Spośród całej gamy nierówności logarytmicznych osobno bada się nierówności o zmiennej podstawie. Rozwiązuje się je za pomocą specjalnej formuły, której z jakiegoś powodu rzadko uczy się w szkole:
log k (x) fa (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0
Zamiast checkboxa „∨” można wstawić dowolny znak nierówności: mniej więcej. Najważniejsze jest to, że w obu nierównościach znaki są takie same.
W ten sposób pozbywamy się logarytmów i sprowadzamy problem do nierówności racjonalnej. To drugie jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania, ale po odrzuceniu logarytmów mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki. Aby je odciąć, wystarczy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości. Jeśli zapomniałeś ODZ logarytmu, zdecydowanie zalecam powtórzenie tego - zobacz „Co to jest logarytm”.
Wszystko, co dotyczy zakresu dopuszczalnych wartości, należy zapisać i rozwiązać osobno:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Te cztery nierówności tworzą system i muszą być spełnione jednocześnie. Gdy zostanie znaleziony zakres dopuszczalnych wartości, pozostaje tylko przeciąć go rozwiązaniem nierówności racjonalnej - i odpowiedź jest gotowa.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
Najpierw zapiszmy ODZ logarytmu:
Dwie pierwsze nierówności są spełnione automatycznie, ale ostatnią trzeba będzie zapisać. Ponieważ kwadrat liczby wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero, mamy:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Okazuje się, że ODZ logarytmu to wszystkie liczby z wyjątkiem zera: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz rozwiązujemy główną nierówność:
Dokonujemy przejścia od nierówności logarytmicznej do nierówności racjonalnej. Oryginalna nierówność ma znak „mniej niż”, co oznacza, że wynikająca z niej nierówność również musi mieć znak „mniej niż”. Mamy:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.
Zera tego wyrażenia to: x = 3; x = −3; x = 0. Ponadto x = 0 jest pierwiastkiem drugiej krotności, co oznacza, że przy przejściu przez nią znak funkcji się nie zmienia. Mamy:
Otrzymujemy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Zbiór ten jest całkowicie zawarty w ODZ logarytmu, co oznacza, że to jest odpowiedź.
Przeliczanie nierówności logarytmicznych
Często pierwotna nierówność różni się od powyższej. Można to łatwo skorygować, stosując standardowe zasady pracy z logarytmami - patrz „Podstawowe właściwości logarytmów”. Mianowicie:
- Dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm o danej podstawie;
- Sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie można zastąpić jednym logarytmem.
Osobno chciałbym przypomnieć o zakresie dopuszczalnych wartości. Ponieważ w pierwotnej nierówności może być kilka logarytmów, konieczne jest znalezienie VA każdego z nich. Zatem ogólny schemat rozwiązywania nierówności logarytmicznych jest następujący:
- Znajdź VA każdego logarytmu uwzględnionego w nierówności;
- Zmniejsz nierówność do standardowej, korzystając ze wzorów na dodawanie i odejmowanie logarytmów;
- Rozwiąż powstałą nierówność, korzystając ze schematu podanego powyżej.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
Znajdźmy dziedzinę definicji (DO) pierwszego logarytmu:
Rozwiązujemy metodą przedziałową. Znajdowanie zer licznika:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Następnie - zera mianownika:
x - 1 = 0;
x = 1.
Na strzałce współrzędnych zaznaczamy zera i znaki:
Otrzymujemy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logarytm będzie miał tę samą wartość VA. Jeśli nie wierzysz, możesz to sprawdzić. Teraz przekształcamy drugi logarytm tak, aby podstawa wynosiła dwa:
Jak widać, trójki u podstawy i przed logarytmem zostały zmniejszone. Mamy dwa logarytmy o tej samej podstawie. Dodajmy je:
log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Otrzymaliśmy standardową nierówność logarytmiczną. Pozbywamy się logarytmów za pomocą wzoru. Ponieważ pierwotna nierówność zawiera znak „mniej niż”, wynikowe wyrażenie wymierne również musi być mniejsze od zera. Mamy:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Dostaliśmy dwa zestawy:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Odpowiedź kandydata: x ∈ (−1; 3).
Pozostaje przeciąć te zbiory - otrzymujemy prawdziwą odpowiedź:
Nas interesuje przecięcie zbiorów, dlatego wybieramy przedziały, które są zacienione na obu strzałkach. Otrzymujemy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - wszystkie punkty są przebite.
Czy uważasz, że do egzaminu Unified State Exam jest jeszcze trochę czasu i będziesz miał czas na przygotowanie się? Być może tak jest. Ale w każdym razie im wcześniej uczeń rozpocznie przygotowania, tym skuteczniej zdaje egzaminy. Dziś postanowiliśmy poświęcić artykuł nierównościom logarytmicznym. To jedno z zadań, co oznacza możliwość zdobycia dodatkowego zaliczenia.
Czy wiesz już, czym jest logarytm? Naprawdę mamy taką nadzieję. Ale nawet jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, nie stanowi to problemu. Zrozumienie, czym jest logarytm, jest bardzo proste.
Dlaczego 4? Musisz podnieść liczbę 3 do tej potęgi, aby otrzymać 81. Kiedy zrozumiesz zasadę, możesz przystąpić do bardziej złożonych obliczeń.
Kilka lat temu przeżyłeś nierówności. I od tego czasu stale spotykasz je w matematyce. Jeśli masz problemy z rozwiązaniem nierówności, sprawdź odpowiednią sekcję.
Skoro już zapoznaliśmy się z pojęciami indywidualnie, przejdźmy do ich ogólnego rozważenia.
Najprostsza nierówność logarytmiczna.
Najprostsze nierówności logarytmiczne nie ograniczają się do tego przykładu; są jeszcze trzy, tylko z różnymi znakami. Dlaczego jest to konieczne? Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązywać nierówności za pomocą logarytmów. Podajmy teraz bardziej odpowiedni przykład, wciąż całkiem prosty; złożone nierówności logarytmiczne zostawmy na później.
Jak to rozwiązać? Wszystko zaczyna się od ODZ. Warto dowiedzieć się o tym więcej, jeśli chcesz zawsze łatwo rozwiązać każdą nierówność.
Co to jest ODZ? ODZ dla nierówności logarytmicznych
Skrót oznacza zakres dopuszczalnych wartości. To sformułowanie często pojawia się w zadaniach do egzaminu Unified State Exam. ODZ przyda Ci się nie tylko w przypadku nierówności logarytmicznych.
Spójrz jeszcze raz na powyższy przykład. Na jego podstawie rozważymy ODZ, abyście zrozumieli zasadę, a rozwiązywanie nierówności logarytmicznych nie rodziło pytań. Z definicji logarytmu wynika, że 2x+4 musi być większe od zera. W naszym przypadku oznacza to co następuje.
Liczba ta z definicji musi być dodatnia. Rozwiąż nierówność przedstawioną powyżej. Można to zrobić nawet ustnie; tutaj jest jasne, że X nie może być mniejsze niż 2. Rozwiązaniem nierówności będzie określenie zakresu dopuszczalnych wartości.
Przejdźmy teraz do rozwiązania najprostszej nierówności logarytmicznej.
Odrzucamy same logarytmy z obu stron nierówności. Co nam w rezultacie pozostaje? Prosta nierówność.
Nie jest to trudne do rozwiązania. X musi być większe niż -0,5. Teraz łączymy dwie uzyskane wartości w system. Zatem,
Będzie to zakres dopuszczalnych wartości rozważanej nierówności logarytmicznej.
Po co nam w ogóle ODZ? Jest to okazja do wyeliminowania błędnych i niemożliwych odpowiedzi. Jeśli odpowiedź nie mieści się w dopuszczalnych wartościach, to odpowiedź po prostu nie ma sensu. Warto o tym długo pamiętać, gdyż w Unified State Examination często pojawia się konieczność poszukiwania ODZ i dotyczy to nie tylko nierówności logarytmicznych.
Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej
Rozwiązanie składa się z kilku etapów. Najpierw musisz znaleźć zakres akceptowalnych wartości. W ODZ będą dwie wartości, omówiliśmy to powyżej. Następnie musisz rozwiązać samą nierówność. Metody rozwiązania są następujące:
- metoda zamiany mnożnika;
- rozkład;
- metoda racjonalizacji.
W zależności od sytuacji warto skorzystać z jednej z powyższych metod. Przejdźmy bezpośrednio do rozwiązania. Przedstawiamy najpopularniejszą metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania zadań Unified State Examination w prawie wszystkich przypadkach. Następnie przyjrzymy się metodzie rozkładu. Może to pomóc, jeśli natkniesz się na szczególnie trudną nierówność. A więc algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej.
Przykłady rozwiązań :
Nie bez powodu wzięliśmy właśnie tę nierówność! Zwróć uwagę na podstawę. Pamiętaj: jeśli jest większa niż jeden, znak pozostaje ten sam przy znajdowaniu zakresu dopuszczalnych wartości; w przeciwnym razie musisz zmienić znak nierówności.
W rezultacie otrzymujemy nierówność:
Teraz sprowadzamy lewą stronę do postaci równania równego zero. Zamiast znaku „mniej niż” stawiamy „równa się” i rozwiązujemy równanie. W ten sposób znajdziemy ODZ. Mamy nadzieję, że nie będziesz miał problemów z rozwiązaniem tak prostego równania. Odpowiedzi to -4 i -2. To nie wszystko. Należy wyświetlić te punkty na wykresie, umieszczając „+” i „-”. Co należy w tym celu zrobić? Zastąp liczby z przedziałów do wyrażenia. Tam, gdzie wartości są dodatnie, stawiamy tam „+”.
Odpowiedź: x nie może być większe niż -4 i mniejsze niż -2.
Znaleźliśmy zakres dopuszczalnych wartości tylko dla lewej strony; teraz musimy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości dla prawej strony. To jest o wiele łatwiejsze. Odpowiedź: -2. Przecinamy oba powstałe obszary.
I dopiero teraz zaczynamy zajmować się samą nierównością.
Uprośćmy to tak bardzo, jak to możliwe, aby ułatwić rozwiązanie.
W rozwiązaniu ponownie stosujemy metodę przedziałową. Pomińmy obliczenia; z poprzedniego przykładu wszystko jest już jasne. Odpowiedź.
Ale ta metoda jest odpowiednia, jeśli nierówność logarytmiczna ma te same podstawy.
Rozwiązywanie równań logarytmicznych i nierówności o różnych podstawach wymaga wstępnej redukcji do tej samej podstawy. Następnie zastosuj metodę opisaną powyżej. Ale jest bardziej skomplikowany przypadek. Rozważmy jeden z najbardziej złożonych typów nierówności logarytmicznych.
Nierówności logarytmiczne o zmiennej podstawie
Jak rozwiązać nierówności o takich cechach? Tak, i takie osoby można znaleźć w Unified State Examination. Rozwiązanie nierówności w następujący sposób również będzie miało korzystny wpływ na Twój proces edukacyjny. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo. Odrzućmy teorię i przejdźmy od razu do praktyki. Aby rozwiązać nierówności logarytmiczne, wystarczy raz zapoznać się z przykładem.
Aby rozwiązać nierówność logarytmiczną przedstawionej postaci, należy sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie. Zasada przypomina przejścia równoważne. W rezultacie nierówność będzie wyglądać następująco.
Właściwie pozostaje tylko stworzyć system nierówności bez logarytmów. Stosując metodę racjonalizacji, przechodzimy do równoważnego układu nierówności. Sama regułę zrozumiesz, gdy zastąpisz odpowiednie wartości i prześledzisz ich zmiany. Układ będzie miał następujące nierówności.
Stosując metodę racjonalizacji przy rozwiązywaniu nierówności należy pamiętać o następujących kwestiach: od podstawy należy odjąć x, z definicji logarytmu, od obu stron nierówności (od prawej do lewej) odejmuje się x, mnoży się dwa wyrażenia i ustawić pod oryginalnym znakiem w stosunku do zera.
Dalsze rozwiązanie odbywa się metodą interwałową, tutaj wszystko jest proste. Ważne jest, abyś zrozumiał różnice w metodach rozwiązywania, wtedy wszystko zacznie się łatwo układać.
Nierówności logarytmiczne mają wiele niuansów. Najprostsze z nich są dość łatwe do rozwiązania. Jak rozwiązać każdy z nich bez problemów? Otrzymałeś już wszystkie odpowiedzi w tym artykule. Teraz przed tobą długa praktyka. Stale ćwicz rozwiązywanie różnych problemów na egzaminie, a będziesz w stanie uzyskać najwyższy wynik. Powodzenia w trudnym zadaniu!
Równania i nierówności logarytmiczne w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki, któremu jest poświęcony zadanie C3 . Każdy uczeń musi nauczyć się rozwiązywać zadania C3 z Unified State Exam z matematyki, jeśli chce zdać nadchodzący egzamin z oceną „dobrą” lub „doskonałą”. W artykule przedstawiono krótki przegląd powszechnie spotykanych równań i nierówności logarytmicznych, a także podstawowe metody ich rozwiązywania.
Przyjrzyjmy się zatem dzisiaj kilku przykładom. Równania i nierówności logarytmiczne, które były oferowane studentom przystępującym do Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki z lat poprzednich. Ale zacznie się od krótkiego podsumowania głównych punktów teoretycznych, które będziemy potrzebować, aby je rozwiązać.
Funkcja logarytmiczna
Definicja
Funkcja formy
0,\, a\ne 1 \]" title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
zwany funkcja logarytmiczna.
Podstawowe właściwości
Podstawowe własności funkcji logarytmicznej y=log x:
Wykres funkcji logarytmicznej to krzywa logarytmiczna:
Własności logarytmów
Logarytm iloczynu dwie liczby dodatnie są równe sumie logarytmów tych liczb:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Logarytm ilorazu dwie liczby dodatnie są równe różnicy logarytmów tych liczb:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Jeśli A I B A≠ 1, to dla dowolnej liczby R równość jest prawdą:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Równość dziennik A T=log A S, Gdzie A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, ważne wtedy i tylko wtedy, gdy T = S.
Jeśli A, B, C są liczbami dodatnimi, oraz A I C różnią się od jedności, to równość ( wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu):
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Twierdzenie 1. Jeśli F(X) > 0 i G(X) > 0, wówczas logarytm równania logarytmicznego a f(X) = log g(X) (Gdzie A > 0, A≠ 1) jest równoważne równaniu F(X) = G(X).
Rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych
Przykład 1. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko te X, dla którego wyrażenie pod znakiem logarytmu jest większe od zera. Wartości te wyznacza następujący układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Biorąc pod uwagę, że
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
otrzymujemy przedział określający zakres dopuszczalnych wartości tego równania logarytmicznego:
Bazując na Twierdzeniu 1, którego wszystkie warunki są tutaj spełnione, przechodzimy do następującego równoważnego równania kwadratowego:
Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko pierwszy pierwiastek.
Odpowiedź: x = 7.
Przykład 2. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości równania wyznacza układ nierówności:
ql-right-eqno">
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości równania można tutaj łatwo określić: X > 0.
Stosujemy podstawienie:
Równanie staje się:
Odwrotne podstawienie:
Obydwa odpowiedź mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości równania, ponieważ są liczbami dodatnimi.
Przykład 4. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Rozpocznijmy rozwiązanie od nowa, określając zakres dopuszczalnych wartości równania. Wyznacza się to za pomocą następującego układu nierówności:
ql-right-eqno">
Podstawy logarytmów są takie same, zatem w zakresie dopuszczalnych wartości możemy przystąpić do następującego równania kwadratowego:
Pierwszy pierwiastek nie mieści się w zakresie dopuszczalnych wartości równania, ale drugi tak.
Odpowiedź: X = -1.
Przykład 5. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Będziemy szukać rozwiązań pomiędzy X > 0, X≠1. Przekształćmy równanie na równoważne:
Obydwa odpowiedź mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości równania.
Przykład 6. Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie. Układ nierówności określający zakres dopuszczalnych wartości równania ma tym razem postać:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Korzystając z własności logarytmu, przekształcamy równanie na równanie równoważne w zakresie dopuszczalnych wartości:
Korzystając ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu, otrzymujemy:
Zakres dopuszczalnych wartości obejmuje tylko jeden odpowiedź: X = 4.
Przejdźmy teraz do nierówności logarytmiczne . Właśnie z tym będziesz musiał sobie poradzić na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki. Aby rozwiązać dalsze przykłady potrzebujemy następującego twierdzenia:
Twierdzenie 2. Jeśli F(X) > 0 i G(X) > 0, wówczas:
Na A> 1 logarytmiczna nierówność logarytmiczna a F(X) > zaloguj się G(X) jest równoważne nierówności o tym samym znaczeniu: F(X) > G(X);
o 0< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > zaloguj się G(X) jest równoważne nierówności o odwrotnym znaczeniu: F(X) < G(X).
Przykład 7. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie. Zacznijmy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości nierówności. Wyrażenie pod znakiem funkcji logarytmicznej może przyjmować wyłącznie wartości dodatnie. Oznacza to, że wymagany zakres dopuszczalnych wartości wyznacza następujący układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Ponieważ podstawa logarytmu jest liczbą mniejszą niż jeden, odpowiednia funkcja logarytmiczna będzie malejąca, a zatem zgodnie z Twierdzeniem 2 przejście do następującej nierówności kwadratowej będzie równoważne:
Ostatecznie, biorąc pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy odpowiedź:
Przykład 8. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie. Zacznijmy od nowa, określając zakres dopuszczalnych wartości:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Na zbiorze dopuszczalnych wartości nierówności przeprowadzamy równoważne przekształcenia:
Po redukcji i przejściu do równoważnika nierówności z Twierdzenia 2 otrzymujemy:
Uwzględniając zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy wynik końcowy odpowiedź:
Przykład 9. Rozwiąż nierówność logarytmiczną:
Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości nierówności wyznacza następujący układ:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Można zauważyć, że w zakresie wartości dopuszczalnych wyrażenie u podstawy logarytmu jest zawsze większe od jedności, zatem zgodnie z Twierdzeniem 2 przejście do nierówności będzie równoważne:
Biorąc pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy ostateczną odpowiedź:
Przykład 10. Rozwiąż nierówność:
Rozwiązanie.
Zakres dopuszczalnych wartości nierówności wyznacza układ nierówności:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Metoda I Skorzystajmy ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu i przejdźmy do nierówności równoważnej w zakresie dopuszczalnych wartości.
Badając funkcję logarytmiczną, rozważaliśmy głównie nierówności postaci
zapisz x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Rozwiąż log nierówności (x + 1) ≤ 2 (1).
Rozwiązanie.
1) Prawa strona rozważanej nierówności ma sens dla wszystkich wartości x, a lewa strona ma sens dla x + 1 > 0, tj. dla x > -1.
2) Przedział x > -1 nazywany jest dziedziną definicji nierówności (1). Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 rośnie zatem, jeśli x + 1 > 0, nierówność (1) jest spełniona, jeśli x + 1 ≤ 100 (ponieważ 2 = log 100). Zatem nierówność (1) i system nierówności
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
są równoważne, czyli zbiór rozwiązań nierówności (1) i układ nierówności (2) są takie same.
3) Rozwiązując system (2), znajdujemy -1< х ≤ 99.
Odpowiedź. -1< х ≤ 99.
Rozwiąż nierówność log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Rozwiązanie.
1) Dziedziną definicji rozważanej funkcji logarytmicznej jest zbiór dodatnich wartości argumentu, dlatego lewa strona nierówności ma sens dla x – 3 > 0 i x – 2 > 0.
Zatem dziedziną definicji tej nierówności jest przedział x > 3.
2) Zgodnie z własnościami logarytmu nierówność (3) dla x > 3 jest równoważna nierówności log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funkcja logarytmiczna o podstawie 2 rośnie. Zatem dla x > 3 nierówność (4) jest spełniona, jeśli (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Zatem pierwotna nierówność (3) jest równoważna układowi nierówności
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rozwiązując pierwszą nierówność tego układu otrzymujemy x 2 – 5x + 4 ≤ 0, skąd 1 ≤ x ≤ 4. Łącząc ten odcinek z przedziałem x > 3 otrzymujemy 3< х ≤ 4.
Odpowiedź. 3< х ≤ 4.
Rozwiąż log nierówności 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Rozwiązanie.
1) Dziedzinę definicji nierówności wyznaczamy z warunku x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Nierówność (5) można zapisać jako: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie ½ maleje, to dla wszystkich x z całego obszaru definicji nierówności otrzymujemy:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Zatem pierwotna równość (5) jest równoważna systemowi nierówności
(x 2 + 2x – 8 > 0, lub (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Rozwiązując pierwszą nierówność kwadratową, otrzymujemy x< -4, х >2. Rozwiązując drugą nierówność kwadratową otrzymujemy -6 ≤ x ≤ 4. W rezultacie obie nierówności układu są spełnione jednocześnie dla -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Odpowiedź. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Rozwiązywanie nierówności online
Przed rozwiązaniem nierówności musisz dobrze zrozumieć, w jaki sposób rozwiązuje się równania.
Nie ma znaczenia, czy nierówność jest ścisła () czy nieścisła (≤, ≥), pierwszym krokiem jest rozwiązanie równania poprzez zastąpienie znaku nierówności równością (=).
Wyjaśnijmy, co to znaczy rozwiązać nierówność?
Po przestudiowaniu równań uczeń ma w głowie następujący obraz: musi znaleźć takie wartości zmiennej, aby obie strony równania przyjęły te same wartości. Innymi słowy, znajdź wszystkie punkty, w których zachodzi równość. Wszystko się zgadza!
Kiedy mówimy o nierównościach, mamy na myśli znalezienie przedziałów (odcinków), w których zachodzi nierówność. Jeśli w nierówności są dwie zmienne, to rozwiązaniem nie będą już przedziały, ale pewne obszary na płaszczyźnie. Zgadnij, jakie będzie rozwiązanie nierówności trzech zmiennych?
Jak rozwiązać nierówności?
Za uniwersalną metodę rozwiązywania nierówności uważa się metodę przedziałów (zwaną też metodą przedziałów), która polega na wyznaczeniu wszystkich przedziałów, w granicach których dana nierówność będzie spełniona.
Nie wchodząc w rodzaj nierówności, w tym przypadku nie o to chodzi, należy rozwiązać odpowiednie równanie i wyznaczyć jego pierwiastki, a następnie oznaczenie tych rozwiązań na osi liczb.
Jak poprawnie zapisać rozwiązanie nierówności?
Po ustaleniu przedziałów rozwiązań nierówności należy poprawnie zapisać samo rozwiązanie. Istnieje ważny niuans - czy granice przedziałów są uwzględnione w rozwiązaniu?
Tutaj wszystko jest proste. Jeżeli rozwiązanie równania spełnia ODZ i nierówność nie jest ścisła, to w rozwiązaniu nierówności uwzględnia się granicę przedziału. W przeciwnym razie nie.
Rozpatrując każdy przedział rozwiązaniem nierówności może być sam przedział, półprzedział (gdy jedna z jego granic spełnia nierówność) lub odcinek - przedział wraz z jego granicami.
Ważny punkt
Nie myśl, że tylko przedziały, półprzedziały i odcinki mogą rozwiązać nierówność. Nie, rozwiązanie może obejmować także pojedyncze punkty.
Na przykład nierówność |x|≤0 ma tylko jedno rozwiązanie - jest to punkt 0.
I nierówność |x|
Dlaczego potrzebujesz kalkulatora nierówności?
Kalkulator nierówności podaje poprawną ostateczną odpowiedź. W większości przypadków dostarczana jest ilustracja osi liczbowej lub płaszczyzny. Widoczne jest, czy w rozwiązaniu uwzględnione są granice przedziałów, czy nie - punkty są wyświetlane jako zacienione lub przebite.
Dzięki kalkulatorowi nierówności online możesz sprawdzić, czy poprawnie znalazłeś pierwiastki równania, zaznaczyłeś je na osi liczbowej i sprawdziłeś spełnienie warunku nierówności na przedziałach (i granicach)?
Jeśli Twoja odpowiedź różni się od odpowiedzi kalkulatora, zdecydowanie musisz jeszcze raz sprawdzić swoje rozwiązanie i zidentyfikować błąd.
