ჩვენ ვაგრძელებთ თემის შესწავლას" განტოლებების ამოხსნა" ჩვენ უკვე გავეცანით წრფივ განტოლებებს და გადავდივართ გაცნობაზე კვადრატული განტოლებები.

ჯერ გადავხედავთ რა არის კვადრატული განტოლება და როგორ იწერება იგი ზოგადი ხედიდა მიეცით შესაბამისი განმარტებები. ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვიყენებთ მაგალითებს, რათა დეტალურად გამოვიკვლიოთ, თუ როგორ ამოიხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები. გადავიდეთ გამოსავალზე სრული განტოლებები, მივიღებთ ფესვის ფორმულას, გავეცნობით კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს და განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, მოდით მივყვეთ კავშირებს ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული განტოლება? მათი ტიპები

ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის კვადრატული განტოლება. მაშასადამე, ლოგიკურია კვადრატული განტოლებების შესახებ საუბრის დაწყება კვადრატული განტოლების განმარტებით, ასევე მასთან დაკავშირებული განმარტებებით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ განიხილოთ კვადრატული განტოლებების ძირითადი ტიპები: შემცირებული და შეუმცირებელი, ასევე სრული და არასრული განტოლებები.

კვადრატული განტოლებების განმარტება და მაგალითები

განმარტება.

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება a x 2 +b x+c=0, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო a არის არა ნულოვანი.

დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ კვადრატულ განტოლებებს ხშირად მეორე ხარისხის განტოლებებს უწოდებენ. ეს იმის გამო ხდება, რომ კვადრატული განტოლება არის ალგებრული განტოლებამეორე ხარისხი.

აღნიშნული განმარტება საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლებების მაგალითები. ანუ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 და ა.შ. ეს არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.

ნომრები a, b და c ეწოდება კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a·x 2 +b·x+c=0 და a კოეფიციენტს ეწოდება პირველი, ან უმაღლესი, ან x 2-ის კოეფიციენტი, b არის მეორე კოეფიციენტი, ან x-ის კოეფიციენტი და c არის თავისუფალი წევრი. .

მაგალითად, ავიღოთ 5 x 2 −2 x −3=0 ფორმის კვადრატული განტოლება, აქ წამყვანი კოეფიციენტია 5, მეორე კოეფიციენტი −2, ხოლო თავისუფალი წევრი −3. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როდესაც b და/ან c კოეფიციენტები უარყოფითია, როგორც ახლახან მოცემულ მაგალითში, კვადრატული განტოლების მოკლე ფორმაა 5 x 2 −2 x−3=0, ვიდრე 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

აღსანიშნავია, რომ როდესაც a და/ან b კოეფიციენტები უდრის 1-ს ან −1-ს, მაშინ ისინი, როგორც წესი, აშკარად არ გვხვდება კვადრატულ განტოლებაში, რაც განპირობებულია ასეთის ჩაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 −y+3=0 წამყვანი კოეფიციენტია ერთი, ხოლო y-ის კოეფიციენტი ტოლია −1-ის.

შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები

წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე განასხვავებენ შემცირებულ და შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებებს. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტი არის 1, ეწოდება მოცემული კვადრატული განტოლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლება არის ხელუხლებელი.

Მიხედვით ამ განმარტებას, კვადრატული განტოლებები x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 და ა.შ. – მოცემული, თითოეულ მათგანში პირველი კოეფიციენტი უდრის ერთს. A 5 x 2 −x−1=0 და ა.შ. - შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები, მათი წამყვანი კოეფიციენტები განსხვავდება 1-ისგან.

ნებისმიერი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან, ორივე მხარის წამყვან კოეფიციენტზე გაყოფით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემცირებულზე. ეს მოქმედება არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, ანუ ამ გზით მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ შეუმცირებელ კვადრატულ განტოლებას, ან, როგორც მას, არ აქვს ფესვები.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ ხდება გადასვლა შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი.

3 x 2 +12 x−7=0 განტოლებიდან გადადით შესაბამის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე.

გამოსავალი.

ჩვენ უბრალოდ უნდა გავყოთ ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე წამყვან კოეფიციენტზე 3, ის არ არის ნულოვანი, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ეს მოქმედება. გვაქვს (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, რაც იგივეა, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 და შემდეგ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, საიდანაც . ასე მივიღეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომელიც ორიგინალის ტოლფასია.

პასუხი:

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების განმარტება შეიცავს a≠0 პირობას. ეს პირობა აუცილებელია იმისათვის, რომ განტოლება a x 2 + b x + c = 0 იყოს კვადრატული, რადგან როდესაც a = 0 ის რეალურად ხდება b x + c = 0 ფორმის წრფივი განტოლება.

რაც შეეხება b და c კოეფიციენტებს, ისინი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ისე ერთად. ამ შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება.

კვადრატული განტოლება a x 2 +b x+c=0 ეწოდება არასრული, თუ b, c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია.

თავის მხრივ

განმარტება.

სრული კვადრატული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან.

ასეთი სახელები შემთხვევით არ დასახელებულა. ეს ცხადი გახდება შემდეგი დისკუსიებიდან.

თუ b კოეფიციენტი არის ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება იღებს ფორმას a·x 2 +0·x+c=0 და ის ტოლია a·x 2 +c=0 განტოლების. თუ c=0, ანუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა a·x 2 +b·x+0=0, მაშინ ის შეიძლება გადაიწეროს როგორც a·x 2 +b·x=0. ხოლო b=0 და c=0-ით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0. მიღებული განტოლებები განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარეები არ შეიცავს არც ცვლადთან x ტერმინს, არც თავისუფალ წევრს და არც ორივეს. აქედან მოდის მათი სახელწოდება - არასრული კვადრატული განტოლებები.

ასე რომ, განტოლებები x 2 +x+1=0 და −2 x 2 −5 x+0.2=0 არის სრული კვადრატული განტოლებების მაგალითები და x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

წინა აბზაცში მოცემული ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლება:

• a·x 2 =0, მას შეესაბამება b=0 და c=0 კოეფიციენტები;
• a x 2 +c=0 როდესაც b=0 ;
• და a·x 2 +b·x=0 როცა c=0.

მოდით განვიხილოთ თანმიმდევრობით, თუ როგორ არის ამოხსნილი თითოეული ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები.

a x 2 =0

დავიწყოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით, რომლებშიც b და c კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ანუ a x 2 =0 ფორმის განტოლებებით. განტოლება a·x 2 =0 უდრის განტოლებას x 2 =0, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. ცხადია, x 2 =0 განტოლების ფესვი არის ნული, ვინაიდან 0 2 =0. ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს, რაც აიხსნება იმით, რომ ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვისთვის p მოქმედებს უტოლობა p 2 >0, რაც ნიშნავს, რომ p≠0 ტოლობის p 2 =0 არასოდეს მიიღწევა.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 =0 აქვს ერთი ფესვი x=0.

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ ამოხსნას არასრული კვადრატული განტოლების −4 x 2 =0. იგი უდრის განტოლებას x 2 =0, მისი ერთადერთი ფესვი არის x=0, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ძირი ნული.

მოკლე გამოსავალი ამ შემთხვევაში შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც b კოეფიციენტი არის ნული და c≠0, ანუ a x 2 +c=0 ფორმის განტოლებები. ჩვენ ვიცით, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ისევე როგორც განტოლების ორივე მხარის გაყოფა არანულოვანი რიცხვით, იძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვახორციელოთ არასრული კვადრატული განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნები a x 2 +c=0:

• გადაიტანეთ c მარჯვენა მხარეს, რაც იძლევა განტოლებას a x 2 =−c,
• და გავყოთ ორივე მხარე a-ზე, მივიღებთ .

მიღებული განტოლება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ დასკვნები მისი ფესვების შესახებ. a და c მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი (მაგალითად, თუ a=1 და c=2, მაშინ ) ან დადებითი (მაგალითად, თუ a=−2 და c=6, მაშინ ), ის არ არის ნული, რადგან პირობით c≠0. ცალკე გავაანალიზებთ შემთხვევებს და.

თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ეს განცხადება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც , მაშინ ნებისმიერი p რიცხვისთვის ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

თუ , მაშინ განტოლების ფესვებთან სიტუაცია განსხვავებულია. ამ შემთხვევაში, თუ გვახსოვს დაახლოებით, მაშინ განტოლების ფესვი მაშინვე ცხადი ხდება, რადგან . ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი ასევე არის განტოლების ფესვი, მართლაც, . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც შეიძლება ნაჩვენები იყოს, მაგალითად, წინააღმდეგობით. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

მოდით აღვნიშნოთ ახლახან გამოცხადებული განტოლების ფესვები x 1 და −x 1 . დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს კიდევ ერთი ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება მითითებული ფესვებისგან x 1 და −x 1. ცნობილია, რომ მისი ფესვების x-ის ნაცვლად განტოლებაში ჩანაცვლება განტოლებას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში აქცევს. x 1-სთვის და −x 1-ისთვის გვაქვს , ხოლო x 2-ისთვის გვაქვს . რიცხვითი ტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ სწორი რიცხვითი ტოლობების გამოკლება ტერმინებით, ამიტომ ტოლობების შესაბამისი ნაწილების გამოკლება იძლევა x 1 2 −x 2 2 =0. რიცხვებთან მოქმედებების თვისებები საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ მიღებული ტოლობა როგორც (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. ჩვენ ვიცით, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულის ტოლია. მაშასადამე, მიღებული ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 −x 2 =0 და/ან x 1 +x 2 =0, რაც იგივეა, x 2 =x 1 და/ან x 2 =−x 1. ასე მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან დასაწყისში ვთქვით, რომ x 2 განტოლების ფესვი განსხვავდება x 1 და −x 1-ისგან. ეს ადასტურებს, რომ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები გარდა და.

მოდით შევაჯამოთ ინფორმაცია ამ პუნქტში. არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 +c=0 უდრის იმ განტოლებას, რომელიც

• ფესვები არ აქვს, თუ
• აქვს ორი ფესვი და თუ .

განვიხილოთ a·x 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.

დავიწყოთ კვადრატული განტოლებით 9 x 2 +7=0. თავისუფალი წევრის განტოლების მარჯვენა მხარეს გადატანის შემდეგ ის მიიღებს 9 x 2 =−7 ფორმას. მიღებული განტოლების ორივე მხარეს 9-ზე გავყოფთ, მივიღებთ . ვინაიდან მარჯვენა მხარეს აქვს უარყოფითი რიცხვი, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, შესაბამისად, თავდაპირველ არასრულ კვადრატულ განტოლებას 9 x 2 +7 = 0 ფესვები არ აქვს.

ამოხსნათ კიდევ ერთი არასრული კვადრატული განტოლება −x 2 +9=0. ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს: −x 2 =−9. ახლა ორივე მხარეს ვყოფთ −1-ზე, მივიღებთ x 2 =9. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც ვასკვნით, რომ ან . შემდეგ ვწერთ საბოლოო პასუხს: არასრულ კვადრატულ განტოლებას −x 2 +9=0 აქვს ორი ფესვი x=3 ან x=−3.

a x 2 +b x=0

რჩება საქმე ბოლო ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნასთან c=0-ისთვის. a x 2 + b x = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ფაქტორიზაციის მეთოდი. ცხადია, შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული, რისთვისაც საკმარისია ფრჩხილებიდან ავიღოთ საერთო x ფაქტორი. ეს საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლებიდან x·(a·x+b)=0 ფორმის ეკვივალენტურ განტოლებაზე. და ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს x=0 და a·x+b=0, რომელთაგან ეს უკანასკნელი წრფივია და აქვს ფესვი x=−b/a.

ასე რომ, არასრულ კვადრატულ განტოლებას a·x 2 +b·x=0 აქვს ორი ფესვი x=0 და x=−b/a.

მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითის გადაწყვეტას.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.

x-ის ფრჩხილებიდან ამოღება იძლევა განტოლებას. იგი უდრის ორ განტოლებას x=0 და . იმის გადაჭრა რაც მივიღეთ წრფივი განტოლება: და შერეული რიცხვის ჩვეულებრივ წილადზე გაყოფით ვპოულობთ . მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვებია x=0 და .

საჭირო პრაქტიკის მოპოვების შემდეგ, ასეთი განტოლებების ამონახსნები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს:

პასუხი:

x=0, .

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, არსებობს ფესვის ფორმულა. მოდი ჩავწეროთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა: , სად D=b 2 −4 a c- ე. წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი. ჩანაწერი არსებითად ნიშნავს იმას.

სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ იქნა მიღებული ფესვის ფორმულა და როგორ გამოიყენება იგი კვადრატული განტოლებების ფესვების მოსაძებნად. მოდით გავარკვიოთ ეს.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

დაგვჭირდება ამოხსნათ კვადრატული განტოლება a·x 2 +b·x+c=0. მოდით შევასრულოთ რამდენიმე ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

• ჩვენ შეგვიძლია ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ არანულოვანი რიცხვით a, რის შედეგადაც მივიღებთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებას.
• ახლა გამოვყოთ იდეალური მოედანი მის მარცხენა მხარეს: . ამის შემდეგ, განტოლება მიიღებს ფორმას.
• ამ ეტაპზე შესაძლებელია ბოლო ორი ტერმინის მარჯვნივ გადატანა საპირისპირო ნიშნით, გვაქვს .
• და მოდი ასევე გადავცვალოთ გამოთქმა მარჯვენა მხარეს: .

შედეგად მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც ექვივალენტურია თავდაპირველი კვადრატული განტოლებისა a·x 2 +b·x+c=0.

წინა აბზაცებში, როდესაც განვიხილეთ, მსგავსი განტოლებები უკვე გადავჭრით. ეს საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• თუ , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ამონახსნები;
• თუ , მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა, მაშასადამე, , საიდანაც ჩანს მისი ერთადერთი ფესვი;
• თუ , მაშინ ან , რომელიც იგივეა რაც ან , ანუ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ამრიგად, განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა და, შესაბამისად, ორიგინალური კვადრატული განტოლება დამოკიდებულია გამოხატვის ნიშანზე მარჯვენა მხარეს. თავის მხრივ, ამ გამოხატვის ნიშანი განისაზღვრება მრიცხველის ნიშნით, ვინაიდან მნიშვნელი 4·a 2 ყოველთვის დადებითია, ანუ b 2 −4·a·c გამოხატვის ნიშნით. ეს გამონათქვამი b 2 −4 a c ეწოდა კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტიდა დანიშნულია წერილით დ. აქედან ირკვევა დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობიდან და ნიშნიდან გამომდინარე ასკვნიან, აქვს თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რა არის მათი რიცხვი - ერთი ან ორი.

დავუბრუნდეთ განტოლებას და გადავიწეროთ დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით: . და ჩვენ ვაკეთებთ დასკვნებს:

• თუ დ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• თუ D=0, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი;
• დაბოლოს, თუ D>0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ან სახით და წილადების გაფართოებისა და საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის შემდეგ მივიღებთ.

ასე რომ, ჩვენ გამოვიყვანეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები, მათ აქვთ ფორმა, სადაც დისკრიმინანტი D გამოითვლება ფორმულით D=b 2 −4·a·c.

მათი დახმარებით, დადებითი დისკრიმინანტით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული განტოლების ორივე რეალური ფესვი. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულა იძლევა ფესვის ერთსა და იმავე მნიშვნელობას, რაც შეესაბამება კვადრატული განტოლების უნიკალურ ამონახსნებს. და უარყოფითი დისკრიმინანტით, როდესაც ვცდილობთ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, ჩვენ წინაშე ვდგავართ კვადრატული ფესვის ამოღების წინაშე. უარყოფითი რიცხვი, რაც სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს სცილდება. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ აქვს წყვილი რთული კონიუგატიფესვები, რომელთა ნახვა შესაძლებელია ჩვენ მიერ მიღებული იგივე ფესვის ფორმულების გამოყენებით.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

პრაქტიკაში, კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ფესვის ფორმულა მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად. მაგრამ ეს უფრო რთული ფესვების პოვნას უკავშირდება.

თუმცა, სკოლის ალგებრის კურსში ეს ჩვეულებრივ ჩვენ ვსაუბრობთარა რთული, არამედ კვადრატული განტოლების რეალური ფესვების შესახებ. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებს გამოიყენებთ, ჯერ იპოვნეთ დისკრიმინანტი, დარწმუნდით, რომ ის არაუარყოფითია (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები). და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოთვალეთ ფესვების მნიშვნელობები.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. a x 2 +b x+c=0 კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

• დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით D=b 2 −4·a·c გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა;
• დავასკვნათ, რომ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია;
• გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით, თუ D=0;
• იპოვეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი ფესვის ფორმულის გამოყენებით, თუ დისკრიმინანტი დადებითია.

აქ უბრალოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, რომელიც იგივე მნიშვნელობას მისცემს.

შეგიძლიათ გადახვიდეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის გამოყენების მაგალითებზე.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

განვიხილოთ სამი კვადრატული განტოლების ამონახსნები დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი დისკრიმინანტით. მათი ამოხსნის შემდეგ, ანალოგიით შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი სხვა კვადრატული განტოლების ამოხსნა. Მოდით დავიწყოთ.

მაგალითი.

იპოვეთ x 2 +2·x−6=0 განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

ამ შემთხვევაში გვაქვს კვადრატული განტოლების შემდეგი კოეფიციენტები: a=1, b=2 და c=−6. ალგორითმის მიხედვით, ამისათვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი, ჩვენ ვცვლით მითითებულ a, b და c დისკრიმინაციულ ფორმულას D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ვინაიდან 28>0, ანუ დისკრიმინანტი მეტია ნულზე, კვადრატულ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი root ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ, აქ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მიღებული გამონათქვამები ამით მულტიპლიკატორის გადატანა ძირეული ნიშნის მიღმარასაც მოჰყვება წილადის შემცირება:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ტიპურ მაგალითზე.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება −4 x 2 +28 x−49=0 .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიწყებთ დისკრიმინანტის პოვნას: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ, როგორც, ანუ,

პასუხი:

x=3.5.

რჩება განიხილოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უარყოფითი დისკრიმინანტით.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება 5·y 2 +6·y+2=0.

გამოსავალი.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები: a=5, b=6 და c=2. ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობებს დისკრიმინაციულ ფორმულაში, გვაქვს D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. დისკრიმინანტი უარყოფითია, შესაბამისად, ამ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ რთული ფესვების მითითება გჭირდებათ, მაშინ ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ფორმულას კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის და ვასრულებთ ოპერაციები რთული რიცხვებით:

პასუხი:

არ არსებობს ნამდვილი ფესვები, რთული ფესვებია: .

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ, რომ თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ სკოლაში ისინი ჩვეულებრივ დაუყოვნებლივ წერენ პასუხს, რომელშიც მიუთითებენ, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და რთული ფესვები არ არის ნაპოვნი.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, სადაც D=b 2 −4·a·c საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ უფრო კომპაქტური ფორმის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები ლუწი კოეფიციენტით x-ისთვის (ან უბრალოდ 2·n ფორმის კოეფიციენტი, მაგალითად, ან 14· ln5=2·7·ln5). მოდით გამოვიყვანოთ იგი.

ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ a x 2 +2 n x+c=0 ფორმის კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ მისი ფესვები ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)და შემდეგ ვიყენებთ root ფორმულას:

გამოთქმა n 2 −a c ავღნიშნოთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 n მიიღებს ფორმას. , სადაც D 1 =n 2 −a·c.

ადვილი დასანახია, რომ D=4·D 1, ან D 1 =D/4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი. ნათელია, რომ D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი. ანუ, ნიშანი D 1 ასევე არის კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

ასე რომ, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად მეორე კოეფიციენტით 2·n გჭირდებათ

• გამოთვალეთ D 1 =n 2 −a·c ;
• თუ D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• თუ D 1 =0, მაშინ გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულის გამოყენებით;
• თუ D 1 >0, მაშინ იპოვეთ ორი რეალური ფესვი ფორმულის გამოყენებით.

განვიხილოთ მაგალითის ამოხსნა ამ აბზაცში მიღებული ძირეული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება 5 x 2 −6 x −32=0 .

გამოსავალი.

ამ განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2·(−3) . ანუ, შეგიძლიათ გადაწეროთ ორიგინალური კვადრატული განტოლება სახით 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, აქ a=5, n=−3 და c=−32 და გამოთვალოთ მეოთხე ნაწილი. დისკრიმინანტი: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ვინაიდან მისი მნიშვნელობა დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი შესაბამისი root ფორმულის გამოყენებით:

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენება კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის, მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო მეტი გამოთვლითი სამუშაო უნდა შესრულდეს.

პასუხი:

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ, სანამ ფორმულების გამოყენებით კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლას დავიწყებთ, არ არის ცუდი დავსვათ კითხვა: "შესაძლებელია თუ არა ამ განტოლების ფორმის გამარტივება?" დამეთანხმებით, რომ გამოთვლებით უფრო ადვილი იქნება 11 x 2 −4 x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა, ვიდრე 1100 x 2 −400 x−600=0.

როგორც წესი, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება მიიღწევა ორივე მხარის გარკვეულ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, წინა აბზაცში შესაძლებელი იყო 1100 x 2 −400 x −600=0 განტოლების გამარტივება ორივე მხარის 100-ზე გაყოფით.

მსგავსი ტრანსფორმაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლებით, რომელთა კოეფიციენტები არ არის. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე მხარე ჩვეულებრივ იყოფა მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობებით. მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 12 x 2 −42 x+48=0. მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ 6-ზე, მივიღებთ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებას 2 x 2 −7 x+8=0.

და კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ჩვეულებრივ ხდება წილადის კოეფიციენტების მოსაშორებლად. ამ შემთხვევაში გამრავლება ხორციელდება მისი კოეფიციენტების მნიშვნელებით. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია LCM(6, 3, 1)=6-ზე, მაშინ ის უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს x 2 +4·x−18=0.

ამ პუნქტის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ ისინი თითქმის ყოველთვის ათავისუფლებენ მინუსს კვადრატული განტოლების უმაღლეს კოეფიციენტზე, ყველა წევრის ნიშნების შეცვლით, რაც შეესაბამება ორივე მხარის −1-ზე გამრავლებას (ან გაყოფას). მაგალითად, ჩვეულებრივ, ადამიანი გადადის კვადრატული განტოლებიდან −2 x 2 −3 x+7=0 ამონახსნისკენ 2 x 2 +3 x−7=0 .

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების საშუალებით. ფესვების ფორმულის საფუძველზე, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ურთიერთობები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ვიეტას თეორემიდან ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელი ფორმულებია ფორმის და. კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. მაგალითად, კვადრატული განტოლების სახით 3 x 2 −7 x + 22 = 0 დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფესვების ჯამი უდრის 7/3-ს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის 22/3-ს.

უკვე დაწერილი ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ მრავალი სხვა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოვხატოთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი მისი კოეფიციენტებით: .

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. სახელმძღვანელო მოსწავლეებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.

კვადრატული განტოლება - ადვილად ამოსახსნელი! *შემდგომში მოხსენიებული, როგორც "KU".მეგობრებო, როგორც ჩანს, მათემატიკაში არაფერია მარტივი, ვიდრე ასეთი განტოლების ამოხსნა. მაგრამ რაღაცამ მითხრა, რომ ბევრს აქვს მასთან პრობლემები. გადავწყვიტე მენახა, რამდენ შთაბეჭდილებას აწვდის Yandex-ს მოთხოვნით თვეში. აი რა მოხდა, ნახეთ:

Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ თვეში დაახლოებით 70 000 ადამიანი ეძებს ამ ინფორმაციას და ეს ზაფხულია და რა იქნება სასწავლო წლის განმავლობაში - ორჯერ მეტი მოთხოვნა იქნება. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ის ბიჭები და გოგონები, რომლებმაც სკოლა დიდი ხნის წინ დაამთავრეს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ემზადებიან, ამ ინფორმაციას ეძებენ და სკოლის მოსწავლეებიც ცდილობენ მეხსიერების განახლებას.

იმისდა მიუხედავად, რომ უამრავი საიტია, რომელიც გეტყვით, როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება, მე გადავწყვიტე მეც შემეტანა წვლილი და გამოვაქვეყნო მასალა. უპირველეს ყოვლისა, მინდა, რომ ვიზიტორები მოვიდნენ ჩემს საიტზე ამ მოთხოვნის საფუძველზე; მეორეც, სხვა სტატიებში, როცა „KU“-ს თემა გაჩნდება, ამ სტატიის ბმულს მივცემ; მესამე, მე გეტყვით ცოტა მეტს მისი გადაწყვეტის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივ ნათქვამია სხვა საიტებზე. Დავიწყოთ!სტატიის შინაარსი:

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

სადაც კოეფიციენტები a,ბდა c არის თვითნებური რიცხვები, a≠0-ით.

სასკოლო კურსში მასალა მოცემულია შემდეგი ფორმით - განტოლებები იყოფა სამ კლასად:

1. მათ აქვთ ორი ფესვი.

2. *მხოლოდ ერთი ფესვი აქვს.

3. მათ არ აქვთ ფესვები. აქ განსაკუთრებით უნდა აღინიშნოს, რომ მათ არ აქვთ რეალური ფესვები

როგორ გამოითვლება ფესვები? Უბრალოდ!

ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს. ამ "საშინელი" სიტყვის ქვეშ არის ძალიან მარტივი ფორმულა:

ფესვის ფორმულები შემდეგია:

*ეს ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ და გადაჭრათ:

მაგალითი:

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

2. თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

3. თუ დ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

მოდით შევხედოთ განტოლებას:

ავტორი ამ შემთხვევაში, როცა დისკრიმინანტი ნულია, სკოლის კურსში ნათქვამია, რომ შედეგი არის ერთი ფესვი, აქ უდრის ცხრას. ყველაფერი სწორია, ასეა, მაგრამ...

ეს აზრი გარკვეულწილად არასწორია. სინამდვილეში, არსებობს ორი ფესვი. დიახ, დიახ, ნუ გაგიკვირდებათ, თქვენ მიიღებთ ორ თანაბარ ფესვს და მათემატიკურად ზუსტი რომ ვიყოთ, მაშინ პასუხი უნდა დაწეროს ორი ფესვი:

x 1 = 3 x 2 = 3

მაგრამ ეს ასეა - მცირე გადახვევა. სკოლაში შეგიძლიათ დაწეროთ და თქვათ, რომ ერთი ფესვია.

ახლა შემდეგი მაგალითი:

როგორც ვიცით, უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება შეუძლებელია, ამიტომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ეს არის გადაწყვეტილების მთელი პროცესი.

კვადრატული ფუნქცია.

ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება გამოსავალი გეომეტრიულად. ამის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია (მომავალში, ერთ-ერთ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნას).

ეს არის ფორმის ფუნქცია:

სადაც x და y არის ცვლადები

a, b, c – მოცემული რიცხვები, a ≠ 0-ით

გრაფიკი არის პარაბოლა:

ანუ, გამოდის, რომ კვადრატული განტოლების ამოხსნით „y“ ნულის ტოლი, ვპოულობთ პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. ამ წერტილებიდან შეიძლება იყოს ორი (დისკრიმინანტი დადებითია), ერთი (დისკრიმინანტი არის ნული) და არცერთი (დისკრიმინანტი უარყოფითია). დეტალები კვადრატული ფუნქციის შესახებ შეგიძლიათ ნახოთინა ფელდმანის სტატია.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1: ამოხსნა 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

პასუხი: x 1 = 8 x 2 = –12

*შესაძლებელია განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის დაუყოვნებლივ გაყოფა 2-ზე, ანუ მისი გამარტივება. გათვლები უფრო ადვილი იქნება.

მაგალითი 2: გადაწყვიტე x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ x 1 = 11 და x 2 = 11

დასაშვებია პასუხში x = 11 ჩაწერა.

პასუხი: x = 11

მაგალითი 3: გადაწყვიტე x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალურ რიცხვებში გამოსავალი არ არის.

პასუხი: გამოსავალი არ არის

დისკრიმინანტი უარყოფითია. გამოსავალი არსებობს!

აქ ვისაუბრებთ განტოლების ამოხსნაზე იმ შემთხვევაში, როდესაც მიიღება უარყოფითი დისკრიმინანტი. კომპლექსური რიცხვების შესახებ იცით რამე? აქ დეტალურად არ განვიხილავ, თუ რატომ და სად გაჩნდა ისინი და რა არის მათი კონკრეტული როლი და აუცილებლობა მათემატიკაში, ეს არის დიდი ცალკეული სტატიის თემა.

რთული რიცხვის კონცეფცია.

ცოტა თეორია.

რთული რიცხვი z არის ფორმის რიცხვი

z = a + bi

სადაც a და b რეალური რიცხვებია, i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული.

ა+ბი - ეს არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

წარმოსახვითი ერთეული უდრის მინუს ერთის ფესვს:

ახლა განიხილეთ განტოლება:

ვიღებთ ორ კონიუგატულ ფესვს.

არასრული კვადრატული განტოლება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები, როდესაც კოეფიციენტი “b” ან “c” უდრის ნულს (ან ორივე ტოლია ნულის). მათი მოგვარება მარტივად შეიძლება ყოველგვარი დისკრიმინაციის გარეშე.

შემთხვევა 1. კოეფიციენტი b = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით გარდავქმნათ:

მაგალითი:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

შემთხვევა 2. კოეფიციენტი c = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით ტრანსფორმირება და ფაქტორიზაცია:

* ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითი:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ან x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

შემთხვევა 3. კოეფიციენტები b = 0 და c = 0.

აქ ცხადია, რომ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

სასარგებლო თვისებები და კოეფიციენტების ნიმუშები.

არსებობს თვისებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლებები დიდი კოეფიციენტებით.

აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა + ბ+ c = 0,რომ

- თუ განტოლების კოეფიციენტებისთვის აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა+ c =ბ, რომ

ეს თვისებები ხელს უწყობს გარკვეული ტიპის განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

შანსების ჯამი არის 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, რაც ნიშნავს

მაგალითი 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

თანასწორობა მოქმედებს ა+ c =ბ, ნიშნავს

კოეფიციენტების კანონზომიერებები.

1. თუ განტოლებაში ax 2 + bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. თუ განტოლებაში ax 2 – bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. თუ განტოლებაში. ax 2 + bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 - 1) და კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები თანაბარია

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. თუ განტოლებაში ax 2 – bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 – 1), ხოლო c კოეფიციენტი რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ვიეტას თეორემა.

ვიეტას თეორემა ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელს ატარებს. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვხატოთ თვითნებური KU-ს ფესვების ჯამი და ნამრავლი მისი კოეფიციენტების მიხედვით.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

საერთო ჯამში რიცხვი 14 იძლევა მხოლოდ 5-ს და 9-ს. ეს ფესვებია. გარკვეული ოსტატობით, წარმოდგენილი თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება ზეპირად.

გარდა ამისა, ვიეტას თეორემა. მოსახერხებელია იმით, რომ კვადრატული განტოლების ჩვეული გზით ამოხსნის შემდეგ (დისკრიმინანტის საშუალებით), შესაძლებელია მიღებული ფესვების შემოწმება. გირჩევთ ამის გაკეთებას ყოველთვის.

ტრანსპორტირების მეთოდი

ამ მეთოდით კოეფიციენტი „a“ მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს „გადააგდეს“, რის გამოც მას ე.წ. "გადაცემის" მეთოდი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როცა ვიეტას თეორემის გამოყენებით ადვილად იპოვით განტოლების ფესვებს და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი ზუსტი კვადრატია.

თუ ა± ბ+გ≠ 0, შემდეგ გამოიყენება გადაცემის ტექნიკა, მაგალითად:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ვიეტას თეორემის გამოყენებით (2) განტოლებაში ადვილია იმის დადგენა, რომ x 1 = 10 x 2 = 1

განტოლების შედეგად მიღებული ფესვები უნდა გაიყოს 2-ზე (რადგან ეს ორი "გადააგდეს" x 2-დან), მივიღებთ

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

რა არის დასაბუთება? შეხედე რა ხდება.

(1) და (2) განტოლებების დისკრიმინანტები ტოლია:

თუ გადავხედავთ განტოლებების ფესვებს, მიიღებთ მხოლოდ სხვადასხვა მნიშვნელებს და შედეგი დამოკიდებულია ზუსტად x 2 კოეფიციენტზე:

მეორეს (შეცვლილ) აქვს 2-ჯერ დიდი ფესვები.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვყოფთ შედეგს 2-ზე.

*თუ სამს გადავატრიალებთ, შედეგს გავყოფთ 3-ზე და ა.შ.

პასუხი: x 1 = 5 x 2 = 0.5

კვ. ur-ie და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

მოკლედ გეტყვით მის მნიშვნელობაზე - თქვენ უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება სწრაფად და დაუფიქრებლად, თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ ფესვებისა და დისკრიმინანტების ფორმულები. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში შეტანილი ბევრი პრობლემა კვადრატული განტოლების ამოხსნას უკავშირდება (გეომეტრიულიც).

აღნიშვნის ღირსი რამეა!

1. განტოლების დაწერის ფორმა შეიძლება იყოს „იმპლიციტური“. მაგალითად, შესაძლებელია შემდეგი ჩანაწერი:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ან 15x+42+9x 2 - 45x=0 ან 15 -5x+10x 2 = 0.

თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში (ისე, რომ არ დაიბნეთ ამოხსნისას).

2. გახსოვდეთ, რომ x უცნობი სიდიდეა და ის შეიძლება აღვნიშნოთ ნებისმიერი სხვა ასოთი - t, q, p, h და სხვა.

Უბრალოდ. ფორმულებისა და მკაფიო, მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე

აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ფორმამდე:

თუ განტოლება უკვე მოგეცემათ ამ ფორმით, თქვენ არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება. მთავარია ამის სწორად გაკეთება

განსაზღვრეთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა.

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი . როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ჩვენ

ჩვენ ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტებიდან კვადრატული განტოლება. უბრალოდ ფრთხილად ჩადეთ

ღირებულებები a, b და cჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფორმულაში. ჩვენ ვცვლით მათინიშნები!

Მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ = -4.

ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს და ვწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა ა, ბდა თან. უფრო სწორად, ჩანაცვლებით

უარყოფითი მნიშვნელობებიფესვების გამოთვლის ფორმულაში. ფორმულის დეტალური ჩანაწერი სამაშველოში მოდის

თან კონკრეტული ნომრები. თუ თქვენ გაქვთ პრობლემები გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთეთ ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ჩვენ აღვწერთ ყველაფერს დეტალურად, ფრთხილად, არაფრის გამოტოვების გარეშე ყველა ნიშნით და ფრჩხილებით:

კვადრატული განტოლებები ხშირად ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

პირველი დანიშვნა. მანამდე არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

Რას ნიშნავს ეს?

ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.

ააგეთ მაგალითი სწორად. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. Ამგვარად:

მოიშორეთ მინუსი. Როგორ? მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა.

თავად გადაწყვიტეთ. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1.

მეორე მიღება.შეამოწმეთ ფესვები! ავტორი ვიეტას თეორემა.

მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

x 2 +bx+c=0,

მერეx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−ბ

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც a≠1:

x 2 +ბx+გ=0,

გავყოთ მთელი განტოლება A:

→ →

სად x 1და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლე

განტოლება საერთო მნიშვნელით.

დასკვნა. პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, გამოვრიცხავთ მას ყველაფრის გამრავლებით.

განტოლებები -1-ით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამისზე გამრავლებით.

ფაქტორი.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის ადვილად შემოწმება შესაძლებელია

კვადრატული განტოლებები. დისკრიმინანტი. გამოსავალი, მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

კვადრატული განტოლებების სახეები

რა არის კვადრატული განტოლება? Რას გავს? ვადით კვადრატული განტოლებასაკვანძო სიტყვა არის "კვადრატი".ეს ნიშნავს, რომ განტოლებაში აუცილებლადუნდა იყოს x კვადრატი. გარდა ამისა, განტოლება შეიძლება (ან შეიძლება არა!) შეიცავდეს მხოლოდ X (პირველ ხარისხამდე) და მხოლოდ რიცხვს. (თავისუფალი წევრი).და არ უნდა იყოს X-ები ორზე მეტი სიმძლავრით.

მათემატიკური თვალსაზრისით, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

Აქ a, b და c- რამდენიმე რიცხვი. ბ და გ- აბსოლუტურად ნებისმიერი, მაგრამ ა- არაფერი, გარდა ნულისა. Მაგალითად:

Აქ ა =1; ბ = 3; გ = -4

Აქ ა =2; ბ = -0,5; გ = 2,2

Აქ ა =-3; ბ = 6; გ = -18

აბა, გესმის...

ამ კვადრატულ განტოლებებში მარცხნივ არის სრული კომპლექტიწევრები. X კვადრატში კოეფიციენტით A, x პირველ ხარისხამდე კოეფიციენტით ბდა თავისუფალი წევრი ს.

ასეთ კვადრატულ განტოლებებს ე.წ სავსე.

Და თუ ბ= 0, რას მივიღებთ? Ჩვენ გვაქვს X დაიკარგება პირველი ძალა.ეს ხდება ნულზე გამრავლებისას.) გამოდის, მაგალითად:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Და ასე შემდეგ. და თუ ორივე კოეფიციენტი ბდა გნულის ტოლია, მაშინ ეს კიდევ უფრო მარტივია:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ისეთ განტოლებებს, სადაც რაღაც აკლია, ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლებები.რაც საკმაოდ ლოგიკურია.) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ x კვადრატი ყველა განტოლებაშია.

სხვათა შორის, რატომ ანულის ტოლი არ შეიძლება? და თქვენ შეცვალეთ ამის ნაცვლად ანული.) ჩვენი X კვადრატი გაქრება! განტოლება გახდება წრფივი. და გამოსავალი სულ სხვაა...

ეს არის კვადრატული განტოლებების ყველა ძირითადი ტიპი. სრული და არასრული.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

კვადრატული განტოლებები ადვილად ამოსახსნელია. ფორმულებისა და მკაფიო, მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ფორმამდე:

თუ განტოლება უკვე მოგცემთ ამ ფორმით, არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება.) მთავარია სწორად განსაზღვროთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი. მაგრამ უფრო მეტი მის შესახებ ქვემოთ. როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტები კვადრატული განტოლებიდან. უბრალოდ ფრთხილად შეცვალეთ მნიშვნელობები a, b და cჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფორმულაში. შევცვალოთ საკუთარი ნიშნებით! მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ= -4. აქვე ჩავწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაფერი ძალიან მარტივია. და რა, თქვენ ფიქრობთ, რომ შეუძლებელია შეცდომის დაშვება? ჰო, როგორ...

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა a, b და c. უფრო სწორად, არა მათი ნიშნებით (სად უნდა დაბნეული?), არამედ უარყოფითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. რაც აქ დაგვეხმარება არის ფორმულის დეტალური ჩაწერა კონკრეტული ციფრებით. თუ პრობლემებია გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთე ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ვთქვათ, იცით, რომ იშვიათად იღებთ პასუხებს პირველად.

კარგი, ნუ დაიზარებ. დამატებით სტრიქონის ჩაწერას დაახლოებით 30 წამი დასჭირდება და შეცდომების რაოდენობა მკვეთრად შემცირდება. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ დეტალურად, ყველა ფრჩხილით და ნიშნით:

წარმოუდგენლად რთულია ასე გულდასმით დაწერა. მაგრამ ეს მხოლოდ ასე ჩანს. სცადე. კარგი, ან აირჩიე. რა არის უკეთესი, სწრაფი თუ სწორი? თანაც გაგაბედნიერებ. ცოტა ხნის შემდეგ აღარ იქნება საჭირო ყველაფრის ასე გულდასმით ჩაწერა. ის თავისთავად გამოვა. განსაკუთრებით თუ იყენებთ პრაქტიკულ ტექნიკას, რომელიც აღწერილია ქვემოთ. ეს ბოროტი მაგალითი უამრავი მინუსით შეიძლება მოგვარდეს მარტივად და შეცდომების გარეშე!

მაგრამ, ხშირად, კვადრატული განტოლებები ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

იცოდი?) დიახ! ეს არასრული კვადრატული განტოლებები.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

მათი გადაჭრა ასევე შესაძლებელია ზოგადი ფორმულის გამოყენებით. თქვენ უბრალოდ უნდა გაიგოთ სწორად, რას უდრის ისინი აქ. a, b და c.

გაარკვიე? პირველ მაგალითში a = 1; b = -4;ა გ? საერთოდ არ არის იქ! დიახ, ეს ასეა. მათემატიკაში ეს იმას ნიშნავს c = 0 ! Სულ ეს არის. ჩაანაცვლეთ ნული ფორმულაში გ,და ჩვენ წარმატებას მივაღწევთ. იგივე მეორე მაგალითზე. მხოლოდ ჩვენ არ გვაქვს ნული აქ თან, ა ბ !

მაგრამ არასრული კვადრატული განტოლებები შეიძლება გადაიჭრას ბევრად უფრო მარტივად. ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. განვიხილოთ პირველი არასრული განტოლება. რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მარცხენა მხარეს? შეგიძლიათ ამოიღოთ X ფრჩხილებიდან! მოდი ამოვიღოთ.

და რა აქედან? და ის ფაქტი, რომ პროდუქტი უდრის ნულს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ფაქტორი უდრის ნულს! არ გჯერა? კარგი, მაშინ გამოიტანე ორი არანულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს!
Არ მუშაობს? Ის არის...
ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით დავწეროთ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ყველა. ეს იქნება ჩვენი განტოლების ფესვები. ორივე შესაფერისია. რომელიმე მათგანის თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ სწორ იდენტურობას 0 = 0. როგორც ხედავთ, გამოსავალი ბევრად უფრო მარტივია, ვიდრე ზოგადი ფორმულის გამოყენება. ნება მომეცით აღვნიშნო, სხვათა შორის, რომელი X იქნება პირველი და რომელი მეორე - აბსოლუტურად გულგრილი. მოსახერხებელია თანმიმდევრობით დაწერა, x 1- რაც უფრო პატარაა და x 2- რაც უფრო დიდია.

მეორე განტოლება ასევე მარტივად შეიძლება ამოხსნას. გადაიტანეთ 9 მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება 9-დან და ეს არის ის. გამოვა:

ასევე ორი ფესვი . x 1 = -3, x 2 = 3.

ასე წყდება ყველა არასრული კვადრატული განტოლება. ან X-ის ფრჩხილებიდან მოთავსებით, ან უბრალოდ ნომრის მარჯვნივ გადაადგილებით და შემდეგ ფესვის ამოღებით.
ძალიან რთულია ამ ტექნიკის აღრევა. უბრალოდ იმიტომ, რომ პირველ შემთხვევაში მოგიწევთ X-ის ფესვის ამოღება, რომელიც რატომღაც გაუგებარია, ხოლო მეორე შემთხვევაში ფრჩხილებიდან ამოსაღები არაფერია...

დისკრიმინანტი. დისკრიმინაციული ფორმულა.

ჯადოსნური სიტყვა დისკრიმინანტი ! იშვიათად გიმნაზიის მოსწავლეს ეს სიტყვა არ გაუგია! ფრაზა "ჩვენ ვწყვეტთ დისკრიმინანტის მეშვეობით" შთააგონებს ნდობას და დარწმუნებას. იმიტომ რომ დისკრიმინანტისგან ხრიკების მოლოდინი არ არის საჭირო! მარტივი და უპრობლემოდ გამოსაყენებელია.) შეგახსენებთ ამოხსნის ყველაზე ზოგად ფორმულას ნებისმიერიკვადრატული განტოლებები:

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულ გამონათქვამს დისკრიმინანტი ეწოდება. როგორც წესი, დისკრიმინანტი აღინიშნება ასოებით დ. დისკრიმინაციული ფორმულა:

D = b 2 - 4ac

და რა არის ასეთი საყურადღებო ამ გამოთქმაში? რატომ დაიმსახურა განსაკუთრებული სახელი? Რა დისკრიმინანტის მნიშვნელობა?Ყველაფრის შემდეგ -ბ,ან 2აამ ფორმულაში კონკრეტულად არაფერს არ ეძახიან... ასოები და ასოები.

აი საქმე. ამ ფორმულით კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შესაძლებელია მხოლოდ სამი შემთხვევა.

1. დისკრიმინანტი დადებითია.ეს ნიშნავს, რომ მისგან ფესვის ამოღება შესაძლებელია. კარგად არის ამოღებული ფესვი თუ ცუდად, ეს სხვა საკითხია. მთავარია რა არის მოპოვებული პრინციპში. მაშინ თქვენს კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ორი განსხვავებული გამოსავალი.

2. დისკრიმინანტი არის ნული.მაშინ გექნებათ ერთი გამოსავალი. ვინაიდან მრიცხველში ნულის შეკრება ან გამოკლება არაფერს ცვლის. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არ არის ერთი ფესვი, არამედ ორი იდენტური. მაგრამ, გამარტივებულ ვერსიაში, ჩვეულებრივად არის საუბარი ერთი გამოსავალი.

3. დისკრიმინანტი უარყოფითია.უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია. Კარგი. ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

მართალი გითხრათ, როდის მარტივი გამოსავალიკვადრატული განტოლებები, დისკრიმინანტის ცნება განსაკუთრებით არ არის საჭირო. ჩვენ ვანაცვლებთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს ფორმულაში და ვითვლით. იქ ყველაფერი თავისთავად ხდება, ორი ფესვი, ერთი და არც ერთი. თუმცა, უფრო რთული ამოცანების გადაჭრისას, ცოდნის გარეშე დისკრიმინანტის მნიშვნელობა და ფორმულაარ არის საკმარისი. განსაკუთრებით პარამეტრებთან განტოლებებში. ასეთი განტოლებები არის აერობატიკა სახელმწიფო გამოცდისთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის!)

Ისე, როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებებიიმ დისკრიმინანტის მეშვეობით, რომელიც გაგახსენდა. ან ისწავლეთ, რაც ასევე არ არის ცუდი.) თქვენ იცით, როგორ სწორად განსაზღვროთ a, b და c. იცი როგორ? ყურადღებითჩაანაცვლეთ ისინი ფესვის ფორმულაში და ყურადღებითდაითვალეთ შედეგი. თქვენ გესმით, რომ მთავარი სიტყვა აქ არის ყურადღებით?

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას. იგივე, რაც უყურადღებობის გამოა... რისთვისაც შემდგომში მტკივნეული და შეურაცხმყოფელი ხდება...

პირველი დანიშვნა . არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე და მიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმამდე. Რას ნიშნავს ეს?
ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.ააგეთ მაგალითი სწორად. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. Ამგვარად:

და კიდევ, ნუ ჩქარობ! X კვადრატის წინ მინუსმა შეიძლება ნამდვილად გაგაბრაზოთ. ადვილი დასავიწყებელია... მოიშორე მინუსი. Როგორ? დიახ, როგორც წინა თემაში იყო ნასწავლი! მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა. თავად გადაწყვიტეთ. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1.

მეორე მიღება. შეამოწმეთ ფესვები! ვიეტას თეორემის მიხედვით. ნუ გეშინია, ყველაფერს აგიხსნი! შემოწმება ბოლო რამგანტოლება. იმათ. ის, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით ძირეული ფორმულის ჩასაწერად. თუ (როგორც ამ მაგალითში) კოეფიციენტი a = 1, ფესვების შემოწმება მარტივია. საკმარისია მათი გამრავლება. შედეგი უნდა იყოს თავისუფალი წევრი, ე.ი. ჩვენს შემთხვევაში -2. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, არა 2, არამედ -2! თავისუფალი წევრი შენი ნიშნით . თუ ეს არ გამოდგება, ეს ნიშნავს, რომ ისინი უკვე სადღაც გაფუჭდნენ. მოძებნეთ შეცდომა.

თუ ეს მუშაობს, თქვენ უნდა დაამატოთ ფესვები. ბოლო და საბოლოო შემოწმება. კოეფიციენტი უნდა იყოს ბთან საწინააღმდეგო ნაცნობი. ჩვენს შემთხვევაში -1+2 = +1. კოეფიციენტი ბ, რომელიც X-ის წინ დგას, უდრის -1-ს. ასე რომ, ყველაფერი სწორია!
სამწუხაროა, რომ ეს ასე მარტივია მხოლოდ იმ მაგალითებისთვის, სადაც x კვადრატი სუფთაა, კოეფიციენტით a = 1.მაგრამ მაინც შეამოწმეთ ასეთი განტოლებები! უფრო და უფრო ნაკლები შეცდომები იქნება.

მიღება მესამე . თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლეთ განტოლება საერთო მნიშვნელზე, როგორც ეს აღწერილია გაკვეთილზე „როგორ ამოხსნათ განტოლებები? იდენტობის გარდაქმნები“. წილადებთან მუშაობისას, გარკვეული მიზეზების გამო, ჩნდება შეცდომები...

სხვათა შორის, მე დავპირდი, რომ ბოროტი მაგალითი გავამარტივებდი მინუსების წყობით. გთხოვთ! Ის აქაა.

იმისათვის, რომ მინუსებმა არ აგვერიოს, განტოლებას ვამრავლებთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

Სულ ეს არის! ამოხსნა სიამოვნებაა!

მაშ ასე, შევაჯამოთ თემა.

პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, მას გამოვრიცხავთ მთელი განტოლების -1-ზე გამრავლებით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამის ფაქტორზე გამრავლებით.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის გადამოწმება მარტივად შეიძლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. Გააკეთე!

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

პასუხები (არეულად):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ნებისმიერი რიცხვი

x 1 = -3
x 2 = 3

არ არის გადაწყვეტილებები

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ყველაფერი ჯდება? დიდი! კვადრატული განტოლებები არ არის თქვენი თავის ტკივილი. პირველი სამი მუშაობდა, მაგრამ დანარჩენი არა? მაშინ პრობლემა არ არის კვადრატულ განტოლებებში. პრობლემა განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებშია. გადახედე ლინკს, სასარგებლოა.

მთლად არ გამოდის? ან საერთოდ არ გამოდის? შემდეგ განყოფილება 555 დაგეხმარებათ. ნაჩვენებია მთავარიშეცდომები გამოსავალში. რა თქმა უნდა, ჩვენ ასევე ვსაუბრობთ იდენტური გარდაქმნების გამოყენებაზე სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას. ძალიან ეხმარება!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

აგრძელებს თემას „განტოლებების ამოხსნა“, ამ სტატიაში მოცემული მასალა გაგაცნობთ კვადრატულ განტოლებებს.

განვიხილოთ ყველაფერი დეტალურად: კვადრატული განტოლების არსი და აღნიშვნა, განვსაზღვროთ თანმხლები ტერმინები, გავაანალიზოთ არასრული და სრული განტოლებების ამოხსნის სქემა, გავეცნოთ ფესვების ფორმულას და დისკრიმინანტს, დავამყაროთ კავშირი ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. და რა თქმა უნდა ვიზუალურ გადაწყვეტას მივცემთ პრაქტიკულ მაგალითებს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

კვადრატული განტოლება, მისი ტიპები

განმარტება 1

Კვადრატული განტოლებაარის განტოლება დაწერილი როგორც a x 2 + b x + c = 0, სად x– ცვლადი, a , b და გ– ზოგიერთი რიცხვი, ხოლო აარ არის ნული.

ხშირად, კვადრატულ განტოლებებს ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებებს, რადგან არსებითად კვადრატული განტოლება არის მეორე ხარისხის ალგებრული განტოლება.

მოცემული განმარტების საილუსტრაციოდ მოვიყვანოთ მაგალითი: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 და ა.შ. ეს არის კვადრატული განტოლებები.

განმარტება 2

რიცხვები a, b და გარის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a x 2 + b x + c = 0, ხოლო კოეფიციენტი აეწოდება პირველი, ან უფროსი, ან კოეფიციენტი x 2-ზე, b - მეორე კოეფიციენტი, ან კოეფიციენტი ზე x, ა გთავისუფალ წევრად წოდებული.

მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში 6 x 2 − 2 x − 11 = 0წამყვანი კოეფიციენტია 6, მეორე კოეფიციენტი არის − 2 და თავისუფალი ვადა უდრის − 11 . მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ როდესაც კოეფიციენტები ბდა/ან c უარყოფითია, შემდეგ გამოიყენება ფორმის მოკლე ფორმა 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, მაგრამ არა 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

დავაზუსტოთ ეს ასპექტიც: თუ კოეფიციენტები ადა/ან ბთანაბარი 1 ან − 1 , მაშინ მათ შეიძლება არ მიიღონ მკაფიო მონაწილეობა კვადრატული განტოლების დაწერაში, რაც აიხსნება მითითებული რიცხვითი კოეფიციენტების ჩაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 − y + 7 = 0წამყვანი კოეფიციენტი არის 1, ხოლო მეორე კოეფიციენტი არის − 1 .

შემცირებული და შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებები

პირველი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატული განტოლებები იყოფა შემცირებულ და შეუმცირებლად.

განმარტება 3

შემცირებული კვადრატული განტოლებაარის კვადრატული განტოლება, სადაც წამყვანი კოეფიციენტია 1. წამყვანი კოეფიციენტის სხვა მნიშვნელობებისთვის, კვადრატული განტოლება შეუმცირებელია.

მოვიყვანოთ მაგალითები: შემცირებულია კვადრატული განტოლებები x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, რომელთაგან თითოეულში წამყვანი კოეფიციენტია 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- შეუმცირებელი კვადრატული განტოლება, სადაც პირველი კოეფიციენტი განსხვავდება 1 .

ნებისმიერი შეუმცირებელი კვადრატული განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას შემცირებულ განტოლებად ორივე მხარის პირველ კოეფიციენტზე გაყოფით (ექვივალენტური ტრანსფორმაცია). გარდაქმნილ განტოლებას ექნება იგივე ფესვები, რაც მოცემულ შეუმცირებელ განტოლებას ან ასევე არ ექნება ფესვები.

კონკრეტული მაგალითის განხილვა საშუალებას მოგვცემს ნათლად ვაჩვენოთ გადასვლა შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი 1

მოცემულია განტოლება 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . აუცილებელია ორიგინალური განტოლების გადაყვანა შემცირებულ ფორმაში.

გამოსავალი

ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით, ჩვენ ვყოფთ ორიგინალური განტოლების ორივე მხარეს წამყვან კოეფიციენტზე 6. შემდეგ მივიღებთ: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3და ეს იგივეა, რაც: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0და შემდგომ: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.აქედან: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. ამრიგად, მიღებულია მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

პასუხი: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების განმარტებას. მასში ჩვენ დავაზუსტეთ, რომ a ≠ 0. მსგავსი პირობა აუცილებელია განტოლებისთვის a x 2 + b x + c = 0იყო ზუსტად კვადრატული, რადგან თ a = 0ის არსებითად გარდაიქმნება წრფივ განტოლებად b x + c = 0.

იმ შემთხვევაში, როდესაც კოეფიციენტები ბდა გნულის ტოლია (რაც შესაძლებელია, როგორც ინდივიდუალურად, ასევე ერთობლივად), კვადრატულ განტოლებას არასრული ეწოდება.

განმარტება 4

არასრული კვადრატული განტოლება- ასეთი კვადრატული განტოლება a x 2 + b x + c = 0,სადაც ერთი კოეფიციენტი მაინც ბდა გ(ან ორივე) არის ნული.

სრული კვადრატული განტოლება– კვადრატული განტოლება, რომელშიც ყველა რიცხვითი კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი.

განვიხილოთ, რატომ არის მოცემული კვადრატული განტოლებების ტიპებს ზუსტად ეს სახელები.

როდესაც b = 0, კვადრატული განტოლება იღებს ფორმას a x 2 + 0 x + c = 0, რომელიც იგივეა, რაც a x 2 + c = 0. ზე c = 0კვადრატული განტოლება იწერება როგორც a x 2 + b x + 0 = 0, რომელიც ექვივალენტურია a x 2 + b x = 0. ზე b = 0და c = 0განტოლება მიიღებს ფორმას a x 2 = 0. განტოლებები, რომლებიც ჩვენ მივიღეთ, განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარეები არ შეიცავს ტერმინს x ცვლადით, ან თავისუფალ წევრს, ან ორივეს. სინამდვილეში, ამ ფაქტმა დაარქვეს ამ ტიპის განტოლებას - არასრული.

მაგალითად, x 2 + 3 x + 4 = 0 და − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 არის სრული კვადრატული განტოლებები; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – არასრული კვადრატული განტოლებები.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

ზემოთ მოცემული განმარტება შესაძლებელს ხდის განასხვავოს არასრული კვადრატული განტოლებების შემდეგი ტიპები:

• a x 2 = 0, ეს განტოლება შეესაბამება კოეფიციენტებს b = 0და c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 c = 0-ზე.

მოდით, თანმიმდევრულად განვიხილოთ თითოეული ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამონახსნი.

a x 2 =0 განტოლების ამოხსნა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს განტოლება შეესაბამება კოეფიციენტებს ბდა გ, ნულის ტოლია. განტოლება a x 2 = 0შეიძლება გარდაიქმნას ეკვივალენტურ განტოლებად x 2 = 0, რომელსაც მივიღებთ საწყისი განტოლების ორივე მხარის რიცხვზე გაყოფით ა, არ არის ნულის ტოლი. აშკარა ფაქტია, რომ განტოლების ფესვი x 2 = 0ეს არის ნული, რადგან 0 2 = 0 . ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც აიხსნება ხარისხის თვისებებით: ნებისმიერი რიცხვისთვის გვ,ნულის ტოლი არ არის, უტოლობა მართალია p 2 > 0, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ როცა p ≠ 0თანასწორობა p 2 = 0არასოდეს მიიღწევა.

განმარტება 5

ამრიგად, არასრული კვადრატული განტოლებისთვის x 2 = 0 არის ერთი ფესვი x = 0.

მაგალითი 2

მაგალითად, ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება − 3 x 2 = 0. განტოლების ტოლფასია x 2 = 0, მისი ერთადერთი ფესვია x = 0, მაშინ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი - ნული.

მოკლედ, გამოსავალი იწერება შემდეგნაირად:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

განტოლების ამოხსნა a x 2 + c = 0

შემდეგი რიგში არის არასრული კვადრატული განტოლებების ამონახსნი, სადაც b = 0, c ≠ 0, ანუ ფორმის განტოლებები a x 2 + c = 0. მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება ტერმინის განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე გადატანით, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით და განტოლების ორივე მხარის გაყოფით რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი:

• გადაცემა გმარჯვენა მხარეს, რომელიც იძლევა განტოლებას a x 2 = − c;
• გაყავით განტოლების ორივე მხარე ა, ჩვენ ვამთავრებთ x = - c a .

ჩვენი გარდაქმნები შესაბამისად ეკვივალენტურია, მიღებული განტოლებაც თავდაპირველის ტოლფასია და ეს ფაქტი შესაძლებელს ხდის განტოლების ფესვების შესახებ დასკვნების გამოტანას; რა არის ღირებულებები ადა გგამოხატვის მნიშვნელობა - c a დამოკიდებულია: მას შეიძლება ჰქონდეს მინუს ნიშანი (მაგალითად, თუ a = 1და c = 2, შემდეგ - c a = - 2 1 = - 2) ან პლუს ნიშანი (მაგალითად, თუ a = - 2და c = 6, შემდეგ - c a = - 6 - 2 = 3); ეს არ არის ნული, რადგან c ≠ 0. უფრო დეტალურად ვისაუბროთ სიტუაციებზე, როდესაც - გ ა< 0 и - c a > 0 .

იმ შემთხვევაში, როდესაც - გ ა< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа გვტოლობა p 2 = - c a არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

ყველაფერი განსხვავებულია, როდესაც - c a > 0: დაიმახსოვრეთ კვადრატული ფესვი და აშკარა გახდება, რომ განტოლების ფესვი x 2 = - c a იქნება რიცხვი - c a, ვინაიდან - c a 2 = - c a. ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ რიცხვი - - c a ასევე არის x 2 = - c a განტოლების ფესვი: მართლაც, - - c a 2 = - c a.

განტოლებას სხვა ფესვები არ ექნება. ამის დემონსტრირება შეგვიძლია წინააღმდეგობის მეთოდის გამოყენებით. დასაწყისისთვის, მოდით განვსაზღვროთ ზემოთ ნაპოვნი ფესვების აღნიშვნები როგორც x 1და - x 1. დავუშვათ, რომ განტოლებას x 2 = - c a ასევე აქვს ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება ფესვებისგან x 1და - x 1. ჩვენ ეს ვიცით განტოლებაში ჩანაცვლებით xმისი ფესვები, ჩვენ ვცვლით განტოლებას სამართლიან რიცხვობრივ ტოლობაში.

ამისთვის x 1და - x 1ვწერთ: x 1 2 = - c a , და for x 2- x 2 2 = - c a . რიცხვითი ტოლობების თვისებებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაკლებთ ერთ სწორ ტოლობის ტერმინს მეორეს, რაც მოგვცემს: x 1 2 − x 2 2 = 0. ჩვენ ვიყენებთ რიცხვებთან მოქმედებების თვისებებს ბოლო ტოლობის გადასაწერად როგორც (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. ცნობილია, რომ ორი რიცხვის ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც არის ნული. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 − x 2 = 0და/ან x 1 + x 2 = 0, რაც იგივეა x 2 = x 1და/ან x 2 = − x 1. აშკარა წინააღმდეგობა წარმოიშვა, რადგან თავიდან შეთანხმდნენ, რომ განტოლების ფესვი x 2განსხვავდება x 1და - x 1. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები გარდა x = - c a და x = - - c a.

მოდით შევაჯამოთ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი არგუმენტი.

განმარტება 6

არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + c = 0უდრის განტოლებას x 2 = - c a, რომელიც:

• ფესვები არ ექნება - გ ა< 0 ;
• ექნება ორი ფესვი x = - c a და x = - - c a for - c a > 0.

მოვიყვანოთ განტოლებების ამოხსნის მაგალითები a x 2 + c = 0.

მაგალითი 3

მოცემულია კვადრატული განტოლება 9 x 2 + 7 = 0.გამოსავლის პოვნაა საჭირო.

გამოსავალი

გადავიტანოთ თავისუფალი წევრი განტოლების მარჯვენა მხარეს, შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას 9 x 2 = − 7.
მოდით გავყოთ მიღებული განტოლების ორივე მხარე 9 , მივდივართ x 2 = - 7 9 . მარჯვენა მხარეს ვხედავთ რიცხვს მინუს ნიშნით, რაც ნიშნავს: მოცემულ განტოლებას ფესვები არ აქვს. შემდეგ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლება 9 x 2 + 7 = 0ფესვები არ ექნება.

პასუხი:განტოლება 9 x 2 + 7 = 0ფესვები არ აქვს.

მაგალითი 4

განტოლება უნდა გადაწყდეს − x 2 + 36 = 0.

გამოსავალი

გადავიტანოთ 36 მარჯვენა მხარეს: − x 2 = − 36.
მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი − 1 , ვიღებთ x 2 = 36. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ x = 36 ან x = - 36 .
ამოვიღოთ ფესვი და ჩავწეროთ საბოლოო შედეგი: არასრული კვადრატული განტოლება − x 2 + 36 = 0აქვს ორი ფესვი x=6ან x = - 6.

პასუხი: x=6ან x = - 6.

a x 2 +b x=0 განტოლების ამოხსნა

გავაანალიზოთ მესამე ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები, როცა c = 0. არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნის პოვნა a x 2 + b x = 0, გამოვიყენებთ ფაქტორიზაციის მეთოდს. მოდით გავამრავლოთ პოლინომი, რომელიც არის განტოლების მარცხენა მხარეს, ფრჩხილებიდან ამოვიღოთ საერთო ფაქტორი x. ეს ნაბიჯი შესაძლებელს გახდის ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლების მის ეკვივალენტად გარდაქმნას x (a x + b) = 0. და ეს განტოლება, თავის მხრივ, უდრის განტოლებათა სიმრავლეს x = 0და a x + b = 0. განტოლება a x + b = 0წრფივი და მისი ფესვი: x = − b a.

განმარტება 7

ამრიგად, არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + b x = 0ექნება ორი ფესვი x = 0და x = − b a.

გავამყაროთ მასალა მაგალითით.

მაგალითი 5

აუცილებელია 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 განტოლების ამონახსნის პოვნა.

გამოსავალი

ამოვიღებთ xფრჩხილების გარეთ ვიღებთ განტოლებას x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . ეს განტოლება ტოლფასია განტოლებების x = 0და 2 3 x - 2 2 7 = 0. ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ მიღებული წრფივი განტოლება: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

მოკლედ დაწერეთ განტოლების ამონახსნი შემდეგნაირად:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ან 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ან x = 3 3 7

პასუხი: x = 0, x = 3 3 7.

დისკრიმინანტი, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამონახსნების მოსაძებნად, არსებობს ფესვის ფორმულა:

განმარტება 8

x = - b ± D 2 · a, სადაც D = b 2 − 4 a c– კვადრატული განტოლების ე.წ.

x = - b ± D 2 · a წერა არსებითად ნიშნავს, რომ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

სასარგებლო იქნებოდა იმის გაგება, თუ როგორ იქნა მიღებული ეს ფორმულა და როგორ გამოვიყენოთ იგი.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

მოდით, დაგვიდგეს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ამოცანა a x 2 + b x + c = 0. მოდით განვახორციელოთ მთელი რიგი ეკვივალენტური გარდაქმნები:

• გაყავით განტოლების ორივე მხარე რიცხვზე ა, ნულისაგან განსხვავებით, ვიღებთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებას: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• მოდით ავირჩიოთ სრული კვადრატი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + გ ა
  ამის შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• ახლა შესაძლებელია ბოლო ორი წევრის მარჯვენა მხარეს გადატანა, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა, რის შემდეგაც მივიღებთ: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• და ბოლოს, ჩვენ გარდაქმნით ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს დაწერილ გამონათქვამს:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

ამგვარად, მივდივართ განტოლებამდე x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, ორიგინალური განტოლების ტოლფასი a x 2 + b x + c = 0.

ასეთი განტოლებების ამოხსნა განვიხილეთ წინა აბზაცებში (არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა). უკვე მიღებული გამოცდილება იძლევა დასკვნის გამოტანას x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ით< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• როდესაც b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 განტოლება არის x + b 2 · a 2 = 0, მაშინ x + b 2 · a = 0.

აქედან აშკარაა ერთადერთი ფესვი x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, შემდეგი იქნება ჭეშმარიტი: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ან x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, რაც იგივეა, რაც x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ან x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ე.ი. განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

შესაძლებელია დავასკვნათ, რომ განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (და შესაბამისად თავდაპირველი განტოლება) დამოკიდებულია b გამოხატვის ნიშანზე. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 დაწერილი მარჯვენა მხარეს. და ამ გამოხატვის ნიშანი მოცემულია მრიცხველის ნიშნით, (მნიშვნელი 4 ა 2ყოველთვის დადებითი იქნება), ანუ გამოხატვის ნიშანი b 2 − 4 a c. ეს გამოთქმა b 2 − 4 a cდასახელებულია - კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი და ასო D განისაზღვრება, როგორც მისი აღნიშვნა. აქ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ დისკრიმინანტის არსი - მისი მნიშვნელობიდან და ნიშნიდან გამომდინარე, მათ შეუძლიათ დაასკვნათ, ექნება თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და, თუ ასეა, რა არის ფესვების რაოდენობა - ერთი ან ორი.

დავუბრუნდეთ განტოლებას x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . მოდით გადავიწეროთ იგი დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

მოდით კიდევ ერთხელ ჩამოვაყალიბოთ ჩვენი დასკვნები:

განმარტება 9

• ზე დ< 0 განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები;
• ზე D=0განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - b 2 · a ;
• ზე D > 0განტოლებას ორი ფესვი აქვს: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ან x = - b 2 · a - D 4 · a 2. რადიკალების თვისებებიდან გამომდინარე, ეს ფესვები შეიძლება დაიწეროს სახით: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. ხოლო, როდესაც ვხსნით მოდულებს და წილადებს მივიღებთ საერთო მნიშვნელზე, მივიღებთ: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

ასე რომ, ჩვენი მსჯელობის შედეგი იყო კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის წარმოშობა:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, განმასხვავებელი დგამოითვლება ფორმულით D = b 2 − 4 a c.

ეს ფორმულები შესაძლებელს ხდის ორივე რეალური ფესვის განსაზღვრას, როცა დისკრიმინანტი ნულზე მეტია. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულის გამოყენება მისცემს ერთსა და იმავე ფესვს, როგორც ერთადერთი გამოსავალი კვადრატული განტოლებისთვის. იმ შემთხვევაში, როდესაც დისკრიმინანტი უარყოფითია, თუ ჩვენ ვცდილობთ გამოვიყენოთ კვადრატული ფესვის ფორმულა, დაგვხვდება უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღების აუცილებლობა, რაც გადაგვიყვანს რეალური რიცხვების ფარგლებს გარეთ. უარყოფითი დისკრიმინანტით, კვადრატულ განტოლებას არ ექნება რეალური ფესვები, მაგრამ შესაძლებელია რთული კონიუგატული ფესვების წყვილი, რომელიც განისაზღვრება იმავე ფესვის ფორმულებით, რაც ჩვენ მივიღეთ.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ფესვის ფორმულების გამოყენებით

შესაძლებელია კვადრატული განტოლების ამოხსნა ფესვის ფორმულის დაუყოვნებლივ გამოყენებით, მაგრამ ეს ჩვეულებრივ კეთდება მაშინ, როდესაც საჭიროა რთული ფესვების პოვნა.

უმეტეს შემთხვევაში, ეს ჩვეულებრივ ნიშნავს კვადრატული განტოლების არა რთული, არამედ რეალური ფესვების ძიებას. შემდეგ ოპტიმალურია, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებს გამოიყენებთ, ჯერ განვსაზღვროთ დისკრიმინანტი და დავრწმუნდეთ, რომ ის უარყოფითი არ არის (თორემ დავასკვნათ, რომ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები), შემდეგ კი გავაგრძელოთ გამოთვლა. ფესვების ღირებულება.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა შესაძლებელს ხდის კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმის ჩამოყალიბებას.

განმარტება 10

კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად a x 2 + b x + c = 0, აუცილებელი:

• ფორმულის მიხედვით D = b 2 − 4 a cიპოვნეთ დისკრიმინაციული მნიშვნელობა;
• დ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-სთვის იპოვეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი x = - b 2 · a ფორმულის გამოყენებით;
• D > 0-სთვის განსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი x = - b ± D 2 · a ფორმულის გამოყენებით.

გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა x = - b ± D 2 · a, ის მისცემს იგივე შედეგს, როგორც ფორმულა x = - b 2 · a.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მოდით მივცეთ მაგალითები დისკრიმინანტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი 6

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ განტოლების ფესვები x 2 + 2 x − 6 = 0.

გამოსავალი

ჩამოვწეროთ კვადრატული განტოლების რიცხვითი კოეფიციენტები: a = 1, b = 2 და c = - 6. შემდეგ ვაგრძელებთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. დავიწყოთ დისკრიმინანტის გამოთვლა, რომელსაც ვანაცვლებთ a, b კოეფიციენტებს და გდისკრიმინაციულ ფორმულაში: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

ასე რომ, მივიღებთ D > 0, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას ექნება ორი რეალური ფესვი.
მათ საპოვნელად ვიყენებთ ფესვის ფორმულას x = - b ± D 2 · a და შესაბამისი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ვიღებთ: x = - 2 ± 28 2 · 1. მოდით გავამარტივოთ მიღებული გამოხატულება ძირეული ნიშნიდან ფაქტორების ამოღებით და შემდეგ წილადის შემცირებით:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ან x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ან x = - 1 - 7

პასუხი: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

მაგალითი 7

საჭიროა კვადრატული განტოლების ამოხსნა − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

გამოსავალი

მოდით განვსაზღვროთ დისკრიმინანტი: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. დისკრიმინანტის ამ მნიშვნელობით, თავდაპირველ განტოლებას ექნება მხოლოდ ერთი ფესვი, რომელიც განისაზღვრება x = - b 2 · a ფორმულით.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

პასუხი: x = 3.5.

მაგალითი 8

განტოლება უნდა გადაწყდეს 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

გამოსავალი

ამ განტოლების რიცხვითი კოეფიციენტები იქნება: a = 5, b = 6 და c = 2. ჩვენ ვიყენებთ ამ მნიშვნელობებს დისკრიმინანტის საპოვნელად: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . გამოთვლილი დისკრიმინანტი უარყოფითია, ამიტომ თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ამოცანაა რთული ფესვების მითითება, ჩვენ ვიყენებთ ფესვის ფორმულას, ვასრულებთ მოქმედებებს რთული რიცხვებით:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ან x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ან x = - 3 5 - 1 5 · i.

პასუხი:არ არსებობს ნამდვილი ფესვები; რთული ფესვები ასეთია: - 3 5 + 1 5 · ი, - 3 5 - 1 5 · ი.

IN სკოლის სასწავლო გეგმაარ არსებობს სტანდარტული მოთხოვნა რთული ფესვების მოსაძებნად, ამიტომ, თუ ამოხსნის დროს დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინვე იწერება პასუხი, რომ რეალური ფესვები არ არსებობს.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისთვის

ფესვის ფორმულა x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) შესაძლებელს ხდის სხვა, უფრო კომპაქტური ფორმულის მიღებას, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ამონახსნები კვადრატულ განტოლებაზე x-ის ლუწი კოეფიციენტით ( ან 2 · n ფორმის კოეფიციენტით, მაგალითად, 2 3 ან 14 ln 5 = 2 7 ln 5). მოდით ვნახოთ, როგორ არის მიღებული ეს ფორმულა.

მოდით, დაგვიდგეს ამოცანა, ვიპოვოთ ამონახსნის კვადრატული განტოლება a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. ვაგრძელებთ ალგორითმის მიხედვით: განვსაზღვრავთ დისკრიმინანტს D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) და შემდეგ ვიყენებთ ფესვის ფორმულას:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

გამოთქმა n 2 − a · c აღვნიშნოთ როგორც D 1 (ზოგჯერ აღინიშნება D "). შემდეგ განხილული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტით 2 · n მიიღებს ფორმას:

x = - n ± D 1 a, სადაც D 1 = n 2 − a · c.

ადვილი დასანახია, რომ D = 4 · D 1, ან D 1 = D 4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინანტის მეოთხედი. ცხადია, D 1-ის ნიშანი იგივეა, რაც D-ის ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ D 1-ის ნიშანი ასევე შეიძლება იყოს კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

განმარტება 11

ამრიგად, კვადრატული განტოლების ამოხსნის მოსაძებნად მეორე კოეფიციენტით 2 ნ, აუცილებელია:

• იპოვეთ D 1 = n 2 − a · c ;
• D 1-ზე< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• როდესაც D 1 = 0, განსაზღვრეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი x = - n a ფორმულის გამოყენებით;
• D 1 > 0-ისთვის დაადგინეთ ორი რეალური ფესვი x = - n ± D 1 ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი 9

საჭიროა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

გამოსავალი

მოცემული განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ 2 · (− 3) . შემდეგ ჩვენ გადავწერთ მოცემულ კვადრატულ განტოლებას, როგორც 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, სადაც a = 5, n = − 3 და c = − 32.

გამოვთვალოთ დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. მიღებული მნიშვნელობა დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდით განვსაზღვროთ ისინი შესაბამისი root ფორმულის გამოყენებით:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ან x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ან x = - 2

გამოთვლების განხორციელება შესაძლებელი იქნებოდა კვადრატული განტოლების ფესვების ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამოსავალი უფრო რთული იქნება.

პასუხი: x = 3 1 5 ან x = - 2 .

კვადრატული განტოლებების ფორმის გამარტივება

ზოგჯერ შესაძლებელია ორიგინალური განტოლების ფორმის ოპტიმიზაცია, რაც გაამარტივებს ფესვების გამოთვლის პროცესს.

მაგალითად, კვადრატული განტოლება 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 აშკარად უფრო მოსახერხებელია ამოსახსნელად, ვიდრე 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

უფრო ხშირად, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება ხორციელდება მისი ორივე მხარის გარკვეულ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგალითად, ზემოთ ჩვენ ვაჩვენეთ 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 განტოლების გამარტივებული წარმოდგენა, რომელიც მიღებულია ორივე მხარის 100-ზე გაყოფით.

ასეთი ტრანსფორმაცია შესაძლებელია მაშინ, როდესაც კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები არ არის ურთიერთდამოკიდებული მარტივი რიცხვები. შემდეგ ჩვენ ჩვეულებრივ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობების უდიდესი საერთო გამყოფით.

მაგალითად, ვიყენებთ კვადრატულ განტოლებას 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. მოდით განვსაზღვროთ მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობების GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. მოდით გავყოთ საწყისი კვადრატული განტოლების ორივე მხარე 6-ზე და მივიღოთ ეკვივალენტური კვადრატული განტოლება 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლებით, თქვენ ჩვეულებრივ ათავისუფლებთ წილადის კოეფიციენტებს. ამ შემთხვევაში, ისინი მრავლდებიან მისი კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების თითოეული ნაწილი 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 მრავლდება LCM-ზე (6, 3, 1) = 6, მაშინ ის უფრო მარტივი სახით დაიწერება x 2 + 4 x. − 18 = 0 .

და ბოლოს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ჩვენ თითქმის ყოველთვის ვაშორებთ მინუსს კვადრატული განტოლების პირველ კოეფიციენტზე განტოლების თითოეული წევრის ნიშნების შეცვლით, რაც მიიღწევა ორივე მხარის −1-ზე გამრავლებით (ან გაყოფით). მაგალითად, კვადრატული განტოლებიდან − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მის გამარტივებულ ვერსიაზე 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

კავშირი ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის

ჩვენთვის უკვე ცნობილი კვადრატული განტოლებების ფესვების ფორმულა x = - b ± D 2 · a გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი რიცხვითი კოეფიციენტების მეშვეობით. ამ ფორმულის საფუძველზე გვაქვს შესაძლებლობა დავაზუსტოთ სხვა დამოკიდებულებები ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ყველაზე ცნობილი და გამოსაყენებელი ფორმულებია ვიეტას თეორემა:

x 1 + x 2 = - b a და x 2 = c a.

კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფესვების ჯამი არის მეორე კოეფიციენტი საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. მაგალითად, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 კვადრატული განტოლების ფორმის დათვალიერებით, შესაძლებელია დაუყოვნებლივ დადგინდეს, რომ მისი ფესვების ჯამი არის 7 3, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის 22 3.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი სხვა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი შეიძლება გამოისახოს კოეფიციენტებით:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter