

მიღება მეორე.შეამოწმეთ ფესვები! ავტორი ვიეტას თეორემა.

მოცემულის გადასაჭრელად კვადრატული განტოლებები, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

x 2 +bx+c=0,

მერეx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−ბ

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც a≠1:

x 2 +ბx+გ=0,

გავყოთ მთელი განტოლება A:

→ →

სად x 1და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლე

განტოლება საერთო მნიშვნელით.

დასკვნა. პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, გამოვრიცხავთ მას ყველაფრის გამრავლებით.

განტოლებები -1-ით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამისზე გამრავლებით.

ფაქტორი.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის შემოწმება მარტივად შეიძლება

“, ანუ პირველი ხარისხის განტოლებები. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ რასაც კვადრატული განტოლება ჰქვიადა როგორ მოვაგვაროთ.

რა არის კვადრატული განტოლება?

მნიშვნელოვანი!

განტოლების ხარისხი განისაზღვრება უცნობის უმაღლესი ხარისხით.

თუ მაქსიმალური სიმძლავრე, რომელშიც უცნობია "2", მაშინ თქვენ გაქვთ კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლებების მაგალითები

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

მნიშვნელოვანი! კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმა ასე გამოიყურება:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" და "c" მოცემულია ნომრები.

• "a" არის პირველი ან უმაღლესი კოეფიციენტი;
• „ბ“ არის მეორე კოეფიციენტი;
• "c" არის თავისუფალი წევრი.

"a", "b" და "c"-ს საპოვნელად თქვენ უნდა შეადაროთ თქვენი განტოლება კვადრატული განტოლების ზოგად ფორმას "ax 2 + bx + c = 0".

ვივარჯიშოთ კვადრატულ განტოლებებში „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების განსაზღვრაში.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

განტოლება	შანსები
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები

განსხვავებით წრფივი განტოლებებიკვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად სპეციალური ფესვების პოვნის ფორმულა.

გახსოვდეს!

კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

• მიიტანეთ კვადრატული განტოლება ზოგად ფორმამდე "ax 2 + bx + c = 0".
• ანუ, მხოლოდ "0" უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს;

გამოიყენეთ ფორმულა ფესვებისთვის:

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ამოხსნათ კვადრატული განტოლება.

X 2 − 3x − 4 = 0 განტოლება „x 2 − 3x − 4 = 0“ უკვე დაყვანილია ზოგადი ფორმით „ax 2 + bx + c = 0“ და არ საჭიროებს დამატებით გამარტივებებს. მის გადასაჭრელად, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივმართოთ.

კვადრატული განტოლების ფესვების მოძიების ფორმულა

მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.
მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.
მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.
მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.

x 1;2 =

მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.
ფორმულაში "x 1;2 =" რადიკალური გამოხატულება ხშირად იცვლება

„b 2 − 4ac“ ასო „D“-სთვის და ეწოდება დისკრიმინანტი. დისკრიმინანტის ცნება უფრო დეტალურად არის განხილული გაკვეთილზე „რა არის დისკრიმინანტი“.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლების სხვა მაგალითს.

x 2 + 9 + x = 7x

ამ ფორმით საკმაოდ რთულია „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების დადგენა. ჯერ განტოლება შევამციროთ ზოგად ფორმამდე „ax 2 + bx + c = 0“.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ფესვებისთვის.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

6

2

x =
x = 3

პასუხი: x = 3

არის დრო, როდესაც კვადრატულ განტოლებებს ფესვები არ აქვთ. ეს სიტუაცია ხდება მაშინ, როდესაც ფორმულა შეიცავს უარყოფით რიცხვს ფესვის ქვეშ.

კვადრატული განტოლებები. დისკრიმინანტი. გამოსავალი, მაგალითები.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."

და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

კვადრატული განტოლებების სახეები რა არის კვადრატული განტოლება? რას ჰგავს? ვადითკვადრატული განტოლება საკვანძო სიტყვა არის"კვადრატი". ეს ნიშნავს, რომ განტოლებაშიაუცილებლად უნდა იყოს x კვადრატი. გარდა ამისა, განტოლება შეიძლება (ან შეიძლება არა!) შეიცავდეს მხოლოდ X (პირველ ხარისხამდე) და მხოლოდ რიცხვს.(თავისუფალი წევრი).

და არ უნდა იყოს X-ები ორზე მეტი სიმძლავრით.

აქ a, b და cმათემატიკური თვალსაზრისით, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება: - რამდენიმე რიცხვი.ბ და გ ა- აბსოლუტურად ნებისმიერი, მაგრამ

აქ ა =1; ბ = 3; გ = -4

აქ ა =2; ბ = -0,5; გ = 2,2

აქ ა =-3; ბ = 6; გ = -18

- არაფერი, გარდა ნულისა. მაგალითად:

აბა, გესმის... ამ კვადრატულ განტოლებებში მარცხნივ არისსრული კომპლექტი წევრები. X კვადრატში კოეფიციენტით x პირველ ხარისხამდე კოეფიციენტით ბდა თავისუფალი წევრი ს.

ასეთ კვადრატულ განტოლებებს ე.წ სავსე.

რა მოხდება, თუ ბ= 0, რას მივიღებთ? გვაქვს X დაიკარგება პირველი ძალა.ეს ხდება ნულზე გამრავლებისას.) გამოდის, მაგალითად:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

და ა.შ. და თუ ორივე კოეფიციენტი ბდა გნულის ტოლია, მაშინ ეს კიდევ უფრო მარტივია:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ისეთ განტოლებებს, სადაც რაღაც აკლია, ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლებები.რაც საკმაოდ ლოგიკურია.) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ x კვადრატი ყველა განტოლებაშია.

სხვათა შორის, რატომ ანულის ტოლი არ შეიძლება? და თქვენ შეცვალეთ ამის ნაცვლად ანული.) ჩვენი X კვადრატი გაქრება! განტოლება გახდება წრფივი. და გამოსავალი სულ სხვაა...

ეს არის კვადრატული განტოლების ყველა ძირითადი ტიპი. სრული და არასრული.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

კვადრატული განტოლებები ადვილად ამოსახსნელია. ფორმულებისა და მკაფიო, მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ფორმამდე:

თუ განტოლება უკვე მოგცემთ ამ ფორმით, არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება.) მთავარია სწორად განსაზღვროთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი. მაგრამ უფრო მეტი მის შესახებ ქვემოთ. როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტები კვადრატული განტოლებიდან. უბრალოდ ფრთხილად შეცვალეთ მნიშვნელობები a, b და cჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფორმულაში. შევცვალოთ საკუთარი ნიშნებით! მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ= -4. აქვე ჩავწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ძალიან მარტივია. და რა, თქვენ ფიქრობთ, რომ შეუძლებელია შეცდომის დაშვება? ჰო, როგორ...

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა a, b და c. უფრო სწორად, არა მათი ნიშნებით (სად უნდა დაბნეული?), არამედ უარყოფითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. რაც აქ დაგვეხმარება არის ფორმულის დეტალური ჩაწერა კონკრეტული ციფრებით. თუ პრობლემებია გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთე ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ვთქვათ, იცით, რომ იშვიათად იღებთ პასუხებს პირველად.

კარგი, ნუ დაიზარებ. დამატებით სტრიქონის ჩაწერას დაახლოებით 30 წამი დასჭირდება და შეცდომების რაოდენობა მკვეთრად შემცირდება. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ დეტალურად, ყველა ფრჩხილით და ნიშნით:

წარმოუდგენლად რთულია ასე ფრთხილად დაწერა. მაგრამ ეს მხოლოდ ასე ჩანს. სცადე. კარგად, ან აირჩიე. რა არის უკეთესი, სწრაფი თუ სწორი?

მაგრამ, ხშირად, კვადრატული განტოლებები ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

იცოდი?) დიახ! ეს არასრული კვადრატული განტოლებები.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

მათი გადაჭრა ასევე შესაძლებელია ზოგადი ფორმულის გამოყენებით. თქვენ უბრალოდ უნდა გაიგოთ სწორად, რას უდრის ისინი აქ. a, b და c.

გაარკვიე? პირველ მაგალითში a = 1; b = -4;ა გ? საერთოდ არ არის იქ! დიახ, ეს ასეა. მათემატიკაში ეს იმას ნიშნავს c = 0 ! ესე იგი. ჩაანაცვლეთ ნული ფორმულაში გ,და ჩვენ წარმატებას მივაღწევთ. იგივე მეორე მაგალითზე. მხოლოდ აქ ნული არ გვაქვს თან, ა ბ !

მაგრამ არასრული კვადრატული განტოლებები შეიძლება გადაიჭრას ბევრად უფრო მარტივად. ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. განვიხილოთ პირველი არასრული განტოლება. რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მარცხენა მხარეს? შეგიძლიათ ამოიღოთ X ფრჩხილებიდან! მოდი ამოვიღოთ.

მერე რა? და ის ფაქტი, რომ პროდუქტი უდრის ნულს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ფაქტორი უდრის ნულს! არ გჯერა? კარგი, მაშინ გამოიტანე ორი არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს!
არ მუშაობს? ესე იგი...
ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით დავწეროთ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ყველა. ეს იქნება ჩვენი განტოლების ფესვები. ორივე შესაფერისია. რომელიმე მათგანის თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ სწორ იდენტურობას 0 = 0. როგორც ხედავთ, გამოსავალი ბევრად უფრო მარტივია, ვიდრე ზოგადი ფორმულის გამოყენება. ნება მომეცით აღვნიშნო, სხვათა შორის, რომელი X იქნება პირველი და რომელი მეორე - აბსოლუტურად გულგრილი. მოსახერხებელია თანმიმდევრობით დაწერა, x 1- რაც უფრო პატარაა და x 2- რაც უფრო დიდია.

მეორე განტოლება ასევე მარტივად შეიძლება ამოხსნას. გადაიტანეთ 9 მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება 9-დან და ეს არის ის. გამოვა:

ასევე ორი ფესვი . x 1 = -3, x 2 = 3.

ასე წყდება ყველა არასრული კვადრატული განტოლება. ან X-ის ფრჩხილებიდან მოთავსებით, ან უბრალოდ ნომრის მარჯვნივ გადაადგილებით და შემდეგ ფესვის ამოღებით.
ძალიან რთულია ამ ტექნიკის აღრევა. უბრალოდ იმიტომ, რომ პირველ შემთხვევაში მოგიწევთ X-ის ფესვის ამოღება, რომელიც რატომღაც გაუგებარია, ხოლო მეორე შემთხვევაში ფრჩხილებიდან ამოსაღები არაფერია...

დისკრიმინანტი. დისკრიმინაციული ფორმულა.

ჯადოსნური სიტყვა დისკრიმინანტი ! იშვიათად გიმნაზიის მოსწავლეს ეს სიტყვა არ გაუგია! ფრაზა "ჩვენ ვწყვეტთ დისკრიმინანტის მეშვეობით" შთააგონებს ნდობას და დარწმუნებას. იმიტომ რომ დისკრიმინანტისგან ხრიკების მოლოდინი არ არის საჭირო! მარტივი და უპრობლემოდ გამოსაყენებელია.) შეგახსენებთ ამოხსნის ყველაზე ზოგად ფორმულას ნებისმიერიკვადრატული განტოლებები:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულ გამონათქვამს დისკრიმინანტი ეწოდება. როგორც წესი, დისკრიმინანტი აღინიშნება ასოებით დ. დისკრიმინაციული ფორმულა:

D = b 2 - 4ac

და რა არის ასეთი საყურადღებო ამ გამოთქმაში? რატომ დაიმსახურა განსაკუთრებული სახელი? რა დისკრიმინანტის მნიშვნელობა?ბოლოს და ბოლოს -ბ,ან 2აამ ფორმულაში კონკრეტულად არაფერს არ ეძახიან... ასოები და ასოები.

აი საქმე. ამ ფორმულის გამოყენებით კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შესაძლებელია მხოლოდ სამი შემთხვევა.

1. დისკრიმინანტი დადებითია.ეს ნიშნავს, რომ მისგან ფესვის ამოღება შესაძლებელია. კარგად არის ამოღებული ფესვი თუ ცუდად, ეს სხვა საკითხია. მთავარია რა არის მოპოვებული პრინციპში. მაშინ თქვენს კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ორი განსხვავებული გამოსავალი.

2. დისკრიმინანტი არის ნული.მაშინ გექნებათ ერთი გამოსავალი. ვინაიდან მრიცხველში ნულის შეკრება ან გამოკლება არაფერს ცვლის. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არ არის ერთი ფესვი, არამედ ორი იდენტური. მაგრამ, გამარტივებულ ვერსიაში, ჩვეულებრივად არის საუბარი ერთი გამოსავალი.

3. დისკრიმინანტი უარყოფითია.უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია. ოჰ კარგად. ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

გულწრფელად რომ ვთქვათ, როდის მარტივი გამოსავალიკვადრატული განტოლებები, დისკრიმინანტის ცნება განსაკუთრებით არ არის საჭირო. ჩვენ ვანაცვლებთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს ფორმულაში და ვითვლით. იქ ყველაფერი თავისთავად ხდება, ორი ფესვი, ერთი და არც ერთი. თუმცა, უფრო რთული ამოცანების გადაჭრისას, ცოდნის გარეშე დისკრიმინანტის მნიშვნელობა და ფორმულავერ ხვდება. განსაკუთრებით პარამეტრებთან განტოლებებში. ასეთი განტოლებები არის აერობატიკა სახელმწიფო გამოცდისთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის!)

ასე რომ, როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებებიიმ დისკრიმინანტის მეშვეობით, რომელიც გაგახსენდა. ან ისწავლეთ, რაც ასევე არ არის ცუდი.) თქვენ იცით, როგორ სწორად განსაზღვროთ a, b და c. იცი როგორ? ყურადღებითჩაანაცვლეთ ისინი ფესვის ფორმულაში და ყურადღებითდაითვალეთ შედეგი. თქვენ გესმით, რომ მთავარი სიტყვა აქ არის ყურადღებით?

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას. იგივე, რაც უყურადღებობის გამოა... რისთვისაც მოგვიანებით მტკივნეული და შეურაცხმყოფელი ხდება...

პირველი დანიშვნა . არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე და მიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმამდე. რას ნიშნავს ეს?
ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.ააგეთ მაგალითი სწორად. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. მოსწონს ეს:

და კიდევ, ნუ ჩქარობ! X კვადრატის წინ მინუსმა შეიძლება ნამდვილად გაგაბრაზოთ. ადვილი დასავიწყებელია... მოიშორე მინუსი. როგორ? დიახ, როგორც წინა თემაში იყო ნასწავლი! მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა. თავად გადაწყვიტეთ.

მიღება მეორე. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1. შეამოწმეთ ფესვები! ვიეტას თეორემის მიხედვით. ნუ გეშინია, ყველაფერს აგიხსნი! შემოწმებაგანტოლება. იმათ. ის, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით ძირეული ფორმულის ჩასაწერად. თუ (როგორც ამ მაგალითში) კოეფიციენტი a = 1, ფესვების შემოწმება მარტივია. საკმარისია მათი გამრავლება. შედეგი უნდა იყოს თავისუფალი წევრი, ე.ი. ჩვენს შემთხვევაში -2. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, არა 2, არამედ -2! თავისუფალი წევრი შენი ნიშნით . თუ ეს არ გამოდგება, ეს ნიშნავს, რომ ისინი უკვე სადღაც გაფუჭდნენ. მოძებნეთ შეცდომა.

თუ ეს მუშაობს, თქვენ უნდა დაამატოთ ფესვები. ბოლო და საბოლოო შემოწმება. კოეფიციენტი უნდა იყოს ბთან საპირისპირო ნაცნობი. ჩვენს შემთხვევაში -1+2 = +1. კოეფიციენტი ბ, რომელიც X-ის წინ დგას, უდრის -1-ს. ასე რომ, ყველაფერი სწორია!
სამწუხაროა, რომ ეს ასე მარტივია მხოლოდ იმ მაგალითებისთვის, სადაც x კვადრატი სუფთაა, კოეფიციენტით a = 1.მაგრამ მაინც შეამოწმეთ ასეთი განტოლებები! უფრო და უფრო ნაკლები შეცდომები იქნება.

მიღება მესამე . თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლეთ განტოლება საერთო მნიშვნელზე, როგორც ეს აღწერილია გაკვეთილზე „როგორ ამოხსნათ განტოლებები? იდენტობის გარდაქმნები“. წილადებთან მუშაობისას, გარკვეული მიზეზების გამო, ჩნდება შეცდომები...

სხვათა შორის, მე დავპირდი, რომ ბოროტი მაგალითი გავამარტივებდი მინუსების წყობით. გთხოვთ! აი ის არის.

იმისათვის, რომ მინუსებმა არ აგვერიოს, განტოლებას ვამრავლებთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

ესე იგი! ამოხსნა სიამოვნებაა!

მაშ ასე, შევაჯამოთ თემა.

პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, მას გამოვრიცხავთ მთელი განტოლების -1-ზე გამრავლებით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამის ფაქტორზე გამრავლებით.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის გადამოწმება მარტივად შეიძლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. გააკეთე ეს!

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

პასუხები (არეულად):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ნებისმიერი რიცხვი

x 1 = -3
x 2 = 3

არ არის გადაწყვეტილებები

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ყველაფერი ჯდება? დიდი! კვადრატული განტოლებები არ არის თქვენი თავის ტკივილი. პირველი სამი მუშაობდა, მაგრამ დანარჩენი არა? მაშინ პრობლემა არ არის კვადრატულ განტოლებებში. პრობლემა განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებშია. გადახედე ლინკს, სასარგებლოა.

მთლად არ გამოდის? ან საერთოდ არ გამოდის? შემდეგ განყოფილება 555 დაგეხმარებათ. ნაჩვენებია მთავარიშეცდომები გამოსავალში. რა თქმა უნდა, ჩვენ ასევე ვსაუბრობთ იდენტური გარდაქმნების გამოყენებაზე სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას. ძალიან ეხმარება!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა:გასანოვი A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები // ახალგაზრდა მეცნიერი. 2016. No6.1. გვ 17-20..02.2019).



ჩვენი პროექტი ეხება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზებს. პროექტის მიზანი: ვისწავლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა სასკოლო სასწავლო გეგმაში არ შედის. დავალება: იპოვე ყველაფერი შესაძლო გზებიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა და მათი გამოყენების სწავლა და ამ მეთოდების გაცნობა თანაკლასელებისთვის.

რა არის "კვადრატული განტოლებები"?

კვადრატული განტოლება- ფორმის განტოლება ცული2 + bx + c = 0, სად ა, ბ, გ- რამდენიმე რიცხვი ( a ≠ 0), x- უცნობი.

a, b, c რიცხვებს უწოდებენ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებს.

• a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი;
• b ეწოდება მეორე კოეფიციენტი;
• გ - თავისუფალი წევრი.

ვინ იყო პირველი, ვინც "გამოიგონა" კვადრატული განტოლებები?

წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთი ალგებრული ტექნიკა ცნობილი იყო 4000 წლის წინ ძველ ბაბილონში. უძველესი ბაბილონური თიხის ფირფიტების აღმოჩენა, რომელიც თარიღდება სადღაც ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 1800-დან 1600 წლამდე, იძლევა კვადრატული განტოლებების შესწავლის ყველაზე ადრეულ მტკიცებულებას. იგივე ტაბლეტები შეიცავს მეთოდებს გარკვეული ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის.

არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა ჯერ კიდევ უძველეს დროში გამოწვეული იყო მიწის ნაკვეთების ტერიტორიების მოძიებასთან და სამხედრო ხასიათის გათხრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით. როგორც თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებასთან ერთად.

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე ნაპოვნი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ გადაწყვეტილებებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი. მიუხედავად იმისა მაღალი დონისალგებრის განვითარება ბაბილონში, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

ბაბილონელი მათემატიკოსები დაახლოებით IV საუკუნიდან ჩვენს წელთაღრიცხვამდე. გამოიყენა კვადრატის კომპლიმენტის მეთოდი დადებითი ფესვებით განტოლებების ამოსახსნელად. დაახლოებით 300 წ ევკლიდემ მოიფიქრა უფრო ზოგადი გეომეტრიული ამოხსნის მეთოდი. პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც უარყოფითი ფესვების მქონე განტოლებების ამონახსნები ალგებრული ფორმულის სახით იპოვა, იყო ინდოელი მეცნიერი. ბრაჰმაგუპტა(ინდოეთი, ჩვენი წელთაღრიცხვით VII საუკუნე).

ბრაჰმაგუპტამ ჩამოაყალიბა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის, რომელიც შემცირებულია ერთ კანონიკურ ფორმაზე:

ax2 + bx = c, a>0

ამ განტოლების კოეფიციენტები ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი.

ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ უძველეს ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე თავისი ბრწყინვალებით დაბნელებს ვარსკვლავებს, ისე სწავლული ადამიანი დაბნელდება მის დიდებას. სახალხო კრებები, ალგებრული ამოცანების შეთავაზება და ამოხსნა“. პრობლემები ხშირად პოეტური სახით იყო წარმოდგენილი.

ალგებრულ ტრაქტატში ალ-ხვარიზმიმოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ითვლის 6 ტიპის განტოლებებს და გამოთქვამს შემდეგნაირად:

1) "კვადრატები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 = bx.

2) „კვადრატები რიცხვების ტოლია“, ანუ ax2 = c.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ანუ ax2 + c = bx.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 + bx = c.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ანუ bx + c == ax2.

ალ-ხვარეზმისთვის, რომელიც მოხმარებას ერიდებოდა უარყოფითი რიცხვები, თითოეული ამ განტოლების პირობები არის დამატებები და არა გამოკლებადი. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ადგენს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუკაბალის ტექნიკის გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილება, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენს გადაწყვეტილებას. რომ აღარაფერი ვთქვათ წმინდა რიტორიკულ ხასიათზე, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვანი ამონახსნებს. ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკაში მას არ აქვს მნიშვნელობა დავალებებს. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით, შემდეგ კი მათ გეომეტრიულ მტკიცებულებებს.

ევროპაში ალ-ხორეზმის მოდელის მიხედვით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმები პირველად ჩამოყალიბდა 1202 წელს დაწერილ „აბაკუს წიგნში“. იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდ ფიბონაჩი. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ამოცანების ამოხსნის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას.

ამ წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ამ წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XIV-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. ზოგადი წესიკვადრატული განტოლებების ამოხსნა შემცირდა ერთ კანონიკურ ფორმამდე x2 + bх = с ნიშნებისა და კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის b, c ჩამოყალიბდა ევროპაში 1544 წელს. მ.შტიფელი.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ზოგადი ხედივიეტს აქვს ეს, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელიპირველთა შორის მე-16 საუკუნეში. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ძალისხმევის წყალობით ჟირარდი, დეკარტი, ნიუტონიდა სხვა მეცნიერებს, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე ფორმას იღებს.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე გზას.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული მეთოდები სკოლის სასწავლო გეგმა:

1. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორირება.
2. სრული კვადრატის არჩევის მეთოდი.
3. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ფორმულის გამოყენებით.
4. გრაფიკული გადაწყვეტაკვადრატული განტოლება.
5. განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ ზემოთ მოყვანილი კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად საკმარისია ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითი.x 2 -5x+6=0

თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის 6 და რომელთა ჯამი არის 5. ეს რიცხვები იქნება 3 და 2.

პასუხი: x 1 =2, x 2 =3.

მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი განტოლებისთვის, რომელთა პირველი კოეფიციენტი არ არის ერთის ტოლი.

მაგალითი.3x 2 +2x-5=0

აიღეთ პირველი კოეფიციენტი და გაამრავლეთ თავისუფალ წევრზე: x 2 +2x-15=0

ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები, რომელთა ნამრავლი უდრის - 15-ს, ხოლო ჯამი უდრის - 2-ს. ეს რიცხვებია 5 და 3. საწყისი განტოლების ფესვების საპოვნელად, მიღებული ფესვები გაყავით პირველ კოეფიციენტზე.

პასუხი: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. განტოლებების ამოხსნა „გასროლის“ მეთოდით.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, სადაც a≠0.

ორივე მხარის a-ზე გამრავლებით მივიღებთ განტოლებას a 2 x 2 + abx + ac = 0.

მოდით ax = y, საიდანაც x = y/a; მაშინ მივდივართ განტოლებამდე y 2 + by + ac = 0, მოცემულის ტოლფასი. ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვიპოვით მის ფესვებს 1 და 2-ისთვის.

საბოლოოდ მივიღებთ x 1 = y 1 /a და x 2 = y 2 /a.

ამ მეთოდით ა კოეფიციენტი მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს მასზე „გადააგდეს“, რის გამოც მას „გასროლის“ მეთოდს უწოდებენ. ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემის გამოყენებით და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი არის ზუსტი კვადრატი.

მაგალითი.2x 2 - 11x + 15 = 0.

მოდით "ჩამოვყაროთ" კოეფიციენტი 2 თავისუფალ წევრზე და შევცვალოთ და მივიღოთ განტოლება y 2 - 11y + 30 = 0.

ვიეტას შებრუნებული თეორემის მიხედვით

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

პასუხი: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების თვისებები.

მიეცით კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. თუ a+ b + c = 0 (ანუ განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული), მაშინ x 1 = 1.

2. თუ a - b + c = 0, ან b = a + c, მაშინ x 1 = - 1.

მაგალითი.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ვინაიდან a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), მაშინ x 1 = 1, x 2 = -208/345.

პასუხი: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

მაგალითი.132x 2 + 247x + 115 = 0

იმიტომ რომ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), შემდეგ x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

პასუხი: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

არსებობს კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების სხვა თვისებები. მაგრამ მათი გამოყენება უფრო რთულია.

8. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით.

ნახ 1. ნომოგრამა

ეს არის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძველი და ამჟამად მივიწყებული მეთოდი, განთავსებულია კრებულის 83-ე გვ.: Bradis V.M. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.

ცხრილი XXII. განტოლების ამოხსნის ნომოგრამა z 2 + pz + q = 0. ეს ნომოგრამა საშუალებას იძლევა, კვადრატული განტოლების ამოხსნის გარეშე, მისი კოეფიციენტებიდან განსაზღვროს განტოლების ფესვები.

ნომოგრამის მრუდი შკალა აგებულია ფორმულების მიხედვით (ნახ. 1):

სჯეროდა OS = p, ED = q, OE = a(ყველა სმ-ში), ნახ. 1-დან სამკუთხედების მსგავსება SANდა CDFჩვენ ვიღებთ პროპორციას

რომელიც ჩანაცვლებისა და გამარტივების შემდეგ იძლევა განტოლებას z 2 + pz + q = 0,და წერილი ზნიშნავს ნებისმიერი წერტილის ნიშანს მრუდე მასშტაბზე.

ბრინჯი. 2 კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით

მაგალითები.

1) განტოლებისთვის ზ 2 - 9z + 8 = 0ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 8.0 და z 2 = 1.0

პასუხი: 8.0; 1.0.

2) ნომოგრამის გამოყენებით ვხსნით განტოლებას

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ამ განტოლების კოეფიციენტები გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ განტოლებას z 2 - 4.5z + 1 = 0.

ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 4 და z 2 = 0,5.

პასუხი: 4; 0.5.

9. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გეომეტრიული მეთოდი.

მაგალითი.X 2 + 10x = 39.

ორიგინალში ეს პრობლემა შემდეგნაირად არის ჩამოყალიბებული: „კვადრატი და ათი ფესვი უდრის 39-ს“.

განვიხილოთ კვადრატი x გვერდით, მის გვერდებზე აგებულია მართკუთხედები ისე, რომ თითოეული მათგანის მეორე მხარე იყოს 2,5, შესაბამისად თითოეულის ფართობი არის 2,5x. შედეგად მიღებული ფიგურა შემდეგ დაემატება ახალ კვადრატს ABCD, აშენდება ოთხი თანაბარი კვადრატი კუთხეებში, თითოეული მათგანის გვერდი არის 2.5, ხოლო ფართობი არის 6.25.

ბრინჯი. 3 განტოლების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი x 2 + 10x = 39

ABCD კვადრატის S ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც უბნების ჯამი: თავდაპირველი კვადრატი x 2, ოთხი მართკუთხედი (4∙2.5x = 10x) და ოთხი დამატებითი კვადრატი (6.25∙4 = 25), ე.ი. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x 39 რიცხვით ჩანაცვლებით მივიღებთ, რომ S = 39 + 25 = 64, რაც ნიშნავს, რომ კვადრატის გვერდი არის ABCD, ე.ი. სეგმენტი AB = 8. საწყისი კვადრატის x საჭირო მხარისთვის ვიღებთ

10. განტოლებების ამოხსნა ბეზუტის თეორემის გამოყენებით.

ბეზუტის თეორემა. P(x) მრავალწევრის x - α ბინომზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის P(α) (ანუ P(x)-ის მნიშვნელობა x = α-ზე).

თუ რიცხვი α არის P(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი იყოფა x -α-ზე ნაშთის გარეშე.

მაგალითი.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) გაყავით (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ან x-3=0, x=3; პასუხი: x1 =2, x2 =3.

დასკვნა:კვადრატული განტოლებების სწრაფად და ეფექტურად ამოხსნის უნარი აუცილებელია უფრო რთული განტოლებების გადასაჭრელად, როგორიცაა წილადი რაციონალური განტოლებები, უმაღლესი სიმძლავრის განტოლებები, ბიკვადრატული განტოლებები და საშუალო სკოლაში ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა ნაპოვნი მეთოდის შესწავლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ვურჩიოთ ჩვენს კლასელებს, გარდა სტანდარტული მეთოდებისა, ამოხსნან გადაცემის მეთოდით (6) და ამოხსნან განტოლებები კოეფიციენტების (7) თვისების გამოყენებით, რადგან ისინი უფრო ხელმისაწვდომია. გაგებამდე.

ლიტერატურა:

1. ბრედის ვ.მ. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.
2. ალგებრა მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A. თელიაკოვსკი მე-15 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: განათლება, 2015 წ
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის. / რედ. ვ.ნ. უმცროსი. - მ.: განათლება, 1964 წ.