Izrek. Vsak vektor X je mogoče predstaviti na edinstven način kot kombinacije baznih vektorjev

Pustiti L – linearni prostor nad poljem R . Pustiti А1, а2, …, аn (*) končni sistem vektorjev iz L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) se imenuje Linearna kombinacija vektorjev ( *), ali pravijo, da je vektor IN linearno izražen s sistemom vektorjev (*).

Opredelitev 14. Sistem vektorjev (*) se imenuje Linearno odvisno , če in samo če obstaja različen od nič niz koeficientov a1, a2, …, an tak, da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Če je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, potem se imenuje sistem (*). Linearno neodvisen.

Lastnosti linearne odvisnosti in neodvisnosti.

10. Če sistem vektorjev vsebuje ničelni vektor, potem je linearno odvisen.

Dejansko, če je v sistemu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Če sistem vektorjev vsebuje dva proporcionalna vektorja, potem je linearno odvisen.

Pustiti A1 = L×a2. Nato 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Končni sistem vektorjev (*) za n ³ 2 je linearno odvisen, če in samo če je vsaj eden od njegovih vektorjev linearna kombinacija preostalih vektorjev tega sistema.

Þ Naj bo (*) linearno odvisno. Potem obstaja različen od nič niz koeficientov a1, a2, …, an, za katerega je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da je a1 ¹ 0. Potem obstaja A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Torej, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektorjev.

Ü Naj bo eden od vektorjev (*) linearna kombinacija ostalih. Predvidevamo lahko, da je to prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + mrd A N, torej (–1)× A1 + b2 A2+ … + mrd A N= 0 , tj. (*) je linearno odvisna.

Komentiraj. Z uporabo zadnje lastnosti lahko definiramo linearno odvisnost in neodvisnost neskončnega sistema vektorjev.

Opredelitev 15. Vektorski sistem А1, а2, …, аn , … (**) je poklican Linearno odvisno, Če je vsaj eden od njegovih vektorjev linearna kombinacija nekega končnega števila drugih vektorjev. V nasprotnem primeru se pokliče sistem (**). Linearno neodvisen.

40. Končni sistem vektorjev je linearno neodvisen, če in samo če nobenega od njegovih vektorjev ni mogoče linearno izraziti z njegovimi preostalimi vektorji.

50. Če je sistem vektorjev linearno neodvisen, potem je tudi kateri koli njegov podsistem linearno neodvisen.

60. Če je nek podsistem danega sistema vektorjev linearno odvisen, potem je tudi celoten sistem linearno odvisen.

Naj sta dana dva sistema vektorjev А1, а2, …, аn , … (16) in В1, В2, …, Вs, … (17). Če lahko vsak vektor sistema (16) predstavimo kot linearno kombinacijo končnega števila vektorjev sistema (17), potem pravimo, da je sistem (17) linearno izražen prek sistema (16).

Opredelitev 16. Dva vektorska sistema se imenujeta Enakovredno , če je vsaka od njih linearno izražena skozi drugo.

Izrek 9 (osnovni izrek o linearni odvisnosti).

Naj bo – dva končna sistema vektorjev iz L . Če je prvi sistem linearno neodvisen in linearno izražen skozi drugega, potem n£s.

Dokaz. Pretvarjajmo se, da n> S. Glede na pogoje izreka

sklep Ker je število enačb večje od števila neznank, ima sistem neskončno veliko rešitev. Zato ima različen od nič X10, x20, …, xšt. Za te vrednosti bo veljala enakost (18), kar je v nasprotju z dejstvom, da je sistem vektorjev linearno neodvisen. Naša predpostavka je torej napačna. torej n£s.

Posledica.Če sta dva enakovredna sistema vektorjev končna in linearno neodvisna, potem vsebujeta enako število vektorjev.

Opredelitev 17. Vektorski sistem se imenuje Največji linearno neodvisni sistem vektorjev Linearni prostor L , če je linearno neodvisen, ko pa mu dodamo katerikoli vektor iz L , ki ni vključen v ta sistem, postane linearno odvisen.

Izrek 10. Vsaka dva končna maksimalna linearno neodvisna sistema vektorjev iz L Vsebuje enako število vektorjev.

Dokaz izhaja iz dejstva, da sta katera koli dva največja linearno neodvisna sistema vektorjev enakovredna .

Z lahkoto je dokazati, da je vsak linearno neodvisen sistem prostorskih vektorjev L lahko razširimo na največji linearno neodvisen sistem vektorjev v tem prostoru.

Primeri:

1. V množici vseh kolinearnih geometrijskih vektorjev je vsak sistem, sestavljen iz enega neničelnega vektorja, maksimalno linearno neodvisen.

2. V množici vseh koplanarnih geometrijskih vektorjev sestavljata katera koli dva nekolinearna vektorja največji linearno neodvisen sistem.

3. V množici vseh možnih geometrijskih vektorjev tridimenzionalnega evklidskega prostora je vsak sistem treh nekoplanarnih vektorjev maksimalno linearno neodvisen.

4. V množici vseh polinomov stopnje niso višje od n Z realnimi (kompleksnimi) koeficienti sistem polinomov 1, x, x2, … , xn Je maksimalno linearno neodvisen.

5. V množici vseh polinomov z realnimi (kompleksnimi) koeficienti so primeri največjega linearno neodvisnega sistema

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Nabor dimenzijskih matrik M´ n je linearni prostor (preverite to). Primer največjega linearno neodvisnega sistema v tem prostoru je matrični sistem E11= , E12 =, …, EMn = .

Naj bo podan sistem vektorjev C1, c2, …, prim (*). Pokličemo podsistem vektorjev iz (*). Največja linearna neodvisnost Podsistem sistemi ( *) , če je linearno neodvisen, ko pa mu dodamo katerikoli drug vektor tega sistema, postane linearno odvisen. Če je sistem (*) končen, potem vsak njegov največji linearno neodvisni podsistem vsebuje enako število vektorjev. (Dokažite sami). Pokličemo število vektorjev v največjem linearno neodvisnem podsistemu sistema (*). Rank Ta sistem. Očitno imajo enakovredni sistemi vektorjev enake range.

Funkcije se imenujejo linearno neodvisen,če

(dovoljena je samo trivialna linearna kombinacija funkcij, ki je identično enaka nič). V nasprotju z linearno neodvisnostjo vektorjev je tukaj linearna kombinacija enaka ničli in ne enakosti. To je razumljivo, saj mora biti za vsako vrednost argumenta izpolnjena enakost linearne kombinacije na nič.

Funkcije se imenujejo linearno odvisen,če obstaja neničelna množica konstant (niso vse konstante enake nič), tako da (obstaja netrivialna linearna kombinacija funkcij, ki so identično enake nič).

Izrek.Da bi bile funkcije linearno odvisne, je nujno in zadostno, da je katera koli od njih linearno izražena skozi druge (predstavljene kot njihova linearna kombinacija).

Dokažite ta izrek sami; dokazujemo ga na enak način kot podoben izrek o linearni odvisnosti vektorjev.

Določnik Vronskega.

Determinanta Wronskega za funkcije je predstavljena kot determinanta, katere stolpci so derivati ​​teh funkcij od nič (same funkcije) do n-1. reda.

.

Izrek. Če funkcije so torej linearno odvisni

Dokaz. Ker funkcije so linearno odvisni, potem je kateri koli od njih linearno izražen skozi druge, na primer,

Identiteto je mogoče razlikovati, torej

Potem je prvi stolpec determinante Wronskega linearno izražen skozi preostale stolpce, tako da je determinanta Wronskega identično enaka nič.

Izrek.Da bi bile rešitve linearne homogene diferencialne enačbe n-tega reda linearno odvisne, je nujno in zadostno, da.

Dokaz. Nujnost izhaja iz prejšnjega izreka.

Ustreznost. Popravimo nekaj točk. Ker so stolpci determinante, izračunane na tej točki, linearno odvisni vektorji.

, da so razmerja zadovoljna

Ker je linearna kombinacija rešitev linearne homogene enačbe njena rešitev, lahko uvedemo rešitev oblike

Linearna kombinacija rešitev z enakimi koeficienti.

Upoštevajte, da ta rešitev izpolnjuje ničelne začetne pogoje; to izhaja iz zgoraj zapisanega sistema enačb. Vendar tudi trivialna rešitev linearne homogene enačbe izpolnjuje enake ničelne začetne pogoje. Zato iz Cauchyjevega izreka sledi, da je uvedena rešitev identično enaka trivialni, torej

zato so rešitve linearno odvisne.

Posledica.Če determinanta Wronskega, zgrajena na rešitvah linearne homogene enačbe, izgine vsaj v eni točki, potem je identično enaka nič.

Dokaz. Če , potem so rešitve linearno odvisne, torej .

Izrek.1. Za linearno odvisnost rešitev je potrebno in zadostno(ali ).

2. Za linearno neodvisnost rešitev je potrebna in zadostna.

Dokaz. Prva trditev izhaja iz zgoraj dokazanega izreka in posledice. Drugo trditev je mogoče zlahka dokazati s protislovjem.

Naj bodo rešitve linearno neodvisne. Če , potem so rešitve linearno odvisne. Protislovje. torej .

Pustiti . Če so rešitve linearno odvisne, potem , torej protislovje. Zato so rešitve linearno neodvisne.

Posledica.Izničenje determinante Wronskega vsaj v eni točki je kriterij za linearno odvisnost rešitev linearne homogene enačbe.

Razlika med determinanto Wronskega in ničlo je kriterij za linearno neodvisnost rešitev linearne homogene enačbe.

Izrek.Dimenzija prostora rešitev linearne homogene enačbe n-tega reda je enaka n.

Dokaz.

a) Pokažimo, da obstaja n linearno neodvisnih rešitev linearne homogene diferencialne enačbe n-tega reda. Razmislimo o rešitvah , ki izpolnjuje naslednje začetne pogoje:

...........................................................

Take rešitve obstajajo. Dejansko po Cauchyjevem izreku skozi točko poteka skozi eno samo integralno krivuljo – rešitev. Skozi točko rešitev poteka skozi točko

- rešitev, skozi točko - rešitev.

Te rešitve so linearno neodvisne, saj .

b) Pokažimo, da je vsaka rešitev linearne homogene enačbe linearno izražena skozi te rešitve (je njihova linearna kombinacija).

Razmislimo o dveh rešitvah. Ena - poljubna rešitev z začetnimi pogoji . Pošteno razmerje

Definicija 1. Sistem vektorjev se imenuje linearno odvisen, če je enega od vektorjev sistema mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo preostalih vektorjev sistema, in linearno neodvisen - drugače.

Definicija 1´. Sistem vektorjev imenujemo linearno odvisen, če obstajajo števila z 1 , z 2 , …, z k , niso vsi enaki nič, tako da je linearna kombinacija vektorjev z danimi koeficienti enaka ničelnemu vektorju: = , drugače se sistem imenuje linearno neodvisen.

Pokažimo, da sta ti definiciji enakovredni.

Naj bo izpolnjena definicija 1, tj. eden od sistemskih vektorjev je enak linearni kombinaciji ostalih:

Linearna kombinacija sistema vektorjev je enaka ničelnemu vektorju in vsi koeficienti te kombinacije niso enaki nič, tj. Definicija 1´ je izpolnjena.

Naj velja definicija 1´. Linearna kombinacija sistema vektorjev je enaka in vsi koeficienti kombinacije niso enaki nič, na primer koeficienti vektorja .

Enega od sistemskih vektorjev smo predstavili kot linearno kombinacijo ostalih, tj. Definicija 1 je izpolnjena.

Definicija 2. Enotski vektor ali enotski vektor se imenuje n-razsežni vektor, kateri jaz-ta koordinata je enaka ena, ostale pa nič.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

1. izrek. Različni enotski vektorji n-dimenzionalni prostor so linearno neodvisni.

Dokaz. Naj bo linearna kombinacija teh vektorjev s poljubnimi koeficienti enaka ničelnemu vektorju.

Iz te enakosti sledi, da so vsi koeficienti enaki nič. Dobili smo protislovje.

Vsak vektor n-dimenzionalni prostor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) lahko predstavimo kot linearno kombinacijo enotskih vektorjev s koeficienti, ki so enaki vektorskim koordinatam

Izrek 2. Če sistem vektorjev vsebuje ničelni vektor, potem je linearno odvisen.

Dokaz. Naj je podan sistem vektorjev in eden od vektorjev je nič, na primer = . Nato lahko z vektorji tega sistema naredite linearno kombinacijo, ki je enaka ničelnemu vektorju, in vsi koeficienti ne bodo nič:

Zato je sistem linearno odvisen.

Izrek 3. Če je nek podsistem sistema vektorjev linearno odvisen, potem je celoten sistem linearno odvisen.

Dokaz. Podan je sistem vektorjev. Predpostavimo, da je sistem linearno odvisen, tj. obstajajo številke z 1 , z 2 , …, z r , niso vsi enaki nič, tako da je = . Potem

Izkazalo se je, da je linearna kombinacija vektorjev celotnega sistema enaka in niso vsi koeficienti te kombinacije enaki nič. Posledično je sistem vektorjev linearno odvisen.

Posledica.Če je sistem vektorjev linearno neodvisen, potem je tudi katerikoli njegov podsistem linearno neodvisen.

Dokaz.

Predpostavimo nasprotno, tj. nek podsistem je linearno odvisen. Iz izreka sledi, da je celoten sistem linearno odvisen. Prišli smo do protislovja.

Izrek 4 (Steinitzov izrek).Če je vsak od vektorjev linearna kombinacija vektorjev in m>n, potem je sistem vektorjev linearno odvisen.

Posledica. V nobenem sistemu n-dimenzionalnih vektorjev ne more biti več kot n linearno neodvisnih.

Dokaz. vsak n-dimenzionalni vektor je izražen kot linearna kombinacija n enotskih vektorjev. Torej, če sistem vsebuje m vektorji in m>n, potem je po izreku ta sistem linearno odvisen.

Koncepta linearne odvisnosti in neodvisnosti sistema vektorjev sta zelo pomembna pri študiju vektorske algebre, saj na njih temeljita koncepta dimenzije in baze prostora. V tem članku bomo podali definicije, upoštevali lastnosti linearne odvisnosti in neodvisnosti, pridobili algoritem za preučevanje sistema vektorjev za linearno odvisnost in podrobno analizirali rešitve primerov.

Navigacija po strani.

Določanje linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti sistema vektorjev.

Razmislimo o nizu p n-dimenzionalnih vektorjev, ki jih označimo na naslednji način. Naredimo linearno kombinacijo teh vektorjev in poljubnih števil (pravi ali kompleksni): . Na podlagi definicije operacij nad n-dimenzionalnimi vektorji ter lastnosti operacij seštevanja vektorjev in množenja vektorja s številom lahko trdimo, da zapisana linearna kombinacija predstavlja nek n-dimenzionalni vektor, tj. .

Tako smo pristopili k definiciji linearne odvisnosti sistema vektorjev.

Opredelitev.

Če lahko linearna kombinacija predstavlja ničelni vektor, potem ko med številkami obstaja vsaj en različen od nič, potem se imenuje sistem vektorjev linearno odvisen.

Opredelitev.

Če je linearna kombinacija ničelni vektor le, če so vsa števila so enaki nič, potem se imenuje sistem vektorjev linearno neodvisen.

Lastnosti linearne odvisnosti in neodvisnosti.

Na podlagi teh definicij oblikujemo in dokažemo lastnosti linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti sistema vektorjev.

Če linearno odvisnemu sistemu vektorjev dodamo več vektorjev, bo nastali sistem linearno odvisen.

Dokaz.

Ker je sistem vektorjev linearno odvisen, je enakost možna, če med števili obstaja vsaj eno neničelno število . Pustiti .

Prvotnemu sistemu vektorjev dodamo še s vektorjev in dobimo sistem. Ker in , potem je linearna kombinacija vektorjev tega sistema oblike

predstavlja ničelni vektor in . Posledično je dobljeni sistem vektorjev linearno odvisen.

Če iz linearno neodvisnega sistema vektorjev izločimo več vektorjev, bo nastali sistem linearno neodvisen.

Dokaz.

Predpostavimo, da je dobljeni sistem linearno odvisen. Če temu sistemu vektorjev dodamo vse zavržene vektorje, dobimo prvotni sistem vektorjev. Po pogoju je linearno neodvisen, zaradi predhodne lastnosti linearne odvisnosti pa mora biti linearno odvisen. Prišli smo do protislovja, zato je naša predpostavka napačna.

Če ima sistem vektorjev vsaj en ničelni vektor, potem je tak sistem linearno odvisen.

Dokaz.

Naj bo vektor v tem sistemu vektorjev nič. Predpostavimo, da je izvorni sistem vektorjev linearno neodvisen. Potem je vektorska enakost mogoča le, če . Vendar, če vzamemo katero koli , različno od nič, bo enakost še vedno resnična, saj . Posledično je naša predpostavka napačna in je izvorni sistem vektorjev linearno odvisen.

Če je sistem vektorjev linearno odvisen, potem je vsaj eden od njegovih vektorjev linearno izražen z drugimi. Če je sistem vektorjev linearno neodvisen, potem nobenega od vektorjev ni mogoče izraziti z drugimi.

Dokaz.

Najprej dokažimo prvo trditev.

Naj bo sistem vektorjev linearno odvisen, potem obstaja vsaj eno neničelno število in enakost velja. To enakost lahko rešimo glede na , saj imamo v tem primeru

Posledično je vektor linearno izražen preko preostalih vektorjev sistema, kar je bilo potrebno tudi dokazati.

Zdaj dokažimo drugo trditev.

Ker je sistem vektorjev linearno neodvisen, je enakost možna le za .

Predpostavimo, da je nek vektor sistema izražen linearno glede na druge. Naj bo ta vektor , torej . To enakost lahko prepišemo kot , na njeni levi strani je linearna kombinacija sistemskih vektorjev, koeficient pred vektorjem pa je različen od nič, kar kaže na linearno odvisnost izvornega sistema vektorjev. Tako smo prišli do protislovja, kar pomeni, da je lastnost dokazana.

Iz zadnjih dveh lastnosti sledi pomembna izjava:
če sistem vektorjev vsebuje vektorje in , kjer je poljubno število, potem je linearno odvisen.

Preučevanje sistema vektorjev za linearno odvisnost.

Zastavimo si problem: ugotoviti moramo linearno odvisnost oziroma linearno neodvisnost sistema vektorjev.

Logično vprašanje je: "Kako to rešiti?"

Iz zgoraj obravnavanih definicij in lastnosti linearne odvisnosti in neodvisnosti sistema vektorjev se lahko naučimo nekaj koristnega s praktičnega vidika. Te definicije in lastnosti nam omogočajo vzpostavitev linearne odvisnosti sistema vektorjev v naslednjih primerih:

Kaj storiti v drugih primerih, ki jih je večina?

Ugotovimo to.

Spomnimo se formulacije izreka o rangu matrike, ki smo jo predstavili v članku.

Izrek.

Pustiti r – rang matrike A reda p pri n, . Naj bo M bazični minor matrike A. Vse vrstice (vsi stolpci) matrike A, ki ne sodelujejo pri tvorjenju bazičnega minora M, so linearno izražene skozi vrstice (stolpce) matrike, ki generirajo bazični minor M.

Zdaj pa razložimo povezavo med izrekom o rangu matrike in preučevanjem sistema vektorjev za linearno odvisnost.

Sestavimo matriko A, katere vrstice bodo vektorji preučevanega sistema:

Kaj bi pomenila linearna neodvisnost sistema vektorjev?

Iz četrte lastnosti linearne neodvisnosti sistema vektorjev vemo, da nobenega od vektorjev sistema ni mogoče izraziti z drugimi. Z drugimi besedami, nobena vrstica matrike A ne bo linearno izražena z drugimi vrsticami, zato linearna neodvisnost sistema vektorjev bo enakovredna pogoju Rank(A)=p.

Kaj bo pomenila linearna odvisnost sistema vektorjev?

Vse je zelo preprosto: vsaj ena vrstica matrike A bo linearno izražena glede na druge, torej, linearna odvisnost sistema vektorjev bo enakovredna pogoju Rank(A)

.