სრული კვადრატული განტოლების ფორმულა. კვადრატული განტოლებები

ვიდეო გაკვეთილი 2: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

ლექცია: კვადრატული განტოლებები

განტოლება- ეს არის ერთგვარი თანასწორობა, რომლის გამონათქვამებში არის ცვლადი.

ამოხსენით განტოლება- ნიშნავს რიცხვის პოვნას ცვლადის ნაცვლად, რომელიც მიიყვანს მას სწორ ტოლობაში.

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნი, რამდენიმე ან საერთოდ არც ერთი.

ნებისმიერი განტოლების ამოსახსნელად, ის მაქსიმალურად უნდა გამარტივდეს ფორმაზე:

ხაზოვანი: a*x = b;

მოედანი: a*x 2 + b*x + c = 0.

ანუ ნებისმიერი განტოლება ამოხსნამდე უნდა გადაკეთდეს სტანდარტულ ფორმაში.

ნებისმიერი განტოლება შეიძლება ამოხსნას ორი გზით: ანალიტიკური და გრაფიკული.

გრაფიკზე განტოლების ამონახსნი ითვლება წერტილებად, რომლებშიც გრაფიკი კვეთს OX ღერძს.

კვადრატული განტოლებები

a*x 2 + b*x + c = 0.

ამავე დროს ა, ბ, გარის განტოლების კოეფიციენტები, რომლებიც განსხვავდება ნულიდან. ა "X"- განტოლების ფესვი. ითვლება, რომ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს ამოხსნა. შედეგად ფესვები შეიძლება იყოს იგივე.

"A"- კოეფიციენტი, რომელიც დგას კვადრატული ფესვის წინ.

"ბ"- პირველ ხარისხში უცნობის წინაშე დგას.

"თან" ერთადარის განტოლების თავისუფალი წევრი.

თუ, მაგალითად, გვაქვს ფორმის განტოლება:

2x 2 -5x+3=0

მასში "2" არის განტოლების წამყვანი წევრის კოეფიციენტი, "-5" არის მეორე კოეფიციენტი და "3" არის თავისუფალი წევრი.

კვადრატული განტოლების ამოხსნა

კვადრატული განტოლების ამოხსნის უამრავი გზა არსებობს. თუმცა, სასკოლო მათემატიკის კურსში ამონახსნის შესწავლა ხდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ასევე დისკრიმინანტის გამოყენებით.

დისკრიმინაციული გამოსავალი:

ამოხსნისას ამ მეთოდითაუცილებელია დისკრიმინანტის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით:

თუ თქვენი გამოთვლების დროს აღმოაჩენთ, რომ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

თუ დისკრიმინანტი ნულია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი იდენტური ამონახსნები. ამ შემთხვევაში, პოლინომი შეიძლება დაიშალოს გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით ჯამის ან სხვაობის კვადრატში. შემდეგ გადაჭრით ისე წრფივი განტოლება. ან გამოიყენეთ ფორმულა:

თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი:

ვიეტას თეორემა

თუ განტოლება მოცემულია, ანუ წამყვანი წევრის კოეფიციენტი უდრის ერთს, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

ასე რომ, დავუშვათ, განტოლება არის:

განტოლების ფესვები გვხვდება შემდეგნაირად:

არასრული კვადრატული განტოლება

არასრული კვადრატული განტოლების მიღების რამდენიმე ვარიანტი არსებობს, რომლის ფორმა დამოკიდებულია კოეფიციენტების არსებობაზე.

1. თუ მეორე და მესამე კოეფიციენტები ნულის ტოლია (b = 0, c = 0), მაშინ კვადრატული განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებას ექნება უნიკალური ამონახსნი. ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლების ამონახსნი არის ნული.

კვადრატული განტოლება - ადვილად ამოსახსნელი! *შემდგომში მოხსენიებული, როგორც „KU“.მეგობრებო, როგორც ჩანს, მათემატიკაში არაფერია მარტივი, ვიდრე ასეთი განტოლების ამოხსნა. მაგრამ რაღაცამ მითხრა, რომ ბევრს აქვს მასთან პრობლემები. გადავწყვიტე მენახა, რამდენ შთაბეჭდილებას აწვდის Yandex-ს მოთხოვნით თვეში. აი რა მოხდა, ნახეთ:

რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თვეში დაახლოებით 70 000 ადამიანი ეძებს ამ ინფორმაციას და ეს ზაფხულია და რა იქნება სასწავლო წლის განმავლობაში - ორჯერ მეტი მოთხოვნა იქნება. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ის ბიჭები და გოგონები, რომლებმაც სკოლა დიდი ხნის წინ დაამთავრეს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ემზადებიან, ამ ინფორმაციას ეძებენ და სკოლის მოსწავლეებიც ცდილობენ მეხსიერების განახლებას.

იმისდა მიუხედავად, რომ უამრავი საიტია, რომელიც გეტყვით, როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება, მე გადავწყვიტე მეც შემეტანა წვლილი და გამოვაქვეყნო მასალა. უპირველეს ყოვლისა, მინდა, რომ ვიზიტორები მოვიდნენ ჩემს საიტზე ამ მოთხოვნის საფუძველზე; მეორეც, სხვა სტატიებში, როცა „KU“-ს თემა გაჩნდება, ამ სტატიის ბმულს მივცემ; მესამე, მე გეტყვით ცოტა მეტს მისი გადაწყვეტის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივ ნათქვამია სხვა საიტებზე. მოდი დავიწყოთ!სტატიის შინაარსი:

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

სადაც კოეფიციენტები a,ბდა c არის თვითნებური რიცხვები, a≠0-ით.

სასკოლო კურსში მასალა მოცემულია შემდეგი ფორმით - განტოლებები იყოფა სამ კლასად:

1. მათ აქვთ ორი ფესვი.

2. *მხოლოდ ერთი ფესვი აქვს.

3. მათ არ აქვთ ფესვები. აქ განსაკუთრებით უნდა აღინიშნოს, რომ მათ არ აქვთ რეალური ფესვები

როგორ გამოითვლება ფესვები? უბრალოდ!

ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს. ამ "საშინელი" სიტყვის ქვეშ არის ძალიან მარტივი ფორმულა:

ფესვის ფორმულები შემდეგია:

*ეს ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ და გადაჭრათ:

მაგალითი:

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

2. თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

3. თუ დ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

მოდით შევხედოთ განტოლებას:

მიერ ამ შემთხვევაში, როცა დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, სკოლის კურსში ნათქვამია, რომ შედეგი არის ერთი ფესვი, აქ უდრის ცხრას. ყველაფერი სწორია, ასეა, მაგრამ...

ეს აზრი გარკვეულწილად არასწორია. სინამდვილეში, არსებობს ორი ფესვი. დიახ, დიახ, ნუ გაგიკვირდებათ, თქვენ მიიღებთ ორ თანაბარ ფესვს და მათემატიკურად ზუსტი რომ ვიყოთ, მაშინ პასუხი უნდა დაწეროს ორი ფესვი:

x 1 = 3 x 2 = 3

მაგრამ ეს ასეა - მცირე გადახვევა. სკოლაში შეგიძლიათ დაწეროთ და თქვათ, რომ ერთი ფესვია.

ახლა შემდეგი მაგალითი:

როგორც ვიცით, უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება შეუძლებელია, ამიტომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ეს არის გადაწყვეტილების მთელი პროცესი.

კვადრატული ფუნქცია.

ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება გამოსავალი გეომეტრიულად. ამის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია (მომავალში, ერთ-ერთ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნას).

ეს არის ფორმის ფუნქცია:

სადაც x და y არის ცვლადები

a, b, c – მოცემული რიცხვები, a ≠ 0-ით

გრაფიკი არის პარაბოლა:

ანუ, გამოდის, რომ კვადრატული განტოლების ამოხსნით „y“ ნულის ტოლი, ვპოულობთ პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. ამ წერტილებიდან შეიძლება იყოს ორი (დისკრიმინანტი დადებითია), ერთი (დისკრიმინანტი არის ნული) და არცერთი (დისკრიმინანტი უარყოფითია). დეტალები კვადრატული ფუნქციის შესახებ შეგიძლიათ ნახოთინა ფელდმანის სტატია.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1: ამოხსნა 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

პასუხი: x 1 = 8 x 2 = –12

*განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის დაუყოვნებლივ გაყოფა 2-ზე, ანუ მისი გამარტივება შესაძლებელი იყო. გათვლები უფრო ადვილი იქნება.

მაგალითი 2: გადაწყვიტე x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ x 1 = 11 და x 2 = 11

დასაშვებია პასუხში x = 11 ჩაწერა.

პასუხი: x = 11

მაგალითი 3: გადაწყვიტე x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალურ რიცხვებში გამოსავალი არ არის.

პასუხი: გამოსავალი არ არის

დისკრიმინანტი უარყოფითია. არსებობს გამოსავალი!

აქ ვისაუბრებთ განტოლების ამოხსნაზე იმ შემთხვევაში, როდესაც მიიღება უარყოფითი დისკრიმინანტი. კომპლექსური რიცხვების შესახებ იცით რამე? აქ დეტალურად არ განვიხილავ, თუ რატომ და სად გაჩნდა ისინი და რა არის მათი კონკრეტული როლი და აუცილებლობა მათემატიკაში, ეს არის დიდი ცალკეული სტატიის თემა.

რთული რიცხვის კონცეფცია.

ცოტა თეორია.

რთული რიცხვი z არის ფორმის რიცხვი

z = a + bi

სადაც a და b რეალური რიცხვებია, i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული.

ა+ბი - ეს არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

წარმოსახვითი ერთეული უდრის მინუს ერთის ფესვს:

ახლა განიხილეთ განტოლება:

ვიღებთ ორ კონიუგატულ ფესვს.

არასრული კვადრატული განტოლება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები, როდესაც კოეფიციენტი “b” ან “c” უდრის ნულს (ან ორივე ტოლია ნულის). მათი მოგვარება მარტივად შეიძლება ყოველგვარი დისკრიმინაციული საკითხების გარეშე.

შემთხვევა 1. კოეფიციენტი b = 0.

განტოლება ხდება:

გადავიყვანოთ:

მაგალითი:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

შემთხვევა 2. კოეფიციენტი c = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით ტრანსფორმირება და ფაქტორიზაცია:

* ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითი:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ან x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

შემთხვევა 3. კოეფიციენტები b = 0 და c = 0.

აქ ცხადია, რომ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

სასარგებლო თვისებები და კოეფიციენტების ნიმუშები.

არსებობს თვისებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლებები დიდი კოეფიციენტებით.

აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა + ბ+ c = 0,რომ

- თუ განტოლების კოეფიციენტებისთვის აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა+ c =ბ, რომ

ეს თვისებები ხელს უწყობს გარკვეული ტიპის განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

შანსების ჯამი არის 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, რაც ნიშნავს

მაგალითი 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

თანასწორობა მოქმედებს ა+ c =ბ, ნიშნავს

კოეფიციენტების კანონზომიერებები.

1. თუ განტოლებაში ax 2 + bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. თუ განტოლებაში ax 2 – bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. თუ განტოლებაში. ax 2 + bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 - 1) და კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები თანაბარია

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. თუ განტოლებაში ax 2 – bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 – 1), ხოლო c კოეფიციენტი რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ვიეტას თეორემა.

ვიეტას თეორემა ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელს ატარებს. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვხატოთ თვითნებური KU-ს ფესვების ჯამი და ნამრავლი მისი კოეფიციენტების მიხედვით.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

საერთო ჯამში რიცხვი 14 იძლევა მხოლოდ 5-ს და 9-ს. ეს ფესვებია. გარკვეული ოსტატობით, წარმოდგენილი თეორემის გამოყენებით, ბევრი კვადრატული განტოლებებითქვენ შეძლებთ დაუყოვნებლივ გადაწყვიტოთ ზეპირად.

გარდა ამისა, ვიეტას თეორემა. მოსახერხებელია იმით, რომ კვადრატული განტოლების ჩვეული გზით ამოხსნის შემდეგ (დისკრიმინანტის საშუალებით) შესაძლებელია მიღებული ფესვების შემოწმება. გირჩევთ ამის გაკეთებას ყოველთვის.

ტრანსპორტირების მეთოდი

ამ მეთოდით კოეფიციენტი „a“ მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს „გადააგდეს“, რის გამოც მას ე.წ. "გადაცემის" მეთოდი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემის გამოყენებით და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი არის ზუსტი კვადრატი.

თუ ა± ბ+გ≠ 0, შემდეგ გამოიყენება გადაცემის ტექნიკა, მაგალითად:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ვიეტას თეორემის გამოყენებით (2) განტოლებაში ადვილია იმის დადგენა, რომ x 1 = 10 x 2 = 1

განტოლების შედეგად მიღებული ფესვები უნდა გაიყოს 2-ზე (რადგან ეს ორი "გადააგდეს" x 2-დან), მივიღებთ

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

რა არის დასაბუთება? შეხედე რა ხდება.

(1) და (2) განტოლებების დისკრიმინანტები ტოლია:

თუ გადავხედავთ განტოლებების ფესვებს, მიიღებთ მხოლოდ სხვადასხვა მნიშვნელებს და შედეგი დამოკიდებულია ზუსტად x 2 კოეფიციენტზე:

მეორეს (შეცვლილ) აქვს 2-ჯერ დიდი ფესვები.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვყოფთ შედეგს 2-ზე.

*სამს თუ გავაბრტყელებთ, შედეგს გავყოფთ 3-ზე და ა.შ.

პასუხი: x 1 = 5 x 2 = 0.5

კვ. ur-ie და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

მოკლედ გეტყვით მის მნიშვნელობაზე - თქვენ უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება სწრაფად და დაუფიქრებლად, თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ ფესვებისა და დისკრიმინანტების ფორმულები. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში შეტანილი ბევრი პრობლემა კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე მოდის (გეომეტრიულიც).

აღნიშვნის ღირსი რამეა!

1. განტოლების დაწერის ფორმა შეიძლება იყოს „იმპლიციტური“. მაგალითად, შესაძლებელია შემდეგი ჩანაწერი:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ან 15x+42+9x 2 - 45x=0 ან 15 -5x+10x 2 = 0.

თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში (ისე, რომ არ დაიბნეთ ამოხსნისას).

2. გახსოვდეთ, რომ x უცნობი სიდიდეა და მისი აღნიშვნა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვა ასოთი - t, q, p, h და სხვა.

ასევე შესწავლილია კვადრატული განტოლების ამოცანები სკოლის სასწავლო გეგმადა უნივერსიტეტებში. ისინი გულისხმობენ a*x^2 + b*x + c = 0 ფორმის განტოლებებს, სადაც x-ცვლადი, a,b,c – მუდმივები; ა<>0 . ამოცანაა იპოვოთ განტოლების ფესვები.

კვადრატული განტოლების გეომეტრიული მნიშვნელობა

ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც წარმოდგენილია კვადრატული განტოლებით, არის პარაბოლა. კვადრატული განტოლების ამონახსნები (ფესვები) არის პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები აბსცისა (x) ღერძთან. აქედან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი შესაძლო შემთხვევა:
1) პარაბოლას არ აქვს აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები. ეს ნიშნავს, რომ ის არის ზედა სიბრტყეში ტოტებით ზემოთ ან ქვედა ტოტებით ქვემოთ. ასეთ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები (მას აქვს ორი რთული ფესვი).

2) პარაბოლას აქვს ოქსის ღერძთან გადაკვეთის ერთი წერტილი. ასეთ წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება და მასზე კვადრატული განტოლება იძენს მის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (ან ორი იდენტური ფესვი).

3) ბოლო შემთხვევაპრაქტიკაში უფრო საინტერესოა - პარაბოლას აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ორი რეალური ფესვია.

ცვლადების სიმძლავრის კოეფიციენტების ანალიზის საფუძველზე საინტერესო დასკვნების გამოტანა შეიძლება პარაბოლის განლაგების შესახებ.

1) თუ კოეფიციენტი a არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ ის უარყოფითია, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვევით.

2) თუ კოეფიციენტი b არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლის წვერო დევს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში, თუ დასჭირდება უარყოფითი მნიშვნელობა- შემდეგ მარჯვნივ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყვანა

გადავიტანოთ მუდმივი კვადრატული განტოლებიდან

ტოლობის ნიშნისთვის ვიღებთ გამონათქვამს

გავამრავლოთ ორივე მხარე 4a-ზე

წასასვლელად იდეალური მოედანიდაამატეთ b^2 ორივე მხარეს და განახორციელეთ ტრანსფორმაცია

აქედან ვპოულობთ

კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტისა და ფესვების ფორმულა

დისკრიმინანტი არის რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი (ორი დამთხვევა ფესვი), რომლის მიღებაც შესაძლებელია ზემოთ მოყვანილი ფორმულიდან D=0-ისთვის, როდესაც დისკრიმინანტი უარყოფითია, განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ამასთან, კვადრატული განტოლების ამონახსნები გვხვდება კომპლექსურ სიბრტყეში და მათი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

ვიეტას თეორემა

განვიხილოთ კვადრატული განტოლების ორი ფესვი და მათ საფუძველზე ავაშენოთ კვადრატული განტოლება. მაშინ მისი ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ p კოეფიციენტს, ხოლო განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ნაწილს q. ზემოაღნიშნულის ფორმულა ასე გამოიყურება, თუ კლასიკურ განტოლებაში მუდმივი a არის ნულოვანი, მაშინ თქვენ უნდა გაყოთ მთელი განტოლება მასზე და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

ფაქტორინგის კვადრატული განტოლების განრიგი

დავსვათ დავალება: აკრიფეთ კვადრატული განტოლება. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვხსნით განტოლებას (იპოვეთ ფესვები). შემდეგი, ჩვენ შევცვლით ნაპოვნი ფესვებს კვადრატული განტოლების გაფართოების ფორმულაში.

კვადრატული განტოლების ამოცანები

დავალება 1. იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები

x^2-26x+120=0 .

ამოხსნა: ჩაწერეთ კოეფიციენტები და ჩაანაცვლეთ დისკრიმინაციული ფორმულით

ფესვი მოცემული ღირებულებაუდრის 14-ს, მისი პოვნა ადვილია კალკულატორით, ან დამახსოვრება ხშირი გამოყენებით, თუმცა, მოხერხებულობისთვის, სტატიის ბოლოს შემოგთავაზებთ რიცხვების კვადრატების ჩამონათვალს, რომლებიც ხშირად შეიძლება შეგვხვდეს მსგავს ამოცანებში.
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში

და ვიღებთ

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება

2x 2 +x-3=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება, ამოვიწეროთ კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი


ცნობილი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

დავალება 3. ამოხსენით განტოლება

9x 2 -12x+4=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება. დისკრიმინანტის განსაზღვრა

ჩვენ მივიღეთ შემთხვევა, როდესაც ფესვები ემთხვევა. იპოვეთ ფესვების მნიშვნელობები ფორმულის გამოყენებით

დავალება 4. ამოხსენით განტოლება

x^2+x-6=0 .

გამოსავალი: იმ შემთხვევებში, როდესაც x-ისთვის არის მცირე კოეფიციენტები, მიზანშეწონილია ვიეტას თეორემის გამოყენება. მისი პირობით ვიღებთ ორ განტოლებას

მეორე პირობიდან ვხვდებით, რომ ნამრავლი უნდა იყოს -6-ის ტოლი. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ჩვენ გვაქვს ამონახსნების შემდეგი შესაძლო წყვილი (-3;2), (3;-2) . პირველი პირობის გათვალისწინებით, ჩვენ უარვყოფთ ხსნარების მეორე წყვილს.
განტოლების ფესვები ტოლია

ამოცანა 5. იპოვეთ მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები, თუ მისი პერიმეტრია 18 სმ და ფართობი 77 სმ 2.

ამოხსნა: მართკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი უდრის მიმდებარე გვერდების ჯამს. ავღნიშნოთ x – დიდი მხარე, შემდეგ 18-x მისი პატარა მხარე. მართკუთხედის ფართობი უდრის ამ სიგრძის ნამრავლს:
x(18-x)=77;
ან
x 2 -18x+77=0.
ვიპოვოთ განტოლების დისკრიმინანტი

განტოლების ფესვების გამოთვლა

თუ x=11,რომ 18 = 7,პირიქითაც მართალია (თუ x=7, მაშინ 21-ის=9).

ამოცანა 6. კვადრატული განტოლება 10x 2 -11x+3=0 ფაქტორზე გადაიტანეთ.

ამოხსნა: გამოვთვალოთ განტოლების ფესვები, ამისთვის ვიპოვოთ დისკრიმინანტი

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში და გამოვთვალოთ

ჩვენ ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვებით დაშლის ფორმულას

ფრჩხილების გახსნით ვიღებთ პირადობას.

კვადრატული განტოლება პარამეტრით

მაგალითი 1. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე A ,აქვს თუ არა განტოლებას (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ერთი ფესვი?

ამოხსნა: a=3 მნიშვნელობის პირდაპირი ჩანაცვლებით ვხედავთ, რომ მას არ აქვს ამონახსნი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ნულოვანი დისკრიმინანტით განტოლებას აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი. ამოვიწეროთ დისკრიმინანტი

გავამარტივოთ და გავუტოლოთ ნულს

მივიღეთ კვადრატული განტოლება a პარამეტრთან მიმართებაში, რომლის ამოხსნაც ადვილად შეიძლება მივიღოთ ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ფესვების ჯამი არის 7, ხოლო მათი ნამრავლი 12. მარტივი ძიებით ვადგენთ, რომ რიცხვები 3,4 იქნება განტოლების ფესვები. ვინაიდან ჩვენ უკვე უარვყავით გამოსავალი a=3 გამოთვლების დასაწყისში, ერთადერთი სწორი იქნება - a=4.ამრიგად, a=4-ისთვის განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

მაგალითი 2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე A ,განტოლება a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

ამოხსნა: ჯერ განვიხილოთ სინგულარული წერტილები, ისინი იქნება მნიშვნელობები a=0 და a=-3. როდესაც a=0, განტოლება გამარტივდება სახით 6x-9=0; x=3/2 და იქნება ერთი ფესვი. a= -3-ისთვის ვიღებთ იდენტობას 0=0.
გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

და იპოვნეთ a-ს მნიშვნელობა, რომელზეც ის დადებითია

პირველი პირობიდან ვიღებთ a>3. მეორესთვის, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების დისკრიმინანტს და ფესვებს


მოდით განვსაზღვროთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს. a=0 წერტილის ჩანაცვლებით მივიღებთ 3>0 . ანუ, ინტერვალის გარეთ (-3;1/3) ფუნქცია უარყოფითია. არ დაგავიწყდეთ წერტილი a=0,რაც უნდა გამოირიცხოს, რადგან თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.
შედეგად, ვიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს

პრაქტიკაში ბევრი მსგავსი დავალება იქნება, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ამოცანები და არ დაგავიწყდეთ ურთიერთგამომრიცხავი პირობების გათვალისწინება. კარგად შეისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, რომლებიც ხშირად საჭიროა გამოთვლებში სხვადასხვა ამოცანებსა და მეცნიერებებში.

კოპიევსკაიას სოფლის საშუალო სკოლა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის 10 გზა

ხელმძღვანელი: პატრიკეევა გალინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

სოფელი კოპევო, 2007 წ

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმის მიერ

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII სს

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნა

ლიტერატურა

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა ჯერ კიდევ უძველეს დროში გამოწვეული იყო მიწის ნაკვეთების ტერიტორიების მოძიებასთან და სამხედრო ხასიათის გათხრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით. როგორც თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებასთან ერთად. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2000 წელს. ე. ბაბილონელები.

თანამედროვე ალგებრული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ ლურსმული ტექსტებში, არასრული ტექსტების გარდა, არის ასეთი, მაგალითად, სრული კვადრატული განტოლებები:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე ნაპოვნი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ გადაწყვეტილებებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი.

მიუხედავად იმისა მაღალი დონისალგებრის განვითარება ბაბილონში, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები.

დიოფანტეს არითმეტიკა არ შეიცავს ალგებრის სისტემატურ პრეზენტაციას, მაგრამ შეიცავს პრობლემების სისტემატიურ სერიას, რომელსაც ახლავს განმარტებები და ამოხსნილია სხვადასხვა ხარისხის განტოლებების აგებით.

განტოლებების შედგენისას დიოფანტი ოსტატურად არჩევს უცნობებს ამოხსნის გასამარტივებლად.

აი, მაგალითად, მისი ერთ-ერთი ამოცანა.

პრობლემა 11.იპოვნეთ ორი რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ნამრავლი კი 96.

დიოფანტე ასე მსჯელობს: პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საჭირო რიცხვები არ არის ტოლი, რადგან ტოლი რომ იყოს, მაშინ მათი ნამრავლი იქნება არა 96-ის, არამედ 100-ის ტოლი. ამრიგად, ერთ-ერთი მათგანი იქნება მეტი. მათი ჯამის ნახევარი, ე.ი. 10 + x, მეორე ნაკლებია, ე.ი. 10-იანები. განსხვავება მათ შორის 2x .

აქედან გამომდინარეობს განტოლება:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

აქედან x = 2. ერთ-ერთი საჭირო რიცხვი უდრის 12 , სხვა 8 . გამოსავალი x = -2რადგან დიოფანტე არ არსებობს, რადგან ბერძნულმა მათემატიკამ მხოლოდ დადებითი რიცხვები იცოდა.

თუ ამ პრობლემას მოვაგვარებთ ერთ-ერთი საჭირო რიცხვის არჩევით, როგორც უცნობი, მაშინ მივალთ განტოლების ამონახსნით.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ცხადია, რომ საჭირო რიცხვების ნახევრად განსხვავების ამორჩევით უცნობად დიოფანტი ამარტივებს ამონახსანს; ის ახერხებს ამოცანის შემცირებას არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე (1).

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

კვადრატულ განტოლებათა პრობლემები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატიამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა ბრაჰმაგუპტამ (VII ს.) გამოკვეთა ზოგადი წესიკვადრატული განტოლებების ამონახსნები შემცირებულია ერთ კანონიკურ ფორმამდე:

აჰ 2 + ბ x = c, a > 0. (1)

განტოლებაში (1) კოეფიციენტები, გარდა ა, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი.

IN ძველი ინდოეთისაერთო იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ უძველეს ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ასევე სწავლული ადამიანი გადააჭარბებს სხვის დიდებას. სახალხო კრებები, ალგებრული ამოცანების შეთავაზება და ამოხსნა“. პრობლემები ხშირად პოეტური ფორმით იყო წარმოდგენილი.

ეს არის მე-12 საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარები.

პრობლემა 13.

"ცხელი მაიმუნების ფარა და თორმეტი ვაზის გასწვრივ...

ხელისუფლებამ, ჭამის შემდეგ, გართობა. დაიწყეს ხტუნვა, ჩამოკიდება...

ესენი არიან მოედანზე, ნაწილი მერვე რამდენი მაიმუნი იყო?

გაწმენდაში ვხალისობდი. მითხარი, ამ პაკეტში?

ბჰასკარას ამონახსნი მიუთითებს, რომ მან იცოდა, რომ კვადრატული განტოლებების ფესვები ორმნიშვნელოვანია (ნახ. 3).

მე-13 ამოცანის შესაბამისი განტოლება არის:

( x /8) 2 + 12 = x

ბჰასკარა ნიღბის ქვეშ წერს:

x 2 - 64x = -768

და ამ განტოლების მარცხენა მხარის კვადრატად დასასრულებლად, ორივე მხარეს ემატება 32 2 , შემდეგ მიიღეთ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

ალ-ხორეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებათა კლასიფიკაცია. ავტორი ითვლის 6 ტიპის განტოლებებს და გამოთქვამს შემდეგნაირად:

1) „კვადრატები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

2) „კვადრატები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 = გ.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ = ს.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. აჰ 2 + bx = ს.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ე.ი. bx + c = ცული 2 .

ალ-ხორეზმისთვის, რომელიც მოხმარებას ერიდებოდა უარყოფითი რიცხვები, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები ემატება და არა გამოკლებული. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ადგენს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას ტექნიკის გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილებები, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენსას. რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ის წმინდა რიტორიკულია, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას

ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვან ამონახსნებს, ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებში ამას მნიშვნელობა არ აქვს. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხორეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების, შემდეგ კი გეომეტრიული მტკიცებულებების გამოყენებით.

პრობლემა 14.„კვადრატი და რიცხვი 21 უდრის 10 ფესვს. იპოვე ფესვი" (იგულისხმება x 2 + 21 = 10x განტოლების ფესვი).

ავტორის ამონახსნი დაახლოებით ასე გამოიყურება: ფესვების რაოდენობა გაყავით შუაზე, მიიღებთ 5-ს, გაამრავლეთ 5 თავისთავად, გამოაკელით 21 ნამრავლს, რაც რჩება არის 4. აიღეთ ფესვი 4-დან, მიიღებთ 2-ს. გამოაკლებთ 2-ს 5-ს. , მიიღებთ 3, ეს იქნება სასურველი ფესვი. ან დაამატეთ 2 5-ს, რაც იძლევა 7-ს, ესეც ფესვია.

ალ-ხორეზმის ტრაქტატი ჩვენამდე მოღწეული პირველი წიგნია, რომელიც სისტემატურად აყალიბებს კვადრატულ განტოლებათა კლასიფიკაციას და იძლევა მათი ამოხსნის ფორმულებს.

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII ბბ

ევროპაში ალ-ხორეზმის ხაზების გასწვრივ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც დაიწერა 1202 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამურ ქვეყნებს, ასევე ძველი საბერძნეთი, გამოირჩევა როგორც სისრულით, ასევე პრეზენტაციის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ამოცანების ამოხსნის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. აბაკუსის წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XVI-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. და ნაწილობრივ XVIII.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი დაყვანილი ერთი კანონიკური ფორმით:

x 2 + bx = გ,

კოეფიციენტის ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის ბ , თანჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ზოგადი ხედივიეტს აქვს ეს, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონისა და სხვა მეცნიერების ნაშრომების წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე სახეს იღებს.

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

ვიეტას სახელობის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის დამოკიდებულების გამომხატველი თეორემა მას პირველად ჩამოაყალიბა 1591 წელს შემდეგნაირად: „თუ ბ + დ, გამრავლებული ა - ა 2 , უდრის BD, ეს აუდრის INდა თანაბარი დ ».

ვიეტას გასაგებად ეს უნდა გვახსოვდეს ა, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი ასო, ნიშნავდა უცნობს (ჩვენს X), ხმოვნები IN, დ- კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ზემოთ მოყვანილი Vieta ფორმულირება ნიშნავს: თუ არსებობს

(ა + ბ )x - x 2 = აბ ,

x 2 - (a + ბ )x + ა ბ = 0,

x 1 = a, x 2 = ბ .

სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით, ვიეტმა დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტის სიმბოლიკა ჯერ კიდევ შორს არის თანამედროვე სახე. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და ამიტომ, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითი იყო.

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვადრატული განტოლებები არის საფუძველი, რომელზეც ეყრდნობა ალგებრის დიდებული შენობა. ნაპოვნია კვადრატული განტოლებები ფართო აპლიკაციატრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ჩვენ ყველამ ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები სკოლის დღეები(მე-8 კლასი), დამთავრებამდე.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. განიხილება რეალური, მრავალჯერადი და რთული ფესვების შემთხვევები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ფესვების განსაზღვრისა და ფაქტორინგის მაგალითები.

ძირითადი ფორმულები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაქტორების პროდუქტი (ფაქტორირებული):
.

შემდეგ ვივარაუდოთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განვიხილოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ შენ ააშენებ ფუნქციის გრაფიკი
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
ზე, გრაფიკი კვეთს x-ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს.

ქვემოთ მოცემულია ასეთი გრაფიკების მაგალითები.

კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული სასარგებლო ფორმულები

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სად
; .

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა მეორე ხარისხის მრავალწევრის სახით:
.
ეს აჩვენებს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

გამოსავალი

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

უპასუხე

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

გამოსავალი

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულია, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების ფესვი (2.1). რადგან ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს ჩვეულებრივ მრავალჯერადს უწოდებენ. ანუ, მათ მიაჩნიათ, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

უპასუხე

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

გამოსავალი

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება (3.1):
.
(1-თან) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, .

ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.
;
;
.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:


.

მერე

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს. ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

უპასუხე

ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს x ღერძს (ღერძს). ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.
;
;
.