როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები ერთით. წრფივი განტოლებების ამოხსნა ერთ ცვლადში

განტოლებების ამოხსნის სწავლა ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა, რომელსაც ალგებრა აყენებს მოსწავლეებს. უმარტივესიდან დაწყებული, როცა ის ერთი უცნობისაგან შედგება და უფრო და უფრო რთულზე გადასვლა. თუ არ აითვისეთ პირველი ჯგუფის განტოლებებით შესასრულებელი მოქმედებები, სხვების გაგება გაგიჭირდებათ.

საუბრის გასაგრძელებლად, თქვენ უნდა შეთანხმდეთ ნოტაციაზე.

წრფივი განტოლების ზოგადი ფორმა ერთი უცნობით და მისი ამოხსნის პრინციპი

ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

a * x = b,

დაურეკა ხაზოვანი. ეს არის ზოგადი ფორმულა. მაგრამ ხშირად დავალებებში წრფივი განტოლებები იწერება იმპლიციტური ფორმით. მაშინ აუცილებელია იდენტური გარდაქმნების შესრულება ზოგადად მიღებული აღნიშვნის მისაღებად. ეს ქმედებები მოიცავს:

• ფრჩხილების გახსნა;
• ცვლადი მნიშვნელობის მქონე ყველა ტერმინის გადატანა ტოლობის მარცხენა მხარეს, დანარჩენი კი მარჯვნივ;
• მსგავსი ტერმინების შემცირება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც უცნობი რაოდენობა არის წილადის მნიშვნელში, თქვენ უნდა დაადგინოთ მისი მნიშვნელობები, რომლებზეც გამოხატულებას აზრი არ ექნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა იცოდეთ განტოლების განსაზღვრის დომენი.

პრინციპი, რომლითაც ყველა წრფივი განტოლება წყდება, მოდის განტოლების მარჯვენა მხარის მნიშვნელობის გაყოფაზე ცვლადის წინ კოეფიციენტზე. ანუ „x“ უდრის b/a-ს.

წრფივი განტოლებების სპეციალური შემთხვევები და მათი ამონახსნები

მსჯელობის დროს შეიძლება წარმოიშვას მომენტები, როდესაც წრფივი განტოლებები იღებენ ერთ-ერთ სპეციალურ ფორმას. თითოეულ მათგანს აქვს კონკრეტული გადაწყვეტა.

პირველ სიტუაციაში:

a * x = 0და a ≠ 0.

ასეთი განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

მეორე შემთხვევაში, "a" იღებს მნიშვნელობას ნულის ტოლი:

0 * x = 0.

ასეთ განტოლებაზე პასუხი იქნება ნებისმიერი რიცხვი. ანუ მას აქვს უსასრულო რაოდენობის ფესვები.

მესამე სიტუაცია ასე გამოიყურება:

0 * x = in, სადაც ≠ 0-ში.

ამ განტოლებას აზრი არ აქვს. რადგან არ არსებობს ფესვები, რომლებიც მას აკმაყოფილებენ.

წრფივი განტოლების ზოგადი ხედი ორი ცვლადით

მისი სახელწოდებიდან ირკვევა, რომ მასში უკვე ორი უცნობი რაოდენობაა. წრფივი განტოლებები ორ ცვლადშიგამოიყურებოდეს ასე:

a * x + b * y = c.

ვინაიდან ჩანაწერში ორი უცნობია, პასუხი რიცხვების წყვილს ჰგავს. ანუ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის მითითება. ეს იქნება არასრული პასუხი. სიდიდეების წყვილი, რომლისთვისაც განტოლება იდენტურობა ხდება, არის განტოლების ამონახსნი. უფრო მეტიც, პასუხში ყოველთვის პირველ რიგში იწერება ცვლადი, რომელიც პირველ ადგილზეა ანბანში. ხანდახან ამბობენ, რომ ეს რიცხვები მას აკმაყოფილებს. უფრო მეტიც, ასეთი წყვილების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლება ორი უცნობით?

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ ნებისმიერი წყვილი რიცხვი, რომელიც აღმოჩნდება სწორი. სიმარტივისთვის, შეგიძლიათ აიღოთ ერთ-ერთი უცნობი, რომელიც უტოლდება უბრალო რიცხვს, შემდეგ კი იპოვოთ მეორე.

ამოხსნისას ხშირად გიწევთ ნაბიჯების შესრულება განტოლების გასამარტივებლად. მათ იდენტობის ტრანსფორმაციას უწოდებენ. უფრო მეტიც, შემდეგი თვისებები ყოველთვის მართალია განტოლებისთვის:

• თითოეული ტერმინი შეიძლება გადავიდეს ტოლობის საპირისპირო ნაწილში მისი ნიშნის საპირისპირო ნიშნით ჩანაცვლებით;
• ნებადართულია ნებისმიერი განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების გაყოფა იმავე რიცხვზე, თუ ის არ არის ნულის ტოლი.

ხაზოვანი განტოლებებით ამოცანების მაგალითები

პირველი დავალება.ამოხსენით წრფივი განტოლებები: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

განტოლებაში, რომელიც პირველია ამ სიაში, უბრალოდ გაყავით 20 4-ზე. შედეგი იქნება 5. ეს არის პასუხი: x = 5.

მესამე განტოლება მოითხოვს, რომ განხორციელდეს იდენტურობის ტრანსფორმაცია. იგი შედგება ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების მოტანისგან. პირველი ნაბიჯის შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. შემდეგ თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა უცნობი განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენი მარჯვნივ. განტოლება ასე გამოიყურება: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. მსგავსი ტერმინების დამატების შემდეგ: 14x = 16. ახლა ის ისევე გამოიყურება, როგორც პირველი და მისი ამოხსნა ადვილი მოსაძებნია. პასუხი იქნება x=8/7. მაგრამ მათემატიკაში თქვენ უნდა გამოვყოთ მთელი ნაწილი არასწორი წილადისგან. შემდეგ შედეგი გარდაიქმნება და "x" უდრის ერთ მთლიანს და მეშვიდეს.

დანარჩენ მაგალითებში ცვლადები მნიშვნელშია. ეს ნიშნავს, რომ ჯერ უნდა გაარკვიოთ რა მნიშვნელობებით არის განსაზღვრული განტოლებები. ამისათვის თქვენ უნდა გამორიცხოთ რიცხვები, რომლებზეც მნიშვნელები ნულამდე მიდიან. პირველ მაგალითში არის "-4", მეორეში არის "-3". ანუ, ეს მნიშვნელობები უნდა გამოირიცხოს პასუხიდან. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე მნიშვნელში გამოსახულებით.

ფრჩხილების გახსნით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით, ამ განტოლებიდან პირველში ვიღებთ: 5x + 15 = 4x + 16, ხოლო მეორეში 5x + 15 = 4x + 12. გარდაქმნების შემდეგ, პირველი განტოლების ამონახსნი იქნება x =. -1. მეორე აღმოჩნდება ტოლი "-3", რაც ნიშნავს, რომ ამ უკანასკნელს არ აქვს ამონახსნები.

მეორე დავალება.ამოხსენით განტოლება: -7x + 2y = 5.

დავუშვათ, რომ პირველი უცნობი x = 1, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას -7 * 1 + 2y = 5. კოეფიციენტის „-7“ გადატანა ტოლობის მარჯვენა მხარეს და მისი ნიშანი პლუსზე შეცვლა, გამოდის, რომ 2y = 12. ეს ნიშნავს y =6. პასუხი: x = 1, y = 6 განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

უტოლობის ზოგადი ფორმა ერთი ცვლადით

უტოლობების ყველა შესაძლო სიტუაცია წარმოდგენილია აქ:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

ზოგადად, ეს ჰგავს მარტივ წრფივ განტოლებას, მხოლოდ ტოლობის ნიშანი იცვლება უტოლობით.

უთანასწორობათა იდენტობის გარდაქმნების წესები

ისევე, როგორც წრფივი განტოლებები, უტოლობები შეიძლება შეიცვალოს გარკვეული კანონების მიხედვით. ისინი იშლება შემდეგზე:

1. ნებისმიერი ანბანური ან რიცხვითი გამოხატულება შეიძლება დაემატოს უტოლობას მარცხენა და მარჯვენა მხარეს და უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება;
2. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამრავლოთ ან გაყოთ იმავე დადებით რიცხვზე, ეს ისევ არ ცვლის ნიშანს;
3. ერთსა და იმავეზე გამრავლების ან გაყოფისას უარყოფითი რიცხვითანასწორობა დარჩება ჭეშმარიტი იმ პირობით, რომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია.

ორმაგი უტოლობების ზოგადი ხედვა

ამოცანებში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი უტოლობა:

• ვ< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• ვ< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

მას ორმაგს უწოდებენ, რადგან ორივე მხრიდან შემოიფარგლება უთანასწორობის ნიშნებით. ის იხსნება იგივე წესების გამოყენებით, როგორც ჩვეულებრივი უტოლობები. და პასუხის პოვნა მოდის იდენტური გარდაქმნების სერიამდე. სანამ უმარტივესი არ მიიღება.

ორმაგი უტოლობების ამოხსნის თავისებურებები

პირველი მათგანი არის მისი გამოსახულება კოორდინატთა ღერძზე. არ არის საჭირო ამ მეთოდის გამოყენება მარტივი უტოლობებისთვის. მაგრამ რთულ შემთხვევებში შეიძლება უბრალოდ საჭირო გახდეს.

უთანასწორობის გამოსახატავად, თქვენ უნდა მონიშნოთ ღერძზე ყველა ის წერტილი, რომელიც მიღებული იქნა მსჯელობის დროს. ეს არის არასწორი მნიშვნელობები, რომლებიც მითითებულია პუნქციური წერტილებით და მნიშვნელობები გარდაქმნების შემდეგ მიღებული უტოლობებიდან. აქაც მნიშვნელოვანია წერტილების სწორად დახატვა. თუ უთანასწორობა მკაცრია, ესე იგი< или >, შემდეგ ეს მნიშვნელობები ამოღებულია. არამკაცრ უტოლობაში წერტილები უნდა იყოს დაჩრდილული.

მაშინ აუცილებელია მიუთითოთ უტოლობების მნიშვნელობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს დაჩრდილვის ან რკალის გამოყენებით. მათი გადაკვეთა მიუთითებს პასუხზე.

მეორე ფუნქცია დაკავშირებულია მის ჩაწერასთან. აქ ორი ვარიანტია შემოთავაზებული. პირველი არის საბოლოო უთანასწორობა. მეორე არის ინტერვალების სახით. მასთან ხდება, რომ სირთულეები წარმოიქმნება. პასუხი სივრცეებში ყოველთვის ჰგავს ცვლადს წევრობის ნიშნით და ფრჩხილებით რიცხვებით. ზოგჯერ არის რამდენიმე სივრცე, შემდეგ ფრჩხილებს შორის უნდა დაწეროთ სიმბოლო "და". ეს ნიშნები ასე გამოიყურება: ∈ და ∩. ინტერვალის ფრჩხილები ასევე თამაშობენ როლს. მრგვალი მოთავსებულია მაშინ, როდესაც წერტილი გამორიცხულია პასუხიდან, ხოლო მართკუთხა მოიცავს ამ მნიშვნელობას. უსასრულობის ნიშანი ყოველთვის ფრჩხილებშია.

უტოლობების ამოხსნის მაგალითები

1. ამოხსენით უტოლობა 7 - 5x ≥ 37.

მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ: -5x ≥ 30. „-5“-ზე გაყოფით მივიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: x ≤ -6. ეს უკვე პასუხია, მაგრამ შეიძლება სხვანაირადაც დაიწეროს: x ∈ (-∞; -6].

2. ამოხსენით ორმაგი უტოლობა -4< 2x + 6 ≤ 8.

ჯერ ყველგან უნდა გამოაკლოთ 6 მიიღებთ: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

მიღებული განტოლებათა სისტემები ფართო აპლიკაციაეკონომიკურ სექტორში მათემატიკური მოდელირებაში სხვადასხვა პროცესები. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის პრობლემების გადაჭრისას, ლოგისტიკური მარშრუტები ( ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსება.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამონახსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებების სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობაში ან იმის დადგენა, რომ x და y შესაფერისი მნიშვნელობები არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური მეთოდი არ არსებობს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდები, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური ამოხსნის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის პროგრამის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . გამოსავალი ეს მაგალითიარ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას, განტოლებები ემატება ტერმინით და მრავლდება სხვადასხვა რიცხვებით. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთ ცვლადში.

აპლიკაციებისთვის ამ მეთოდითსაჭიროა პრაქტიკა და დაკვირვება. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი 1-ის ტოლი უნდა გახდეს.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამოხსნის პოვნას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება იხსნება შემოტანილი უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი მოიცავს სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების აგებას კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს პოვნას გრაფიკული გადაწყვეტაწრფივი განტოლებათა სისტემები: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის აუცილებელია გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთ-ერთ დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებით იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა, რომლის გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულ მატრიცაში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება როგორც მატრიცული რიცხვები.

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორ-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად სწავლობენ გაუსის მეთოდს, ხოლო სისტემების ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება ცვლადების მოსაძებნად სისტემებში დიდი რაოდენობით წრფივი განტოლებებით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ამონახსნებს ჩანაცვლებით და ალგებრული მიმატებით, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებისა და ჩანაცვლების საშუალებით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გვხვდება ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი სტუდენტებისთვის რთული გასაგებია საშუალო სკოლა, მაგრამ არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამებზე ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარებისთვის.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებათა რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა ქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და საჭირო ალგებრული ოპერაციები გრძელდება შედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

ამ სტატიაში განვიხილავთ ისეთი განტოლებების ამოხსნის პრინციპს, როგორიცაა წრფივი განტოლებები. მოდით ჩამოვწეროთ ამ განტოლებების განმარტება და დავამატოთ ზოგადი ხედი. ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა პირობას წრფივი განტოლებების ამონახსნის საპოვნელად, სხვა საკითხებთან ერთად, პრაქტიკული მაგალითების გამოყენებით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ქვემოთ მოყვანილი მასალა შეიცავს ინფორმაციას ერთი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლებების შესახებ. ხაზოვანი განტოლებები ორ ცვლადში განხილულია ცალკე სტატიაში.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის წრფივი განტოლება

განმარტება 1

წრფივი განტოლებაარის განტოლება დაწერილი შემდეგნაირად:
a x = b, სად x- ცვლადი, ადა ბ- რამდენიმე რიცხვი.

ეს ფორმულირება გამოიყენა ალგებრის სახელმძღვანელოში (მე-7 კლასი) იუ.ნ.

მაგალითი 1

წრფივი განტოლებების მაგალითები იქნება:

3 x = 11(განტოლება ერთი ცვლადით xზე a = 5და b = 10);

− 3, 1 y = 0 (წრფივი განტოლება ცვლადით წ, სად a = - 3, 1და b = 0);

x = − 4და − x = 5,37(წრფივი განტოლებები, სადაც რიცხვი ადაწერილი აშკარად და უდრის 1 და - 1, შესაბამისად. პირველი განტოლებისთვის b = - 4;მეორესთვის - b = 5.37) და ა.შ.

სხვადასხვაში სასწავლო მასალებიშეიძლება არსებობდეს სხვადასხვა განმარტებები. მაგალითად, Vilenkin N.Ya. წრფივი განტოლებები ასევე მოიცავს იმ განტოლებებს, რომლებიც შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში a x = bტერმინების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ნიშნის ცვლილებით გადატანით და მსგავსი ტერმინების მოტანით. თუ ამ ინტერპრეტაციას მივყვებით, განტოლება 5 x = 2 x + 6 -ასევე ხაზოვანი.

მაგრამ ალგებრის სახელმძღვანელო (მე-7 კლასი) მორდკოვიჩ ა.გ. იძლევა შემდეგ აღწერას:

განმარტება 2

წრფივი განტოლება ერთ ცვლადში x არის ფორმის განტოლება a x + b = 0, სად ადა ბ- ზოგიერთი რიცხვი, რომელსაც ეწოდება წრფივი განტოლების კოეფიციენტები.

მაგალითი 2

ამ ტიპის წრფივი განტოლებების მაგალითი შეიძლება იყოს:

3 x − 7 = 0 (a = 3, b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

მაგრამ ასევე არის ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები, რომლებიც უკვე გამოვიყენეთ ზემოთ: ფორმის a x = b, მაგალითად, 6 x = 35.

ჩვენ მაშინვე შევთანხმდებით, რომ ამ სტატიაში, ერთი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლებით გავიგებთ დაწერილ განტოლებას a x + b = 0, სად x- ცვლადი; a, b – კოეფიციენტები. ჩვენ ვხედავთ წრფივი განტოლების ამ ფორმას, როგორც ყველაზე გამართლებულს, რადგან წრფივი განტოლებები პირველი ხარისხის ალგებრული განტოლებებია. და ზემოთ მითითებული სხვა განტოლებები და ფორმაში ექვივალენტური გარდაქმნებით მოცემული განტოლებები a x + b = 0, ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც განტოლებებს, რომლებიც მცირდება წრფივ განტოლებამდე.

ამ მიდგომით, განტოლება 5 x + 8 = 0 არის წრფივი და 5 x = − 8- განტოლება, რომელიც მცირდება წრფივზე.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი

მოდი ვნახოთ, როგორ განვსაზღვროთ, ექნება თუ არა მოცემულ წრფივ განტოლებას ფესვები და თუ ასეა, რამდენი და როგორ განვსაზღვროთ ისინი.

განმარტება 3

ხაზოვანი განტოლების ფესვების არსებობის ფაქტი განისაზღვრება კოეფიციენტების მნიშვნელობებით. ადა ბ.მოდით ჩამოვწეროთ ეს პირობები:

• ზე a ≠ 0წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = - b a ;
• ზე a = 0და b ≠ 0წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები;
• ზე a = 0და b = 0წრფივ განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს. არსებითად, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს წრფივი განტოლების ფესვი.

მოდით მივცეთ განმარტება. ჩვენ ვიცით, რომ განტოლების ამოხსნის პროცესში შესაძლებელია მოცემული განტოლების გარდაქმნა მის ეკვივალენტად, რაც ნიშნავს, რომ მას აქვს იგივე ფესვები, რაც თავდაპირველ განტოლებას, ან ასევე არ აქვს ფესვები. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნები:

• ტერმინის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა, ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა;
• გავამრავლოთ ან გავყოთ განტოლების ორივე მხარე იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნული.

ამრიგად, ჩვენ გარდაქმნით წრფივ განტოლებას a x + b = 0, ტერმინის გადატანა ბმარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს ნიშნის ცვლილებით. ჩვენ ვიღებთ: a · x = − b .

ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს არანულოვან რიცხვზე A,რის შედეგადაც ხდება x = - b a ფორმის ტოლობა. ანუ როდის a ≠ 0,ორიგინალური განტოლება a x + b = 0უდრის x = - b a ტოლობას, რომელშიც აშკარაა ფესვი - b a.

წინააღმდეგობებით შესაძლებელია იმის დემონსტრირება, რომ ნაპოვნი ფესვი ერთადერთია. დავასახელოთ ნაპოვნი ფესვი - b a as x 1 .დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი განტოლების კიდევ ერთი ფესვი აღნიშვნით x 2 .და რა თქმა უნდა: x 2 ≠ x 1,და ეს, თავის მხრივ, განსხვავების მეშვეობით ტოლი რიცხვების განსაზღვრაზე დაყრდნობით, უდრის პირობას x 1 − x 2 ≠ 0 .ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, ფესვების ჩანაცვლებით შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ტოლობები:
a x 1 + b = 0და a x 2 + b = 0.
რიცხვითი ტოლობების თვისება შესაძლებელს ხდის ტოლობების ნაწილების ვადით გამოკლებას:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, აქედან: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0და შემდგომ a · (x 1 − x 2) = 0 .თანასწორობა a · (x 1 − x 2) = 0არასწორია, რადგან ადრე იყო მითითებული, რომ a ≠ 0და x 1 − x 2 ≠ 0 .შედეგად წარმოქმნილი წინააღმდეგობა ემსახურება იმის მტკიცებულებას, რომ როდესაც a ≠ 0წრფივი განტოლება a x + b = 0აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

მოდით გავამართლოთ შემავალი პირობების კიდევ ორი ​​პუნქტი a = 0.

როცა a = 0წრფივი განტოლება a x + b = 0დაიწერება როგორც 0 x + b = 0. რიცხვის ნულზე გამრავლების თვისება გვაძლევს იმის მტკიცების უფლებას, რომ ნებისმიერი რიცხვი მიიღება როგორც x, ჩანაცვლება თანასწორობით 0 x + b = 0, ვიღებთ b = 0 . ტოლობა მოქმედებს b = 0-ზე; სხვა შემთხვევებში, როდესაც b ≠ 0,თანასწორობა ხდება ყალბი.

მაშ როდის a = 0და b = 0 , ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს წრფივი განტოლების ფესვი a x + b = 0, მას შემდეგ, რაც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, ჩანაცვლება ნაცვლად xნებისმიერი რიცხვი, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0 = 0 . როცა a = 0და b ≠ 0წრფივი განტოლება a x + b = 0ფესვები საერთოდ არ ექნება, ვინაიდან მითითებული პირობების დაკმაყოფილების შემდეგ ჩანაცვლება ხდება xნებისმიერი რიცხვი, მივიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას b = 0.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი მოსაზრება გვაძლევს შესაძლებლობას ჩამოვწეროთ ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს გახდის ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნის პოვნას:

• ჩანაწერის ტიპის მიხედვით ჩვენ განვსაზღვრავთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს ადა ბდა გააანალიზეთ ისინი;
• ზე a = 0და b = 0განტოლებას ექნება უსასრულოდ ბევრი ფესვი, ე.ი. ნებისმიერი რიცხვი გახდება მოცემული განტოლების ფესვი;
• ზე a = 0და b ≠ 0
• ზე ანულისაგან განსხვავებით, ჩვენ ვიწყებთ ორიგინალური წრფივი განტოლების ერთადერთი ფესვის ძიებას:

1. გადავიტანოთ კოეფიციენტი ბმარჯვენა მხარეს, ნიშნის საპირისპირო ცვლილებით, ხაზოვანი განტოლება ფორმამდე მიყვანით a · x = − b ;
2. მიღებული ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ რიცხვზე ა, რომელიც მოგვცემს მოცემული განტოლების სასურველ ფესვს: x = - b a.

სინამდვილეში, აღწერილი მოქმედებების თანმიმდევრობა არის პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ გამოსავალი წრფივი განტოლებისთვის.

და ბოლოს, მოდით განვმარტოთ ფორმის ეს განტოლებები a x = bწყდება მსგავსი ალგორითმის გამოყენებით ერთადერთი განსხვავებით, რომ რიცხვი ბასეთ აღნიშვნაში უკვე გადატანილია განტოლების საჭირო ნაწილზე და თან a ≠ 0თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ განტოლების ნაწილები რიცხვზე ა.

ამრიგად, განტოლების ამოხსნის პოვნა a x = b,ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ალგორითმს:

• ზე a = 0და b = 0განტოლებას ექნება უსასრულოდ ბევრი ფესვი, ე.ი. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გახდეს მისი ფესვი;
• ზე a = 0და b ≠ 0მოცემულ განტოლებას ფესვები არ ექნება;
• ზე ანულის ტოლი არ არის, განტოლების ორივე მხარე იყოფა რიცხვზე ა, რაც შესაძლებელს ხდის იპოვოთ ერთადერთი ფესვი, რომელიც ტოლია ბ ა.

ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 3

წრფივი განტოლება უნდა გადაწყდეს 0 x − 0 = 0.

გამოსავალი

მოცემული განტოლების ჩაწერით ჩვენ ვხედავთ, რომ a = 0და b = − 0(ან b = 0,რაც იგივეა). ამრიგად, მოცემულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულო რაოდენობის ფესვები ან ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი: x- ნებისმიერი ნომერი.

მაგალითი 4

აუცილებელია იმის დადგენა, აქვს თუ არა განტოლებას ფესვები 0 x + 2, 7 = 0.

გამოსავალი

ჩანაწერიდან ვადგენთ, რომ a = 0, b = 2, 7. ამრიგად, მოცემულ განტოლებას ფესვები არ ექნება.

პასუხი:თავდაპირველ წრფივ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

მაგალითი 5

მოცემულია წრფივი განტოლება 0,3 x − 0,027 = 0.ეს უნდა გადაწყდეს.

გამოსავალი

განტოლების ჩაწერით განვსაზღვრავთ, რომ a = 0, 3; b = - 0,027, რაც გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ მოცემულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

ალგორითმის მიხედვით გადავიყვანთ b განტოლების მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით ვიღებთ: 0,3 x = 0,027.შემდეგ მიღებული ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ a = 0, 3-ზე, შემდეგ: x = 0, 027 0, 3.

მოდით გავყოთ ათობითი წილადები:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

მიღებული შედეგი არის მოცემული განტოლების ფესვი.

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი შემდეგნაირად:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

პასუხი: x = 0.09.

სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ წერილობითი განტოლების ამოხსნას a x = b.

მაგალითი N

მოცემული განტოლებებია: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . ისინი უნდა გადაწყდეს.

გამოსავალი

ყველა მოცემული განტოლება შეესაბამება ჩანაწერს a x = b. მოდით შევხედოთ მათ სათითაოდ.

განტოლებაში 0 x = 0, a = 0 და b = 0, რაც ნიშნავს: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს ამ განტოლების ფესვი.

მეორე განტოლებაში 0 x = − 9: a = 0 და b = − 9,ამრიგად, ამ განტოლებას ფესვები არ ექნება.

ბოლო განტოლების ფორმის მიხედვით - 3 8 · x = - 3 3 4 ვწერთ კოეფიციენტებს: a = - 3 8, b = - 3 3 4, ე.ი. განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მოდი ვიპოვოთ იგი. მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე a-ზე, მივიღოთ: x = - 3 3 4 - 3 8. მოდით გავამარტივოთ წილადი უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესის გამოყენებით, რასაც მოჰყვება შერეული რიცხვის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევა და ჩვეულებრივი წილადების გაყოფა:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი შემდეგნაირად:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

პასუხი: 1) x– ნებისმიერი რიცხვი, 2) განტოლებას არ აქვს ფესვები, 3) x = 10.

თუ ტექსტში შენიშნეთ შეცდომა, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წრფივი განტოლებები საკმაოდ უვნებელი და გასაგები თემაა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ, უცნაურად საკმარისია, რომ წრფივი განტოლებების ამოხსნისას შეცდომების რაოდენობა ოდნავ ნაკლებია, ვიდრე სხვა თემებში - კვადრატული განტოლებები, ლოგარითმები, ტრიგონომეტრია და სხვა. შეცდომების უმეტესობის მიზეზები არის განტოლებების ბანალური იდენტური გარდაქმნები. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის ნიშნების დაბნეულობა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ტერმინების გადატანისას, ასევე შეცდომები წილადებთან და წილადურ კოეფიციენტებთან მუშაობისას. დიახ, დიახ! წილადები ასევე ჩნდება წრფივ განტოლებებში! ირგვლივ. ქვემოთ ჩვენ აუცილებლად გავაანალიზებთ ასეთ ბოროტ განტოლებებს.)

აბა, მოდი კატას კუდზე ნუ გამოვაჭერთ და ამის გარკვევას დავიწყოთ, არა? შემდეგ ვკითხულობთ და ჩავუღრმავდებით მას.)

რა არის წრფივი განტოლება? მაგალითები.

როგორც წესი, წრფივი განტოლება ასე გამოიყურება:

ცული + ბ = 0,

სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი. ნებისმიერი სახის: მთელი რიცხვები, წილადები, უარყოფითი, ირაციონალური - ყველანაირი რამ შეიძლება მოხდეს!

მაგალითად:

7x + 1 = 0 (აქ a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (აქ a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (აქ a = 1/2, b = -1.1)

ზოგადად, გესმით, იმედი მაქვს.) ყველაფერი მარტივია, როგორც ზღაპარში. ამ დროისთვის... და თუ დააკვირდებით ზოგად აღნიშვნას ax+b=0 და ცოტა დაფიქრდით? ბოლოს და ბოლოს, a და b არის ნებისმიერი რიცხვი! და თუ გვაქვს, ვთქვათ, a = 0 და b = 0 (ნებისმიერი რიცხვის აღება შეიძლება!), მაშინ რას მივიღებთ?

0 = 0

მაგრამ ეს არ არის ყველა სახალისო! რა მოხდება, ვთქვათ, a = 0, b = -10? მერე რაღაც სისულელე გამოდის:

0 = 10.

რაც ძალიან, ძალიან მაღიზიანებს და ძირს უთხრის მათემატიკის ნდობას, რომელიც ოფლითა და სისხლით არის მოპოვებული... განსაკუთრებით ტესტებისა და გამოცდების დროს. მაგრამ ამ გაუგებარი და უცნაური თანასწორობიდან, თქვენც უნდა იპოვოთ X! რაც საერთოდ არ არსებობს! და აი, კარგად მომზადებულ სტუდენტებსაც კი შეუძლიათ ხანდახან ჩავარდნენ ის, რასაც სისულელე ჰქვია... მაგრამ არ ინერვიულოთ! ამ გაკვეთილზე ჩვენ ასევე გადავხედავთ ყველა ასეთ სიურპრიზს. და ჩვენ აუცილებლად ვიპოვით X-ს ასეთი ტოლობებიდან.) მეტიც, იგივე X შეიძლება ძალიან, ძალიან მარტივად მოიძებნოს. დიახ, დიახ! გასაკვირია, მაგრამ მართალია.)

კარგი, გასაგებია. მაგრამ როგორ შეიძლება ამოცანის გარეგნულად დადგინდეს, რომ ეს არის წრფივი განტოლება და არა სხვა განტოლება? სამწუხაროდ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი განტოლების ტიპის ამოცნობა მხოლოდ გარეგნულად. საქმე იმაშია, რომ წრფივი ეწოდება არა მხოლოდ ax+b=0 ფორმის განტოლებებს, არამედ ნებისმიერ სხვა განტოლებებსაც, რომლებიც იდენტური გარდაქმნებით, ამა თუ იმ გზით, ამ ფორმამდე მცირდება. როგორ იცით, ემატება თუ არა? სანამ მაგალითს ძლივს ამოხსნით - თითქმის საერთოდ. ეს აღმაშფოთებელია. მაგრამ ზოგიერთი ტიპის განტოლებისთვის, ერთი შეხედვით დაუყოვნებლივ შეგიძლიათ დარწმუნებით თქვათ, არის თუ არა ის წრფივი.

ამისათვის მოდით კიდევ ერთხელ მივმართოთ ზოგადი სტრუქტურანებისმიერი წრფივი განტოლება:

ცული + ბ = 0

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: წრფივი განტოლებაში ყოველთვისმხოლოდ x ცვლადია წარმოდგენილი პირველ ხარისხშიდა რამდენიმე ნომერი! სულ ესაა! მეტი არაფერი. ამავდროულად, არ არის X-ები კვადრატში, კუბში, ფესვის ქვეშ, ლოგარითმის ქვეშ და სხვა ეგზოტიკური საგნები. და (რაც მთავარია!) არ არის წილადები X-ით მნიშვნელებში!მაგრამ წილადები რიცხვებით მნიშვნელებში ან გაყოფაში თითო რიცხვზე- მარტივად!

მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. განტოლება შეიცავს მხოლოდ X-ებს ​​პირველ ხარისხსა და რიცხვებს. და არ არსებობს X-ები უფრო მაღალ ხარისხებში - კვადრატში, კუბურში და ა.შ. დიახ, აქ არის წილადები, მაგრამ ამავე დროს წილადების მნიშვნელები შეიცავს მხოლოდ ნომრები.კერძოდ - ორი და სამი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ არსებობს გაყოფა x-ზე.

და აქ არის განტოლება

მას აღარ შეიძლება ვუწოდოთ წრფივი, თუმცა აქაც არის მხოლოდ რიცხვები და X-ები პირველ ხარისხამდე. რადგან სხვათა შორის არის წილადებიც მნიშვნელებში X-ებით. და გამარტივებებისა და გარდაქმნების შემდეგ, ასეთი განტოლება შეიძლება გახდეს ნებისმიერი: წრფივი, კვადრატული - ყველაფერი.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები? მაგალითები.

მაშ, როგორ ამოხსნით წრფივ განტოლებებს? წაიკითხეთ და გაგიკვირდებათ.) წრფივი განტოლებების მთელი ამოხსნა მხოლოდ ორ ძირითად საკითხს ეფუძნება. ჩამოვთვალოთ ისინი.

1) ელემენტარული მოქმედებებისა და მათემატიკის წესების ერთობლიობა.

ეს არის ფრჩხილების გამოყენება, ფრჩხილების გახსნა, წილადებთან მუშაობა, უარყოფით რიცხვებთან მუშაობა, გამრავლების ცხრილები და ა.შ. ეს ცოდნა და უნარები აუცილებელია არა მხოლოდ წრფივი განტოლებების ამოხსნისთვის, არამედ ზოგადად ყველა მათემატიკისთვის. და თუ თქვენ გაქვთ პრობლემები, გახსოვდეთ უმცროსი კლასები. თორემ გაგიჭირდება...

2)

მათგან მხოლოდ ორია. დიახ, დიახ! უფრო მეტიც, ეს ძალიან ძირითადი იდენტობის გარდაქმნები საფუძვლად უდევს არა მხოლოდ წრფივი, არამედ ზოგადად ნებისმიერი მათემატიკური განტოლების ამოხსნას! ერთი სიტყვით, ნებისმიერი სხვა განტოლების ამონახსნი - კვადრატული, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, ირაციონალური და ა.შ. – როგორც წესი, ის სწორედ ამ ძირითადი გარდაქმნებით იწყება. მაგრამ წრფივი განტოლებათა ამოხსნა, ფაქტობრივად, მათით (გარდაქმნებით) სრულდება. მზადაა პასუხი.) ასე რომ არ დაიზაროთ და გადახედეთ ბმულს.) მეტიც, წრფივი განტოლებებიც დეტალურად არის გაანალიზებული იქ.

კარგი, ვფიქრობ, დროა დავიწყოთ მაგალითების ყურება.

დასაწყისისთვის, როგორც გახურება, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ძირითად საკითხს. ყოველგვარი ფრაქციების ან სხვა ზარების და სასტვენების გარეშე. მაგალითად, ეს განტოლება:

x – 2 = 4 – 5x

ეს არის კლასიკური წრფივი განტოლება. ყველა X არის მაქსიმუმ პირველ ხარისხში და არ არის X-ზე გაყოფა არსად. ასეთ განტოლებებში ამოხსნის სქემა ყოველთვის ერთი და საშინლად მარტივია: X-ის მქონე ყველა წევრი უნდა იყოს შეგროვებული მარცხნივ, ხოლო ყველა წევრი X-ის გარეშე (ანუ რიცხვები) უნდა შეგროვდეს მარჯვნივ. ასე რომ, დავიწყოთ შეგროვება.

ამისათვის ჩვენ ვიწყებთ პირადობის პირველ ტრანსფორმაციას. ჩვენ უნდა გადავიტანოთ -5x მარცხნივ, და -2 გადავიდეთ მარჯვნივ. რა თქმა უნდა, ნიშნის ცვლილებით.) ასე რომ, ჩვენ გადავცემთ:

x + 5x = 4 + 2

აი შენ წადი. ნახევარი ბრძოლა დასრულებულია: X-ები შეგროვდა წყობაში და ასევე ნომრები. ახლა წარმოგიდგენთ მსგავსებს მარცხნივ და ვითვლით მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ:

6x = 6

რა გვაკლია ახლა სრული ბედნიერებისთვის? დიახ, ისე, რომ სუფთა X დარჩეს მარცხნივ! და ექვსი იღებს გზას. როგორ დავაღწიოთ თავი? ახლა ჩვენ ვაწარმოებთ მეორე იდენტურ ტრანსფორმაციას - გავყოთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე. და - voila! პასუხი მზად არის.)

x = 1

რა თქმა უნდა, მაგალითი სრულიად პრიმიტიულია. რომ ზოგადი იდეადაჭერა. კარგი, მოდით გადავწყვიტოთ რაღაც უფრო მნიშვნელოვანი. მაგალითად, მოდით შევხედოთ ამ განტოლებას:

მოდი დეტალურად განვიხილოთ.) ესეც წრფივი განტოლებაა, თუმცა როგორც ჩანს, აქ არის წილადები. მაგრამ წილადებში არის გაყოფა ორზე და არის გაყოფა სამზე, მაგრამ არ არსებობს X-ით გამოსახულებით გაყოფა! ასე რომ გადავწყვიტოთ. იგივე იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, დიახ.)

რა უნდა გავაკეთოთ პირველ რიგში? X-ებით - მარცხნივ, X-ების გარეშე - მარჯვნივ? პრინციპში, ეს შესაძლებელია. იფრინეთ სოჭში ვლადივოსტოკის გავლით.) ან შეგიძლიათ უმოკლეს მარშრუტით, დაუყოვნებლივ უნივერსალური და ძლიერი მეთოდის გამოყენებით. თუ იცით იდენტობის გარდაქმნები, რა თქმა უნდა.)

პირველ რიგში, მე ვსვამ მთავარ კითხვას: რა არის თქვენთვის ყველაზე მეტად გამორჩეული და რა არ მოგწონთ ამ განტოლებაში? 100 ადამიანიდან 99 იტყვის: წილადები!და მართლები იქნებიან.) ასე რომ, ჯერ მოვიშოროთ ისინი. უსაფრთხოა თავად განტოლებისთვის.) ამიტომ, დავიწყოთ მაშინვე მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია- გამრავლებიდან. რაზე უნდა გავამრავლოთ მარცხენა მხარე, რომ მნიშვნელი წარმატებით შემცირდეს? მართალია, ორი. რაც შეეხება მარჯვენა მხარეს? სამისთვის! მაგრამ... მათემატიკა კაპრიზული ქალბატონია. ის, ხედავთ, მოითხოვს მხოლოდ ორივე მხარის გამრავლებას იგივე ნომრისთვის!თითოეული ნაწილის თავის რიცხვზე გამრავლება არ მუშაობს... რას ვაპირებთ? რაღაც... ეძებეთ კომპრომისი. ჩვენი სურვილების დასაკმაყოფილებლად (წილადების მოშორება) და მათემატიკა არ შეურაცხყოთ.) გავამრავლოთ ორივე ნაწილი ექვსზე!) ანუ განტოლებაში შემავალი ყველა წილადის საერთო მნიშვნელით. მაშინ ერთი დარტყმით ორივე და სამი შემცირდება!)

მოდით გავამრავლოთ. მთელი მარცხენა და მთელი მარჯვენა მხარე! ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ფრჩხილებს. თავად პროცედურა ასე გამოიყურება:

ახლა ჩვენ ვხსნით იმავე ფრჩხილებს:

ახლა, გამოვსახოთ 6, როგორც 6/1, მოდით გავამრავლოთ ექვსი მარცხნივ და მარჯვნივ თითოეულ წილადზე. ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ ასეც იყოს, მე მას დეტალურად აღვწერ:

და აქ - ყურადღება! მრიცხველი (x-3) ჩავდე ფრჩხილებში! ეს ყველაფერი იმიტომ ხდება, რომ წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მთლიანად, მთლიანად! და x-3 გამოხატულება უნდა იყოს დამუშავებული, როგორც ერთი ინტეგრალური სტრუქტურა. მაგრამ თუ დაწერთ მრიცხველს ასე:

6x - 3,

მაგრამ ჩვენ ყველაფერი კარგად გვაქვს და უნდა დავასრულოთ. რა უნდა გააკეთოს შემდეგ? გახსენით ფრჩხილები მარცხნივ მრიცხველში? არავითარ შემთხვევაში! მე და შენ გავამრავლეთ ორივე მხარე 6-ზე, რომ წილადები მოვიშოროთ და ფრჩხილების გახსნაზე არ ვიფიქროთ. ამ ეტაპზე ჩვენ გვჭირდება შეამცირეთ ჩვენი წილადები.ღრმა კმაყოფილების განცდით, ჩვენ ვამცირებთ ყველა მნიშვნელს და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადის გარეშე, წრფეში:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

ახლა კი შესაძლებელია დარჩენილი ფრჩხილების გახსნა:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

განტოლება სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება! ახლა კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ პირველი იდენტური ტრანსფორმაციის შესახებ. სწორი სახით ვიმეორებთ შელოცვას უმცროსი კლასები: X-ით - მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ. და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავსებს მარცხნივ და ვითვლით მარჯვნივ:

13x = 39

რჩება ორივე ნაწილის 13-ზე გაყოფა. ანუ კვლავ გამოიყენე მეორე ტრანსფორმაცია. ვყოფთ და ვიღებთ პასუხს:

x = 3

სამუშაო შესრულებულია. როგორც ხედავთ, ამ განტოლებაში ჩვენ უნდა გამოგვეყენებინა პირველი ტრანსფორმაცია (ტერმინების გადატანა) ერთხელ და მეორე ორჯერ: ამონახსნის დასაწყისში ვიყენებდით გამრავლებას (6-ზე) წილადების მოსაშორებლად და ბოლოს ამონახსნის ჩვენ გამოვიყენეთ გაყოფა (13-ზე), X-ის წინ კოეფიციენტის მოსაშორებლად. და ნებისმიერი (დიახ, ნებისმიერი!) წრფივი განტოლების ამონახსნი შედგება იმავე გარდაქმნების ერთობლიობისგან ამა თუ იმ თანმიმდევრობით. ზუსტად სად უნდა დაიწყოს, დამოკიდებულია კონკრეტულ განტოლებაზე. ზოგან უფრო მომგებიანია გადარიცხვით დაწყება, ზოგან კი (როგორც ამ მაგალითში) გამრავლებით (ან გაყოფით).

ჩვენ ვმუშაობთ მარტივიდან რთულამდე. მოდი ახლა ვიმსჯელოთ აშკარა სისასტიკეზე. წილადებითა და ფრჩხილებით. და მე გეტყვით, როგორ არ გადაიტანოთ საკუთარი თავი.)

მაგალითად, აქ არის განტოლება:

ჩვენ ერთი წუთით ვუყურებთ განტოლებას, შეშინებულები ვართ, მაგრამ მაინც ვიკრიბებით! მთავარი პრობლემა არის საიდან დავიწყოთ? თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ წილადები მარჯვენა მხარეს. შეგიძლიათ გამოკლოთ წილადები ფრჩხილებში. შეგიძლიათ ორივე ნაწილი გაამრავლოთ რაღაცაზე. ან გაყოფა... მაშ რა არის კიდევ შესაძლებელი? პასუხი: ყველაფერი შესაძლებელია! მათემატიკა არ კრძალავს არცერთ ჩამოთვლილ მოქმედებას. და რა თანმიმდევრობაც არ უნდა აირჩიოთ, პასუხი ყოველთვის იგივე იქნება - სწორი. თუ, რა თქმა უნდა, რაიმე ეტაპზე არ დაარღვევთ თქვენი გარდაქმნების იდენტურობას და, შესაბამისად, შეცდომებს...

და იმისათვის, რომ არ დავუშვათ შეცდომები, ასეთ დახვეწილ მაგალითებში, როგორიც ეს არის, ყოველთვის ყველაზე სასარგებლოა მისი შეფასება გარეგნობადა გაარკვიეთ თქვენს გონებაში: რა შეიძლება გაკეთდეს მაგალითში ისე, რომ მაქსიმუმგაამარტივებს მას ერთი ნაბიჯით?

მოდით გაერკვნენ. მარცხნივ არის ექვსიანი მნიშვნელებში. პირადად მე არ მომწონს და ძალიან ადვილი მოსაშორებელია. ნება მომეცით გავამრავლო განტოლების ორივე მხარე 6-ზე! შემდეგ მარცხნივ ექვსები წარმატებით შემცირდება, ფრჩხილებში ფრაქციები ჯერ არსად წავა. კარგი, არაუშავს. ჩვენ მათ ცოტა მოგვიანებით გავუმკლავდებით.) მაგრამ მარჯვნივ გვექნება მნიშვნელები 2 და 3 გაუქმებული.

გამრავლების შემდეგ მთელი ჩვენი ბოროტი განტოლება ხდება ასეთი:

თუ არ გესმით ზუსტად როგორ წარმოიშვა ეს განტოლება, მაშინ კარგად ვერ გაიგეთ წინა მაგალითის ანალიზი. და სხვათა შორის ვცდილობდი...

მაშ ასე, გამოვავლინოთ:

ახლა ყველაზე ლოგიკური ნაბიჯი იქნება წილადების იზოლირება მარცხენა მხარეს და 5x გაგზავნა მარჯვენა მხარეს. ამავე დროს, ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავსებს მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

უკვე ბევრად უკეთესი. ახლა მარცხენა მხარე მოემზადა გამრავლებისთვის. რაზე გავამრავლოთ მარცხენა მხარე ისე, რომ ხუთიც და ოთხიც ერთდროულად შემცირდეს? 20-ზე! მაგრამ ჩვენ ასევე გვაქვს უარყოფითი მხარეები განტოლების ორივე მხარეს. ამიტომ, ყველაზე მოსახერხებელი იქნება განტოლების ორივე მხარის გამრავლება არა 20-ზე, არამედ -20-ზე. შემდეგ ერთი დარტყმით გაქრება მინუსებიც და წილადებიც.

ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ:

ვისაც ჯერ კიდევ არ ესმის ეს ნაბიჯი, ნიშნავს, რომ პრობლემა არ არის განტოლებებში. პრობლემები საფუძვლებშია! კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ ოქროს წესიგასახსნელი ფრჩხილები:

თუ რიცხვი მრავლდება რაიმე გამოსახულებით ფრჩხილებში, მაშინ ეს რიცხვი თანმიმდევრულად უნდა გამრავლდეს სწორედ ამ გამოხატვის თითოეულ წევრზე. უფრო მეტიც, თუ რიცხვი დადებითია, მაშინ გამონათქვამების ნიშნები შენარჩუნებულია გაფართოების შემდეგ. თუ უარყოფითია, შეცვალეთ პირიქით:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

ჩვენი მინუსები გაქრა ორივე მხარის -20-ზე გამრავლების შემდეგ. ახლა კი მარცხნივ წილადებით ფრჩხილებს საკმაოდ ვამრავლებთ დადებითი რიცხვი 20. მაშასადამე, როცა ეს ფრჩხილები იხსნება, ყველა ის ნიშანი, რაც მათ შიგნით იყო, დაცულია. მაგრამ საიდან მოდის წილადების მრიცხველების ფრჩხილები, წინა მაგალითში უკვე დეტალურად ავხსენი.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

გახსენით დარჩენილი ფრჩხილები. ისევ სწორად ვამჟღავნებთ მას. პირველი ფრჩხილები მრავლდება დადებითი რიცხვით 4 და, შესაბამისად, ყველა ნიშანი შენარჩუნებულია მათი გახსნისას. მაგრამ მეორე ფრჩხილები მრავლდება უარყოფითირიცხვი არის -5 და, შესაბამისად, ყველა ნიშანი შებრუნებულია:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

დარჩა უბრალო წვრილმანები. X-ებით მარცხნივ, X-ების გარეშე მარჯვნივ:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

ეს თითქმის ყველაფერია. მარცხნივ გჭირდებათ სუფთა X, მაგრამ რიცხვი -35 გზაშია. ამიტომ ორივე მხარეს ვყოფთ (-35-ზე). შეგახსენებთ, რომ მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ და გავყოთ ორივე მხარე რაც არ უნდანომერი. უარყოფითის ჩათვლით.) სანამ ნული არ არის! თავისუფლად გაყავით და მიიღეთ პასუხი:

X = 2/35

ამჯერად X წილადი აღმოჩნდა. არაუშავს. ასეთი მაგალითი.)

როგორც ვხედავთ, წრფივი განტოლებების (თუნდაც ყველაზე რთული) ამოხსნის პრინციპი საკმაოდ მარტივია: ვიღებთ თავდაპირველ განტოლებას და იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, თანმიმდევრულად ვამარტივებთ მას, სანამ პასუხს არ მივიღებთ. საფუძვლებით, რა თქმა უნდა! აქ მთავარი პრობლემა არის სწორედ საფუძვლების შეუსრულებლობა (მაგალითად, ფრჩხილების წინ არის მინუსი და დაავიწყდათ ნიშნების შეცვლა გაფართოებისას), ასევე ბანალურ არითმეტიკაში. ასე რომ, ნუ უგულებელყოფთ საფუძვლებს! ისინი ყველა სხვა მათემატიკის საფუძველია!

რამდენიმე სახალისო რამ წრფივი განტოლებების ამოხსნისას. ან განსაკუთრებული შემთხვევები.

ყველაფერი კარგად იქნებოდა. თუმცა... წრფივ განტოლებებს შორის ისეთი სასაცილო მარგალიტებიც არის, რომ მათი ამოხსნის პროცესში შეიძლება ძლიერ სისულელეში აგიყვანოთ. თუნდაც შესანიშნავი სტუდენტი.)

მაგალითად, აქ არის უვნებელი გარეგნობის განტოლება:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

ფართოდ და ოდნავ მობეზრებული იღრიჭებით, ჩვენ ვაგროვებთ ყველა X-ს მარცხნივ და ყველა რიცხვს მარჯვნივ:

7x-4x-3x = 5-2-3

წარმოგიდგენთ მსგავსებს, დათვალეთ და მიიღეთ:

0 = 0

ესე იგი! მე მივეცი ნიმუშის ხრიკი! ეს თანასწორობა თავისთავად არ იწვევს რაიმე წინააღმდეგობას: ნული ნამდვილად ნულის ტოლია. მაგრამ X აკლია! უკვალოდ! და ჩვენ უნდა ჩავწეროთ პასუხში, რისი ტოლია x. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვეტილება არ ითვლება, დიახ.) რა ვქნათ?

Ნუ აჰყვებით პანიკას! ასეთ არასტანდარტულ შემთხვევებში სამაშველოში მოდის მათემატიკის ყველაზე ზოგადი ცნებები და პრინციპები. რა არის განტოლება? როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა?

განტოლების ამოხსნა ნიშნავს პოვნას ყველა x ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩანაცვლებისას ორიგინალურიგანტოლება მოგვცემს სწორ ტოლობას (იდენტობას)!

მაგრამ ჩვენ გვაქვს ნამდვილი თანასწორობა ეს უკვე მოხდა! 0=0, უფრო სწორად, არსად!) ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ გამოვიცნოთ რომელ X-ებზე მივიღებთ ამ თანასწორობას. რა სახის X შეიძლება შეიცვალოს ორიგინალურიგანტოლება, თუ ყველა მათგანის ჩანაცვლებისას ისინი მაინც ნულამდე დაიყვანება?ჯერ ვერ გაარკვიე?

კარგად, რა თქმა უნდა! X შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!!! აბსოლუტურად ნებისმიერი. წარადგინე რაც გინდა. მინიმუმ 1, მინიმუმ -23, მინიმუმ 2.7 - რაც არ უნდა იყოს! ისინი მაინც შემცირდება და შედეგად სუფთა სიმართლე დარჩება. სცადეთ, ჩაანაცვლეთ და თავად დარწმუნდებით.)

აი შენი პასუხი:

x - ნებისმიერი რიცხვი.

სამეცნიერო ნოტაციაში ეს თანასწორობა იწერება შემდეგნაირად:

ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "X არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი."

ან სხვა ფორმით, ინტერვალებით:

შეიმუშავეთ ის ისე, როგორც მოგწონთ საუკეთესოდ. ეს არის სწორი და სრულიად სრული პასუხი!

ახლა მე ვაპირებ შევცვალო მხოლოდ ერთი რიცხვი ჩვენს თავდაპირველ განტოლებაში. ახლა გადავწყვიტოთ ეს განტოლება:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

ისევ გადავიტანთ პირობებს, ვითვლით და ვიღებთ:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

და რას ფიქრობთ ამ ხუმრობაზე? არსებობდა ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება, მაგრამ ის გახდა გაუგებარი თანასწორობა

0 = 1…

ლაპარაკი სამეცნიერო ენა, მივიღეთ ცრუ თანასწორობა.მაგრამ რუსულად ეს ასე არ არის. სისულელე. სისულელეა.) იმიტომ რომ ნული არანაირად არ უდრის ერთს!

ახლა კი ისევ გავარკვიოთ, რა სახის X-ები მოგვცემს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას ნამდვილი თანასწორობა?რომელი? მაგრამ არცერთი! რაც არ უნდა X ჩაანაცვლო, ყველაფერი მაინც შემცირდება და ყველაფერი სისულელე დარჩება.)

აი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

მათემატიკური აღნიშვნით, ეს პასუხი ასე იწერება:

ნათქვამია: "X ეკუთვნის ცარიელ კომპლექტს".

ასეთი პასუხები მათემატიკაშიც საკმაოდ ხშირად გვხვდება: პრინციპში ყოველთვის არ აქვს რომელიმე განტოლებას ფესვი. ზოგიერთ განტოლებას შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს ფესვები. საერთოდ.

აქ არის ორი სიურპრიზი. იმედი მაქვს, რომ ახლა X-ების უეცარი გაქრობა განტოლებიდან სამუდამოდ არ დაგტოვებთ საგონებელში. ეს საკმაოდ ნაცნობია.)

და მერე მესმის ლოგიკური კითხვა: იქნებიან OGE-ში თუ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე? ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შესახებ თავისთავად, როგორც ამოცანა - არა. ძალიან მარტივია. მაგრამ OGE-ში ან სიტყვის პრობლემებში - მარტივად! ახლა მოდით ვივარჯიშოთ და გადავწყვიტოთ:

პასუხები (არეულად): -2; -1; ნებისმიერი ნომერი; 2; არ არის გადაწყვეტილებები; 7/13.

ყველაფერი გამოვიდა? დიდი! გამოცდაზე კარგი შანსი გაქვს.

რამე არ ემატება? ჰმ... სევდა, რა თქმა უნდა. ეს ნიშნავს, რომ სადღაც ჯერ კიდევ არის ხარვეზები. ან საფუძვლებში ან იდენტურ გარდაქმნებში. ან უბრალოდ უბრალო უყურადღებობის საკითხია. კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ გაკვეთილი. იმიტომ, რომ ეს არ არის თემა, რომელიც ასე მარტივად შეიძლება განთავისუფლდეს მათემატიკაში...

წარმატებები! ის აუცილებლად გაგიღიმებთ, დამიჯერეთ!)

ამ ვიდეოში ჩვენ გავაანალიზებთ წრფივი განტოლებების მთელ კრებულს, რომლებიც ამოხსნილია იგივე ალგორითმის გამოყენებით - ამიტომაც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

ჯერ განვსაზღვროთ: რა არის წრფივი განტოლება და რომელს ჰქვია უმარტივესი?

წრფივი განტოლება არის ის, რომელშიც არის მხოლოდ ერთი ცვლადი და მხოლოდ პირველი ხარისხის.

უმარტივესი განტოლება ნიშნავს კონსტრუქციას:

ყველა სხვა წრფივი განტოლება მცირდება უმარტივესამდე ალგორითმის გამოყენებით:

1. გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
2. ცვლადის შემცველი ტერმინების გადატანა ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო ტერმინები ცვლადის გარეშე მეორე მხარეს;
3. მიეცით მსგავსი ტერმინები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ;
4. მიღებული განტოლება გავყოთ $x$ ცვლადის კოეფიციენტზე.

რა თქმა უნდა, ეს ალგორითმი ყოველთვის არ ეხმარება. ფაქტია, რომ ზოგჯერ ყველა ამ მაქინაციების შემდეგ $x$ ცვლადის კოეფიციენტი ნულის ტოლი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი ვარიანტი:

1. განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. მაგალითად, როცა რაღაც $0\cdot x=8$ გამოდის, ე.ი. მარცხნივ არის ნული, ხოლო მარჯვნივ არის რიცხვი ნულის გარდა. ქვემოთ მოცემულ ვიდეოში განვიხილავთ რამდენიმე მიზეზს, რის გამოც შესაძლებელია ეს სიტუაცია.
2. გამოსავალი არის ყველა რიცხვი. ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც ეს შესაძლებელია, არის განტოლება დაყვანილი $0\cdot x=0$ კონსტრუქციამდე. სავსებით ლოგიკურია, რომ არ აქვს მნიშვნელობა $x$-ს ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა "ნული უდრის ნულს", ე.ი. სწორი რიცხვითი თანასწორობა.

ახლა ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი რეალური მაგალითების გამოყენებით.

განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

დღეს საქმე გვაქვს წრფივ განტოლებებთან და მხოლოდ უმარტივესთან. ზოგადად, წრფივი განტოლება ნიშნავს ნებისმიერ ტოლობას, რომელიც შეიცავს ზუსტად ერთ ცვლადს და ის მიდის მხოლოდ პირველ ხარისხამდე.

ასეთი კონსტრუქციები წყდება დაახლოებით იმავე გზით:

1. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გააფართოვოთ ფრჩხილები, თუ ასეთია (როგორც ჩვენს ბოლო მაგალითში);
2. შემდეგ აურიეთ მსგავსი
3. ბოლოს გამოვყოთ ცვლადი, ე.ი. გადაიტანეთ ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია ცვლადთან - ტერმინები, რომლებშიც ის შეიცავს - ერთ მხარეს და გადაიტანეთ ყველაფერი, რაც მის გარეშე რჩება მეორე მხარეს.

შემდეგ, როგორც წესი, თქვენ უნდა მოიტანოთ მსგავსები მიღებული ტოლობის თითოეულ მხარეს და ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ გაყოფა "x"-ის კოეფიციენტზე და მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

თეორიულად, ეს გამოიყურება ლამაზი და მარტივი, მაგრამ პრაქტიკაში, გამოცდილ საშუალო სკოლის მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ შეურაცხმყოფელი შეცდომები საკმაოდ მარტივ ხაზოვან განტოლებებში. როგორც წესი, შეცდომებს უშვებენ ფრჩხილების გახსნისას ან „პლუსების“ და „მინუსების“ გაანგარიშებისას.

გარდა ამისა, ხდება ისე, რომ წრფივ განტოლებას ამონახსნები საერთოდ არ აქვს, ან ამონახსნი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ე.ი. ნებისმიერი ნომერი. ამ დახვეწილობას განვიხილავთ დღევანდელ გაკვეთილზე. მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც უკვე მიხვდით, უმარტივესი ამოცანებით.

მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნის სქემა

პირველ რიგში, ნება მომეცით კიდევ ერთხელ დავწერო უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მთელი სქემა:

1. გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
2. გამოვყოფთ ცვლადებს, ე.ი. ჩვენ გადავიტანთ ყველაფერს, რაც შეიცავს "X-ებს" ერთ მხარეს და ყველაფერს "X"-ის გარეშე მეორე მხარეს.
3. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.
4. ჩვენ ყველაფერს ვყოფთ "x"-ის კოეფიციენტზე.

რა თქმა უნდა, ეს სქემა ყოველთვის არ მუშაობს, მასში არის გარკვეული დახვეწილობა და ხრიკები და ახლა ჩვენ გავეცნობით მათ.

მარტივი წრფივი განტოლებების რეალური მაგალითების ამოხსნა

დავალება No1

პირველი ნაბიჯი მოითხოვს ფრჩხილების გახსნას. მაგრამ ისინი არ არიან ამ მაგალითში, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ნაბიჯს. მეორე ეტაპზე ჩვენ უნდა გამოვყოთ ცვლადები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენ ვსაუბრობთმხოლოდ ინდივიდუალური პირობების შესახებ. მოდით ჩამოვწეროთ:

ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ეს უკვე გაკეთდა აქ. ამიტომ გადავდივართ მეოთხე საფეხურზე: გავყოთ კოეფიციენტზე:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ პასუხი.

დავალება No2

ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ ფრჩხილები ამ პრობლემაში, ასე რომ, მოდით გავაფართოვოთ ისინი:

როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ ვხედავთ დაახლოებით ერთნაირ დიზაინს, მაგრამ ვიმოქმედოთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. ცვლადების გამიჯვნა:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

რა ფესვებზე მუშაობს ეს? პასუხი: ნებისმიერისთვის. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი.

დავალება No3

მესამე წრფივი განტოლება უფრო საინტერესოა:

\[\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(12+x \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(3-2x \მარჯვნივ)=15\]

აქ რამდენიმე ფრჩხილია, მაგრამ ისინი არაფრით არ მრავლდება, უბრალოდ წინ უსწრებს სხვადასხვა ნიშნები. მოდით დავშალოთ ისინი:

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ მეორე საფეხურს:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

მოდით გავაკეთოთ მათემატიკა:

ჩვენ ვასრულებთ ბოლო საფეხურს - გავყოთ ყველაფერი "x"-ის კოეფიციენტზე:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

რა უნდა გვახსოვდეს წრფივი განტოლებების ამოხსნისას

თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ ძალიან მარტივ დავალებებს, მინდა ვთქვა შემდეგი:

• როგორც ზემოთ ვთქვი, ყველა წრფივ განტოლებას არ აქვს გამოსავალი - ზოგჯერ ფესვები უბრალოდ არ არსებობს;
• ფესვები რომც იყოს, მათ შორის შეიძლება იყოს ნული - ამაში ცუდი არაფერია.

ნულოვანი არის იგივე რიცხვი, რაც სხვებს, თქვენ არ უნდა განასხვავოთ იგი ან ჩათვალოთ, რომ თუ თქვენ მიიღებთ ნულს, მაშინ თქვენ გააკეთეთ რაიმე არასწორად.

კიდევ ერთი ფუნქცია დაკავშირებულია ფრჩხილების გახსნასთან. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც მათ წინ არის "მინუსი", ჩვენ მას ვხსნით, მაგრამ ფრჩხილებში ვცვლით ნიშნებს. საპირისპირო. შემდეგ კი ჩვენ შეგვიძლია გავხსნათ იგი სტანდარტული ალგორითმების გამოყენებით: მივიღებთ იმას, რაც ვნახეთ ზემოთ მოცემულ გამოთვლებში.

ამ მარტივი ფაქტის გაგება დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ სულელური და მავნე შეცდომები უმაღლეს სკოლაში, როცა ასეთი საქმის კეთება თავისთავად მიჩნეულია.

რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე. ახლა კონსტრუქციები უფრო რთული გახდება და სხვადასხვა გარდაქმნების შესრულებისას გამოჩნდება კვადრატული ფუნქცია. ამასთან, ამის არ უნდა გვეშინოდეს, რადგან თუ ავტორის გეგმის მიხედვით, ჩვენ ვხსნით წრფივ განტოლებას, მაშინ ტრანსფორმაციის პროცესის დროს კვადრატული ფუნქციის შემცველი ყველა მონომი აუცილებლად გაუქმდება.

მაგალითი No1

ცხადია, პირველი ნაბიჯი არის ფრჩხილების გახსნა. მოდით გავაკეთოთ ეს ძალიან ფრთხილად:

ახლა მოდით შევხედოთ კონფიდენციალურობას:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ამიტომ ჩვენ ამას დავწერთ პასუხში:

\[\არაფერი\]

ან ფესვები არ არის.

მაგალითი No2

ჩვენ ვასრულებთ იგივე მოქმედებებს. პირველი ნაბიჯი:

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი ცვლადით მარცხნივ, ხოლო მის გარეშე - მარჯვნივ:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ წრფივ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, ამიტომ ჩვენ დავწერთ მას ასე:

\[\არაფერი\],

ან ფესვები არ არის.

ხსნარის ნიუანსი

ორივე განტოლება მთლიანად ამოხსნილია. ამ ორი გამონათქვამის მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ უმარტივეს წრფივ განტოლებებშიც კი, ყველაფერი შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს: შეიძლება იყოს ან ერთი, ან არცერთი, ან უსასრულოდ ბევრი ფესვი. ჩვენს შემთხვევაში განვიხილეთ ორი განტოლება, რომელთაგან ორივეს უბრალოდ ფესვი არ აქვს.

მაგრამ თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო კიდევ ერთ ფაქტზე: როგორ ვიმუშაოთ ფრჩხილებით და როგორ გავხსნათ ისინი, თუ მათ წინ არის მინუს ნიშანი. განვიხილოთ ეს გამოთქმა:

გახსნამდე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველაფერი "X-ზე". გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მრავლდება თითოეული ინდივიდუალური ტერმინი. შიგნით არის ორი წევრი - შესაბამისად, ორი წევრი და გამრავლებული.

და მხოლოდ მას შემდეგ, რაც დასრულდება ეს ერთი შეხედვით ელემენტარული, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი და საშიში გარდაქმნები, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილი იმ თვალსაზრისით, რომ მის შემდეგ არის მინუს ნიშანი. დიახ, დიახ: მხოლოდ ახლა, როდესაც გარდაქმნები დასრულებულია, გვახსოვს, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი ქვემოთ უბრალოდ ცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავად ფრჩხილები ქრება და, რაც მთავარია, წინა „მინუსიც“ ქრება.

იგივეს ვაკეთებთ მეორე განტოლებით:

შემთხვევით არ ვაქცევ ყურადღებას ამ პატარა, ერთი შეხედვით უმნიშვნელო ფაქტებს. რადგან განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის არის ელემენტარული გარდაქმნების თანმიმდევრობა, სადაც ნათლად და კომპეტენტურად შესრულების უუნარობა მარტივი ნაბიჯებიმივყავართ იქამდე, რომ საშუალო სკოლის მოსწავლეები მოდიან ჩემთან და ისევ სწავლობენ ასეთი მარტივი განტოლებების ამოხსნას.

რა თქმა უნდა, დადგება დღე, როცა ამ უნარებს ავტომატიზირებამდე დახვეწავთ. ყოველ ჯერზე ამდენი ტრანსფორმაციის შესრულება აღარ მოგიწევთ, ყველაფერს ერთ სტრიქონზე დაწერთ. მაგრამ სანამ მხოლოდ სწავლობთ, თქვენ უნდა დაწეროთ თითოეული მოქმედება ცალკე.

კიდევ უფრო რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

რისი გადაჭრას ახლა ვაპირებთ, ძნელად შეიძლება ეწოდოს უმარტივესი ამოცანა, მაგრამ მნიშვნელობა იგივე რჩება.

დავალება No1

\[\ მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-1 \მარჯვნივ)-21((x)^(2))=3\]

მოდით გავამრავლოთ ყველა ელემენტი პირველ ნაწილში:

მოდი კონფიდენციალურობის დაცვა:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

დავასრულოთ ბოლო ნაბიჯი:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

აქ არის ჩვენი საბოლოო პასუხი. და, მიუხედავად იმისა, რომ ამოხსნის პროცესში გვქონდა კვადრატული ფუნქციის მქონე კოეფიციენტები, ისინი გააუქმეს ერთმანეთი, რაც განტოლებას ხაზოვანს ხდის და არა კვადრატულს.

დავალება No2

\[\მარცხნივ(1-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-3x \მარჯვნივ)=6x\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\]

მოდით, ყურადღებით შევასრულოთ პირველი ნაბიჯი: გავამრავლოთ თითოეული ელემენტი პირველი ფრჩხილიდან მეორეზე თითოეულ ელემენტზე. გარდაქმნების შემდეგ სულ ოთხი ახალი ტერმინი უნდა იყოს:

ახლა ყურადღებით შევასრულოთ გამრავლება თითოეულ წევრში:

მოდით გადავიტანოთ ტერმინები "X"-ით მარცხნივ, ხოლო გარეშე - მარჯვნივ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

კიდევ ერთხელ მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ხსნარის ნიუანსი

ამ ორი განტოლების ყველაზე მნიშვნელოვანი შენიშვნა შემდეგია: როგორც კი დავიწყებთ ფრჩხილების გამრავლებას, რომლებიც შეიცავს ერთზე მეტ წევრს, ეს ხდება შემდეგი წესის მიხედვით: ვიღებთ პირველ წევრს პირველიდან და ვამრავლებთ თითოეულ ელემენტს. მეორე; შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველიდან და ანალოგიურად ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს. შედეგად, ჩვენ გვექნება ოთხი ვადა.

ალგებრული ჯამის შესახებ

ამ ბოლო მაგალითით მინდა შევახსენო სტუდენტებს რა ალგებრული ჯამი. კლასიკურ მათემატიკაში $1-7$-ში ვგულისხმობთ მარტივ კონსტრუქციას: გამოვაკლოთ შვიდი ერთს. ალგებრაში ჩვენ ვგულისხმობთ შემდეგს: რიცხვს "ერთი" ვუმატებთ მეორე რიცხვს, კერძოდ "მინუს შვიდს". ამით განსხვავდება ალგებრული ჯამი ჩვეულებრივი არითმეტიკული ჯამისგან.

როგორც კი ყველა გარდაქმნის, ყოველი შეკრებისა და გამრავლების შესრულებისას დაიწყებთ ზემოთ აღწერილი კონსტრუქციების მსგავს კონსტრუქციებს, უბრალოდ არ გექნებათ პრობლემები ალგებრაში პოლინომებთან და განტოლებებთან მუშაობისას.

დაბოლოს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც კიდევ უფრო რთული იქნება, ვიდრე ახლახან ვნახეთ, და მათი გადასაჭრელად, ოდნავ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი სტანდარტული ალგორითმი.

განტოლებების ამოხსნა წილადებით

მოსაგვარებლად მსგავსი ამოცანებიჩვენს ალგორითმს კიდევ ერთი ნაბიჯის დამატება მოგვიწევს. მაგრამ პირველ რიგში, ნება მომეცით შეგახსენოთ ჩვენი ალგორითმი:

1. გახსენით ფრჩხილები.
2. ცალკე ცვლადები.
3. მოიტანეთ მსგავსი.
4. გაყავით თანაფარდობაზე.

ვაი, რომ ეს მშვენიერი ალგორითმი, მთელი თავისი ეფექტურობით, მთლად მიზანშეწონილი არ არის, როცა წინ წილადები გვაქვს. და რასაც ქვემოთ ვნახავთ, ორივე განტოლებაში გვაქვს წილადი მარცხნივ და მარჯვნივ.

როგორ ვიმუშაოთ ამ შემთხვევაში? დიახ, ეს ძალიან მარტივია! ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ კიდევ ერთი ნაბიჯი ალგორითმში, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს როგორც პირველ მოქმედებამდე, ასევე მის შემდეგ, კერძოდ, წილადებისგან თავის დაღწევა. ასე რომ, ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. მოიშორეთ წილადები.
2. გახსენით ფრჩხილები.
3. ცალკე ცვლადები.
4. მოიტანეთ მსგავსი.
5. გაყავით თანაფარდობაზე.

რას ნიშნავს „წილადების მოშორება“? და რატომ შეიძლება ეს გაკეთდეს როგორც პირველი სტანდარტული ნაბიჯის შემდეგ, ისე ადრე? ფაქტობრივად, ჩვენს შემთხვევაში, ყველა წილადი რიცხვითია მათი მნიშვნელით, ე.ი. ყველგან მნიშვნელი მხოლოდ რიცხვია. მაშასადამე, თუ განტოლების ორივე მხარეს გავამრავლებთ ამ რიცხვზე, მოვიშორებთ წილადებს.

მაგალითი No1

\[\frac(\ მარცხენა (2x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ))(4)=((x)^(2))-1\]

მოვიშოროთ წილადები ამ განტოლებაში:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \მარჯვნივ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველაფერი მრავლდება "ოთხზე" ერთხელ, ე.ი. მხოლოდ იმიტომ, რომ თქვენ გაქვთ ორი ფრჩხილები, არ ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული "ოთხზე". მოდით დავწეროთ:

\[\ მარცხენა (2x+1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (2x-3 \მარჯვნივ) =\ მარცხენა (((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

ახლა გავაფართოვოთ:

ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადს:

ჩვენ ვასრულებთ მსგავსი ტერმინების შემცირებას:

\[-4x=-1\მარცხნივ| :\left(-4 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

მივიღეთ საბოლოო ამონახსნი, გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე.

მაგალითი No2

\[\frac(\მარცხენა(1-x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1+5x \მარჯვნივ))(5)+((x)^(2))=1\]

აქ ჩვენ ვასრულებთ ყველა იგივე მოქმედებას:

\[\frac(\left(1-x \მარჯვნივ)\left(1+5x \მარჯვნივ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

პრობლემა მოგვარებულია.

ფაქტობრივად, ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს.

ძირითადი პუნქტები

ძირითადი დასკვნებია:

• იცოდე წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
• ფრჩხილების გახსნის შესაძლებლობა.
• არ ინერვიულოთ, თუ სადმე გაქვთ კვადრატული ფუნქციები, ისინი შემცირდება შემდგომი გარდაქმნების პროცესში.
• წრფივ განტოლებებში არსებობს სამი ტიპის ფესვი, თუნდაც უმარტივესი: ერთი ფესვი, მთელი რიცხვითი წრფე არის ფესვი და საერთოდ არ არის ფესვები.

ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დაეუფლონ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან თემას ყველა მათემატიკის შემდგომი გაგებისთვის. თუ რამე გაუგებარია, გადადით საიტზე და მოაგვარეთ იქ წარმოდგენილი მაგალითები. თვალყური ადევნეთ, კიდევ ბევრი საინტერესო რამ გელოდებათ!