Encontrando o produto escalar de vetores. Produto escalar de vetores

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Produto escalar vetores

Continuamos a lidar com vetores. Na primeira aula Vetores para manequins Consideramos o conceito de vetor, ações com vetores, coordenadas vetoriais e os problemas mais simples com vetores. Se você chegou a esta página pela primeira vez a partir de um mecanismo de busca, recomendo fortemente a leitura do artigo introdutório acima, pois para dominar o material você precisa estar familiarizado com os termos e notações que utilizo, ter conhecimentos básicos sobre vetores e ser capaz de resolver problemas básicos. Esta lição é uma continuação lógica do tópico e nela analisarei detalhadamente tarefas típicas que utilizam o produto escalar de vetores. Esta é uma atividade MUITO IMPORTANTE.. Tente não pular os exemplos; eles vêm com um bônus útil - a prática o ajudará a consolidar o material que você abordou e a melhorar na resolução de problemas comuns em geometria analítica.

Adição de vetores, multiplicação de um vetor por um número.... Seria ingênuo pensar que os matemáticos não inventaram outra coisa. Além das ações já discutidas, existem uma série de outras operações com vetores, a saber: produto escalar de vetores, produto vetorial de vetores E produto misto de vetores. O produto escalar de vetores nos é familiar desde a escola; os outros dois produtos pertencem tradicionalmente ao curso de matemática superior. Os tópicos são simples, o algoritmo para resolver muitos problemas é direto e compreensível. A única coisa. Há uma quantidade razoável de informações, por isso é indesejável tentar dominar e resolver TUDO DE UMA VEZ. Isto é especialmente verdadeiro para manequins, acredite, o autor absolutamente não quer se sentir como Chikatilo da matemática. Bem, também não da matemática, claro =) Alunos mais preparados podem usar os materiais de forma seletiva, em certo sentido, “pegar” o conhecimento que falta para você serei um inofensivo Conde Drácula =)

Vamos finalmente abrir a porta e observar com entusiasmo o que acontece quando dois vetores se encontram….

Definição do produto escalar de vetores.
Propriedades do produto escalar. Tarefas típicas

O conceito de produto escalar

Primeiro sobre ângulo entre vetores. Acho que todos entendem intuitivamente qual é o ângulo entre os vetores, mas, por precaução, um pouco mais de detalhes. Vamos considerar vetores livres diferentes de zero e . Se você traçar esses vetores a partir de um ponto arbitrário, obterá uma imagem que muitos já imaginaram mentalmente:

Admito que aqui descrevi a situação apenas ao nível da compreensão. Se você precisar de uma definição estrita do ângulo entre os vetores, consulte o livro para problemas práticos, em princípio, não nos serve. Também AQUI E AQUI ignorarei zero vetores em alguns lugares devido ao seu baixo significado prático. Fiz uma reserva especificamente para visitantes avançados do site que podem me censurar pela incompletude teórica de algumas declarações subsequentes.

pode assumir valores de 0 a 180 graus (0 a radianos), inclusive. Analiticamente este fato escrito como uma dupla desigualdade:

(em radianos).

Na literatura, o símbolo do ângulo é frequentemente ignorado e escrito de forma simples.

Definição: O produto escalar de dois vetores é um NÚMERO igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles:

Agora, esta é uma definição bastante estrita.

Nós nos concentramos em informações essenciais:

Designação: o produto escalar é denotado por ou simplesmente.

O resultado da operação é um NÚMERO: O vetor é multiplicado pelo vetor e o resultado é um número. Na verdade, se os comprimentos dos vetores são números, o cosseno de um ângulo é um número, então seu produto também será um número.

Apenas alguns exemplos de aquecimento:

Exemplo 1

Solução: Usamos a fórmula . Nesse caso:

Responder:

Os valores do cosseno podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Eu recomendo imprimi-lo - ele será necessário em quase todas as seções da torre e muitas vezes.

Do ponto de vista puramente matemático, o produto escalar é adimensional, ou seja, o resultado, neste caso, é apenas um número e pronto. Do ponto de vista dos problemas de física, um produto escalar sempre tem um determinado significado físico, ou seja, após o resultado deve ser indicada uma ou outra unidade física. Um exemplo canônico de cálculo do trabalho de uma força pode ser encontrado em qualquer livro didático (a fórmula é exatamente um produto escalar). O trabalho de uma força é medido em Joules, portanto, a resposta será escrita de forma bastante específica, por exemplo, .

Exemplo 2

Descubra se , e o ângulo entre os vetores é igual a .

Este é um exemplo para decisão independente, a resposta está no final da lição.

Ângulo entre vetores e valor do produto escalar

No Exemplo 1 o produto escalar revelou-se positivo e no Exemplo 2 revelou-se negativo. Vamos descobrir de que depende o sinal do produto escalar. Vejamos nossa fórmula: . Os comprimentos dos vetores diferentes de zero são sempre positivos: , portanto o sinal só pode depender do valor do cosseno.

Observação: Para entender melhor as informações abaixo, é melhor estudar o gráfico do cosseno no manual Gráficos e propriedades de funções. Veja como o cosseno se comporta no segmento.

Como já observado, o ângulo entre os vetores pode variar dentro , e os seguintes casos são possíveis:

1) Se canto entre vetores apimentado: (de 0 a 90 graus), então , E o produto escalar será positivo codirigido, então o ângulo entre eles é considerado zero e o produto escalar também será positivo. Desde , a fórmula simplifica: .

2) Se canto entre vetores cego: (de 90 a 180 graus), então e, correspondentemente, produto escalar é negativo: . Caso especial: se os vetores direções opostas, então o ângulo entre eles é considerado expandido: (180 graus). O produto escalar também é negativo, pois

As afirmações inversas também são verdadeiras:

1) Se, então o ângulo entre esses vetores é agudo. Alternativamente, os vetores são codirecionais.

2) Se, então o ângulo entre esses vetores é obtuso. Alternativamente, os vetores estão em direções opostas.

Mas o terceiro caso é de particular interesse:

3) Se canto entre vetores direto: (90 graus), então produto escalar é zero: . A recíproca também é verdadeira: se, então. A afirmação pode ser formulada de forma compacta da seguinte forma: O produto escalar de dois vetores é zero se e somente se os vetores forem ortogonais. Notação matemática curta:

! Observação : Vamos repetir noções básicas de lógica matemática: Um ícone de consequência lógica de dupla face geralmente é lido "se e somente se", "se e somente se". Como você pode ver, as setas são direcionadas em ambas as direções - “daqui segue-se isto, e vice-versa - daí segue-se isto”. A propósito, qual é a diferença do ícone de acompanhamento unilateral? O ícone indica só isso, que “disto segue-se isto”, e não é um facto que o oposto seja verdadeiro. Por exemplo: , mas nem todo animal é uma pantera, então neste caso você não pode usar o ícone. Ao mesmo tempo, em vez do ícone Pode use o ícone unilateral. Por exemplo, ao resolver o problema, descobrimos que concluímos que os vetores são ortogonais: - tal entrada será correta e ainda mais apropriada do que .

O terceiro caso tem mais significado prático , pois permite verificar se os vetores são ortogonais ou não. Resolveremos esse problema na segunda seção da lição.

Propriedades do produto escalar

Voltemos à situação em que dois vetores codirigido. Neste caso, o ângulo entre eles é zero, e a fórmula do produto escalar assume a forma:.

O que acontece se um vetor for multiplicado por ele mesmo? É claro que o vetor está alinhado consigo mesmo, então usamos a fórmula simplificada acima:

O número é chamado quadrado escalar vetor e são denotados como .

Por isso, o quadrado escalar de um vetor é igual ao quadrado do comprimento do vetor dado:

Desta igualdade podemos obter uma fórmula para calcular o comprimento do vetor:

Até agora parece pouco claro, mas os objetivos da lição colocarão tudo em seu devido lugar. Para resolver os problemas também precisamos propriedades do produto escalar.

Para vetores arbitrários e qualquer número, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) – comutativo ou comutativo lei do produto escalar.

2) – distribuição ou distributivo lei do produto escalar. Simplesmente, você pode abrir os colchetes.

3) – associativo ou associativo lei do produto escalar. A constante pode ser derivada do produto escalar.

Muitas vezes, todos os tipos de propriedades (que também precisam ser comprovadas!) são percebidas pelos alunos como lixo desnecessário, que só precisa ser memorizado e esquecido com segurança logo após o exame. Parece que o que é importante aqui, todo mundo já sabe desde a primeira série que reorganizar os fatores não altera o produto: . Devo avisá-lo de que na matemática superior é fácil bagunçar as coisas com tal abordagem. Assim, por exemplo, a propriedade comutativa não é verdadeira para matrizes algébricas. Também não é verdade para produto vetorial de vetores. Portanto, no mínimo, é melhor se aprofundar em quaisquer propriedades que você encontrar em um curso superior de matemática para entender o que pode e o que não pode fazer.

Exemplo 3

Solução: Primeiro, vamos esclarecer a situação com o vetor. Afinal, o que é isso? A soma dos vetores é um vetor bem definido, denotado por. Uma interpretação geométrica de ações com vetores pode ser encontrada no artigo Vetores para manequins. A mesma salsa com um vetor é a soma dos vetores e .

Assim, de acordo com a condição, é necessário encontrar o produto escalar. Em teoria, você precisa aplicar a fórmula de trabalho , mas o problema é que não sabemos os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Mas a condição fornece parâmetros semelhantes para vetores, então seguiremos um caminho diferente:

(1) Substitua as expressões dos vetores.

(2) Abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios. Um trava-língua vulgar pode ser encontrado no artigo; Números complexos ou Integrando uma função fracionária-racional. Não vou me repetir =) Aliás, a propriedade distributiva do produto escalar nos permite abrir os colchetes. Nós temos o direito.

(3) No primeiro e no último termos escrevemos de forma compacta os quadrados escalares dos vetores: . No segundo termo usamos a comutabilidade do produto escalar: .

(4) Apresentamos termos semelhantes: .

(5) No primeiro termo usamos a fórmula escalar quadrada, que foi mencionada há pouco tempo. No último termo, portanto, funciona a mesma coisa: . Expandimos o segundo termo de acordo com a fórmula padrão .

(6) Substitua estas condições , e realize CUIDADOSAMENTE os cálculos finais.

Responder:

Significado negativo O produto escalar afirma o fato de que o ângulo entre os vetores é obtuso.

O problema é típico, aqui está um exemplo para resolvê-lo você mesmo:

Exemplo 4

Encontre o produto escalar dos vetores e se é conhecido que .

Agora, outra tarefa comum, apenas para a nova fórmula do comprimento de um vetor. A notação aqui será um pouco sobreposta, então, para maior clareza, vou reescrevê-la com uma letra diferente:

Exemplo 5

Encontre o comprimento do vetor se .

Solução será o seguinte:

(1) Fornecemos a expressão para o vetor.

(2) Usamos a fórmula de comprimento: e toda a expressão ve atua como o vetor “ve”.

(3) Usamos a fórmula escolar para o quadrado da soma. Observe como funciona aqui de uma forma curiosa: – na verdade, é o quadrado da diferença, e, na verdade, é assim que é. Quem quiser pode reorganizar os vetores: - acontece a mesma coisa, até a reorganização dos termos.

(4) O que se segue já é familiar dos dois problemas anteriores.

Responder:

Já que se trata de comprimento, não se esqueça de indicar a dimensão - “unidades”.

Exemplo 6

Encontre o comprimento do vetor se .

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa e resposta no final da lição.

Continuamos extraindo coisas úteis do produto escalar. Vejamos nossa fórmula novamente . Usando a regra da proporção, redefinimos os comprimentos dos vetores para o denominador do lado esquerdo:

Vamos trocar as peças:

Qual é o significado desta fórmula? Se os comprimentos de dois vetores e seu produto escalar forem conhecidos, então o cosseno do ângulo entre esses vetores e, conseqüentemente, o próprio ângulo podem ser calculados.

Um produto escalar é um número? Número. Os comprimentos dos vetores são números? Números. Isso significa que uma fração também é um número. E se o cosseno do ângulo for conhecido: , então, usando a função inversa, é fácil encontrar o próprio ângulo: .

Exemplo 7

Encontre o ângulo entre os vetores e se é conhecido isso.

Solução: Usamos a fórmula:

Sobre estágio final cálculos, foi utilizada uma técnica técnica - eliminando a irracionalidade no denominador. Para eliminar a irracionalidade, multipliquei o numerador e o denominador por.

Então se , Que:

Valores inversos funções trigonométricas pode ser encontrado por tabela trigonométrica. Embora isso aconteça raramente. Em problemas de geometria analítica, com muito mais frequência alguns ursos desajeitados gostam , e o valor do ângulo deve ser encontrado aproximadamente usando uma calculadora. Na verdade, veremos essa imagem mais de uma vez.

Responder:

Novamente, não esqueça de indicar as dimensões - radianos e graus. Pessoalmente, para obviamente “resolver todas as questões”, prefiro indicar ambas (a menos que a condição, claro, exija a apresentação da resposta apenas em radianos ou apenas em graus).

Agora você pode lidar de forma independente com uma tarefa mais complexa:

Exemplo 7*

Dados são os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Encontre o ângulo entre os vetores , .

A tarefa não é tão difícil, mas envolve várias etapas.
Vejamos o algoritmo de solução:

1) De acordo com a condição, você precisa encontrar o ângulo entre os vetores e , então você precisa usar a fórmula .

2) Encontre o produto escalar (ver Exemplos nº 3, 4).

3) Encontre o comprimento do vetor e o comprimento do vetor (ver Exemplos nº 5, 6).

4) O final da solução coincide com o Exemplo nº 7 - conhecemos o número , o que significa que é fácil encontrar o próprio ângulo:

Uma breve solução e resposta no final da lição.

A segunda seção da lição é dedicada ao mesmo produto escalar. Coordenadas. Será ainda mais fácil do que na primeira parte.

Produto escalar de vetores,
dado por coordenadas em uma base ortonormal

Responder:

Escusado será dizer que lidar com coordenadas é muito mais agradável.

Exemplo 14

Encontre o produto escalar de vetores e se

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Aqui você pode usar a associatividade da operação, ou seja, não contar , mas imediatamente tirar o triplo fora do produto escalar e multiplicá-lo por último. A solução e a resposta estão no final da lição.

No final da seção, um exemplo provocativo de cálculo do comprimento de um vetor:

Exemplo 15

Encontre os comprimentos dos vetores , Se

Solução: O método da seção anterior se sugere novamente: mas há outra maneira:

Vamos encontrar o vetor:

E seu comprimento de acordo com a fórmula trivial :

O produto escalar não é relevante aqui!

Também não é útil ao calcular o comprimento de um vetor:
Parar. Não deveríamos aproveitar a propriedade óbvia do comprimento do vetor? O que você pode dizer sobre o comprimento do vetor? Este vetor é 5 vezes maior que o vetor. A direção é oposta, mas isso não importa, pois estamos falando de comprimento. Obviamente, o comprimento do vetor é igual ao produto módulo números por comprimento do vetor:
– o sinal do módulo “come” o possível menos do número.

Por isso:

Responder:

Fórmula para o cosseno do ângulo entre vetores especificados por coordenadas

agora temos informação completa, de modo que a fórmula derivada anteriormente para o cosseno do ângulo entre os vetores expressar através de coordenadas vetoriais:

Cosseno do ângulo entre vetores planos e , especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:
.

Cosseno do ângulo entre vetores espaciais, especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:

Exemplo 16

Dados três vértices de um triângulo. Encontre (ângulo do vértice).

Solução: De acordo com as condições, o sorteio não é obrigatório, mas ainda assim:

O ângulo necessário está marcado com um arco verde. Lembremo-nos imediatamente da designação escolar de um ângulo: – atenção especial a média carta - este é o vértice do ângulo que precisamos. Para resumir, você também pode escrever simplesmente .

Pelo desenho fica bastante óbvio que o ângulo do triângulo coincide com o ângulo entre os vetores e, em outras palavras: .

É aconselhável aprender a realizar a análise mentalmente.

Vamos encontrar os vetores:

Vamos calcular o produto escalar:

E os comprimentos dos vetores:

Cosseno do ângulo:

Esta é exatamente a ordem de conclusão da tarefa que recomendo para manequins. Leitores mais avançados podem escrever os cálculos “em uma linha”:

Aqui está um exemplo de um valor de cosseno “ruim”. O valor resultante não é final, portanto, não faz sentido se livrar da irracionalidade no denominador.

Vamos encontrar o ângulo em si:

Se você olhar o desenho, o resultado é bastante plausível. Para verificar, o ângulo também pode ser medido com um transferidor. Não danifique a tampa do monitor =)

Responder:

Na resposta não esquecemos que perguntou sobre o ângulo de um triângulo(e não sobre o ângulo entre os vetores), não esqueça de indicar a resposta exata: e o valor aproximado do ângulo: , encontrado usando uma calculadora.

Quem gostou do processo pode calcular os ângulos e verificar a validade da igualdade canônica

Exemplo 17

Um triângulo é definido no espaço pelas coordenadas de seus vértices. Encontre o ângulo entre os lados e

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa e resposta no final da lição

Uma curta seção final será dedicada às projeções, que também envolvem um produto escalar:

Projeção de um vetor em um vetor. Projeção de um vetor em eixos coordenados.
Cossenos de direção de um vetor

Considere os vetores e:

Vamos projetar o vetor no vetor para fazer isso, omitimos do início e do final do vetor; perpendiculares para vetor (verde linhas pontilhadas). Imagine que os raios de luz incidem perpendicularmente sobre o vetor. Então o segmento (linha vermelha) será a “sombra” do vetor. Neste caso, a projeção do vetor no vetor é o COMPRIMENTO do segmento. Ou seja, PROJEÇÃO É UM NÚMERO.

Este NÚMERO é denotado da seguinte forma: , “vetor grande” denota o vetor QUAL projeto, “vetor subscrito pequeno” denota o vetor SOBRE que é projetado.

A entrada em si é assim: “projeção do vetor “a” no vetor “ser”.

O que acontece se o vetor “ser” for “muito curto”? Desenhamos uma linha reta contendo o vetor “ser”. E o vetor “a” já estará projetado para a direção do vetor "ser", simplesmente - para a linha reta que contém o vetor “ser”. O mesmo acontecerá se o vetor “a” for adiado no trigésimo reino - ainda será facilmente projetado na linha reta que contém o vetor “ser”.

Se o ângulo entre vetores apimentado(como na foto), então

Se os vetores ortogonal, então (a projeção é um ponto cujas dimensões são consideradas zero).

Se o ângulo entre vetores cego(na figura, reorganize mentalmente a seta do vetor), então (o mesmo comprimento, mas com um sinal de menos).

Vamos traçar esses vetores a partir de um ponto:

Obviamente, quando um vetor se move, sua projeção não muda

Produto escalar de vetores (doravante denominado SP). Caros amigos! O exame de matemática inclui um grupo de problemas de resolução de vetores. Já consideramos alguns problemas. Você pode vê-los na categoria “Vetores”. Em geral, a teoria dos vetores não é complicada, o principal é estudá-la de forma consistente. Cálculos e operações com vetores no curso de matemática escolar são simples, as fórmulas não são complicadas. Dê uma olhada. Neste artigo analisaremos problemas sobre SP de vetores (incluídos no Exame Estadual Unificado). Agora “imersão” na teoria:

H Para encontrar as coordenadas de um vetor, você precisa subtrair das coordenadas de seu finalas coordenadas correspondentes de sua origem

E mais:

*O comprimento do vetor (módulo) é determinado da seguinte forma:

Essas fórmulas devem ser lembradas!!!

Vamos mostrar o ângulo entre os vetores:

É claro que pode variar de 0 a 180 0(ou em radianos de 0 a Pi).

Podemos tirar algumas conclusões sobre o sinal do produto escalar. Os comprimentos dos vetores têm um valor positivo, isso é óbvio. Isto significa que o sinal do produto escalar depende do valor do cosseno do ângulo entre os vetores.

Casos possíveis:

1. Se o ângulo entre os vetores for agudo (de 0 0 a 90 0), então o cosseno do ângulo terá um valor positivo.

2. Se o ângulo entre os vetores for obtuso (de 90 0 a 180 0), então o cosseno do ângulo terá valor negativo.

*Em zero grau, ou seja, quando os vetores têm a mesma direção, o cosseno é igual a um e, portanto, o resultado será positivo.

Em 180 o, ou seja, quando os vetores têm direções opostas, o cosseno é igual a menos um,e, consequentemente, o resultado será negativo.

Agora o PONTO IMPORTANTE!

A 90 o, ou seja, quando os vetores são perpendiculares entre si, o cosseno é igual a zero e, portanto, o SP é igual a zero. Este fato (consequência, conclusão) é utilizado na resolução de muitos problemas onde se trata da posição relativa dos vetores, inclusive em problemas incluídos em banco aberto tarefas de matemática.

Formulemos a afirmação: o produto escalar é igual a zero se e somente se esses vetores estiverem em retas perpendiculares.

Então, as fórmulas para vetores SP:

Se as coordenadas dos vetores ou as coordenadas dos pontos de seu início e fim forem conhecidas, então sempre poderemos encontrar o ângulo entre os vetores:

Vamos considerar as tarefas:

27724 Encontre o produto escalar dos vetores a e b.

Podemos encontrar o produto escalar de vetores usando uma de duas fórmulas:

O ângulo entre os vetores é desconhecido, mas podemos facilmente encontrar as coordenadas dos vetores e depois utilizar a primeira fórmula. Como as origens de ambos os vetores coincidem com a origem das coordenadas, as coordenadas desses vetores são iguais às coordenadas de suas extremidades, ou seja

Como encontrar as coordenadas de um vetor é descrito em.

Calculamos:

Resposta: 40

Vamos encontrar as coordenadas dos vetores e usar a fórmula:

Para encontrar as coordenadas de um vetor, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes do seu início das coordenadas do final do vetor, o que significa

Calculamos o produto escalar:

Resposta: 40

Encontre o ângulo entre os vetores a e b. Dê sua resposta em graus.