Prvá úroveň
Geometrická progresia. Komplexný sprievodca s príkladmi (2019)
Poradie čísel
Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Napríklad pre našu postupnosť:
Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva n-tý člen postupnosti.
Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade:
Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom type - geometrický postup.
Prečo je potrebná geometrická progresia a jej história?
Už v staroveku sa taliansky matematický mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci) zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na odváženie produktu? Fibonacci vo svojich prácach dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte o nej aspoň všeobecné pochopenie. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?
V súčasnosti sa v životnej praxi prejavuje geometrická progresia pri investovaní peňazí v banke, kedy sa výška úroku pripisuje k sume naakumulovanej na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak po roku sa vklad navýši o pôvodnú sumu, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v úlohách výpočtu tzv zložené úročenie- percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.
Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa uplatňuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil druhého človeka, ten zasa nakazil ďalšieho človeka, a teda druhou vlnou nákazy je človek a ten zasa nakazil ďalšieho... a tak ďalej... .
Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostiach geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.
Geometrická progresia.
Povedzme, že máme číselnú postupnosť:
Okamžite odpoviete, že je to jednoduché a názov takejto postupnosti je aritmetický postup s rozdielom v členoch. A čo toto:
Ak odčítate predchádzajúce od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť - každé nasledujúce číslo je krát väčšie ako predchádzajúce!
Tento typ číselnej postupnosti sa nazýva geometrický postup a je určený.
Geometrická postupnosť () je číselná postupnosť, ktorej prvý člen sa líši od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Predpokladajme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q sa rovná, hmm.. nech je to tak, potom to dopadne:
Súhlaste s tým, že toto už nie je progresia.
Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak existuje akékoľvek iné číslo ako nula, a. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné budú nuly.
Povedzme si teraz podrobnejšie o menovateľovi geometrickej postupnosti, teda o.
Zopakujme si: - toto je číslo koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení? geometrický postup.
Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).
Predpokladajme, že ten náš je pozitívny. Nech v našom prípade a. Akú hodnotu má druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:
To je správne. Preto, ak, potom všetky nasledujúce podmienky progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne.
Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Akú hodnotu má druhý termín a?
Toto je úplne iný príbeh
Skúste spočítať podmienky tohto postupu. Koľko ste dostali? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi pre jej členov, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.
Teraz si poďme trochu precvičiť: skúste určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickou postupnosťou a ktoré aritmetickou postupnosťou:
Mám to? Porovnajme naše odpovede:
- Geometrická postupnosť - 3, 6.
- Aritmetický postup - 2, 4.
- Nie je to ani aritmetika, ani geometrická postupnosť – 1, 5, 7.
Vráťme sa k nášmu poslednému postupu a skúsme nájsť jeho člena, rovnako ako v aritmetickom. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.
Každý výraz postupne násobíme o.
Čiže tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.
Ako ste už uhádli, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej progresie. Alebo ste ho už vyvinuli pre seba a opísali ste, ako krok za krokom nájsť tého člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.
Ilustrujme to na príklade hľadania druhého členu tejto postupnosti:
Inými slovami:
Sami nájdite hodnotu člena danej geometrickej postupnosti.
Stalo? Porovnajme naše odpovede:
Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa „depersonalizovať“ tento vzorec - dajme to vo všeobecnej forme a získajme:
Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.
Počítal si? Porovnajme výsledky:
Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť termín progresie rovnakým spôsobom ako termín, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti, čo môže byť jednoduchšie ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.
Nekonečne klesajúca geometrická progresia.
Nedávno sme hovorili o tom, že môže byť väčšia alebo menšia ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.
Prečo si myslíte, že je daný tento názov?
Najprv si napíšme nejaký geometrický postup pozostávajúci z pojmov.
Povedzme teda:
Vidíme, že každý nasledujúci člen je o faktor menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete - "nie". Preto nekonečne klesá - klesá a klesá, ale nikdy sa nestane nulou.
Aby sme jasne pochopili, ako to vyzerá vizuálne, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
Na grafoch, na ktoré sme zvyknutí vykresľovať závislosť, teda:
Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty člena geometrickej postupnosti od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu člena geometrickej postupnosti ako , a poradové číslo označil nie ako, ale ako. Zostáva už len zostaviť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som vymyslel:
Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:
Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel od nášho predchádzajúceho grafu?
Zvládli ste to? Tu je graf, ktorý som vymyslel:
Teraz, keď ste úplne porozumeli základom témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.
Vlastnosť geometrickej progresie.
Pamätáte si na majetok členov aritmetická progresia? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty podmienok tejto progresie. Pamätáš si? toto:
Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché a ak zabudnete, môžete to dostať von sami.
Zoberme si ďalšiu jednoduchú geometrickú postupnosť, v ktorej poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale čo tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí zapísať každú hodnotu, ktorá nám bola pridelená, podľa vzorca.
Môžete sa opýtať, čo by sme s tým teraz mali robiť? Áno, veľmi jednoduché. Najprv si tieto vzorce znázornime na obrázku a skúsme s nimi rôzne manipulovať, aby sme dospeli k hodnote.
Abstrahujme od čísel, ktoré sú nám dané, sústreďme sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť hodnotu zvýraznenú oranžovou farbou a poznať pojmy, ktoré s ňou susedia. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.
Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:
Z tohto výrazu, ako vidíte, ho nevieme nijako vyjadriť, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.
Odčítanie.
Ako vidíte, ani to nevieme vyjadriť, preto skúsme tieto výrazy navzájom znásobiť.
Násobenie.
Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:
Hádajte, o čom hovorím? To je pravda, aby sme zistili, že musíme vziať Odmocnina z čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným vynásobeným navzájom:
Nech sa páči. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec všeobecný pohľad. Stalo?
Zabudli ste na podmienku? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:
Preto nezabudnite na toto obmedzenie.
Teraz vypočítajme, čo sa rovná
Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na druhú možnú hodnotu, tak ste skvelí a môžete hneď prejsť k tréningu a ak ste zabudli, prečítajte si o čom je reč nižšie a venujte pozornosť tomu, prečo je potrebné zapisovať si oba odmocniny v odpovedi.
Nakreslite obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujeme, či obe majú právo na existenciu:
Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická postupnosť existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či sú všetky jej dané členy rovnaké? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.
Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko hľadaného výrazu závisí od toho, či je pozitívne alebo negatívne! A keďže nevieme, čo to je, musíme obidve odpovede napísať s plusom a mínusom.
Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a
Porovnajte svoje odpovede so správnymi:
Čo si myslíte, čo keby sme dostali nie hodnoty členov geometrickej progresie susediace s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho pozostáva každá hodnota, ako ste to urobili, keď ste pôvodne odvodili vzorec, at.
Čo si dostal?
Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:
Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými podmienkami geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.
Náš počiatočný vzorec má teda tvar:
To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz povieme, že sa to môže rovnať akémukoľvek prirodzenému číslu, ktoré je menšie. Hlavná vec je, že je rovnaká pre obe uvedené čísla.
Cvičte na konkrétnych príkladoch, len buďte maximálne opatrní!
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
Rozhodnuté? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.
Porovnajme výsledky.
V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:
V treťom prípade, keď pozorne preskúmame poradové čísla čísel, ktoré nám boli pridelené, pochopíme, že nie sú v rovnakej vzdialenosti od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale je odstránené na pozícii, takže je nie je možné použiť vzorec.
Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Zapíšme si, z čoho pozostáva každé číslo, ktoré nám bolo pridelené, a číslo, ktoré hľadáme.
Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť? Navrhujem deliť podľa. Dostaneme:
Naše údaje dosadíme do vzorca:
Ďalším krokom, ktorý môžeme nájsť, je - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.
Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme to, ale musíme to nájsť, a to sa zase rovná:
Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Dosaďte do vzorca:
Naša odpoveď: .
Skúste sami vyriešiť iný podobný problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:
Koľko ste dostali? Mám - .
Ako vidíte, v podstate potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- . Všetko ostatné si môžete kedykoľvek bez problémov stiahnuť sami. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa každé z jej čísel rovná, podľa vzorca opísaného vyššie.
Súčet členov geometrickej postupnosti.
Teraz sa pozrime na vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:
Ak chcete odvodiť vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobte všetky časti vyššie uvedenej rovnice číslom. Dostaneme:
Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Presne tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. od 2. rovnice. Čo si dostal?
Teraz vyjadrite výraz geometrickej postupnosti cez vzorec a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:
Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:
Zostáva len vyjadriť:
Podľa toho v tomto prípade.
Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Séria identických čísel je správna, takže vzorec bude vyzerať takto:
Existuje veľa legiend o aritmetickom aj geometrickom postupe. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvorcovi šachu.
Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď sa s ňou hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou možných pozícií v nej. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal si vynálezcu k sebe a prikázal mu, aby si od neho vypýtal všetko, čo chce, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.
Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal, aby dal pšeničné zrno za prvé pole šachovnice, pšeničné zrno za druhé, pšeničné zrno za tretie, štvrté atď.
Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky políčka dosky.
A teraz otázka: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?
Začnime uvažovať. Keďže podľa podmienky si Seth vypýtal zrnko pšenice za prvé políčko šachovnice, za druhé, za tretie, za štvrté atď., tak vidíme, že v probléme hovoríme o o geometrickom postupe. Čomu sa to rovná v tomto prípade?
Správny.
Celkový počet polí na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, zostáva ich už len zapojiť do vzorca a vypočítať.
Aby sme si aspoň približne predstavili „mierku“ daného čísla, transformujeme pomocou vlastností stupňa:
Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, s akým číslom skončíte, a ak nie, musíte mi dať za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
To je:
kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.
Fíha) Ak si chcete predstaviť obrovské množstvo tohto čísla, potom odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Ak je stodola m vysoká a m široká, jej dĺžka by musela siahať na km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.
Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol pozvať samotného vedca, aby počítal zrnká, pretože na spočítanie milióna zrniek by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrniečka sa bude musieť počítať počas celého jeho života.
Teraz vyriešme jednoduchý problém zahŕňajúci súčet členov geometrickej progresie.
Študent triedy 5A Vasya ochorel na chrípku, ale naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. V triede sú len ľudia. Za koľko dní bude celá trieda chorá na chrípku?
Prvým pojmom geometrickej progresie je teda Vasya, teda osoba. Termínom geometrickej progresie sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet postupových termínov sa rovná počtu študentov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:
Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:
Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste sami vykresliť „infekciu“ študentov. Stalo? Pozrite sa, ako to vyzerá u mňa:
Spočítajte si sami, koľko dní by trvalo, kým by žiaci ochoreli na chrípku, ak by každý nakazil jedného človeka a v triede by bol iba jeden človek.
Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť chorí po dni.
Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomínajú pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak by teda bola osoba zapojená do finančnej pyramídy, v ktorej boli dané peniaze, ak by ste priviedli dvoch ďalších účastníkov, potom by táto osoba (alebo vo všeobecnosti) nikoho nepriviedla, a preto by stratila všetko, čo investovala do tohto finančného podvodu.
Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny typ - nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.
Najprv sa teda pozrime znova na tento výkres nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:
Teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo
O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. To znamená, že sa bude takmer rovnať, respektíve pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože bude rovnaká.
- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.
Ak je zadané konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.
Teraz poďme cvičiť.
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti s a.
- Nájdite súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s a.
Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajme naše odpovede:
Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšími problémami geometrickej progresie, s ktorými sa pri skúške stretávame, sú problémy s výpočtom zloženého úroku. To sú tie, o ktorých budeme hovoriť.
Problémy s výpočtom zloženého úroku.
Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Rozumiete, čo to znamená? Ak nie, poďme na to, pretože akonáhle pochopíte samotný proces, okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.
Všetci ideme do banky a vieme, že existujú rozdielne podmienky na vklady: to je termín, a doplnková služba, a úrok s dvoma rôzne cesty jeho výpočty - jednoduché a zložité.
S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa pripisuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak povieme, že vložíme 100 rubľov na rok, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.
Zložené úročenie- toto je možnosť, pri ktorej sa vyskytuje kapitalizácia úrokov, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z naakumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou frekvenciou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.
Predpokladajme, že ukladáme rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. Čo robíme?
Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to prísť krok za krokom.
Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:
Súhlasíte?
Môžeme to vyňať zo zátvoriek a potom dostaneme:
Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, čo sme napísali na začiatku. Zostáva len zistiť percentá
Vo vyhlásení o probléme sú uvedené ročné sadzby. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné zlomky, to znamená:
Správny? Teraz sa môžete opýtať, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: problémové vyhlásenie hovorí o VÝROČNÝúrok, ktorý narastá MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:
Uvedomil si to? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Zvládli ste to? Porovnajme výsledky:
Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte, koľko sa pripíše na náš účet v druhom mesiaci, berúc do úvahy, že z akumulovanej sumy vkladu sa hromadí úrok.
Tu je to, čo som dostal:
Alebo inak povedané:
Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický pokrok. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo inak povedané, akú sumu peňazí dostaneme na konci mesiaca.
urobil? Skontrolujme to!
Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchou úrokovou sadzbou, dostanete ruble, a ak so zloženou úrokovou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:
Pozrime sa na iný typ problému týkajúceho sa zloženého úročenia. Po tom, čo ste prišli na to, to bude pre vás elementárne. Takže úloha:
Spoločnosť Zvezda začala do odvetvia investovať v roku 2000 s kapitálom v dolároch. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk bude mať spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?
Kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2003.
Alebo stručne napíšeme:
Pre náš prípad:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respektíve:
rubľov
Upozorňujeme, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa ani podľa, keďže percentá sa uvádzajú ROČNE a počítajú sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému o zloženom úroku si dávajte pozor na to, aké percento je uvedené a v akom období sa počíta, a až potom prejdite na výpočty.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.
Školenie.
- Nájdite člen geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Spoločnosť MDM Capital začala investovať do tohto odvetvia v roku 2003 s kapitálom v dolároch. Od roku 2004 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Spoločnosť MSK Cash Flows začala investovať do odvetvia v roku 2005 vo výške 10 000 USD, pričom v roku 2006 začala dosahovať zisk vo výške . O koľko dolárov je kapitál jednej spoločnosti väčší ako druhej na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?
Odpovede:
- Keďže problémový výrok nehovorí, že postupnosť je nekonečná a musíte nájsť súčet konkrétne číslo jeho členov, potom sa výpočet vykoná podľa vzorca:
Spoločnosť MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Spoločnosť MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda o časy.
Respektíve:
rubľov
rubľov
Poďme si to zhrnúť.
1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
2) Rovnica členov geometrickej postupnosti je .
3) môže nadobúdať akékoľvek hodnoty okrem a.
- ak, potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne;
- ak, potom všetky nasledujúce podmienky postupu alternatívne znaky;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
4) , s - vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)
alebo
, v (ekvidistantné výrazy)
Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede.
Napríklad,
5) Súčet členov geometrickej progresie sa vypočíta podľa vzorca:
alebo
Ak sa progresia nekonečne znižuje, potom:
alebo
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečného počtu členov.
6) Problémy so zloženým úrokom sa počítajú aj pomocou vzorca pre t. člen geometrickej progresie za predpokladu, že finančné prostriedky neboli stiahnuté z obehu:
GEOMETRICKÁ PROGRESIA. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH
Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej postupnosti.
Menovateľ geometrickej progresie môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
- Ak potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - sú pozitívne;
- ak, potom sa všetky nasledujúce členy progresie striedajú so znakmi;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
Rovnica členov geometrickej postupnosti - .
Súčet členov geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca:
alebo
Geometrická progresia nemenej dôležité v matematike v porovnaní s aritmetikou. Geometrická postupnosť je postupnosť čísel b1, b2,..., b[n], ktorej každý ďalší člen sa získa vynásobením predchádzajúceho konštantným číslom. Toto číslo, ktoré zároveň charakterizuje rýchlosť rastu alebo poklesu progresie, sa nazýva menovateľ geometrickej progresie a označujú
Na úplné špecifikovanie geometrickej progresie je okrem menovateľa potrebné poznať alebo určiť jej prvý člen. Pre kladnú hodnotu menovateľa je postupnosť monotónna postupnosť, a to ak je táto postupnosť čísel monotónne klesajúca a ak je monotónne rastúca. Prípad, keď sa menovateľ rovná jednej, sa v praxi neuvažuje, pretože máme postupnosť rovnakých čísel a ich súčet nie je praktický
Všeobecný pojem geometrickej progresie vypočítané podľa vzorca
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti určený vzorcom
Pozrime sa na riešenia klasických úloh geometrickej postupnosti. Začnime tými najjednoduchšími na pochopenie.
Príklad 1. Prvý člen geometrickej postupnosti je 27 a jej menovateľ je 1/3. Nájdite prvých šesť členov geometrickej postupnosti.
Riešenie: Do formulára napíšme problémový stav
Na výpočty používame vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti
Na základe toho nájdeme neznáme termíny progresie
Ako vidíte, výpočet podmienok geometrickej progresie nie je zložitý. Samotný postup bude vyzerať takto
Príklad 2. Sú uvedené prvé tri členy geometrickej postupnosti: 6; -12; 24. Nájdite menovateľa a jeho siedmy člen.
Riešenie: Menovateľa geomitrickej progresie vypočítame na základe jeho definície
Získali sme striedavú geometrickú postupnosť, ktorej menovateľ sa rovná -2. Siedmy člen sa vypočíta pomocou vzorca
Tým je problém vyriešený.
Príklad 3. Geometrická postupnosť je daná dvoma jej členmi 
. Nájdite desiaty termín postupu.
Riešenie:
Poďme si to zapísať nastavené hodnoty prostredníctvom vzorcov
Podľa pravidiel by sme potrebovali nájsť menovateľa a potom hľadať požadovanú hodnotu, ale pre desiaty člen máme
Rovnaký vzorec možno získať na základe jednoduchých manipulácií so vstupnými údajmi. Rozdeľte šiesty termín série druhým a ako výsledok dostaneme
Ak sa výsledná hodnota vynásobí šiestym členom, dostaneme desiaty
Pri takýchto úlohách teda pomocou jednoduchých transformácií na rýchly spôsob môžete nájsť správne riešenie.
Príklad 4. Geometrická postupnosť je daná opakujúcimi sa vzorcami
Nájdite menovateľa geometrickej postupnosti a súčet prvých šiestich členov.
Riešenie:
Dané údaje zapíšme vo forme sústavy rovníc
Vyjadrite menovateľ tak, že druhú rovnicu vydelíte prvou
Nájdite prvý člen postupu z prvej rovnice
Vypočítajme nasledujúcich päť členov, aby sme našli súčet geometrickej postupnosti
Lekcia a prezentácia na tému: "Číselné postupnosti. Geometrická postupnosť"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Mocniny a odmocniny Funkcie a grafy
Chlapci, dnes sa zoznámime s iným typom progresie.
Témou dnešnej hodiny je geometrický postup.
Geometrická progresia
Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná súčinu predchádzajúceho a nejakého pevného čísla, sa nazýva geometrická postupnosť.Definujme našu postupnosť rekurzívne: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kde b a q sú určité dané čísla. Číslo q sa nazýva menovateľ progresie.
Príklad. 1,2,4,8,16... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná jednej a $q=2$.
Príklad. 8,8,8,8... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná ôsmim,
a $q=1$.
Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná trom,
a $q=-1$.
Geometrická progresia má vlastnosti monotónnosti.
Ak $b_(1)>0$, $q>1$,
potom sa postupnosť zvyšuje.
Ak $b_(1)>0$, $0 Postupnosť sa zvyčajne označuje v tvare: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Rovnako ako v aritmetickej postupnosti, ak v geometrickej postupnosti je počet prvkov konečný, potom sa postupnosť nazýva konečná geometrická postupnosť.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimnite si, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov členov je tiež geometrickou postupnosťou. V druhej sekvencii sa prvý člen rovná $b_(1)^2$ a menovateľ sa rovná $q^2$.
Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti
Geometrická postupnosť môže byť špecifikovaná aj v analytickej forme. Pozrime sa, ako to urobiť:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ľahko si všimneme vzor: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Náš vzorec sa nazýva „vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti“.
Vráťme sa k našim príkladom.
Príklad. 1,2,4,8,16... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná jednej,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Príklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná šestnástim a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Príklad. 8,8,8,8... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná ôsmim a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná trom a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Príklad. Daná geometrická postupnosť $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známe, že $b_(1)=6, q=3$. Nájdite $b_(5)$.
b) Je známe, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Nájsť n.
c) Je známe, že $q=-2, b_(6)=96$. Nájdite $b_(1)$.
d) Je známe, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nájdite q.
Riešenie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, pretože $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Príklad. Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 192, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je 192. Nájdite desiaty člen tejto postupnosti.
Riešenie.
Vieme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiež vieme: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
potom:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali sme systém rovníc:
$\začiatok(prípady)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\koniec (prípady)$.
Porovnaním našich rovníc dostaneme:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dostali sme dve riešenia q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žiadne riešenia.
Máme toto: $b_(1)=4, q=2$.
Nájdeme desiaty člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Súčet konečnej geometrickej postupnosti
Majme konečnú geometrickú postupnosť. Vypočítajme, rovnako ako pri aritmetickej progresii, súčet jej členov.Nech je daná konečná geometrická postupnosť: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uveďme označenie pre súčet jeho členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V prípade, keď $q=1$. Všetky členy geometrickej postupnosti sa rovnajú prvému členu, potom je zrejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Uvažujme teraz o prípade $q≠1$.
Vynásobme vyššie uvedené množstvo q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Získali sme vzorec pre súčet konečnej geometrickej postupnosti.
Príklad.
Nájdite súčet prvých siedmich členov geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 4 a menovateľ je 3.
Riešenie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Príklad.
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti, ktorý je známy: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Riešenie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1 024 $.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 USD q=1 364 USD.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Charakteristická vlastnosť geometrickej progresie
Chlapci, je daný geometrický postup. Pozrime sa na jeho tri po sebe idúce členy: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.My to vieme:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
potom:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ak je postupnosť konečná, potom táto rovnosť platí pre všetky členy okrem prvého a posledného.
Ak nie je vopred známe, aký tvar má postupnosť, ale je známe, že: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Potom môžeme s istotou povedať, že ide o geometrickú progresiu.
Číselná postupnosť je geometrická postupnosť iba vtedy, keď sa druhá mocnina každého člena rovná súčinu dvoch susedných členov postupnosti. Nezabudnite, že pre konečný postup nie je táto podmienka splnená pre prvý a posledný termín.
Pozrime sa na túto identitu: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ sa nazýva geometrický priemer čísel a a b.
Modul ktoréhokoľvek člena geometrickej progresie sa rovná geometrickému priemeru jeho dvoch susedných členov.
Príklad.
Nájdite x také, že $x+2; 2x+2; 3x+3$ boli tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.
Riešenie.
Využime charakteristickú vlastnosť:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupne nahraďme naše riešenia do pôvodného výrazu:
S $x=2$ sme dostali postupnosť: 4;6;9 – geometrická progresia s $q=1,5$.
Pre $x=-1$ dostaneme postupnosť: 1;0;0.
Odpoveď: $x=2.$
Problémy riešiť samostatne
1. Nájdite ôsmy prvý člen geometrickej postupnosti 16;-8;4;-2….2. Nájdite desiaty člen geometrickej postupnosti 11,22,44….
3. Je známe, že $b_(1)=5, q=3$. Nájdite $b_(7)$.
4. Je známe, že $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Nájsť n.
5. Nájdite súčet prvých 11 členov geometrickej postupnosti 3;12;48….
6. Nájdite x také, že $3x+4; 2x+4; x+5$ sú tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.
Matematika je čoľudia ovládajú prírodu a seba.
Sovietsky matematik, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrická progresia.
Spolu s problémami o aritmetických postupnostiach sú na prijímacích skúškach z matematiky bežné aj problémy súvisiace s pojmom geometrická postupnosť. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov potrebujete poznať vlastnosti geometrických postupností a mať dobré zručnosti pri ich používaní.
Tento článok je venovaný prezentácii základných vlastností geometrickej progresie. Tu sú uvedené aj príklady riešenia typických problémov., požičal z úloh prijímacích skúšok z matematiky.
Najprv si všimnime základné vlastnosti geometrickej postupnosti a pripomeňme si najdôležitejšie vzorce a tvrdenia, spojené s týmto konceptom.
Definícia.Číselná postupnosť sa nazýva geometrická postupnosť, ak sa každé číslo, začínajúce od druhého, rovná predchádzajúcemu, vynásobené rovnakým číslom. Číslo sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti.
Pre geometrický postupvzorce sú platné
, (1)
Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného členu geometrickej postupnosti a vzorec (2) predstavuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s geometrickým priemerom susedných členov a .
Poznámka, že práve kvôli tejto vlastnosti sa spomínaná progresia nazýva „geometrická“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto:
, (3)
Na výpočet sumy najprv členov geometrickej progresieplatí vzorec
Ak označíme , tak
Kde . Pretože vzorec (6) je zovšeobecnením vzorca (5).
V prípade, keď a geometrický postupnekonečne klesá. Na výpočet sumyzo všetkých členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa používa vzorec
. (7)
Napríklad , pomocou vzorca (7) môžeme ukázať, Čo
Kde . Tieto rovnosti sa získajú zo vzorca (7) za podmienky, že , (prvá rovnosť) a , (druhá rovnosť).
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta bola dokázaná.
Poďme ďalej zvážiť príklady riešenia problémov na tému „Geometrický postup“.
Príklad 1 Vzhľadom na to: , a . Nájsť .
Riešenie. Ak použijeme vzorec (5), potom
Odpoveď: .
Príklad 2 Nechaj to tak. Nájsť .
Riešenie. Od a používame vzorce (5), (6) a získame sústavu rovníc
Ak je druhá rovnica sústavy (9) delená prvou, potom alebo . Z toho vyplýva, že . Zoberme si dva prípady.
1. Ak, potom z prvej rovnice sústavy (9) máme.
2. Ak , potom .
Príklad 3 Nechajte , a . Nájsť .
Riešenie. Zo vzorca (2) vyplýva, že alebo . Od , potom alebo .
Podľa podmienok. Avšak, preto. Od a potom tu máme systém rovníc
Ak je druhá rovnica systému delená prvou, potom alebo .
Pretože rovnica má jedinečný vhodný koreň. V tomto prípade to vyplýva z prvej rovnice sústavy.
Ak vezmeme do úvahy vzorec (7), dostaneme.
Odpoveď: .
Príklad 4. Vzhľadom na to: a . Nájsť .
Riešenie. Odvtedy.
Od , potom resp
Podľa vzorca (2) máme . V tomto ohľade z rovnosti (10) získame alebo .
Avšak podľa podmienok teda.
Príklad 5. Je známe, že . Nájsť .
Riešenie. Podľa vety máme dve rovnosti
Od , potom alebo . Pretože teda.
Odpoveď: .
Príklad 6. Vzhľadom na to: a . Nájsť .
Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme
Odvtedy. Od , a , potom .
Príklad 7. Nechaj to tak. Nájsť .
Riešenie. Podľa vzorca (1) môžeme písať
Preto máme alebo . Je známe, že a preto a .
Odpoveď: .
Príklad 8. Nájdite menovateľa nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, ak
A .
Riešenie. Zo vzorca (7) to vyplýva A . Odtiaľ a z podmienok úlohy získame sústavu rovníc
Ak je prvá rovnica sústavy druhá mocnina, a potom výslednú rovnicu vydeľte druhou rovnicou, potom dostaneme
Alebo .
Odpoveď: .
Príklad 9. Nájdite všetky hodnoty, pre ktoré je postupnosť , , geometrickou progresiou.
Riešenie. Nechajte , a . Podľa vzorca (2), ktorý definuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti, môžeme písať alebo .
Odtiaľ dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorých korene sú A .
Skontrolujeme: ak, potom , a ; ak , potom , a .
V prvom prípade máme a , a v druhom – a .
Odpoveď: ,.
Príklad 10.Vyriešte rovnicu
, (11)
kde a .
Riešenie. Ľavá strana rovnice (11) je súčtom nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, v ktorej a , s výhradou: a .
Zo vzorca (7) to vyplýva, Čo . V tomto ohľade má rovnica (11) tvar alebo . Vhodný koreň kvadratická rovnica je
Odpoveď: .
Príklad 11. P postupnosť kladných číseltvorí aritmetický postup, A - geometrický postup, čo to má spoločné s . Nájsť .
Riešenie. Pretože aritmetická postupnosť, To (hlavná vlastnosť aritmetickej progresie). Pretože, potom alebo . To znamená, že geometrická postupnosť má tvar. Podľa vzorca (2), potom to zapíšeme .
Odvtedy a potom . V tomto prípade výraz má podobu alebo . Podľa podmienok, takže z rov.získame jedinečné riešenie uvažovaného problému, t.j. .
Odpoveď: .
Príklad 12. Vypočítajte súčet
. (12)
Riešenie. Vynásobte obe strany rovnosti (12) 5 a získajte
Ak od výsledného výrazu odčítame (12)., To
alebo .
Na výpočet nahradíme hodnoty do vzorca (7) a získame . Odvtedy.
Odpoveď: .
Tu uvedené príklady riešenia problémov budú užitočné pre uchádzačov pri príprave na prijímacie skúšky. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov, súvisí s geometrickou progresiou, môže byť použité učebné pomôcky zo zoznamu odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na vysoké školy / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir a vzdelávanie, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školské osnovy. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Stále máte otázky?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Inštrukcie
10, 30, 90, 270...
Musíte nájsť menovateľa geometrickej progresie.
Riešenie:
Možnosť 1. Zoberme si ľubovoľný člen postupu (napríklad 90) a vydeľme ho predchádzajúcim (30): 90/30=3.
Ak je známy súčet niekoľkých členov geometrickej progresie alebo súčet všetkých členov klesajúcej geometrickej progresie, potom na nájdenie menovateľa progresie použite príslušné vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je súčet prvých n členov geometrickej postupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti (súčet všetkých členov postupnosti s menovateľom menším ako jedna).
Príklad.
Prvý člen klesajúcej geometrickej postupnosti sa rovná jednej a súčet všetkých jej členov sa rovná dvom.
Je potrebné určiť menovateľa tohto postupu.
Riešenie:
Doplňte údaje z úlohy do vzorca. Ukáže sa:
2=1/(1-q), odkiaľ – q=1/2.
Postupnosť je postupnosť čísel. V geometrickej postupnosti sa každý nasledujúci člen získa vynásobením predchádzajúceho určitým číslom q, ktoré sa nazýva menovateľ postupnosti.
Inštrukcie
Ak sú známe dva susediace geometrické členy b(n+1) a b(n), na získanie menovateľa je potrebné vydeliť číslo väčším číslom predchádzajúcim: q=b(n+1)/b (n). Vyplýva to z definície progresie a jej menovateľa. Dôležitou podmienkou je, že prvý člen a menovateľ progresie sa nerovnajú nule, inak sa považuje za nedefinovaný.
Medzi členmi progresie sú teda vytvorené nasledujúce vzťahy: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Pomocou vzorca b(n)=b1 q^(n-1) možno vypočítať ľubovoľný člen geometrickej postupnosti, v ktorom je známy menovateľ q a člen b1. Tiež každá z progresií sa modulom rovná priemeru svojich susedných členov: |b(n)|=√, čo je miesto, kde má progresia svoje .
Analógom geometrickej postupnosti je najjednoduchšia exponenciálna funkcia y=a^x, kde x je exponent, a je určité číslo. V tomto prípade sa menovateľ progresie zhoduje s prvým členom a rovná sa číslu a. Hodnotu funkcie y možno chápať ako n-tý termín postupnosť, ak sa argument x považuje za prirodzené číslo n (počítadlo).
Existuje pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Tento vzorec platí pre q≠1. Ak q=1, tak súčet prvých n členov sa vypočíta podľa vzorca S(n)=n b1. Mimochodom, progresia sa bude nazývať rastúca, keď q je väčšie ako jedna a b1 je kladné. Ak menovateľ progresie nepresiahne jednu v absolútnej hodnote, progresia sa bude nazývať klesajúca.
Špeciálnym prípadom geometrickej progresie je nekonečne klesajúca geometrická progresia (nekonečne klesajúca geometrická progresia). Faktom je, že členy klesajúcej geometrickej progresie sa budú znova a znova znižovať, ale nikdy nedosiahnu nulu. Napriek tomu je možné nájsť súčet všetkých termínov takejto progresie. Určuje sa podľa vzorca S=b1/(1-q). Celkom n členov je nekonečných.
Ak si chcete predstaviť, ako môžete pridať nekonečný počet čísel bez toho, aby ste získali nekonečno, upečte koláč. Polovicu z nej odrežte. Potom odrežte 1/2 polovice a tak ďalej. Kúsky, ktoré získate, nie sú ničím iným ako členmi nekonečne klesajúceho geometrického postupu s menovateľom 1/2. Ak spočítate všetky tieto kúsky, dostanete originálnu tortu.
Problémy s geometriou sú špeciálnym typom cvičenia, ktoré si vyžaduje priestorové myslenie. Ak neviete vyriešiť geometrické úloha, skúste postupovať podľa nižšie uvedených pravidiel.
Inštrukcie
Veľmi pozorne si prečítajte podmienky úlohy, ak si niečo nepamätáte alebo nerozumiete, prečítajte si to znova.
Skúste určiť, o aký typ geometrických úloh ide, napr.: výpočtové, keď potrebujete zistiť nejakú veličinu, úlohy zahŕňajúce , vyžadujúce logický reťazec uvažovania, úlohy týkajúce sa konštrukcie pomocou kružidla a pravítka. Viac úloh zmiešaného typu. Keď zistíte typ problému, skúste uvažovať logicky.
Použite potrebnú vetu pre danú úlohu, ale ak máte pochybnosti alebo nemáte žiadne možnosti, skúste si spomenúť na teóriu, ktorú ste študovali na príslušnú tému.
Zapíšte si aj riešenie problému do formulára návrhu. Skúste použiť známe metódy na kontrolu správnosti vášho riešenia.
Vyplňte riešenie úlohy pozorne do svojho zošita, bez vymazania alebo prečiarknutia, a čo je najdôležitejšie - Riešenie prvých geometrických úloh si môže vyžadovať čas a úsilie. Akonáhle si však osvojíte tento proces, začnete cvakať úlohy ako oriešky a budete si to užívať!
Geometrická postupnosť je postupnosť čísel b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) taká, že b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Inými slovami, každý člen progresie sa získa z predchádzajúceho tak, že ho vynásobíme nejakým nenulovým menovateľom progresie q.
Inštrukcie
Postupové problémy sa najčastejšie riešia zostavením a následným sledovaním systému vzhľadom na prvý člen progresie b1 a menovateľa progresie q. Na vytváranie rovníc je užitočné zapamätať si niektoré vzorce.
Ako vyjadriť n-tý člen postupnosti cez prvý člen postupnosti a menovateľa postupnosti: b(n)=b1*q^(n-1).
Uvažujme oddelene prípad |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
