ტრანსპორტის პრობლემის გადაჭრა. მოგზაური გამყიდველის ამოცანის ამოხსნა Apogee index php ელემენტარული მათემატიკა

დატოვე კომენტარი 6,950

SAT მათემატიკის ტესტი მოიცავს მათემატიკური მეთოდების მთელ რიგს, აქცენტით პრობლემის გადაჭრაზე, მათემატიკურ მოდელებზე და მათემატიკური ცოდნის სტრატეგიულ გამოყენებაზე.

SAT მათემატიკის ტესტი: ისევე, როგორც რეალურ სამყაროში

იმის მაგივრად, რომ გასინჯოთ ყველა მათემატიკურ თემაზე, ახალი SAT ამოწმებს თქვენს უნარს გამოიყენოს მათემატიკა, რომელსაც დაეყრდნობით უმეტეს შემთხვევაში და ბევრ განსხვავებულ სიტუაციაში. მათემატიკის ტესტის კითხვები შექმნილია იმისთვის, რომ ასახავდეს პრობლემის გადაჭრას და იმ მოდელებს, რომლებთანაც შეგექმნებათ საქმე

საუნივერსიტეტო სწავლება, უშუალოდ მათემატიკის, ასევე საბუნებისმეტყველო და სოციალური მეცნიერებების შესწავლა;
- თქვენი ყოველდღიური პროფესიული საქმიანობა;
- შენი ყოველდღიური ცხოვრება.

მაგალითად, რამდენიმე კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ მოგიწევთ რამდენიმე ნაბიჯის გამოყენება - რადგან რეალურ სამყაროში უკიდურესად იშვიათია სიტუაციები, როდესაც ერთი მარტივი ნაბიჯი საკმარისია გამოსავლის მოსაძებნად.

SAT მათემატიკის ფორმატი

SAT მათემატიკის ტესტი: ძირითადი ფაქტები

SAT მათემატიკის განყოფილება ფოკუსირებულია მათემატიკის სამ მიმართულებაზე, რომლებიც წამყვან როლს ასრულებენ უმაღლესი განათლებისა და პროფესიული კარიერის უმეტეს აკადემიურ საგნებში:
- ალგებრის გული: ალგებრის საფუძვლები, რომელიც ორიენტირებულია წრფივი განტოლებებისა და სისტემების ამოხსნაზე;
- პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი: ზოგადი მათემატიკური წიგნიერებისთვის აუცილებელი პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი;
- პასპორტი გაფართოებული მათემატიკის: მოწინავე მათემატიკის საფუძვლები, რომელიც სვამს კითხვებს, რომლებიც საჭიროებენ რთული განტოლებების მანიპულირებას.
მათემატიკის ტესტი ასევე ეყრდნობა მათემატიკის დამატებით თემებს, მათ შორის გეომეტრიასა და ტრიგონომეტრიას, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია უნივერსიტეტის სწავლისა და პროფესიული კარიერისთვის.

SAT მათემატიკის ტესტი: ვიდეო

ალგებრის საფუძვლები
ალგებრის გული

SAT Math-ის ეს განყოფილება ფოკუსირებულია ალგებრაზე და ძირითად ცნებებზე, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია კოლეჯში და კარიერაში წარმატებისთვის. იგი აფასებს სტუდენტების უნარს, თავისუფლად გააანალიზონ, ამოხსნან და ააგონ წრფივი განტოლებები და უტოლობა. სტუდენტებს ასევე მოეთხოვებათ გაანალიზონ და თავისუფლად ამოხსნან განტოლებები და განტოლებათა სისტემები მრავალი მეთოდის გამოყენებით ამ მასალის ცოდნის სრულად შესაფასებლად, პრობლემები მნიშვნელოვნად განსხვავდება ტიპისა და შინაარსის მიხედვით. ისინი შეიძლება იყოს საკმაოდ მარტივი ან მოითხოვონ სტრატეგიული აზროვნება და გაგება, როგორიცაა გრაფიკულ და ალგებრულ გამონათქვამებს შორის ურთიერთქმედების ინტერპრეტაცია ან გამოსავლის წარმოდგენა, როგორც მსჯელობის პროცესი. გამოცდის მონაწილეებმა უნდა აჩვენონ არა მხოლოდ ამოხსნის ტექნიკის ცოდნა, არამედ იმ ცნებების უფრო ღრმა გაგება, რომლებიც საფუძვლად უდევს ხაზოვან განტოლებებსა და ფუნქციებს. SAT მათემატიკის საფუძვლები ალგებრა ფასდება 1-დან 15-მდე მასშტაბით.

ამ განყოფილებაში იქნება დავალებები, რომლებზეც პასუხი წარმოდგენილია მრავალჯერადი არჩევანით ან დამოუკიდებლად გამოთვლილი სტუდენტის მიერ. კალკულატორის გამოყენება ზოგჯერ ნებადართულია, მაგრამ არა ყოველთვის აუცილებელი ან რეკომენდებული.

1. წრფივი გამოსახულებების ან განტოლების აგება, ამოხსნა ან ინტერპრეტაცია ერთი ცვლადით, გარკვეული კონკრეტული პირობების კონტექსტში. გამოსახულებას ან განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი გამოხატვის გასამარტივებლად ან განტოლების ამოსახსნელად.

2. წრფივი უტოლობების აგება, ამოხსნა ან ინტერპრეტაცია ერთი ცვლადით, გარკვეული კონკრეტული პირობების კონტექსტში. უტოლობას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება მოითხოვდეს რამდენიმე ნაბიჯის გამარტივება ან ამოხსნა.

3. ააგეთ წრფივი ფუნქცია, რომელიც მოდელირებს წრფივ ურთიერთობას ორ სიდიდეს შორის. ტესტის მონაწილემ უნდა აღწეროს წრფივი ურთიერთობა, რომელიც გამოხატავს გარკვეულ პირობებს ორი ცვლადის ან ფუნქციის განტოლების გამოყენებით. განტოლებას ან ფუნქციას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი განტოლების ან ფუნქციის ასაგებად და გასამარტივებლად.

4. წრფივი უტოლობების სისტემების აგება, ამოხსნა და ინტერპრეტაცია ორი ცვლადით. გამოსაცდელი გააანალიზებს ორ ცვლადს შორის არსებულ ერთ ან მეტ პირობას ორცვლადიანი უტოლობის ან ორცვლადიანი უტოლობების სისტემის აგებით, ამოხსნით ან ინტერპრეტაციით, გარკვეული მითითებულ პირობებში. უთანასწორობის ან უტოლობების სისტემის აგებას შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯი ან განმარტება.

5. ორი წრფივი განტოლების სისტემების აგება, ამოხსნა და ინტერპრეტაცია ორ ცვლადში. გამოსაცდელი გააანალიზებს ერთ ან მეტ პირობას, რომელიც არსებობს ორ ცვლადს შორის წრფივი განტოლებების სისტემის აგებით, ამოხსნით ან ანალიზით, გარკვეული განსაზღვრული პირობების ფარგლებში. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი სისტემის გასამარტივებლად ან ამოსახსნელად.

6. ამოხსენით წრფივი განტოლებები (ან უტოლობა) ერთი ცვლადით. განტოლებას (ან უტოლობას) ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯი გადასაჭრელად. განტოლებებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. გამოსაცდელს ასევე შეიძლება სთხოვონ განტოლების მნიშვნელობის ან კოეფიციენტის განსაზღვრა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები ან აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

7. ამოხსენით ორი წრფივი განტოლების სისტემები ორი ცვლადით. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. გამოსაცდელს ასევე შეიძლება სთხოვონ განტოლების მნიშვნელობის ან კოეფიციენტის განსაზღვრა, რომელშიც სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

8. ახსენით ალგებრული და გრაფიკული გამონათქვამების მიმართება. განსაზღვრეთ მოცემული წრფივი განტოლებით აღწერილი გრაფიკი ან წრფივი განტოლება, რომელიც აღწერს მოცემულ გრაფიკს, განსაზღვრეთ წრფის განტოლება, რომელიც მოცემულია მისი გრაფიკის სიტყვიერად აღწერით, განსაზღვრეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ძირითადი მახასიათებლები მისი განტოლებიდან, განსაზღვრეთ როგორ არის გრაფიკი. შეიძლება გავლენა იქონიოს მისი განტოლების შეცვლით.

პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი
პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი

SAT Math-ის ეს განყოფილება ასახავს კვლევას, რომელმაც დაადგინა, რა არის მნიშვნელოვანი კოლეჯში ან უნივერსიტეტში წარმატებისთვის. ტესტები მოითხოვს პრობლემის გადაჭრას და მონაცემთა ანალიზს: მათემატიკური სიტუაციის მათემატიკურად აღწერის უნარი ჩართული ელემენტების გათვალისწინებით, მათემატიკური მოქმედებების და რიცხვების სხვადასხვა თვისებების ცოდნა და გამოყენება. ამ კატეგორიის პრობლემები მოითხოვს ლოგიკური მსჯელობის მნიშვნელოვან გამოცდილებას.

გამომცდელებს მოეთხოვებათ იცოდნენ ინდიკატორების საშუალო მნიშვნელობების გაანგარიშება, ზოგადი შაბლონები და გადახრები ზოგადი სურათიდან და განაწილება კომპლექტებში.

პრობლემის გადაჭრისა და მონაცემთა ანალიზის ყველა კითხვა ამოწმებს გამომცდელების უნარს გამოიყენონ მათემატიკური გაგება და უნარები იმ პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებსაც ისინი შეიძლება შეხვდნენ რეალურ სამყაროში. ამ საკითხებიდან ბევრი კითხულობს აკადემიურ და პროფესიულ კონტექსტში და, სავარაუდოდ, დაკავშირებულია მეცნიერებასა და სოციოლოგიასთან.

პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი არის SAT მათემატიკის სამი ქვეგანყოფილებიდან ერთ-ერთი, რომელიც ფასდება 1-დან 15-მდე.

ეს განყოფილება შეიცავს კითხვებს მრავალჯერადი არჩევანით ან თვითგამოთვლილი პასუხებით. კალკულატორის გამოყენება აქ ყოველთვის ნებადართულია, მაგრამ არა ყოველთვის აუცილებელი ან რეკომენდებული.

SAT მათემატიკის ამ ნაწილში შეიძლება შეგხვდეთ შემდეგი კითხვები:

1. გამოიყენეთ თანაფარდობები, განაკვეთები, პროპორციები და მასშტაბური ნახატები ერთ და მრავალსაფეხურიანი ამოცანების გადასაჭრელად. ტესტირების მონაწილეები გამოიყენებენ პროპორციულ ურთიერთობას ორ ცვლადს შორის მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად, რათა დადგინდეს თანაფარდობა ან მაჩვენებელი; გამოთვალეთ თანაფარდობა ან მაჩვენებელი და შემდეგ გადაჭრით მრავალსაფეხურიანი ამოცანა მოცემული თანაფარდობის ან თანაფარდობის გამოყენებით მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად.

2. ამოხსენით ერთ და მრავალსაფეხურიანი ამოცანები პროცენტებით. გამოსაცდელი გადაჭრის მრავალ დონის პრობლემას პროცენტის დასადგენად. გამოთვალეთ რიცხვის პროცენტი და შემდეგ გადაჭრით მრავალ დონის ამოცანა. მოცემული პროცენტის გამოყენებით გადაჭრით მრავალ დონის პრობლემა.

3. ამოხსენით ერთსაფეხურიანი და მრავალსაფეხურიანი გამოთვლის ამოცანები. გამოსაცდელი გადაწყვეტს მრავალ დონის პრობლემას განაკვეთის ერთეულის დასადგენად; საზომი ერთეულის გამოთვლა და შემდეგ მრავალსაფეხურიანი ამოცანის ამოხსნა; მრავალდონიანი პრობლემის გადაჭრა ერთეულის კონვერტაციის დასასრულებლად; სიმკვრივის გამოთვლის მრავალსაფეხურიანი ამოცანის ამოხსნა; ან გამოიყენეთ სიმკვრივის კონცეფცია მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად.

4. სკატერის დიაგრამების გამოყენებით ამოხსენით წრფივი, კვადრატული ან ექსპონენციალური მოდელები, რათა აღწეროთ როგორ არის დაკავშირებული ცვლადები. გაფანტული ნახატის გათვალისწინებით, აირჩიეთ მორგების წრფის ან მრუდის განტოლება; სტრიქონის ინტერპრეტაცია სიტუაციის კონტექსტში; ან გამოიყენეთ ხაზი ან მრუდი, რომელიც საუკეთესოდ შეესაბამება პროგნოზს.

5. ორ ცვლადს შორის ურთიერთობის გამოყენებით შეისწავლეთ გრაფიკის ძირითადი ფუნქციები. გამოსაცდელი დაამყარებს კავშირს მონაცემთა გრაფიკულ გამოხატულებასა და გრაფიკის თვისებებს შორის გრაფიკის არჩევით, რომელიც წარმოადგენს აღწერილ თვისებებს ან გრაფიკის გამოყენებით მნიშვნელობების ან მნიშვნელობების ნაკრების იდენტიფიცირებისთვის.

6. შეადარეთ წრფივი ზრდა ექსპონენციალურ ზრდასთან. გამოსაცდელს დასჭირდება ორი ცვლადის შედარება, რათა დადგინდეს, რომელი ტიპის მოდელია ოპტიმალური.

7. ცხრილების გამოყენებით გამოთვალეთ მონაცემები სხვადასხვა კატეგორიის რაოდენობებზე, ფარდობითი სიხშირეებისა და პირობითი ალბათობების შესახებ. გამოსაცდელი იყენებს სხვადასხვა კატეგორიის მონაცემებს პირობითი სიხშირეების, პირობითი ალბათობების, ცვლადების ასოციაციის ან მოვლენების დამოუკიდებლობის გამოსათვლელად.

8. გამოიტანეთ დასკვნები პოპულაციის პარამეტრების შესახებ შერჩევის მონაცემების საფუძველზე. გამოსაცდელი აფასებს პოპულაციის პარამეტრს, მოსახლეობის შემთხვევითი შერჩევის შედეგების გათვალისწინებით. სტატისტიკის ნიმუშს შეუძლია უზრუნველყოს ნდობის ინტერვალები და გაზომვის შეცდომა, რომელიც მოსწავლემ უნდა გაიგოს და გამოიყენოს მათი გამოთვლის გარეშე.

9. გამოიყენეთ სტატისტიკური მეთოდები საშუალო და განაწილების გამოსათვლელად. ტესტირების მონაწილეები გამოთვლიან საშუალო და/ან განაწილებას მონაცემთა მოცემული ნაკრებისთვის ან გამოიყენებენ სტატისტიკას მონაცემთა ორი ცალკეული ნაკრების შესადარებლად.

10. ანგარიშების შეფასება, დასკვნების გამოტანა, დასკვნების დასაბუთება და მონაცემთა შეგროვების მეთოდების მიზანშეწონილობის დადგენა. ანგარიშები შეიძლება შედგებოდეს ცხრილებისგან, გრაფიკებისგან ან ტექსტური შეჯამებისგან.

უმაღლესი მათემატიკის საფუძვლები
პასპორტი გაფართოებული მათემატიკის

SAT მათემატიკის ეს განყოფილება მოიცავს თემებს, რომლებიც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია სტუდენტებისთვის, რომ დაეუფლონ გაფართოებულ მათემატიკაზე გადასვლამდე. აქ მთავარია გამონათქვამების სტრუქტურის გაგება და ამ გამონათქვამების ანალიზის, მანიპულირებისა და გამარტივების უნარი. ეს ასევე მოიცავს უფრო რთული განტოლებებისა და ფუნქციების ანალიზის უნარს.

SAT მათემატიკის წინა ორი ნაწილის მსგავსად, აქ კითხვები ფასდება 1-დან 15-მდე.

ეს განყოფილება შეიცავს კითხვებს მრავალჯერადი არჩევანით ან თვითგამოთვლილი პასუხებით კალკულატორის გამოყენება ზოგჯერ ნებადართულია, მაგრამ ყოველთვის არ არის საჭირო ან რეკომენდებული.

SAT მათემატიკის ამ ნაწილში შეიძლება შეგხვდეთ შემდეგი კითხვები:

1. შექმენით კვადრატული ან ექსპონენციალური ფუნქცია ან განტოლება, რომელიც მოდელირებს მოცემულ პირობებს. განტოლებას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯის გამარტივება ან ამოხსნა.

2. განსაზღვრეთ გამოხატვის ან განტოლების ყველაზე შესაფერისი ფორმა კონკრეტული ატრიბუტის იდენტიფიცირებისთვის მოცემული პირობების გათვალისწინებით.

3. შექმენით ეკვივალენტური გამონათქვამები რაციონალურ მაჩვენებლებსა და რადიკალებს, მათ შორის გამარტივებას ან სხვა ფორმაში გადაქცევას.

4. ააგეთ ალგებრული გამოხატვის ეკვივალენტური ფორმა.

5. ამოხსენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს რაციონალური კოეფიციენტები. განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრავალფეროვანი ფორმებით.

6. მრავალწევრების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება და შედეგის გამარტივება. გამონათქვამებს ექნებათ რაციონალური კოეფიციენტები.

7. ამოხსენით განტოლება ერთ ცვლადში, რომელიც შეიცავს რადიკალებს ან შეიცავს ცვლადს წილადის მნიშვნელში. განტოლებას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები.

8. ამოხსენით წრფივი ან კვადრატული განტოლებათა სისტემა. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები.

9. მარტივი რაციონალური გამოთქმების გამარტივება. ტესტის მონაწილეები დაამატებენ, გამოკლებენ, გაამრავლებენ ან გაყოფენ ორ რაციონალურ გამონათქვამს ან გაყოფენ ორ მრავალწევრს და გაამარტივებენ მათ. გამონათქვამებს ექნებათ რაციონალური კოეფიციენტები.

10. არაწრფივი გამონათქვამების ნაწილების ინტერპრეტაცია მათი ტერმინების მიხედვით. გამოცდის მონაწილეებმა უნდა დააკავშირონ მოცემული პირობები არაწრფივი განტოლებასთან, რომელიც აყალიბებს ამ პირობებს.

11. გააცნობიეროს ნულებსა და ფაქტორებს შორის ურთიერთობა მრავალწევრებში და გამოიყენოს ეს ცოდნა გრაფიკების ასაგებად. გამოცდის მონაწილეები გამოიყენებენ მრავალწევრების თვისებებს ნულების შემცველი ამოცანების გადასაჭრელად, როგორიცაა იმის დადგენა, არის თუ არა გამოხატვა მრავალწევრის ფაქტორი, მოწოდებული ინფორმაციის გათვალისწინებით.

12. ორ ცვლადს შორის ურთიერთობის გაგება მათ ალგებრულ და გრაფიკულ გამოსახულებებს შორის კავშირების დამყარებით. გამოსაცდელმა უნდა შეძლოს მოცემული არაწრფივი განტოლების შესაბამისი გრაფიკის შერჩევა; გრაფიკების ინტერპრეტაცია განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კონტექსტში; შეარჩიეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი არაწრფივი განტოლება; მრუდის განტოლების განსაზღვრა გრაფიკის სიტყვიერი აღწერის გათვალისწინებით; წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ძირითადი მახასიათებლების ამოცნობა მისი განტოლებიდან; განსაზღვრავს მარეგულირებელი განტოლების შეცვლის გრაფიკზე გავლენას.

რას ტესტავს SAT მათემატიკის განყოფილება?

დისციპლინის ზოგადი ოსტატობა

მათემატიკის ტესტი არის შანსი აჩვენოთ, რომ თქვენ:

მათემატიკური ამოცანების შესრულება მოქნილად, ზუსტად, ეფექტურად და ამოხსნის სტრატეგიების გამოყენებით;
- სწრაფად მოაგვარეთ პრობლემები გადაჭრის ყველაზე ეფექტური მიდგომების გამოვლენით და გამოყენებით. ეს შეიძლება მოიცავდეს პრობლემების გადაჭრას
თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაციის ჩანაცვლების, მალსახმობების ან რეორგანიზაციის განხორციელება;

კონცეპტუალური გაგება

თქვენ აჩვენებთ მათემატიკური ცნებების, ოპერაციების და ურთიერთობების გაგებას. მაგალითად, შეიძლება მოგეთხოვოთ დაამყაროთ კავშირი წრფივი განტოლებების თვისებებს, მათ გრაფიკებსა და მათ მიერ გამოხატულ ტერმინებს შორის.

საგნობრივი ცოდნის გამოყენება

ბევრი SAT მათემატიკის შეკითხვა აღებულია რეალური პრობლემებიდან და გთხოვთ, გაანალიზოთ პრობლემა, ამოიცნოთ მისი გადასაჭრელად საჭირო ძირითადი ელემენტები, გამოხატოთ პრობლემა მათემატიკურად და იპოვოთ გამოსავალი.

კალკულატორის გამოყენებით

კალკულატორები მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია მათემატიკური გამოთვლების შესასრულებლად. უნივერსიტეტში წარმატებით სწავლისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ და როდის გამოიყენოთ ისინი. ტესტის მათემატიკის ტესტი-კალკულატორის ნაწილში, თქვენ შეძლებთ ფოკუსირება მოახდინოთ ამოხსნის პოვნაზე და თავად ანალიზზე, რადგან თქვენი კალკულატორი დაგეხმარებათ დაზოგოთ თქვენი დრო.

თუმცა, კალკულატორი, ისევე როგორც ნებისმიერი ხელსაწყო, ისეთივე ჭკვიანია, როგორც ის, ვინც მას იყენებს. მათემატიკის ტესტზე არის რამდენიმე შეკითხვა, სადაც უმჯობესია არ გამოიყენოთ კალკულატორი, მაშინაც კი, თუ ამის უფლება გაქვთ. ამ სიტუაციებში გამოცდის მონაწილეები, რომლებსაც შეუძლიათ აზროვნება და მსჯელობა, სავარაუდოდ მიიღებენ პასუხს მათზე ადრე, ვინც ბრმად იყენებს კალკულატორს.

მათემატიკის ტესტის გარეშე კალკულატორის ნაწილი გაადვილებს საგნის შესახებ თქვენი ზოგადი ცოდნის შეფასებას და მათემატიკის გარკვეული ცნებების გაგებას. ის ასევე ამოწმებს გამოთვლითი ტექნიკის ცოდნას და რიცხვების ცნებების გაგებას.

კითხვები პასუხებით შევიდა ცხრილში

მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის ტესტზე კითხვების უმეტესობა მრავალჯერადი არჩევანია, 22 პროცენტი არის კითხვები, სადაც პასუხები გამოცდის მონაწილეს საკუთარი გამოთვლების შედეგია - მათ ეძახიან Grid-ins. სიიდან სწორი პასუხის არჩევის ნაცვლად, თქვენ უნდა მოაგვაროთ პრობლემები და შეიყვანოთ თქვენი პასუხები პასუხების ფურცელზე მითითებულ ბადეებში.

პასუხები შევიდა ცხრილში

ნებისმიერ სვეტში მონიშნეთ არაუმეტეს ერთი წრე;
- ჩაითვლება მხოლოდ წრის შევსებით მითითებული პასუხები (თქვენ არ მიიღებთ ქულებს ყველაფერზე, რაც დაწერილია ზემოთ მდებარე ველებში
წრეები).
- არ აქვს მნიშვნელობა რომელ სვეტში დაიწყებთ პასუხების შეყვანას; მნიშვნელოვანია, რომ პასუხები ეწეროს ბადის შიგნით, შემდეგ მიიღებთ ქულებს;
- ბადე შეიძლება შეიცავდეს მხოლოდ ოთხ ათობითი ადგილს და შეუძლია მიიღოს მხოლოდ დადებითი რიცხვები და ნული.
- თუ დავალებაში სხვა რამ არ არის მითითებული, პასუხები შეიძლება შევიდეს ბადეში ათწილადის ან წილადის სახით;
- ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3/24, არ სჭირდება მინიმალურ მნიშვნელობებამდე შემცირება;
- ყველა შერეული რიცხვი უნდა გარდაიქმნას არასწორ წილადებად ბადეში ჩაწერამდე;
- თუ პასუხი არის განმეორებითი ათობითი რიცხვი, სტუდენტებმა უნდა დაადგინონ ყველაზე ზუსტი მნიშვნელობები, რაც იქნება
განიხილოს.

ქვემოთ მოცემულია ინსტრუქციების ნიმუში, რომლებიც ტესტირების მონაწილეები ნახავენ SAT მათემატიკის გამოცდაზე:

დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმა დამატებითი ან საშინაო სკოლისთვის უფრო მეტს უნდა ასწავლოს, ვიდრე მარტივი არითმეტიკის „როგორ“. მათემატიკის კარგ სასწავლო გეგმას უნდა ჰქონდეს ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები, რომლებიც აშენებენ მყარ საფუძველს, რომელიც არის ღრმა და ფართო, კონცეპტუალური და „როგორ უნდა“.

Time4Learning ასწავლის მათემატიკის ყოვლისმომცველ სასწავლო გეგმას, რომელიც შეესაბამება სახელმწიფო სტანდარტებს. მულტიმედიური გაკვეთილების, დასაბეჭდი სამუშაო ფურცლების და შეფასებების კომბინაციის გამოყენებით, ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები შექმნილია მყარი მათემატიკის საფუძვლის შესაქმნელად. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც , ან როგორც გამდიდრება.

Time4Learning-ს არ აქვს ფარული გადასახადი, გთავაზობთ 14-დღიან თანხის დაბრუნების გარანტიას სრულიად ახალი წევრებისთვის და საშუალებას აძლევს წევრებს ნებისმიერ დროს დაიწყონ, შეაჩერონ ან შეაჩერონ. სცადეთ ინტერაქტიული ან ნახეთ ჩვენი, რომ ნახოთ რა არის ხელმისაწვდომი.

დაწყებითი მათემატიკის სტრატეგიების სწავლება

ბავშვებმა უნდა შეიძინონ მათემატიკური უნარები ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების გამოყენებით, რომლებიც ასწავლიან სასწავლო გეგმას სათანადო თანმიმდევრობით, რომელიც მიზნად ისახავს წარმატების მყარ საფუძველს. დავიწყოთ იმით, რაც, როგორც ჩანს, მარტივი მათემატიკური ფაქტია: 3 + 5 = 8

ეს ფაქტი მათემატიკის კარგ გაკვეთილად გამოიყურება, როცა ბავშვს შეუძლია დათვლა. მაგრამ "3 + 5 = 8" კონცეფციის შეფასების უნარი მოითხოვს ამ ელემენტარული მათემატიკის ცნებების გაგებას:

რაოდენობა- გააცნობიერე, რომ ნივთების რაოდენობა შეიძლება დაითვალოს. რაოდენობა ჩვეულებრივი ცნებაა, ვითვლით თუ არა თითებს, ძაღლებს თუ ხეებს.
ნომრის ამოცნობა- რიცხვების ცოდნა სახელის, რიცხვის, ფერწერული გამოსახულების ან ნივთების რაოდენობის მიხედვით.
რიცხვის მნიშვნელობა- რიცხვებს შორის დაბნეულობის გადაჭრა, რომლებიც მიუთითებენ რაოდენობაზე ან პოზიციაზე მიმდევრობით (კარდინალური და რიგითი რიცხვები.
ოპერაციები- იმის გაგება, რომ რაოდენობები შეიძლება დაემატოს და რომ ეს პროცესი შეიძლება იყოს გამოსახული სურათებით, სიტყვებით ან ციფრებით.

უფრო ექსტრემალური სურათის დასახატად, დაბნეულობის რეცეპტი არის დაბნეულობის რეცეპტი. მხოლოდ მათემატიკის ძირითადი ცნებების დაუფლების შემდეგ უნდა სცადოს ბავშვმა უფრო მოწინავე ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები, როგორიცაა დამატება. ელემენტარული მათემატიკის სტრატეგიების სწავლების მცდელობა მათემატიკის ძირითადი ცნებების დაუფლებამდე იწვევს დაბნეულობას, ქმნის დაკარგვის ან მათემატიკაში სუსტობის განცდას. ბავშვს შეიძლება განუვითარდეს ცუდი საკუთარი თავის იმიჯი ან ნეგატიური შეხედულება მათემატიკაზე, ეს ყველაფერი ცუდი მათემატიკის სასწავლო გეგმის გამო.

მნიშვნელოვანია მათემატიკის დაწყებითი სასწავლო გეგმის განხორციელება, რომელიც ასწავლის მათემატიკას თანმიმდევრობით, ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების გამოყენებით, რაც ბავშვებს საშუალებას აძლევს თანდათანობით ჩამოაყალიბონ გაგება, უნარები და თავდაჯერებულობა. ხარისხიანი სწავლება და სასწავლო გეგმა მიჰყვება ხარისხის თანმიმდევრობას.

Time4Learning ასწავლის პერსონალიზებულ დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმას, რომელიც მორგებულია თქვენი შვილის უნარების ამჟამინდელ დონეზე. ეს გეხმარებათ უზრუნველყოთ, რომ თქვენს შვილს ჰქონდეს მყარი მათემატიკური საფუძველი, სანამ უფრო რთული, უფრო რთული ელემენტარული მათემატიკური სტრატეგიები დანერგავს. , რომელიც შედის სასწავლო გეგმაში, უზრუნველყოფს პრაქტიკას საფუძვლიანი უნარების სფეროებში, რაც აუცილებელია დაწყებითი სკოლის პერიოდში წარმატებისთვის. დააყენეთ თქვენი შვილი სწორ გზაზე, Time4Learning-ის სტრატეგიების შესახებ დაწყებითი მათემატიკის სწავლებისთვის.

Time4Learning-ის დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმა

Time4Learning-ის მათემატიკის სასწავლო გეგმა შეიცავს ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების ფართო სპექტრს, რომელიც მოიცავს არა მხოლოდ არითმეტიკას, მათემატიკის ფაქტებსა და ოპერაციებს. ჩვენი დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო პროგრამა ასწავლის მათემატიკის ამ ხუთ მიმართულებას.*

რიცხვის გრძნობა და ოპერაციები- რიცხვების წარმოდგენის ცოდნა, ჯგუფში "რამდენი" ამოცნობა და რიცხვების შედარებისა და წარმოდგენის გამოყენება გზას უხსნის რიცხვების თეორიის, ადგილის მნიშვნელობისა და მოქმედებების მნიშვნელობისა და მათი ურთიერთკავშირის საკითხს.
ალგებრა– ობიექტების ან რიცხვების დალაგების და დალაგების უნარი და მარტივი ნიმუშების ამოცნობა და აგება არის მაგალითები იმისა, თუ როგორ იწყებენ ბავშვებს ალგებრის გამოცდილება. ეს ელემენტარული მათემატიკური კონცეფცია აყალიბებს საფუძველს ალგებრულ ცვლადებთან მუშაობისთვის, რადგან ბავშვის მათემატიკური გამოცდილება იზრდება.
გეომეტრია და სივრცითი გრძნობა– ბავშვები ეყრდნობიან თავიანთ ცოდნას ძირითადი ფორმების შესახებ, რათა ამოიცნონ უფრო რთული 2-D და 3-D ფორმები ხატვით და დახარისხებით. შემდეგ ისინი სწავლობენ სივრცით მსჯელობას, რუკების კითხვას, სივრცეში ობიექტების ვიზუალიზაციას და პრობლემების გადასაჭრელად გეომეტრიული მოდელირების გამოყენებას. ბავშვებს შეეძლებათ გამოიყენონ კოორდინატთა გეომეტრია, რათა საბოლოოდ დააკონკრეტოთ ადგილები, მისცენ მიმართულებებს და აღწერონ სივრცითი ურთიერთობები.
გაზომვა– გაზომვისა და შედარების სწავლა მოიცავს სიგრძის, წონის, ტემპერატურის, სიმძლავრის და ფულის ცნებებს. დროის თქმა და ფულის გამოყენება უკავშირდება რიცხვთა სისტემის გაგებას და წარმოადგენს მნიშვნელოვან ცხოვრებისეულ უნარს.
მონაცემთა ანალიზი და ალბათობა– როდესაც ბავშვები აგროვებენ ინფორმაციას მათ გარშემო არსებული სამყაროს შესახებ, მათთვის სასარგებლო იქნება მათი ცოდნის ჩვენება და წარმოდგენა. სქემების, ცხრილების, გრაფიკების გამოყენება მათ დაეხმარება ისწავლონ მონაცემთა გაზიარება და ორგანიზება.

დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმები, რომლებიც მოიცავს მხოლოდ ერთ ან ორ მათემატიკის ამ ხუთი მიმართულებას, ვიწროა და იწვევს მათემატიკის სუსტ გაგებას. დაეხმარეთ თქვენს შვილს შექმნას ძლიერი, ფართო მათემატიკური საფუძველი.

ლესია მ. ოჰნივჩუკი

აბსტრაქტი

სტატიაში განხილულია LMS Moodle-ის ფუნქციონირების გაფართოების გზა მათემატიკური მეცნიერებების ელექტრონული სწავლების კურსების შექმნისას, კერძოდ, ელექტრონული სწავლების კურსები "დაწყებითი მათემატიკა" ფლეშ ტექნოლოგიისა და ჯავა-აპლეტის გამოყენებით. ფლეშ-აპლიკაციებისა და ჯავა-აპლეტების გამოყენების მაგალითები მოცემულია კურსში „დაწყებითი მათემატიკა“.

საკვანძო სიტყვები

LMS Moodle; ელექტრონული სწავლების კურსები; ტექნოლოგია ფლეშ; ჯავის აპლეტი, GeoGebra

ცნობები

Brandão, L. O., "iGeom: უფასო პროგრამული უზრუნველყოფა დინამიური გეომეტრიისთვის ინტერნეტში", საერთაშორისო კონფერენცია მეცნიერებისა და მათემატიკის განათლების შესახებ, რიო დე ჟანეირო, ბრაზილია, 2002 წ.

ბრენდაო, ლ.

Kamiya, R. H and Brandão, L. O. “iVProg – ინტერნეტში ვიზუალური მოდელის საშუალებით შესავალი პროგრამირების სისტემა. XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação-ს შრომები, 2009 (პორტუგალიურად).

Moodle.org: ღია წყაროზე დაფუძნებული ინსტრუმენტები სწავლისთვის [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://www.moodle.org.

MoodleDocs [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://docs.moodle.org.

ინტერაქტიული ტექნოლოგიები: თეორია, პრაქტიკა, მტკიცებულება: ავტომატური ინსტალაციის მეთოდური გზამკვლევი: O. Pometun, L. Pirozhenko. – კ.: APN; 2004. – 136გვ.

დიმიტრი პუპინინი. შეკითხვის ტიპი: Flash [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02.26.14.

Andreev A.V., Gerasimenko P.S. Flash-ისა და SCORM-ის გამოყენება საბოლოო საკონტროლო ამოცანების შესაქმნელად [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.

გეოგებრა. მასალები [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://tube.geogebra.org.

Hohenvator M. შესავალი გეოგებრაში / M. Hohenvator / ტრანს. T. S. Ryabova. – 2012. – 153გვ.

ბმულები (თარგმნილი და გადათარგმნილი)

Brandão, L. O. "iGeom: უფასო პროგრამული უზრუნველყოფა დინამიური გეომეტრიისთვის ინტერნეტში", საერთაშორისო კონფერენცია მეცნიერებათა და მათემატიკის განათლებაზე, რიო დე ჟანეირო, ბრაზილია, 2002 (ინგლისურად).

ბრანდაო, ლ.

Moodle.org: ღია წყაროზე დაფუძნებული ინსტრუმენტები სწავლისთვის. – ხელმისაწვდომია: http://www.moodle.org (ინგლისურად).

MoodleDocs. – ხელმისაწვდომია: http://docs.moodle.org (ინგლისურად).

Pometun O. I., Pirozhenko L. V. თანამედროვე გაკვეთილი, კიევი, ASK Publ., 2004, 192 გვ. (უკრაინულად).

დიმიტრი პუპინინი. შეკითხვის ტიპი: Flash. – ხელმისაწვდომია: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02.26.14 (ინგლისურად).

Andreev A., Gerasimenko R. Flash-ისა და SCORM-ის გამოყენება ამოცანების საბოლოო კონტროლის შესაქმნელად. – ხელმისაწვდომია: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 02.26.14 (რუსულად).

GeoGebra ვიკი. – ხელმისაწვდომია: http://www.geogebra.org (ინგლისურად).

Hohenwarter M. შესავალი GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 ს. (ინგლისურად).

DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249

ინსტრუქციები. სატრანსპორტო პრობლემის ონლაინ გადაწყვეტის მისაღებად აირჩიეთ სატარიფო მატრიცის განზომილება (მიმწოდებლების რაოდენობა და მაღაზიების რაოდენობა).

ამ კალკულატორთან ერთად ასევე გამოიყენება შემდეგი:
ZLP ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი
ZLP ამოხსნის მარტივი მეთოდი
მატრიცული თამაშის ამოხსნა
ონლაინ სერვისის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ მატრიცული თამაშის ფასი (ქვედა და ზედა საზღვრები), შეამოწმოთ უნაგირების წერტილის არსებობა, იპოვოთ გამოსავალი შერეული სტრატეგიისთვის შემდეგი მეთოდების გამოყენებით: მინიმაქსი, მარტივი მეთოდი, გრაფიკული (გეომეტრიული ) მეთოდი, ბრაუნის მეთოდი.

ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი
დინამიური პროგრამირების პრობლემები

ტრანსპორტის პრობლემის მოგვარების პირველი ეტაპიარის მისი ტიპის განსაზღვრა (ღია ან დახურული, ან სხვაგვარად დაბალანსებული ან გაუწონასწორებელი). სავარაუდო მეთოდები ( საცნობარო გეგმის პოვნის მეთოდები) დაუშვას გადაწყვეტის მეორე ეტაპიმცირე რაოდენობის ნაბიჯებით მიიღეთ პრობლემის მისაღები, მაგრამ არა ყოველთვის ოპტიმალური გადაწყვეტა. მეთოდების ეს ჯგუფი მოიცავს შემდეგ მეთოდებს:

წაშლა (ორმაგი უპირატესობის მეთოდი);
ჩრდილო-დასავლეთი კუთხე;
მინიმალური ელემენტი;
ვოგელის მიახლოებები.

სატრანსპორტო პრობლემის საცნობარო გადაწყვეტა

სატრანსპორტო პრობლემის საცნობარო გადაწყვეტაარის ნებისმიერი შესაძლებელი გამოსავალი, რომლისთვისაც დადებითი კოორდინატების შესაბამისი პირობის ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. დასაშვები ამოხსნის კოორდინატებთან შესაბამისი პირობების ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობის შესამოწმებლად გამოიყენება ციკლები.
ციკლისატრანსპორტო დავალების ცხრილის უჯრედების თანმიმდევრობას ეწოდება, რომელშიც ორი და მხოლოდ მიმდებარე უჯრედი განლაგებულია იმავე მწკრივში ან სვეტში, ხოლო პირველი და ბოლო ასევე იმავე სტრიქონში ან სვეტში. სატრანსპორტო პრობლემის პირობების ვექტორების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცხრილის შესაბამისი უჯრედებიდან ციკლის ფორმირება შეუძლებელია. მაშასადამე, ტრანსპორტის პრობლემის დასაშვები გადაწყვეტა, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n არის მითითება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მის მიერ დაკავებული ცხრილის უჯრებიდან ციკლის ფორმირება შეუძლებელია.

სატრანსპორტო პრობლემის გადაჭრის სავარაუდო მეთოდები.
გადაკვეთის მეთოდი (ორმაგი უპირატესობის მეთოდი). თუ ცხრილის მწკრივში ან სვეტში არის ერთი დაკავებული უჯრედი, მაშინ ის ვერ იქნება ჩართული ნებისმიერ ციკლში, რადგან ციკლს აქვს ორი და მხოლოდ ორი უჯრედი თითოეულ სვეტში. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ გადაკვეთოთ ცხრილის ყველა მწკრივი, რომელიც შეიცავს ერთ დაკავებულ უჯრედს, შემდეგ გადაკვეთოთ ყველა სვეტი, რომელიც შეიცავს ერთ დაკავებულ უჯრედს, შემდეგ დაბრუნდეთ რიგებში და გააგრძელოთ სტრიქონებისა და სვეტების გადაკვეთა. თუ წაშლის შედეგად ყველა მწკრივი და სვეტი გადაკვეთილია, ეს ნიშნავს, რომ ცხრილის დაკავებული უჯრედებიდან შეუძლებელია ციკლის შემქმნელი ნაწილის არჩევა, ხოლო პირობების შესაბამისი ვექტორების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. და გამოსავალი არის საცნობარო. თუ წაშლის შემდეგ რამდენიმე უჯრედი რჩება, მაშინ ეს უჯრედები ქმნიან ციკლს, პირობების შესაბამისი ვექტორების სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული და გამოსავალი არ არის საცნობარო.
ჩრდილო-დასავლეთის კუთხის მეთოდიშედგება სატრანსპორტო ცხრილის სტრიქონებისა და სვეტების თანმიმდევრული გავლისგან, დაწყებული მარცხენა სვეტიდან და ზედა ხაზიდან და ცხრილის შესაბამის უჯრედებში მაქსიმალური შესაძლო გადაზიდვების ჩაწერა, ისე, რომ მიმწოდებლის შესაძლებლობები ან მომხმარებლის საჭიროებები მითითებული იყოს დავალება არ არის გადაჭარბებული. ამ მეთოდით ყურადღება არ ეთმობა მიწოდების ფასებს, ვინაიდან გათვალისწინებულია გადაზიდვების შემდგომი ოპტიმიზაცია.
მინიმალური ელემენტის მეთოდი. მიუხედავად მისი სიმარტივისა, ეს მეთოდი მაინც უფრო ეფექტურია, ვიდრე, მაგალითად, ჩრდილო-დასავლეთის კუთხის მეთოდი. უფრო მეტიც, მინიმალური ელემენტის მეთოდი ნათელი და ლოგიკურია. მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სატრანსპორტო ცხრილში ჯერ ივსება ყველაზე დაბალი ტარიფის მქონე უჯრედები, შემდეგ კი მაღალი ტარიფებით. ანუ ჩვენ ვირჩევთ ტრანსპორტირებას ტვირთის მიტანის მინიმალური ღირებულებით. ეს აშკარა და ლოგიკური ნაბიჯია. მართალია, ეს ყოველთვის არ იწვევს ოპტიმალურ გეგმას.
ვოგელის დაახლოების მეთოდი. ვოგელის დაახლოების მეთოდით, ყოველი გამეორებისას, მათში დაწერილ ორ მინიმალურ ტარიფს შორის სხვაობა გვხვდება ყველა სვეტისა და ყველა მწკრივისთვის. ეს განსხვავებები ჩაწერილია პრობლემის პირობების ცხრილის სპეციალურად გამოყოფილ სტრიქონში და სვეტში. მითითებულ განსხვავებებს შორის არჩეულია მინიმალური. იმ სტრიქონში (ან სვეტში), რომელსაც ეს განსხვავება შეესაბამება, განისაზღვრება მინიმალური ტარიფი. უჯრედი, რომელშიც ის წერია, ივსება ამ გამეორებისას.

მაგალითი No1. სატარიფო მატრიცა (აქ მომწოდებლების რაოდენობაა 4, მაღაზიების რაოდენობა 6):

	1	2	3	4	5	6	რეზერვები
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	10	1	100	60
საჭიროებებს	10	30	40	50	70	30

გამოსავალი. წინასწარი ეტაპიტრანსპორტის პრობლემის გადაჭრა დამოკიდებულია მისი ტიპის განსაზღვრაზე, ღიაა თუ დახურული. შევამოწმოთ პრობლემის გადაჭრის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
ბალანსის პირობა დაცულია. უზრუნველყოფს თანაბარ საჭიროებებს. ასე რომ, ტრანსპორტის პრობლემის მოდელი დახურულია. თუ მოდელი ღია იქნებოდა, საჭირო იქნებოდა დამატებითი მომწოდებლების ან მომხმარებლების შემოყვანა.
ჩართულია მეორე ეტაპისაცნობარო გეგმის ძებნა ხდება ზემოთ მოცემული მეთოდების გამოყენებით (ყველაზე გავრცელებული არის ყველაზე დაბალი ღირებულების მეთოდი).
ალგორითმის საჩვენებლად წარმოგიდგენთ მხოლოდ რამდენიმე გამეორებას.
გამეორება No1. მინიმალური მატრიცის ელემენტი არის ნული. ამ ელემენტისთვის, ინვენტარი არის 60 და მოთხოვნები 30. მათგან ვირჩევთ მინიმალურ რიცხვს 30 და ვაკლებთ (იხ. ცხრილი). ამავდროულად, ცხრილიდან მეექვსე სვეტს ვკვეთთ (მისი საჭიროებები 0-ის ტოლია).

3	20	8	13	4	x	80
4	4	18	14	3	0	60 - 30 = 30
10	4	18	8	6	x	30
7	19	17	0	1	x	60
10	30	40	50	70	30 - 30 = 0	0

გამეორება No2. ჩვენ კვლავ ვეძებთ მინიმუმს (0). წყვილიდან (60;50) ვირჩევთ მინიმალურ რიცხვს 50. გადაკვეთეთ მეხუთე სვეტი.

3	20	8	x	4	x	80
4	4	18	x	3	0	30
10	4	18	x	6	x	30
7	19	17	0	1	x	60 - 50 = 10
10	30	40	50 - 50 = 0	70	0	0

გამეორება No3. ჩვენ ვაგრძელებთ პროცესს მანამ, სანამ არ შევარჩევთ ყველა საჭიროებას და მარაგს.
გამეორება No N. ელემენტი, რომელსაც ეძებთ არის 8. ამ ელემენტისთვის, მარაგი უდრის მოთხოვნებს (40).

3	x	8	x	4	x	40 - 40 = 0
x	x	x	x	3	0	0
x	4	x	x	x	x	0
x	x	x	0	1	x	0
0	0	40 - 40 = 0	0	0	0	0

	1	2	3	4	5	6	რეზერვები
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
საჭიროებებს	10	30	40	50	70	30

დავთვალოთ ცხრილის ოკუპირებული უჯრედების რაოდენობა, არის 8, მაგრამ ის უნდა იყოს m + n - 1 = 9. შესაბამისად, მხარდაჭერის გეგმა დეგენერირებულია. ახალ გეგმას ვაკეთებთ. ზოგჯერ თქვენ უნდა ააწყოთ რამდენიმე საცნობარო გეგმა, სანამ იპოვით არადეგენერატულ გეგმას.

	1	2	3	4	5	6	რეზერვები
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
საჭიროებებს	10	30	40	50	70	30

შედეგად, მიიღება პირველი დამხმარე გეგმა, რომელიც მოქმედებს, ვინაიდან ცხრილის დაკავებული უჯრედების რაოდენობა არის 9 და შეესაბამება ფორმულას m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, ე.ი. საცნობარო გეგმა არის არადეგენერატი.
მესამე ეტაპიშედგება ნაპოვნი საცნობარო გეგმის გაუმჯობესებაში. აქ ისინი იყენებენ პოტენციურ მეთოდს ან განაწილების მეთოდს. ამ ეტაპზე გადაწყვეტის სისწორის მონიტორინგი შესაძლებელია ღირებულების ფუნქციის F(x) მეშვეობით. თუ ის მცირდება (ექვემდებარება ხარჯების მინიმიზაციას), მაშინ გამოსავალი სწორია.

მაგალითი No2. მინიმალური ტარიფის მეთოდის გამოყენებით წარმოადგინეთ სატრანსპორტო პრობლემის გადაჭრის საწყისი გეგმა. შეამოწმეთ ოპტიმალურობა პოტენციური მეთოდის გამოყენებით.

	30	50	70	10	30	10
40	2	4	6	1	1	2
80	3	4	5	9	9	6
60	4	3	2	7	8	7
20	5	1	3	5	7	9

მაგალითი No3. ოთხ საკონდიტრო ქარხანას შეუძლია სამი სახის საკონდიტრო ნაწარმის წარმოება. საკონდიტრო ნაწარმის ერთი კვინტალის წარმოების ხარჯები თითოეული ქარხნის მიხედვით, ქარხნების წარმოების სიმძლავრე (კვინტალი თვეში) და საკონდიტრო ნაწარმის ყოველდღიური მოთხოვნები (კვინტალი თვეში) მითითებულია ცხრილში. შეადგინეთ საკონდიტრო ნაწარმის წარმოების გეგმა, რომელიც მინიმუმამდე დაყვანს მთლიან წარმოების ხარჯებს.

შენიშვნა. აქ თქვენ შეგიძლიათ ჯერ გადაიტანოთ ხარჯების ცხრილი, რადგან ტრანსპორტის პრობლემის კლასიკური ფორმულირებისთვის პირველ რიგში მოდის სიმძლავრეები (წარმოება), შემდეგ კი მომხმარებლები.

მაგალითი No4. ობიექტების ასაშენებლად აგურის მიწოდება ხდება სამი (I, II, III) ქარხნიდან. ქარხნებს საწყობებში, შესაბამისად, 50, 100 და 50 ათასი ერთეული აქვთ. აგური ობიექტებს ესაჭიროებათ შესაბამისად 50, 70, 40 და 40 ათასი ცალი. აგური ტარიფები (დენ. ერთეული/ათას ერთეული) მოცემულია ცხრილში. შექმენით სატრანსპორტო გეგმა, რომელიც მინიმუმამდე დაიყვანოს მთლიანი ტრანსპორტირების ხარჯები.

დაიხურება თუ:
ა) a=40, b=45
ბ) a=45, b=40
ბ) a=11, b=12
დახურული სატრანსპორტო ამოცანის მდგომარეობა: ∑a = ∑b
ვპოულობთ, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
ვიღებთ: 55+b = 60+a
ტოლობა შეინიშნება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a=40, b=45

ლექციები დაწყებითი მათემატიკაში (1898) არის ჯოზეფ ლუი ლაგრანჟის 1795 წლის პუბლიკაციის ყველაზე ადრეული ინგლისური თარგმანი. Leçons élémentaires sur les mathematices, რომელიც შეიცავს ლექციების სერიას, რომლებიც იმავე წელს წაიკითხეს Ecole Normale-ში. ნაწარმოები თარგმნა და გამოსცა თომას ჯ. მაკკორმაკმა, ხოლო მეორე გამოცემა, საიდანაც აღებულია შემდეგი ციტატები, გამოჩნდა 1901 წელს.

შინაარსი

ციტატები [რედაქტირება]

ლექცია III. ალგებრაზე, განსაკუთრებით მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებათა ამოხსნაზე[რედაქტირება]

ალგებრა არის მეცნიერება თითქმის მთლიანად თანამედროვეთა დამსახურებით... რადგან ჩვენ გვაქვს ერთი ტრაქტატი ბერძნებისგან, დიოფანტეს... ერთადერთი, რომელიც მათემატიკის ამ დარგში ძველებს ვევალებით. ...მე მხოლოდ ბერძნებზე ვლაპარაკობ, რადგან რომაელებს არაფერი დაუტოვებიათ მეცნიერებაში და, როგორც ჩანს, არაფერს აკეთებდნენ.

მისი ნაშრომი შეიცავს ამ მეცნიერების პირველ ელემენტებს. მან უცნობი რაოდენობის გამოსახატავად გამოიყენა ბერძნული ასო, რომელიც შეესაბამება ჩვენს ქდა რომელიც თარგმანებში შეიცვალა ნ. ცნობილი რაოდენობების გამოსახატავად მან გამოიყენა მხოლოდ რიცხვები, რადგან ალგებრა დიდი ხანია განკუთვნილი იყო მთლიანად რიცხვითი ამოცანების ამოხსნით.

[H]e იყენებს ცნობილ და უცნობი სიდიდეებს ერთნაირად. და აქ არის პრაქტიკულად ალგებრის არსი, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ გამოიყენოს უცნობი სიდიდეები, გამოვთვალოთ მათთან, როგორც ვაკეთებთ ცნობილ რაოდენობებთან და მათგან ერთი ან რამდენიმე განტოლების ჩამოყალიბება, რომლიდანაც შეიძლება განისაზღვროს უცნობი სიდიდეების მნიშვნელობა.

მიუხედავად იმისა, რომ დიოფანტის ნაშრომი თითქმის ექსკლუზიურად შეიცავს განუსაზღვრელ ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტას იგი რაციონალურ რიცხვებში ეძებს - ამოცანები, რომლებიც მის შემდეგ დაინიშნა დიოფანტის ამოცანებში, - მიუხედავად ამისა, მის ნაშრომში ვპოულობთ პირველი რიგის განსაზღვრული ამოცანების ამოხსნას. ხარისხი და თუნდაც ისეთი, როგორიცაა რამდენიმე უცნობი რაოდენობა. თუმცა, ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ავტორს უცვლელად მიმართავს... პრობლემის ერთ უცნობ რაოდენობამდე დაყვანას, რაც არ არის რთული.

ის ასევე იძლევა გამოსავალს მეორე ხარისხის განტოლებები, მაგრამ ფრთხილად უნდა მოაწყოს ისინი ისე, რომ მათ არასოდეს არ მიიღონ დაზარალებული ფორმა, რომელიც შეიცავს კვადრატს და უცნობი სიდიდის პირველ ხარისხს. ...ის ყოველთვის მიდის განტოლებამდე, რომელშიც ამონახსნის მისაღწევად მხოლოდ კვადრატული ფესვი უნდა ამოიღოს...

დიოფანტე... არ მიდის მეორე ხარისხის განტოლებათა მიღმა და ჩვენ არ ვიცით, ის თუ მისი რომელიმე მემკვიდრე... ოდესმე... ამ პუნქტის მიღმა.

დიოფანტე ევროპაში მეთექვსმეტე საუკუნის ბოლომდე არ იყო ცნობილი. პირველი თარგმანი სავალალო იყო ქსილანდერის მიერ 1575 წელს. ...გრძელი კომენტარების თანხლებით, ახლა უკვე ზედმეტია. ბაშეტის თარგმანი შემდგომში ფერმას მიერ დაკვირვებითა და შენიშვნებით დაიბეჭდა.

დიოფანტეს აღმოჩენამდე და გამოქვეყნებამდე ... ალგებრა უკვე იპოვა გზა ევროპაში. მეთხუთმეტე საუკუნის მიწურულს ვენეციაში გამოჩნდა ლუკას პაციოლუსის ნაშრომი არითმეტიკისა და გეომეტრიის შესახებ, რომელშიც გამოთქმული იყო ალგებრის ელემენტარული წესები.

ევროპელებმა, რომლებმაც არაბებისაგან მიიღეს ალგებრა, ფლობდნენ მას ასი წლით ადრე, სანამ მათთვის ცნობილი იქნებოდა დიოფანტის მოღვაწეობა. თუმცა, მათ არ მიაღწიეს პროგრესს პირველი და მეორე ხარისხის განტოლებების მიღმა.

პაციოლუსის ნაშრომში... მეორე ხარისხის განტოლებათა საერთო გარჩევადობა... არ იყო მოცემული. ამ ნაშრომში ჩვენ ვპოულობთ უბრალო წესებს, რომლებიც გამოხატულია ცუდ ლათინურ ლექსებში, თითოეული კონკრეტული შემთხვევის გადასაჭრელად განტოლების ტერმინების ნიშნების სხვადასხვა კომბინაციების მიხედვით და ეს წესებიც კი ვრცელდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ფესვები იყო რეალური და დადებითი. ნეგატიური ფესვები კვლავ უაზროდ და ზედმეტად ითვლებოდა.

გეომეტრია ნამდვილად გვთავაზობდა ნეგატიური სიდიდეების გამოყენებას და აქ არის ერთ-ერთი უდიდესი უპირატესობა, რომელიც მოჰყვა გეომეტრიაში ალგებრის გამოყენებას, - ნაბიჯი, რომელიც ჩვენ დეკარტის წინაშე ვართ.

შემდგომ პერიოდში გამოიკვლიეს მესამე ხარისხის განტოლებების გარჩევადობა და კონკრეტული შემთხვევის აღმოჩენა საბოლოოდ გააკეთა... სციპიო ფერეუსმა (1515). ...ტარტაგლიამ და კარდანმა შემდგომში დაასრულეს ფერეუსის ამონახსნი და განაზოგადეს მესამე ხარისხის ყველა განტოლებისთვის.

ამ პერიოდში იტალია, რომელიც ევროპაში ალგებრის აკვანი იყო, ჯერ კიდევ იყო მეცნიერების თითქმის ერთადერთი კულტივატორი და მხოლოდ მეთექვსმეტე საუკუნის შუა ხანებამდე დაიწყო ტრაქტატები ალგებრის შესახებ საფრანგეთში, გერმანიაში და საფრანგეთში. სხვა ქვეყნები.

პელეტიესა და ბუტეოს ნაშრომები პირველი იყო, რომელიც საფრანგეთმა შექმნა ამ მეცნიერებაში...

ტარტალიამ თავისი გამოსავალი ცუდ იტალიურ ლექსებში ახსნა 1546 წელს დაბეჭდილ ნაშრომში, რომელიც ეხმიანება მყვინთავების კითხვებსა და გამოგონებებს, ნაშრომი, რომელიც სარგებლობს იმით, რომ ერთ-ერთი პირველია, ვინც თანამედროვე სიმაგრეებს ამუშავებს ბასტიონებით.

კარდანმა გამოაქვეყნა თავისი ტრაქტატი არს მაგნა, ან ალგებრა...კარდანმა პირველმა გააცნობიერა, რომ განტოლებებს რამდენიმე ფესვი ჰქონდა და განასხვავა ისინი დადებითად და უარყოფითად. მაგრამ ის განსაკუთრებით ცნობილია იმით, რომ პირველად შენიშნა ე.წ შეუმცირებელი შემთხვევარომელშიც რეალური ფესვების გამოხატულება წარმოსახვითი სახით ჩნდება. კარდანმა დაარწმუნა თავი რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევიდან, როდესაც განტოლებას ჰქონდა რაციონალური გამყოფები, რომ წარმოსახვითი ფორმა ხელს არ უშლიდა ფესვებს რეალური მნიშვნელობის ქონაში. მაგრამ დასამტკიცებლად დარჩა, რომ არა მხოლოდ ფესვები იყო რეალური შეუქცევად შემთხვევაში, არამედ რომ შეუძლებელი იყო სამივე ერთად ყოფილიყო რეალური გარდა ამ შემთხვევისა. ეს მტკიცებულება შემდგომში მოწოდებული იქნა ვიეტას და, განსაკუთრებით, ალბერტ ჟირარის მიერ, კუთხის ტრისექციასთან დაკავშირებული მოსაზრებებიდან.

[თ] ის მესამე ხარისხის განტოლებების შეუქცევადი შემთხვევა... წარმოგიდგენთ ალგებრული გამონათქვამების ახალ ფორმას, რომელმაც ფართო გამოყენება ჰპოვა ანალიზში... ის მუდმივად იწვევს არამომგებიანი გამოკითხვებს წარმოსახვითი ფორმის რეალურ ფორმამდე დაყვანის მიზნით და... ამგვარად, ალგებრაში ასახავს ა. პრობლემა, რომელიც შეიძლება განთავსდეს კუბის დუბლირებისა და გეომეტრიაში წრის კვადრატის ცნობილ ამოცანებთან ერთად.

განსახილველი პერიოდის მათემატიკოსებს არ სჩვევიათ ერთმანეთს პრობლემების გადაწყვეტა. ეს იყო... საზოგადოებრივი გამოწვევები და ემსახურებოდა იმ დუღილის აღგზნებას და შენარჩუნებას, რომელიც აუცილებელია მეცნიერების ძიებისთვის. გამოწვევები... გაგრძელდა მეთვრამეტე საუკუნის ევროპის დასაწყისამდე და ნამდვილად არ შეწყვეტილა აკადემიების აღზევებამდე, რომლებმაც იგივე მიზანი შეასრულეს... ნაწილობრივ მათი სხვადასხვა წევრების ცოდნის გაერთიანებით, ნაწილობრივ, ურთიერთობა, რომელიც მათ შეინარჩუნეს... და... მათი მემუარების გამოქვეყნებით, რაც ახალი აღმოჩენებისა და დაკვირვებების გავრცელებას ემსახურებოდა...

The ალგებრაბომბელი შეიცავს არა მხოლოდ ფერარის აღმოჩენას, არამედ სხვა მნიშვნელოვან შენიშვნებს მეორე და მესამე ხარისხის განტოლებებზე და განსაკუთრებით რადიკალების თეორიაზე, რომლის საშუალებითაც ავტორმა რამდენიმე შემთხვევაში მოახერხა ორი ბინომის წარმოსახვითი კუბური ფესვების ამოღება. მესამე ხარისხის ფორმულის შეუქცევად შემთხვევაში, ასე რომ, სავსებით რეალური შედეგის პოვნა... ამ სახეობის გამოხატულების რეალობის ყველაზე პირდაპირი დადასტურება.

მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებების ამოხსნა სწრაფად განხორციელდა. მაგრამ მათემატიკოსთა წარმატებულმა ძალისხმევამ ორ საუკუნეზე მეტი ხნის განმავლობაში ვერ შეძლო მეხუთე ხარისხის განტოლების სირთულეების გადალახვა.

თუმცა ეს მცდელობები შორს არის უშედეგო. მათ დასაბამი მისცეს უამრავ მშვენიერ თეორემას... განტოლებების ფორმირებაზე, ფესვების ხასიათსა და ნიშნებზე, მოცემული განტოლების სხვებად გადაქცევაზე, რომელთა ფესვები სიამოვნებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს ფესვებიდან. მოცემული განტოლება და ბოლოს, განტოლებათა ამოხსნის მეტაფიზიკის შესახებ მშვენიერი მოსაზრებები, საიდანაც მიღებულია მათი ამოხსნის ყველაზე პირდაპირი მეთოდი, როდესაც ეს შესაძლებელია.

ვიეტა და დეკარტი... ჰარიოტი... და ჰადი... პირველები იყვნენ იტალიელების შემდეგ... განტოლებების თეორიის სრულყოფა, და მათი დროიდან მოყოლებული თითქმის არ არის ისეთი მათემატიკოსი, რომელსაც თავად არ გამოუყენებია...

ლექცია V. მრუდების გამოყენების შესახებ პრობლემების გადაჭრაში[რედაქტირება]

სანამ ალგებრა და გეომეტრია ცალ-ცალკე გადიოდა, მათი წინსვლა ნელი იყო და მათი გამოყენება შეზღუდული. მაგრამ როდესაც ეს ორი მეცნიერება შეუერთდა კომპანიას, მათ ერთმანეთისგან ახალი სიცოცხლისუნარიანობა მიიღეს და შემდეგ წინ მიიწიეს სწრაფი ტემპით სრულყოფისკენ. სწორედ დეკარტს ვევალებით ალგებრის გამოყენებას გეომეტრიაში, - პროგრამა, რომელმაც მათემატიკის ყველა დარგში უდიდესი აღმოჩენების გასაღები მოგვცა.

მეთოდი... განტოლებათა სხვადასხვა ზოგადი თვისებების პოვნისა და დემონსტრირების მიზნით მრუდების გათვალისწინებით, რომლებიც წარმოადგენენ მათ, არის გეომეტრიის გამოყენების სახეობა ალგებრაში... [T]ამ მეთოდს აქვს გაფართოებული აპლიკაციები და შეუძლია ადვილად გადაჭრას პრობლემები. რომლის პირდაპირი გადაწყვეტა იქნება უკიდურესად რთული ან თუნდაც შეუძლებელი... [T]მისი საგანი... ჩვეულებრივ არ გვხვდება ალგებრაზე ელემენტარულ ნაშრომებში.

[A]ნებისმიერი ხარისხის განტოლება შეიძლება გადაწყდეს მრუდის საშუალებით, რომლის აბსცისი წარმოადგენს განტოლების უცნობ რაოდენობას, ხოლო ორდინატები იმ მნიშვნელობებს, რომლებსაც მარცხენა წევრი იღებს უცნობი სიდიდის ყველა მნიშვნელობისთვის. . ...[T]ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზოგადად ყველა განტოლებაზე, როგორიც არ უნდა იყოს მათი ფორმა, და... მხოლოდ მოითხოვს მათ შემუშავებას და დალაგებას უცნობი სიდიდის სხვადასხვა ხარისხების მიხედვით.

[რედაქტირება]