1 0 Gradient je usmerjen normalno na ravno površino (ali na ravnino, če je polje ravno).
2 0 Gradient je usmerjen v povečanje poljske funkcije.
3 0 Modul gradienta je enak največjemu odvodu v smeri na dani točki v polju:
Te lastnosti zagotavljajo nespremenljivo karakteristiko gradienta. Pravijo, da vektor gradU označuje smer in velikost največje spremembe skalarnega polja v dani točki.
Opomba 2.1.Če je funkcija U(x,y) funkcija dveh spremenljivk, potem je vektor
leži v oksi ravnini.
Naj sta U=U(x,y,z) in V=V(x,y,z) diferenciabilni funkciji v točki М 0 (x,y,z). Potem veljajo naslednje enakosti:
a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;
e) gradU( = gradU, kjer ima , U=U() odvod glede na .
Primer 2.1. Podana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Določite gradient funkcije v točki M(-2;3;4).
rešitev. Po formuli (2.2) imamo
Niveletske ploskve tega skalarnega polja so družina krogel x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor ravnin.
Primer 2.2. Poiščite gradient skalarnega polja U=x-2y+3z.
rešitev. Po formuli (2.2) imamo
Ravne ploskve danega skalarnega polja so ravnine
x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnin te družine.
Primer 2.3. Poiščite največjo strmino vzpona površja U=x y v točki M(2;2;4).
rešitev. Imamo:
Primer 2.4. Poiščite enotski normalni vektor na nivojsko ploskev skalarnega polja U=x 2 +y 2 +z 2 .
rešitev. Ravne ploskve dane skalarne poljske krogle x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Gradient je usmerjen normalno na ravno površino, torej
Definira normalni vektor na ravnino v točki M(x,y,z). Za enotski normalni vektor dobimo izraz
Primer 2.5. Poiščite gradient polja U=, kjer sta in konstantna vektorja, r je radij vektor točke.
rešitev. Pustiti
Potem: . Po pravilu diferenciacije determinante dobimo
torej
Primer 2.6. Poiščite gradient razdalje, kjer je P(x,y,z) točka polja, ki se proučuje, P 0 (x 0,y 0,z 0) je neka fiksna točka.
rešitev. Imamo enotski smerni vektor.
Primer 2.7. Poiščite kot med gradientoma funkcij v točki M 0 (1,1).
rešitev. Gradiente teh funkcij najdemo v točki M 0 (1,1), imamo
; Kot med gradU in gradV v točki M 0 določimo iz enačbe
Zato =0.
Primer 2.8. Poiščite smerni odvod, polmer vektorja je enak
rešitev. Poiščite gradient te funkcije:
Če nadomestimo (2.5) v (2.4), dobimo
Primer 2.9. Poiščite v točki M 0 (1;1;1) smer največje spremembe skalarnega polja U=xy+yz+xz in velikost te največje spremembe v tej točki.
rešitev. Smer največje spremembe polja je označena z vektorjem grad U(M). Najdemo ga:
In to pomeni... Ta vektor določa smer največjega povečanja tega polja v točki M 0 (1;1;1). Velikost največje spremembe polja na tej točki je enaka
Primer 3.1. Poiščite vektorske črte vektorskega polja, kjer je konstanten vektor.
rešitev. Tako imamo
Pomnožite števec in imenovalec prvega ulomka z x, drugega z y, tretjega z z in seštevajte člen za členom. Z uporabo lastnosti proporcev dobimo
Torej xdx+ydy+zdz=0, kar pomeni
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Če zdaj pomnožimo števec in imenovalec prvega ulomka (3.3) s c 1, drugega s c 2, tretjega s c 3 in dodamo člen za členom, dobimo
Kjer je od 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
In torej z 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2. A 2 -konst.
Zahtevane enačbe vektorskih premic
Te enačbe kažejo, da vektorske črte dobimo s presekom krogel, ki imajo skupno središče v izhodišču, z ravninami, pravokotnimi na vektor. Iz tega sledi, da so vektorske premice krožnice, katerih središča ležijo na premici, ki poteka skozi izhodišče v smeri vektorja c. Ravnine krogov so pravokotne na navedeno premico.
Primer 3.2. Poiščite vektorsko polje, ki poteka skozi točko (1,0,0).
rešitev. Diferencialne enačbe vektorskih premic
Zato imamo. Reševanje prve enačbe. Ali če uvedemo parameter t, potem bomo imeli. V tem primeru ima enačba obliko ali dz=bdt, od koder je z=bt+c 2.
Definicija 1
Če je vsakemu paru $(x,y)$ vrednosti dveh neodvisnih spremenljivk iz neke domene pridružena določena vrednost $z$, potem pravimo, da je $z$ funkcija dveh spremenljivk $(x,y) $. Zapis: $z=f(x,y)$.
Oglejmo si funkcijo $z=f(x,y)$, ki je definirana v neki regiji v prostoru $Oxy$.
torej
Definicija 3
Če je za vsako trojko $(x,y,z)$ vrednosti treh neodvisnih spremenljivk iz neke domene pridružena določena vrednost $w$, potem pravimo, da je $w$ funkcija treh spremenljivk $(x, y,z)$ na tem območju.
Oznaka:$w=f(x,y,z)$.
Oglejmo si funkcijo $w=f(x,y,z)$, ki je definirana v neki regiji v prostoru $Oxyz$.
Za dano funkcijo definiramo vektor, za katerega so projekcije na koordinatne osi vrednosti parcialnih odvodov dane funkcije v neki točki $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac( \partial z)(\partial y) $.
Definicija 4
Gradient dane funkcije $w=f(x,y,z)$ je vektor $\overrightarrow(gradw)$ naslednje oblike:
Izrek 3
Naj bo polje gradientov definirano v nekem skalarnem polju $w=f(x,y,z)$
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]
Izpeljanka $\frac(\partial w)(\partial s) $ v smeri danega vektorja $\overrightarrow(s) $ je enaka projekciji vektorja gradienta $\overrightarrow(gradw) $ na dani vektor $\overrightarrow(s) $.
Primer 4
rešitev:
Izraz za gradient najdemo s formulo
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]
\[\frac(\delni w)(\delni x) =2x;\frac(\delni w)(\delni y) =4y;\frac(\delni w)(\delni z) =2.\]
torej
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
Primer 5
Določite gradient dane funkcije
v točki $M(1;2;1)$. Izračunajte $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.
rešitev:
Izraz za gradient na dani točki se najde s formulo
\[\levo(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]
Delni derivati imajo obliko:
\[\frac(\delni w)(\delni x) =2x;\frac(\delni w)(\delni y) =4y;\frac(\delni w)(\delni z) =6z^(2) .\]
Izpeljanke v točki $M(1;2)$:
\[\frac(\delni w)(\delni x) =2\cdot 1=2;\frac(\delni w)(\delni y) =4\cdot 2=8;\frac(\delni w)( \delno z) =6\cdot 1^(2) =6.\]
torej
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\desno)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]
Naštejmo nekatere lastnosti gradienta:
Odvod dane funkcije v dani točki v smeri nekega vektorja $\overrightarrow(s) $ ima največjo vrednost, če smer tega vektorja $\overrightarrow(s) $ sovpada s smerjo gradienta. V tem primeru ta največja vrednost odvoda sovpada z dolžino vektorja gradienta, tj. $|\desna puščica(gradw) |$.
Odvod dane funkcije v smeri vektorja, ki je pravokoten na gradientni vektor, tj. $\overrightarrow(gradw) $ je enako 0. Ker je $\varphi =\frac(\pi )(2) $, potem je $\cos \varphi =0$; torej $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
Če je na vsaki točki v prostoru ali delu prostora določena vrednost določene količine, potem pravijo, da je polje te količine določeno. Polje se imenuje skalarno, če je obravnavana količina skalarna, tj. popolnoma označena s svojo številčno vrednostjo. Na primer temperaturno polje. Skalarno polje je podano s skalarno točkovno funkcijo u = /(M). Če v prostor uvedemo kartezični koordinatni sistem, potem obstaja funkcija treh spremenljivk x, yt z - koordinate točke M: Definicija. Ravna ploskev skalarnega polja je množica točk, v katerih ima funkcija f(M) enako vrednost. Enačba nivojske ploskve Primer 1. Poiščite nivojske ploskve skalarnega polja VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Ploskve in nivojske črte Smerna derivacija Izpeljava Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta -4 Po definiciji , bo enačba ravne površine. To je enačba krogle (s F 0) s središčem v izhodišču. Skalarno polje imenujemo ravno, če je polje enako v vseh ravninah, vzporednih z določeno ravnino. Če je označena ravnina ravnina xOy, potem funkcija polja ne bo odvisna od koordinate z, to pomeni, da bo funkcija samo argumentov x in y. Ravninsko polje je mogoče karakterizirati z uporabo nivojskih črt - a množica točk na ravnini, v katerih ima funkcija /(x, y) enega in tudi pomen. Enačba nivojske črte - Primer 2. Poiščite nivojske črte skalarnega polja Niveljske črte so podane z enačbami. Pri c = 0 dobimo par ravnih črt, dobimo družino hiperbol (slika 1). 1.1. Smerni odvod Naj obstaja skalarno polje, definirano s skalarno funkcijo u = /(Af). Vzemimo točko Afo in izberimo smer, ki jo določa vektor I. Vzemimo drugo točko M, tako da bo vektor M0M vzporeden z vektorjem 1 (slika 2). Dolžino vektorja MoM označimo z A/, inkrement funkcije /(Af) - /(Afo), ki ustreza gibanju D1, pa z Di. Razmerje določa povprečno hitrost spreminjanja skalarnega polja na enoto dolžine v dani smeri, tako da vektor M0M ves čas ostane vzporeden z vektorjem I. Če je pri D/O končna meja relacije (5), jo imenujemo odvod funkcije v dani točki Afo na dano smer I in jo označimo s simbolom 3!^. Torej po definiciji ta definicija ni povezana z izbiro koordinatnega sistema, tj. je **variantne narave. Poiščimo izraz za smerni odvod v kartezičnem koordinatnem sistemu. Naj bo funkcija / diferenciacljiva v točki. Oglejmo si vrednost /(Af) v točki. Potem lahko skupni prirastek funkcije zapišemo v naslednji obliki: kjer in simbola pomenita, da so parcialni odvodi izračunani v točki Afo. Zato sta tukaj količini jfi, ^ smerni kosinus vektorja. Ker sta vektorja MoM in I istosmerna, sta njuna smerna kosinusa enaka: Ker je M Afo, ki je vedno na premici, vzporedni z vektorjem 1, sta kota konstantna, zato končno iz enakosti (7) in (8) dobimo Eamuan je 1. Pojedinačni odvodnji sta odvodnji funkcije in po smereh koordinatnih osi, tako-Primer 3. Poišči odvod funkcije v smeri na točko Vektor ima dolžino. Njeni smerni kosinus: V skladu s formulo (9) bomo imeli Dejstvo pomeni, da je skalarno polje v točki v dani smeri starosti - Za ravno polje je odvod glede na smer I v točki enak izračunano po formuli kjer je a kot, ki ga tvori vektor I z osjo Oh. Зммчмм 2. Formula (9) za izračun odvoda v smeri I v dani točki Afo ostane v veljavi, ko točka M teži k točki Mo vzdolž krivulje, za katero je vektor I tangenten v točki PrIShr 4. Izračunajte odvod skalarja polje v točki Afo(l, 1). ki pripada paraboli v smeri te krivulje (v smeri naraščajoče abscise). Smer ] parabole v točki se šteje za smer tangente na parabolo v tej točki (slika 3). Naj tvori tangenta na parabolo v točki Afo kot o z osjo Ox. Od kod potem smerni kosinus tangente? Izračunajmo vrednosti in v točki. Imamo Zdaj z uporabo formule (10) dobimo. Poiščite odvod skalarnega polja v točki vzdolž smeri krožnice, ki ima obliko. Ugotovimo, da enota tangente na točko ustreza vrednosti parametra Afo Izračunajmo vrednosti delnih odvodov danega skalarnega polja v točki. To pomeni želeni odvod. Gradient skalarnega polja Naj bo skalarno polje definirano s skalarno funkcijo, za katero se predpostavlja, da je diferenciabilna. Opredelitev. Gradient skalarnega polja "v dani točki M je vektor, označen s simbolom grad in in definiran z enakostjo. Jasno je, da je ta vektor odvisen tako od funkcije / kot od točke M, v kateri je izračunan njen odvod. Naj bo 1 enotski vektor v smeri. Potem lahko formulo za smerni odvod zapišemo v naslednji obliki: . Tako je odvod funkcije u v smeri 1 enak skalarnemu produktu gradienta funkcije u(M) in enotskega vektorja 1° smeri I. 2.1. Osnovne lastnosti gradienta Izrek 1. Gradient skalarnega polja je pravokoten na niveleto (oziroma na linijo, če je polje ravno). (2) Skozi poljubno točko M narišimo niveleto u = const in na tej ploskvi izberimo gladko krivuljo L, ki poteka skozi točko M (slika 4). Naj bo I vecgor tangenta na krivuljo L v točki M. Ker je na ravnini u(M) = u(M|) za katero koli točko Mj e L, potem je na drugi strani = (gradu, 1°). Zato. To pomeni, da sta vektorja grad in 1° pravokotna. Torej je vektor grad in pravokoten na katero koli tangento na niveletsko ploskev v točki M. Torej je pravokoten na samo niveletsko ploskev v točki M. Izrek 2. gradient je usmerjen v povečanje funkcije polja. Predhodno smo dokazali, da je gradient skalarnega polja usmerjen po normali na niveleto, ki je lahko usmerjena bodisi v smeri naraščanja funkcije u(M) bodisi v smeri njenega padanja. Označimo z n normalo niveletne ploskve, usmerjeno v smer naraščanja funkcije ti(M), in poiščemo odvod funkcije u v smeri te normale (slika 5). Imamo Ker glede na pogoj slike 5 in zato VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine in nivojske črte Izvod v smeri Izvod Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta Iz tega sledi, da je grad usmerjena v isto smer kot tista, ki smo jo izbrali normalo n, to je v smeri naraščajoče funkcije u(M). Izrek 3. Dolžina gradienta je enaka največjemu odvodu glede na smer v dani točki polja (tukaj se preverja vzdolž vseh možnih smeri v dani točki M). Imamo, kje je kot med vektorjema 1 in grad n. Ker je največja vrednost Primer 1. Poiščite smer največje spremembe skalarnega polja v točki in tudi velikost te največje spremembe v navedeni točki. Smer največje spremembe skalarnega polja je označena z vektorjem. Tako imamo, da Ta vektor določa smer največjega povečanja polja v točki. Magnituda največje spremembe polja na tej točki je 2,2. Invariantna definicija gradienta Količine, ki označujejo lastnosti preučevanega predmeta in niso odvisne od izbire koordinatnega sistema, se imenujejo invariante danega predmeta. Na primer, dolžina krivulje je invariant te krivulje, kot tangente na krivuljo z osjo Ox pa ni invariant. Na podlagi treh zgoraj dokazanih lastnosti gradienta skalarnega polja lahko podamo naslednjo invariantno definicijo gradienta. Opredelitev. Gradient skalarnega polja je vektor, ki je usmerjen normalno na gladino v smeri naraščajoče poljske funkcije in ima dolžino, ki je enaka največjemu odvodu v smeri (v dani točki). Naj bo enotski normalni vektor usmerjen v smeri naraščajočega polja. Nato Primer 2. Poiščite gradient razdalje - neka fiksna točka in M(x,y,z) - trenutna. 4 Imamo, kje je enotski smerni vektor. Pravila za izračun gradienta, kjer je c konstantno število. Navedene formule so pridobljene neposredno iz definicije gradienta in lastnosti odvodov. Po pravilu diferenciacije produkta je dokaz podoben dokazu lastnosti Naj bo F(u) diferenciabilna skalarna funkcija. Potem 4 Po definiciji fadienta imamo Uporabi pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije za vse izraze na desni strani. Dobimo. Zlasti formula (6) sledi iz formule Primer 3. Poiščite odvod glede na smer vektorja radija r iz funkcije Z uporabo formule (3) in z uporabo formule Kot rezultat dobimo, da Primer 4 Naj bo podano ravninsko skalarno polje - razdalje od neke ravnine do dveh fiksnih točk te ravnine. Oglejmo si poljubno elipso z goriščema Fj in F] in dokažimo, da vsak svetlobni žarek, ki izhaja iz enega žarišča elipse, po odboju od elipse konča v njenem drugem žarišču. Nivojske črte funkcije (7) so VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine in nivojske črte Smerna izpeljava Gradient skalarnega polja Osnovne lastnosti gradienta Invariantna definicija gradienta Pravila za izračun gradienta Enačbe (8) opisujejo družino elips z žarišči na točki F) in Fj. Glede na rezultat primera 2 imamo. Tako je gradient danega polja enak vektorju PQ diagonale romba, zgrajenega na enotskih vektorjih r? in radijski vektorji. potegnjeno v točko P(x, y) iz žarišč F| in Fj, zato leži na simetrali kota med tema vektorjema (sl. 6). Po Tooromu 1 je gradient PQ pravokoten na elipso (8) v točki. Zato je sl. 6. normala na elipso (8) v kateri koli točki razpolovi kot med v to točko narisanima radius vektorjema. Iz tega in iz dejstva, da je vpadni kot enak odbojnemu kotu, dobimo: svetlobni žarek, ki izhaja iz enega žarišča elipse, se odbije od njega, bo gotovo padel v drugo žarišče te elipse.
Koncept smerni derivat obravnavano za funkcije dveh in treh spremenljivk. Da bi razumeli pomen smernega derivata, morate primerjati derivate po definiciji
torej
Zdaj lahko poiščemo smerni odvod te funkcije z njeno formulo:
In zdaj - domača naloga. Poda funkcijo ne treh, ampak samo dveh spremenljivk, vendar je vektor smeri določen nekoliko drugače. Torej boste morali to storiti znova vektorska algebra .
Primer 2. Poiščite odvod funkcije v točki M0 (1; 2) v smeri vektorja, kjer M1 - točka s koordinatami (3; 0).
Vektor, ki določa smer odvoda, lahko podamo v obliki kot v naslednjem primeru - v obliki raztezanje v enotske vektorje koordinatnih osi, vendar je to znana tema že od samega začetka vektorske algebre.
Primer 3. Poiščite odvod funkcije 
na točki M0
(1; 1; 1)
v smeri vektorja.
rešitev. Poiščimo smerne kosinuse vektorja
Poiščimo parcialne odvode funkcije v točki M0 :
Zato lahko poiščemo smerni odvod te funkcije z njeno formulo:
.
Funkcija gradienta
Gradient funkcije več spremenljivk v točki M0 označuje smer največje rasti te funkcije v točki M0 in velikost te največje rasti.
Kako najti gradient?
Treba je določiti vektor, katerega projekcije na koordinatne osi so vrednote delni derivati, , ta funkcija na ustrezni točki:
.
To pomeni, da bi moralo delovati predstavitev vektorja z enotskimi vektorji koordinatnih osi, pri katerem se delni odvod, ki ustreza njegovi osi, pomnoži z vsako enoto.
Iz šolskega tečaja matematike vemo, da je vektor na ravnini usmerjen segment. Njegov začetek in konec imata dve koordinati. Vektorske koordinate se izračunajo tako, da se od končnih koordinat odštejejo začetne koordinate.
Koncept vektorja lahko razširimo na n-dimenzionalni prostor (namesto dveh koordinat bo n koordinat).
Gradient gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) je vektor parcialnih odvodov funkcije v točki, tj. vektor s koordinatami.
Lahko se dokaže, da gradient funkcije označuje smer najhitrejše rasti nivoja funkcije v točki.
Na primer, za funkcijo z = 2x 1 + x 2 (glej sliko 5.8) bo imel gradient na kateri koli točki koordinate (2; 1). Na ravnini ga lahko konstruirate na različne načine, pri čemer vzamete katero koli točko za začetek vektorja. Na primer, lahko povežete točko (0; 0) s točko (2; 1) ali točko (1; 0) s točko (3; 1) ali točko (0; 3) s točko (2; 4), ali tako naprej. (Glejte sliko 5.8). Vsi vektorji, zgrajeni na ta način, bodo imeli koordinate (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Iz slike 5.8 je jasno razvidno, da se raven funkcije povečuje v smeri gradienta, saj konstruirane črte ravni ustrezajo vrednostim ravni 4> 3> 2.
Slika 5.8 – Gradient funkcije z= 2x 1 + x 2
Oglejmo si še en primer - funkcijo z = 1/(x 1 x 2). Gradient te funkcije ne bo več vedno enak na različnih točkah, saj so njene koordinate določene s formulami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Slika 5.9 prikazuje črte ravni funkcije z = 1/(x 1 x 2) za ravni 2 in 10 (ravna črta 1/(x 1 x 2) = 2 je označena s pikčasto črto, ravna črta 1/( x 1 x 2) = 10 je polna črta).
Slika 5.9 - Gradienti funkcije z= 1/(x 1 x 2) na različnih točkah
Vzemite na primer točko (0,5; 1) in izračunajte gradient na tej točki: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Upoštevajte, da točka (0,5; 1) leži na nivojski črti 1/(x 1 x 2) = 2, ker je z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Če želite narisati vektor ( -4; 2) na sliki 5.9 poveži točko (0,5; 1) s točko (-3,5; -1), ker (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Vzemimo drugo točko na isti nivojski črti, na primer točko (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajmo gradient na tej točki (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Za prikaz na sliki 5.9 povežemo točko (1; 0,5) s točko (-1; -3,5), ker je (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Vzemimo še eno točko na isti nivojski črti, vendar samo zdaj v nepozitivni koordinatni četrtini. Na primer, točka (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradient na tej točki bo enak (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Upodabljajmo jo na sliki 5.9 tako, da točko (-0,5; -1) povežemo s točko (3,5; 1), ker je (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Opozoriti je treba, da v vseh treh obravnavanih primerih gradient kaže smer rasti funkcijskega nivoja (proti nivojski črti 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Dokaže se lahko, da je gradient vedno pravokoten na linijo (nivo), ki poteka skozi dano točko.
Ekstremumi funkcije več spremenljivk
Opredelimo pojem ekstrem za funkcijo mnogih spremenljivk.
Funkcija mnogih spremenljivk f(X) ima v točki X (0) največ (najmanj),če obstaja soseska te točke taka, da so za vse točke X iz te soseske izpolnjene neenakosti f(X)f(X (0)) ().
Če so te neenakosti izpolnjene kot stroge, se imenuje ekstrem močan, in če ne, potem šibka.
Upoštevajte, da je tako definiran ekstrem lokalni značaj, saj so te neenakosti izpolnjene samo za določeno okolico ekstremne točke.
Nujni pogoj za lokalni ekstrem diferenciabilne funkcije z=f(x 1, . . ., x n) v točki je enakost nič vseh parcialnih odvodov prvega reda na tej točki: 
.
Točke, v katerih veljajo te enakosti, imenujemo stacionarni.
Na drug način je nujen pogoj za ekstrem mogoče formulirati na naslednji način: na točki ekstrema je gradient enak nič. Dokažemo lahko tudi bolj splošno trditev: v ekstremni točki izničijo odvodi funkcije v vseh smereh.
Stacionarne točke je treba dodatno raziskati, da se ugotovi, ali so izpolnjeni zadostni pogoji za obstoj lokalnega ekstrema. Če želite to narediti, določite predznak diferenciala drugega reda. Če je za kateri koli , ki ni hkrati enak nič, vedno negativen (pozitiven), potem ima funkcija maksimum (minimum). Če lahko gre na nič ne le z ničelnimi prirastki, potem ostaja vprašanje ekstrema odprto. Če ima lahko pozitivne in negativne vrednosti, potem v stacionarni točki ni ekstrema.
V splošnem primeru je določitev predznaka diferenciala precej zapleten problem, ki ga tu ne bomo obravnavali. Za funkcijo dveh spremenljivk je mogoče dokazati, da če je v stacionarni točki 
, potem je ekstrem prisoten. V tem primeru predznak drugega diferenciala sovpada z predznakom 
, tj. če 
, potem je to največ, in če 
, potem je to minimum. če 
, potem na tej točki ni ekstrema in če 
, potem ostaja odprto vprašanje ekstremuma.
Primer 1. Poiščite ekstreme funkcije 
.
Poiščimo parcialne odvode z metodo logaritemskega diferenciranja.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Prav tako 
.
Poiščimo stacionarne točke iz sistema enačb:
Tako so bile najdene štiri stacionarne točke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) in (-1; -1).
Poiščimo delne odvode drugega reda:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Prav tako 
;
.
Ker 
, izrazni znak 
odvisno samo od 
. Upoštevajte, da je v obeh teh izpeljankah imenovalec vedno pozitiven, tako da lahko upoštevate samo predznak števca ali celo predznak izrazov x(x 2 – 3) in y(y 2 – 3). Določimo ga na vsaki kritični točki in preverimo, ali je zadostni pogoj za ekstrem izpolnjen.
Za točko (1; 1) dobimo 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0 in 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Za točko (1; -1) dobimo 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Ker produkt teh števil 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Za točko (-1; -1) dobimo (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Ker produkt dveh pozitivnih števil 
> 0 in 
> 0 je v točki (-1; -1) mogoče najti minimum. Enako je 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Najti globalno največja ali najmanjša (največja ali najmanjša vrednost funkcije) je nekoliko bolj zapletena kot lokalni ekstrem, saj je te vrednosti mogoče doseči ne samo na stacionarnih točkah, ampak tudi na meji definicijske domene. Ni vedno lahko preučevati obnašanja funkcije na meji tega območja.
