Resolvendo equações calculadora online com todas as frações. ODZ

Conteúdo da lição

Adicionando frações com denominadores semelhantes

Existem dois tipos de adição de frações:

1. Adicionando frações com denominadores semelhantes
2. Adicionando frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a somar frações com denominadores semelhantes. Tudo é simples aqui. Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Some os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se lembrarmos da pizza, que é dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza à pizza, você terá pizza:

Exemplo 2. Adicione frações e .

A resposta acabou sendo uma fração imprópria. Quando chega o fim da tarefa, costuma-se livrar-se das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar toda a parte dela. No nosso caso, a parte inteira é facilmente isolada - dois dividido por dois é igual a um:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos de uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizza à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, somamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos da pizza, que está dividida em três partes. Se você adicionar mais pizza à pizza, você obtém pizza:

Exemplo 4. Encontre o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma forma que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador deixado inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, você ganha 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, não há nada complicado em somar frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, é necessário somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores das frações devem ser iguais. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, as frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas as frações não podem ser somadas imediatamente, pois essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje veremos apenas um deles, pois os outros métodos podem parecer complicados para um iniciante.

A essência deste método é que primeiro é pesquisado o MMC dos denominadores de ambas as frações. O MMC é então dividido pelo denominador da primeira fração para obter o primeiro fator adicional. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido.

Os numeradores e denominadores das frações são então multiplicados pelos seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações que tinham denominadores diferentes se transformam em frações que possuem os mesmos denominadores. E já sabemos como adicionar essas frações.

Exemplo 1. Vamos adicionar as frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

MMC (2 e 3) = 6

Agora vamos voltar às frações e . Primeiro, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e obtenha o primeiro fator adicional. LCM é o número 6 e o ​​denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, obtemos 2.

O número resultante 2 é o primeiro multiplicador adicional. Nós escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, faça uma pequena linha oblíqua sobre a fração e anote o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6 e o ​​denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, obtemos 3.

O número resultante 3 é o segundo multiplicador adicional. Nós escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua sobre a segunda fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora temos tudo pronto para adição. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais:

Observe atentamente aonde chegamos. Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores. E já sabemos como adicionar essas frações. Vamos levar este exemplo até o final:

Isso completa o exemplo. Acontece que é para adicionar .

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você adicionar pizza a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada por meio de uma imagem. Reduzindo as frações e a um denominador comum, obtivemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelos mesmos pedaços de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho representa uma fração (quatro peças em seis) e o segundo desenho representa uma fração (três peças em seis). Somando essas peças obtemos (sete peças em seis). Esta fração é imprópria, por isso destacamos toda a sua parte. Como resultado, obtivemos (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que descrevemos este exemplo muito detalhado. Nas instituições de ensino não é costume escrever com tantos detalhes. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais para eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Se estivéssemos na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas também há verso medalhas. Se você não fizer anotações detalhadas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então questões desse tipo começarão a aparecer. “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um fator adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, destaque a parte inteira;

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções fornecidas acima.

Passo 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Passo 2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um fator adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Dividimos 12 por 2, obtemos 6. Obtivemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos acima da primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Dividimos 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos acima da segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Dividimos 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos acima da terceira fração:

Passo 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos seus fatores adicionais:

Passo 4. Adicione frações com os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformaram em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta apenas somar essas frações. Adicione:

A adição não cabia em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é movida para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início da nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira dela

A nossa resposta revelou-se uma fração imprópria. Temos que destacar toda uma parte disso. Destacamos:

Recebemos uma resposta

Subtraindo frações com denominadores semelhantes

Existem dois tipos de subtração de frações:

1. Subtraindo frações com denominadores semelhantes
2. Subtraindo frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender como subtrair frações com denominadores semelhantes. Tudo é simples aqui. Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração, mas deixar o denominador igual.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão. Para resolver este exemplo, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se lembrarmos da pizza, que é dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos da pizza, que está dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 3. Encontre o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma forma que os anteriores. Do numerador da primeira fração você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, será necessário destacar a parte inteira dela.

Subtraindo frações com denominadores diferentes

Por exemplo, você pode subtrair uma fração de uma fração porque as frações têm os mesmos denominadores. Mas é impossível subtrair uma fração de uma fração, pois essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado usando o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Em seguida, o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e obtém-se o primeiro fator adicional, que está escrito acima da primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e obtém-se um segundo fator adicional, que é escrito acima da segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações que possuem denominadores diferentes são convertidas em frações que possuem os mesmos denominadores. E já sabemos como subtrair essas frações.

Exemplo 1. Encontre o significado da expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa reduzi-las ao mesmo denominador (comum).

Primeiro encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

MMC (3 e 4) = 12

Agora vamos voltar às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12 e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escreva um quatro acima da primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12 e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Escreva um três sobre a segunda fração:

Agora estamos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações pelos seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores. E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos levar este exemplo até o final:

Recebemos uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você cortar pizza de uma pizza, você ganha pizza

Esta é a versão detalhada da solução. Se estivéssemos na escola, teríamos que resolver este exemplo em menos tempo. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações a um denominador comum também pode ser representada por meio de uma imagem. Reduzindo essas frações a um denominador comum, obtivemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador):

A primeira imagem mostra uma fração (oito peças em doze) e a segunda imagem mostra uma fração (três peças em doze). Cortando três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa reduzi-las ao mesmo denominador (comum).

Vamos encontrar o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

MMC(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, divida o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Dividindo 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos acima da primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Dividindo 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos acima da segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Dividindo 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos acima da terceira fração:

Agora tudo está pronto para subtração. Resta multiplicar as frações pelos seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformaram em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração regular, e tudo parece nos servir, mas é muito complicado e feio. Deveríamos tornar isso mais simples. O que pode ser feito? Você pode encurtar essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (MDC) dos números 20 e 30.

Então, encontramos o mdc dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mdc encontrado, ou seja, por 10

Recebemos uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador igual.

Exemplo 1. Multiplique uma fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A gravação pode ser entendida como demorando metade do tempo. Por exemplo, se você comer pizza uma vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação sabemos que se o multiplicando e o fator forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como, então o produto ainda será igual a. Novamente, a regra para multiplicar um número inteiro e uma fração funciona:

Esta notação pode ser entendida como metade de um. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e pegarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta foi uma fração imprópria. Vamos destacar toda a parte:

A expressão pode ser entendida como dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você levar 4 pizzas, receberá duas pizzas inteiras

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador, obteremos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicando frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará destacar a parte inteira dela.

Exemplo 1. Encontre o valor da expressão.

Recebemos uma resposta. É aconselhável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir esta metade em três partes iguais:

E pegue duas dessas três peças:

Faremos pizza. Lembre-se de como fica a pizza quando dividida em três partes:

Um pedaço desta pizza e os dois pedaços que pegamos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando sobre aproximadamente o mesmo tamanho de pizza. Portanto o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta foi uma fração imprópria. Vamos destacar toda a parte:

Exemplo 3. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração regular, mas seria bom se fosse abreviada. Para reduzir esta fração, é necessário dividir o numerador e o denominador desta fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador da nossa resposta pelo mdc que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um número inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como. Isto não mudará o significado de cinco, uma vez que a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isto, como sabemos, é igual a cinco:

Números recíprocos

Agora vamos conhecer muito tópico interessante Na matemática. É chamado de "números reversos".

Definição. Reverter para númeroa é um número que, quando multiplicado pora dá um.

Vamos substituir nesta definição em vez da variável a número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é um número que, quando multiplicado por 5 dá um.

É possível encontrar um número que, multiplicado por 5, dê um? Acontece que é possível. Vamos imaginar cinco como uma fração:

Depois multiplique essa fração por ela mesma, basta trocar o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, só que de cabeça para baixo:

O que acontecerá como resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obteremos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número , pois ao multiplicar 5 por você obtém um.

O recíproco de um número também pode ser encontrado para qualquer outro número inteiro.

Você também pode encontrar o inverso de qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Dividindo uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividir igualmente entre dois. Quanta pizza cada pessoa receberá?

Percebe-se que após dividir metade da pizza, obtiveram-se dois pedaços iguais, cada um deles constituindo uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os números recíprocos permitem substituir a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar a fração pelo inverso do divisor.

Usando esta regra, anotaremos a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é a fração e o divisor é o número 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é a fração. Então você precisa multiplicar por

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As equações contendo uma variável no denominador podem ser resolvidas de duas maneiras:

Reduzindo frações a um denominador comum

Usando a propriedade básica da proporção

Independentemente do método escolhido, após encontrar as raízes da equação, é necessário selecionar dentre os valores válidos encontrados, ou seja, aqueles que não giram o denominador para $0$.

1 maneira. Reduzindo frações a um denominador comum.

Exemplo 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Solução:

1. Vamos transferir a fração do lado direito da equação para o esquerdo

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Para fazer isso corretamente, lembre-se que ao mover elementos para outra parte da equação, o sinal na frente das expressões muda para o oposto. Isso significa que se houvesse um sinal “+” na frente da fração no lado direito, então haverá um sinal “-” na frente dela no lado esquerdo. Então, no lado esquerdo, obteremos a diferença do. frações.

2. Observemos agora que as frações possuem denominadores diferentes, o que significa que para compensar a diferença é necessário trazer as frações a um denominador comum. O denominador comum será o produto dos polinômios nos denominadores das frações originais: $(2x-1)(x+3)$

Para obter uma expressão idêntica, o numerador e o denominador da primeira fração devem ser multiplicados pelo polinômio $(x+3)$, e a segunda pelo polinômio $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Vamos realizar uma transformação no numerador da primeira fração - multiplicar polinômios. Lembremos que para isso é necessário multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio, depois multiplicar o segundo termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e somar os resultados

\[\esquerda(2x+3\direita)\esquerda(x+3\direita)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Vamos apresentar termos semelhantes na expressão resultante

\[\esquerda(2x+3\direita)\esquerda(x+3\direita)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Vamos realizar uma transformação semelhante no numerador da segunda fração - multiplicar polinômios

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$

Então a equação assumirá a forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Agora as frações têm o mesmo denominador, o que significa que você pode subtrair. Lembre-se que ao subtrair frações com o mesmo denominador do numerador da primeira fração, você deve subtrair o numerador da segunda fração, deixando o denominador igual

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Vamos transformar a expressão no numerador. Para abrir colchetes precedidos de um sinal “-”, você precisa alterar todos os sinais antes dos termos entre colchetes para o oposto

\[(2x)^2+9x+9-\esquerda((2x)^2-11x+5\direita)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Vamos apresentar termos semelhantes

$(2x)^2+9x+9-\esquerda((2x)^2-11x+5\direita)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Então a fração assumirá a forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Uma fração é igual a $0$ se seu numerador for 0. Portanto, igualamos o numerador da fração a $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Vamos resolver a equação linear:

4. Vamos provar as raízes. Isso significa que é necessário verificar se os denominadores das frações originais passam para $0$ quando as raízes são encontradas.

Vamos definir a condição de que os denominadores não sejam iguais a $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Isso significa que todos os valores de variáveis ​​são aceitáveis, exceto $-3$ e $0,5$.

A raiz que encontramos é um valor aceitável, o que significa que pode ser considerada com segurança a raiz da equação. Se a raiz encontrada não fosse um valor válido, então tal raiz seria estranha e, claro, não seria incluída na resposta.

Responder:$-0,2.$

Agora podemos criar um algoritmo para resolver uma equação que contém uma variável no denominador

Algoritmo para resolver uma equação que contém uma variável no denominador

Mova todos os elementos do lado direito da equação para a esquerda. Para obter uma equação idêntica, é necessário mudar todos os sinais antes das expressões do lado direito para o oposto

Se no lado esquerdo obtivermos uma expressão com denominadores diferentes, então os reduzimos a um comum usando a propriedade básica de uma fração. Realize transformações usando transformações de identidade e obtenha uma fração final igual a $0$.

Iguale o numerador a $0$ e encontre as raízes da equação resultante.

Vamos provar as raízes, ou seja, encontre valores válidos de variáveis ​​que não formam o denominador $0$.

Método 2. Usamos a propriedade básica da proporção

A principal propriedade da proporção é que o produto dos termos extremos da proporção é igual ao produto dos termos médios.

Exemplo 2

Usamos esta propriedade para resolver esta tarefa

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Vamos encontrar e igualar o produto dos termos extremos e médios da proporção.

$\esquerda(2x+3\direita)\cdot(\ x+3)=\esquerda(x-5\direita)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Tendo resolvido a equação resultante, encontraremos as raízes do original

2. Vamos encontrar os valores aceitáveis ​​da variável.

Da solução anterior (método 1) já descobrimos que quaisquer valores são aceitáveis, exceto $-3$ e $0,5$.

Então, tendo estabelecido que a raiz encontrada é um valor válido, descobrimos que $-0,2$ será a raiz.

Aplicativo

Resolvendo qualquer tipo de equações online no site para alunos e escolares consolidarem o material estudado.. Resolvendo equações online. Equações on-line. Existem equações algébricas, paramétricas, transcendentais, funcionais, diferenciais e outros tipos de equações. Algumas classes de equações possuem soluções analíticas, que são convenientes porque não apenas fornecem o valor exato da raiz, mas também permitem escrever a solução no. forma de uma fórmula, que pode incluir parâmetros. As expressões analíticas permitem não só calcular as raízes, mas também analisar a sua existência e a sua quantidade em função dos valores dos parâmetros, o que muitas vezes é ainda mais importante para aplicação prática, do que os valores específicos das raízes. Resolvendo equações online.. Equações online. Resolver uma equação é a tarefa de encontrar os valores dos argumentos nos quais essa igualdade é alcançada. Condições adicionais (inteiro, real, etc.) podem ser impostas aos valores possíveis dos argumentos. Resolvendo equações online.. Equações online. Você pode resolver a equação online instantaneamente e com alta precisão do resultado. Os argumentos para funções especificadas (às vezes chamadas de "variáveis") são chamados de "incógnitas" no caso de uma equação. Os valores das incógnitas nas quais essa igualdade é alcançada são chamados de soluções ou raízes desta equação. Diz-se que as raízes satisfazem esta equação. Resolver uma equação online significa encontrar o conjunto de todas as suas soluções (raízes) ou provar que não existem raízes. Resolvendo equações online.. Equações online. As equações cujos conjuntos de raízes coincidem são chamadas de equivalentes ou iguais. Equações que não possuem raízes também são consideradas equivalentes. A equivalência de equações tem a propriedade de simetria: se uma equação é equivalente a outra, então a segunda equação é equivalente à primeira. A equivalência de equações tem a propriedade da transitividade: se uma equação é equivalente a outra, e a segunda é equivalente a uma terceira, então a primeira equação é equivalente à terceira. A propriedade de equivalência das equações permite-nos realizar transformações com elas, nas quais se baseiam os métodos para resolvê-las. Resolvendo equações online.. Equações online. O site permitirá que você resolva a equação online. As equações para as quais as soluções analíticas são conhecidas incluem equações algébricas não superiores ao quarto grau: equação linear, Equação quadrática, equação cúbica e equação de quarto grau. Equações algébricas de graus superiores no caso geral não possuem solução analítica, embora algumas delas possam ser reduzidas a equações de graus inferiores. Equações que incluem funções transcendentais são chamadas de transcendentais. Dentre elas, são conhecidas soluções analíticas para algumas equações trigonométricas, já que os zeros funções trigonométricas bem conhecido. No caso geral, quando uma solução analítica não pode ser encontrada, são utilizados métodos numéricos. Os métodos numéricos não fornecem uma solução exata, mas apenas permitem estreitar o intervalo em que a raiz se encontra para um intervalo predeterminado. definir valor. Resolvendo equações online.. Equações online.. Em vez de uma equação online, vamos imaginar como a mesma expressão se forma dependência linear e não apenas ao longo de uma tangente reta, mas também no ponto de inflexão do gráfico. Este método é indispensável em todos os momentos do estudo do assunto. Muitas vezes acontece que a resolução de equações se aproxima do valor final usando números infinitos e escrevendo vetores. É necessário verificar os dados iniciais e esta é a essência da tarefa. Caso contrário, a condição local será convertida em uma fórmula. Inversão ao longo de uma linha reta de dada função, que a calculadora de equações calculará sem muita demora na execução, o deslocamento será atendido pelo privilégio de espaço. Falaremos sobre o sucesso dos alunos em um ambiente científico. Porém, como todos os itens acima, nos ajudará no processo de encontrar e quando você resolver a equação completamente, armazenar a resposta resultante nas extremidades do segmento de reta. As linhas no espaço se cruzam em um ponto e esse ponto é chamado de interceptado pelas linhas. O intervalo na linha é indicado conforme especificado anteriormente. O posto mais alto para o estudo da matemática será publicado. Atribuir um valor de argumento a partir de uma superfície especificada parametricamente e resolver a equação online será capaz de delinear os princípios do acesso produtivo a uma função. A faixa de Möbius, ou infinito como é chamada, parece um oito. Esta é uma superfície unilateral, não bilateral. De acordo com o princípio geralmente conhecido por todos, aceitaremos objetivamente as equações lineares como a designação básica, tal como acontece no campo da pesquisa. Apenas dois valores de argumentos dados sequencialmente são capazes de revelar a direção do vetor. Assumir que outra solução para equações online é muito mais do que apenas resolvê-la significa obter como resultado uma versão completa do invariante. Sem uma abordagem integrada, é difícil para os alunos aprenderem este material. Como antes, para cada caso especial, nossa conveniente e inteligente calculadora de equações on-line ajudará a todos em momentos difíceis, pois basta especificar os parâmetros de entrada e o próprio sistema calculará a resposta. Antes de começarmos a inserir os dados, precisaremos de uma ferramenta de entrada, o que pode ser feito sem muita dificuldade. O número de cada estimativa de resposta levará a uma equação quadrática às nossas conclusões, mas isso não é tão fácil de fazer, porque é fácil provar o contrário. A teoria, pelas suas características, não é sustentada pelo conhecimento prático. Ver uma calculadora de frações na fase de publicação da resposta não é uma tarefa fácil em matemática, pois a alternativa de escrever um número em um conjunto ajuda a aumentar o crescimento da função. Contudo, seria incorreto não falar sobre a formação dos alunos, por isso cada um de nós dirá o que precisa ser feito. A equação cúbica encontrada anteriormente pertencerá legitimamente ao domínio de definição e conterá o espaço valores numéricos, bem como variáveis ​​simbólicas. Tendo aprendido ou memorizado o teorema, nossos alunos se mostrarão apenas no seu melhor e ficaremos felizes por eles. Ao contrário de múltiplas interseções de campo, nossas equações online são descritas por um plano de movimento multiplicando duas e três linhas numéricas combinadas. Um conjunto em matemática não é definido exclusivamente. A melhor solução, segundo os alunos, é um registro completo da expressão. Como foi dito linguagem científica , a abstração de expressões simbólicas não entra no estado de coisas, mas a solução das equações dá um resultado inequívoco em todos os casos conhecidos. A duração da aula do professor depende das necessidades desta proposta. A análise mostrou a necessidade de todas as técnicas computacionais em muitas áreas, e é absolutamente claro que uma calculadora de equações é uma ferramenta indispensável nas mãos talentosas de um estudante. Uma abordagem leal ao estudo da matemática determina a importância de pontos de vista de diferentes direções. Você deseja identificar um dos teoremas principais e resolver a equação de tal forma, dependendo de cuja resposta haverá necessidade adicional de sua aplicação. A análise nesta área está ganhando impulso. Vamos começar do início e derivar a fórmula. Tendo rompido o nível de aumento da função, a reta ao longo da tangente no ponto de inflexão certamente levará ao fato de que a resolução da equação online será um dos principais aspectos na construção desse mesmo gráfico a partir do argumento da função. Uma abordagem amadora tem o direito de ser aplicada se esta condição não contradizer as conclusões dos alunos. É a subtarefa que coloca a análise das condições matemáticas como equações lineares no domínio existente de definição do objeto que é colocado em segundo plano. A compensação na direção da ortogonalidade anula a vantagem de um único valor absoluto. O módulo de resolução de equações online fornece o mesmo número de soluções se você abrir os colchetes primeiro com um sinal de mais e depois com um sinal de menos. Nesse caso, haverá o dobro de soluções e o resultado será mais preciso. Uma calculadora de equações on-line estável e correta é um sucesso em atingir o objetivo pretendido na tarefa definida pelo professor. Parece possível escolher o método certo devido às diferenças significativas nas opiniões dos grandes cientistas. A equação quadrática resultante descreve a curva das retas, a chamada parábola, e o sinal determinará sua convexidade no sistema de coordenadas quadradas. Da equação obtemos tanto o discriminante quanto as próprias raízes de acordo com o teorema de Vieta. O primeiro passo é representar a expressão como uma fração própria ou imprópria e usar uma calculadora de frações. Dependendo disso, será formado um plano para nossos cálculos posteriores. A matemática com abordagem teórica será útil em todas as fases. Com certeza apresentaremos o resultado como uma equação cúbica, pois ocultaremos suas raízes nesta expressão para simplificar a tarefa de um estudante universitário. Quaisquer métodos são bons se forem adequados para análises superficiais. Operações aritméticas extras não levarão a erros de cálculo. Determina a resposta com uma determinada precisão. Usando a solução de equações, convenhamos - encontrar a variável independente de uma determinada função não é tão fácil, especialmente durante o período de estudo de retas paralelas no infinito. Tendo em vista a exceção, a necessidade é muito óbvia. A diferença de polaridade é clara. Com a experiência de lecionar em institutos, nosso professor aprendeu lição principal, em que as equações foram estudadas online no sentido matemático completo. Aqui estávamos falando sobre esforços maiores e habilidades especiais na aplicação da teoria. A favor das nossas conclusões, não se deve olhar através de um prisma. Até recentemente, acreditava-se que um conjunto fechado aumentava rapidamente na região tal como está e a solução das equações simplesmente precisava ser investigada. Numa primeira fase, não considerámos todas as opções possíveis, mas esta abordagem é mais justificada do que nunca. Ações extras com colchetes justificam alguns avanços ao longo dos eixos de ordenadas e abscissas, que não podem ser perdidos a olho nu. No sentido de um extenso aumento proporcional na função, existe um ponto de inflexão. Mais uma vez vamos provar como Condição necessaria será aplicado ao longo de todo o intervalo de diminuição de uma ou outra posição descendente do vetor. Em um espaço confinado, selecionaremos uma variável do bloco inicial do nosso script. Um sistema construído com base em três vetores é responsável pela ausência do momento de força principal. Porém, a calculadora de equações gerou e ajudou a encontrar todos os termos da equação construída, tanto acima da superfície quanto ao longo de linhas paralelas. Vamos desenhar um círculo ao redor do ponto inicial. Assim, começaremos a subir ao longo das linhas de seção, e a tangente descreverá o círculo em toda a sua extensão, resultando em uma curva chamada evolvente. Aliás, vamos contar um pouco da história dessa curva. O fato é que historicamente na matemática não existia o conceito da própria matemática em sua compreensão pura como é hoje. Anteriormente, todos os cientistas estavam engajados em uma tarefa comum, ou seja, a ciência. Mais tarde, vários séculos depois, quando mundo científico repleta de uma quantidade colossal de informações, a humanidade ainda identificou muitas disciplinas. Eles ainda permanecem inalterados. E, no entanto, todos os anos, cientistas de todo o mundo tentam provar que a ciência é ilimitada e que não se resolverá a equação a menos que se tenha conhecimento das ciências naturais. Talvez não seja possível acabar com isso finalmente. Pensar nisso é tão inútil quanto aquecer o ar lá fora. Vamos encontrar o intervalo no qual o argumento, se seu valor for positivo, determinará o módulo do valor em uma direção acentuadamente crescente. A reação o ajudará a encontrar pelo menos três soluções, mas você precisará verificá-las. Comecemos pelo fato de que precisamos resolver a equação online utilizando o serviço exclusivo do nosso site. Vamos inserir os dois lados da equação fornecida, clicar no botão “RESOLVER” e obter a resposta exata em apenas alguns segundos. Em casos especiais, vamos pegar um livro de matemática e verificar novamente a nossa resposta, ou seja, olhar apenas a resposta e tudo ficará claro. O mesmo projeto de um paralelepípedo redundante artificial irá falhar. Existe um paralelogramo com seus lados paralelos e explica muitos princípios e abordagens para estudar a relação espacial do processo ascendente de acumulação de espaço oco em fórmulas de forma natural. Equações lineares ambíguas mostram a dependência da variável desejada em nosso comum este momento solução temporal e você precisa de alguma forma derivar e reduzir a fração imprópria para um caso não trivial. Marque dez pontos em uma linha reta e desenhe uma curva através de cada ponto dada direção e convexo para cima. Sem quaisquer dificuldades especiais, a nossa calculadora de equações apresentará uma expressão de tal forma que a sua verificação da validade das regras será óbvia já no início da gravação. O sistema de representações especiais de estabilidade para os matemáticos vem em primeiro lugar, salvo disposição em contrário da fórmula. Responderemos a isso com uma apresentação detalhada de um relatório sobre o tema do estado isomórfico de um sistema plástico de corpos e a resolução de equações online descreverá o movimento de cada ponto material neste sistema. Ao nível da investigação aprofundada, será necessário esclarecer detalhadamente a questão das inversões pelo menos da camada inferior do espaço. Subindo na seção onde a função é descontínua, aplicaremos o método geral de um excelente pesquisador, aliás, nosso conterrâneo, e contaremos a seguir sobre o comportamento do avião. Devido às fortes características de uma função definida analiticamente, utilizamos a calculadora de equações on-line apenas para a finalidade pretendida, dentro dos limites derivados de autoridade. Raciocinando mais, focaremos nossa revisão na homogeneidade da própria equação, ou seja, seu lado direito é igual a zero. Vamos mais uma vez ter certeza de que nossa decisão em matemática está correta. Para evitar a obtenção de uma solução trivial, faremos alguns ajustes nas condições iniciais do problema de estabilidade condicional do sistema. Vamos criar uma equação quadrática, para a qual escrevemos duas entradas usando uma fórmula bem conhecida e encontramos as raízes negativas. Se uma raiz for cinco unidades maior que a segunda e a terceira raízes, então, ao fazer alterações no argumento principal, distorceremos as condições iniciais da subtarefa. Pela sua própria natureza, algo incomum em matemática pode sempre ser descrito até o centésimo de um número positivo. A calculadora de frações é várias vezes superior às suas contrapartes em recursos semelhantes no melhor momento de carga do servidor. Na superfície do vetor velocidade crescendo ao longo do eixo das ordenadas, desenhamos sete linhas dobradas em direções opostas uma à outra. A comensurabilidade do argumento da função atribuída está à frente das leituras do contador do saldo de recuperação. Em matemática, podemos representar esse fenômeno através de uma equação cúbica com coeficientes imaginários, bem como na progressão bipolar de retas decrescentes. Os pontos críticos da diferença de temperatura em muitos de seus significados e progressão descrevem o processo de decomposição de uma função fracionária complexa em fatores. Se lhe disserem para resolver uma equação, não se apresse em fazê-lo imediatamente, avalie primeiro todo o plano de ação e só então adote a abordagem correta. Certamente haverá benefícios. A facilidade de trabalho é óbvia, e o mesmo se aplica à matemática. Resolva a equação online. Todas as equações online representam um certo tipo de registro de números ou parâmetros e uma variável que precisa ser determinada. Calcule essa mesma variável, ou seja, encontre valores ou intervalos específicos de um conjunto de valores nos quais a identidade será mantida. As condições iniciais e finais dependem diretamente. A solução geral de equações geralmente inclui algumas variáveis ​​​​e constantes, definindo-as obteremos famílias inteiras de soluções para um determinado problema. Em geral, isso justifica os esforços investidos no aumento da funcionalidade de um cubo espacial com lado igual a 100 centímetros. Você pode aplicar um teorema ou lema em qualquer estágio da construção de uma resposta. O site produz gradativamente uma calculadora de equações caso seja necessário mostrar o menor valor em qualquer intervalo de soma dos produtos. Em metade dos casos, tal bola, por ser oca, já não cumpre os requisitos para definir uma resposta intermédia. Pelo menos no eixo das ordenadas na direção da representação vetorial decrescente, esta proporção será sem dúvida mais ótima do que a expressão anterior. Na hora em que for realizada uma análise pontual completa em funções lineares, iremos, de fato, reunir todos os nossos números complexos e espaços planares bipolares. Ao substituir uma variável na expressão resultante, você resolverá a equação passo a passo e dará a resposta mais detalhada com alta precisão. Seria uma boa educação por parte do aluno verificar mais uma vez suas ações em matemática. A proporção na proporção das frações registrou a integridade do resultado em todas as áreas importantes de atuação do vetor zero. A trivialidade é confirmada ao final das ações concluídas. Com uma tarefa simples, os alunos podem não ter dificuldades se resolverem a equação online no menor tempo possível, mas não se esqueçam de todo tipo de regras. Um conjunto de subconjuntos se cruza em uma região de notação convergente. Em vários casos, o produto não é fatorado erroneamente. Você será ajudado a resolver a equação on-line em nossa primeira seção, dedicada aos fundamentos das técnicas matemáticas para seções importantes para estudantes de universidades e faculdades técnicas. Não teremos que esperar alguns dias pelas respostas, já que o processo de melhor interação da análise vetorial com a busca sequencial de soluções foi patenteado no início do século passado. Acontece que os esforços para estabelecer relações com a equipa envolvente não foram em vão; Várias gerações depois, cientistas de todo o mundo fizeram as pessoas acreditarem que a matemática é a rainha das ciências. Seja a resposta da esquerda ou da direita, mesmo assim, os termos exaustivos devem ser escritos em três linhas, pois no nosso caso estaremos definitivamente falando apenas de análise vetorial das propriedades da matriz. As equações não lineares e lineares, juntamente com as equações biquadráticas, ocuparam um lugar especial em nosso livro sobre os melhores métodos para calcular a trajetória do movimento no espaço de todos os pontos materiais de um sistema fechado. A análise linear nos ajudará a dar vida à ideia produto escalar três vetores consecutivos. No final de cada instrução, a tarefa é facilitada pela implementação de exceções numéricas otimizadas nas sobreposições de espaço numérico que estão sendo executadas. Um julgamento diferente não contrastará a resposta encontrada na forma arbitrária de um triângulo em um círculo. O ângulo entre dois vetores contém a porcentagem necessária de margem, e a resolução de equações on-line geralmente revela uma certa raiz comum da equação, em oposição às condições iniciais. A exceção desempenha o papel de catalisador em todo o processo inevitável de encontrar uma solução positiva no campo da definição de uma função. Se não for dito que você não pode usar um computador, então uma calculadora de equações online é ideal para seus problemas difíceis. Você só precisa inserir seus dados condicionais no formato correto e nosso servidor emitirá uma resposta completa no menor tempo possível. Uma função exponencial aumenta muito mais rápido que uma função linear. Os Talmuds da literatura de biblioteca inteligente testemunham isso. Realizará um cálculo no sentido geral, como faria uma determinada equação quadrática com três coeficientes complexos. A parábola na parte superior do semiplano caracteriza o movimento retilíneo paralelo ao longo dos eixos do ponto. Aqui vale ressaltar a diferença de potencial no espaço de trabalho do corpo. Em troca de um resultado abaixo do ideal, nossa calculadora de frações ocupa legitimamente a primeira posição na classificação matemática da revisão de programas funcionais no lado do servidor. A facilidade de utilização deste serviço será apreciada por milhões de utilizadores da Internet. Se você não sabe como usá-lo, teremos prazer em ajudá-lo. Gostaríamos também de observar e destacar especialmente a equação cúbica de uma série de problemas do ensino fundamental, quando é necessário encontrar rapidamente suas raízes e construir um gráfico da função em um plano. Graus mais elevados de reprodução são um dos problemas matemáticos complexos do instituto e um número suficiente de horas é alocado para seu estudo. Como todas as equações lineares, a nossa não é exceção de acordo com muitas regras objetivas; vista de diferentes pontos de vista, e acaba sendo simples e suficiente para definir as condições iniciais. O intervalo de aumento coincide com o intervalo de convexidade da função. Resolvendo equações on-line. O estudo da teoria é baseado em equações online de inúmeras seções sobre o estudo da disciplina principal. No caso desta abordagem em problemas incertos, é muito simples apresentar a solução das equações de uma forma pré-determinada e não apenas tirar conclusões, mas também prever o resultado de tal solução positiva. Um serviço nas melhores tradições da matemática nos ajudará a aprender a área disciplinar, tal como é habitual no Oriente. EM melhores momentos intervalo de tempo, tarefas semelhantes foram multiplicadas por um fator comum de dez. A abundância de multiplicações de múltiplas variáveis ​​na calculadora de equações começou a ser multiplicada por qualidade, em vez de variáveis ​​quantitativas, como massa ou peso corporal. Para evitar casos de desequilíbrio do sistema material, a derivação de um transformador tridimensional na convergência trivial de matrizes matemáticas não degeneradas é bastante óbvia para nós. Complete a tarefa e resolva a equação nas coordenadas fornecidas, pois a conclusão é desconhecida de antemão, assim como todas as variáveis ​​incluídas no tempo pós-espaço. Sobre curto prazo mova o fator comum além dos parênteses e divida ambos os lados pelo maior fator comum antecipadamente. Do subconjunto de números coberto resultante, extraia de maneira detalhada trinta e três pontos consecutivos em um curto período. Na medida em que da melhor maneira possível Resolver uma equação online é possível para todos os alunos. Olhando para o futuro, digamos uma coisa importante, mas fundamental, sem a qual será difícil viver no futuro. No século passado, o grande cientista notou uma série de padrões na teoria da matemática. Na prática, o resultado não foi exatamente a impressão esperada dos acontecimentos. Porém, em princípio, esta mesma solução de equações online ajuda a melhorar a compreensão e percepção de uma abordagem holística de estudo e consolidação prática da matéria teórica abordada pelos alunos. É muito mais fácil fazer isso durante o período de estudo.

=

Uma equação é uma igualdade que contém uma letra cujo valor deve ser encontrado.

Nas equações, a incógnita geralmente é representada por uma letra minúscula. As letras mais comumente usadas são “x” [ix] e “y” [y].

Raiz da equação- este é o valor da letra em que a igualdade numérica correta é obtida da equação.

Resolva a equação- significa encontrar todas as suas raízes ou certificar-se de que não existem raízes.

Resolvida a equação, sempre anotamos um cheque após a resposta.

Informações para pais

Queridos pais, chamamos a atenção para o fato de que escola primária e no 5º ano as crianças NÃO conhecem o tema “Números Negativos”.

Portanto, eles devem resolver equações utilizando apenas as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os métodos para resolver equações para a 5ª série são fornecidos abaixo.

Não tente explicar a solução de equações transferindo números e letras de uma parte da equação para outra com mudança de sinal.

Você pode aprimorar conceitos relacionados a adição, subtração, multiplicação e divisão na lição “Leis da Aritmética”.

Resolvendo equações de adição e subtração

Como encontrar o desconhecido
prazo

Como encontrar o desconhecido
minuendo

Como encontrar o desconhecido
subtraendo

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Exame

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Exame

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Exame

Resolvendo equações de multiplicação e divisão

Como encontrar um desconhecido
fator

Como encontrar o desconhecido
dividendo

Como encontrar um desconhecido
divisor

Para encontrar um fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Para encontrar um divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Exame

você: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Exame

8:s=4
y=8:4
y=2
Exame

Uma equação é uma igualdade contendo uma letra cujo sinal deve ser encontrado. A solução de uma equação é o conjunto de valores de letras que transforma a equação em uma verdadeira igualdade:

Lembre-se disso para resolver equação você precisa transferir os termos com o desconhecido para uma parte da igualdade, e os termos numéricos para a outra, trazer os semelhantes e obter a seguinte igualdade:

A partir da última igualdade determinamos a incógnita de acordo com a regra: “um dos fatores é igual ao quociente dividido pelo segundo fator”.

Como os números racionais a e b podem ter sinais iguais ou diferentes, o sinal da incógnita é determinado pelas regras de divisão dos números racionais.

Procedimento para resolver equações lineares

A equação linear deve ser simplificada abrindo os colchetes e realizando as operações do segundo passo (multiplicação e divisão).

Mova as incógnitas para um lado do sinal de igual e os números para o outro lado do sinal de igual, obtendo uma igualdade idêntica à dada,

Traga semelhantes à esquerda e à direita do sinal de igual, obtendo uma igualdade da forma machado = b.

Calcule a raiz da equação (encontre a incógnita X da igualdade x = b : a),

Verifique substituindo a incógnita na equação dada.

Se obtivermos uma identidade em uma igualdade numérica, então a equação será resolvida corretamente.

Casos especiais de resolução de equações

1. Se a equação dado um produto igual a 0, então para resolvê-lo usamos a propriedade da multiplicação: “o produto é igual a zero se um dos fatores ou ambos os fatores forem iguais a zero”.

27 (x - 3) = 0
27 não é igual a 0, o que significa x - 3 = 0

O segundo exemplo tem duas soluções para a equação, uma vez que
esta é uma equação de segundo grau:

Se os coeficientes da equação são frações ordinárias, primeiro você precisa se livrar dos denominadores. Por esta:

Encontre o denominador comum;

Determine fatores adicionais para cada termo da equação;

Multiplique os numeradores de frações e inteiros por fatores adicionais e escreva todos os termos da equação sem denominadores (o denominador comum pode ser descartado);

Mova os termos com incógnitas para um lado da equação, e os termos numéricos para o outro a partir do sinal de igual, obtendo uma igualdade equivalente;

Traga membros semelhantes;

Propriedades básicas das equações

Em qualquer parte da equação, você pode adicionar termos semelhantes ou abrir um parêntese.

Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra alterando seu sinal para o oposto.

Ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo número, exceto 0.

No exemplo acima, todas as suas propriedades foram utilizadas para resolver a equação.

Como resolver uma equação com uma incógnita em uma fração

Às vezes, as equações lineares assumem a forma quando desconhecido aparece no numerador de uma ou mais frações. Como na equação abaixo.

Nesses casos, tais equações podem ser resolvidas de duas maneiras.

Eu método de solução
Reduzindo uma equação a uma proporção

Ao resolver equações usando o método de proporção, você deve executar as seguintes etapas:

traga todas as frações para um denominador comum e some-as como frações algébricas (apenas uma fração deve permanecer nos lados esquerdo e direito);

Resolva a equação resultante usando a regra da proporção.

Então, vamos voltar à nossa equação. No lado esquerdo já temos apenas uma fração, portanto não são necessárias transformações nela.

Trabalharemos com o lado direito da equação. Vamos simplificar o lado direito da equação para que reste apenas uma fração. Para fazer isso, lembre-se das regras para somar um número com uma fração algébrica.

Agora usamos a regra da proporção e resolvemos a equação até o fim.

Método de solução II
Redução a uma equação linear sem frações

Vamos examinar a equação acima novamente e resolvê-la de uma maneira diferente.

Vemos que existem duas frações na equação "

Como resolver equações com frações. Solução exponencial de equações com frações.

Resolvendo equações com frações Vejamos exemplos. Os exemplos são simples e ilustrativos. Com a ajuda deles, você poderá entender da maneira mais compreensível.
Por exemplo, você precisa resolver a equação simples x/b + c = d.

Uma equação deste tipo é chamada linear, porque O denominador contém apenas números.

A solução é realizada multiplicando ambos os lados da equação por b, então a equação assume a forma x = b*(d – c), ou seja, o denominador da fração no lado esquerdo é cancelado.

Por exemplo, como resolver uma equação fracionária:
x/5+4=9
Multiplicamos ambos os lados por 5. Obtemos:
x+20=45

Outro exemplo quando a incógnita está no denominador:

Equações desse tipo são chamadas de racionais fracionárias ou simplesmente fracionárias.

Resolveríamos uma equação fracionária eliminando as frações, após o que essa equação, na maioria das vezes, se transforma em uma equação linear ou quadrática, que é resolvida da maneira usual. Você só precisa considerar os seguintes pontos:

• o valor de uma variável que transforma o denominador em 0 não pode ser uma raiz;
• Você não pode dividir ou multiplicar uma equação pela expressão =0.

É aqui que entra em vigor o conceito de região de valores permitidos (ADV) - estes são os valores das raízes da equação para os quais a equação faz sentido.

Assim, ao resolver a equação, é necessário encontrar as raízes e, em seguida, verificá-las quanto à conformidade com o ODZ. As raízes que não correspondem ao nosso ODZ são excluídas da resposta.

Por exemplo, você precisa resolver uma equação fracionária:

Com base na regra acima, x não pode ser = 0, ou seja, ODZ neste caso: x – qualquer valor diferente de zero.

Nos livramos do denominador multiplicando todos os termos da equação por x

E resolvemos a equação usual

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Vamos resolver uma equação mais complicada:

ODZ também está presente aqui: x -2.

Ao resolver esta equação, não vamos mover tudo para um lado e trazer as frações para um denominador comum. Multiplicaremos imediatamente ambos os lados da equação por uma expressão que anulará todos os denominadores de uma vez.

Para reduzir os denominadores, você precisa multiplicar o lado esquerdo por x+2 e o lado direito por 2. Isso significa que ambos os lados da equação devem ser multiplicados por 2(x+2):

Esta é a multiplicação de frações mais comum, que já discutimos acima.

Vamos escrever a mesma equação, mas de forma um pouco diferente

O lado esquerdo é reduzido em (x+2) e o direito em 2. Após a redução, obtemos a equação linear usual:

x = 4 – 2 = 2, que corresponde ao nosso ODZ

Resolvendo equações com frações não é tão difícil quanto pode parecer. Neste artigo mostramos isso com exemplos. Se você tiver alguma dificuldade com como resolver equações com frações e cancele a inscrição nos comentários.

Resolvendo equações com frações grau 5

Resolvendo equações com frações. Resolvendo problemas de frações.

Ver o conteúdo do documento
“Resolvendo equações com frações, nota 5”

— Adição de frações com os mesmos denominadores.

— Subtração de frações com os mesmos denominadores.

Adicionando frações com denominadores semelhantes.

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual.

Subtraindo frações com denominadores semelhantes.

Para subtrair frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador do minuendo do numerador do minuendo, mas deixar o denominador igual.

Ao resolver equações, é necessário utilizar as regras de resolução de equações, as propriedades de adição e subtração.

Resolvendo equações usando propriedades.

Resolvendo equações usando regras.

A expressão no lado esquerdo da equação é a soma.

termo + termo = soma.

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma.

minuendo – subtraendo = diferença

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

A expressão no lado esquerdo da equação é a diferença.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

USANDO REGRAS PARA RESOLVER EQUAÇÕES.

No lado esquerdo da equação, a expressão é a soma.