สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วงกลมตรีโกณมิติ

สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับพิกัดไตรมาสที่อาร์กิวเมนต์ตัวเลขตั้งอยู่เท่านั้น ครั้งที่แล้วเราเรียนรู้ที่จะแปลอาร์กิวเมนต์จากหน่วยวัดเรเดียนเป็นองศาหนึ่ง (ดูบทเรียน "เรเดียนและการวัดองศาของมุม") จากนั้นจึงกำหนดไตรมาสที่มีพิกัดนี้ ตอนนี้เรามาจัดการกับการกำหนดสัญลักษณ์ของไซน์โคไซน์และแทนเจนต์กัน

ไซน์ของมุมαคือพิกัด (พิกัด y) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นเมื่อรัศมีถูกหมุนโดยมุมα

โคไซน์ของมุมαคือ abscissa (พิกัด x) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนโดยมุมα

แทนเจนต์ของมุมαคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ หรือเทียบเท่ากับอัตราส่วนของพิกัด y กับพิกัด x

การกำหนด: sin α \u003d y; คอสα \u003d x; tg α \u003d y: x.

คำจำกัดความทั้งหมดนี้คุ้นเคยกับคุณจากหลักสูตรพีชคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย อย่างไรก็ตามเราไม่ได้สนใจในคำจำกัดความ แต่เป็นผลที่ตามมาในวงกลมตรีโกณมิติ ลองดูสิ:

สีฟ้าแสดงทิศทางบวกของแกน OY (กำหนด), สีแดง - ทิศทางบวกของแกน OX (abscissa) ใน "เรดาร์" สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเห็นได้ชัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

1. sin α\u003e 0 ถ้ามุมαอยู่ในไตรมาสพิกัด I หรือ II เนื่องจากตามนิยามไซน์คือตัวกำหนด (พิกัด y) และพิกัด y จะเป็นบวกในไตรมาสพิกัด I และ II
2. cos α\u003e 0 ถ้ามุมαอยู่ในไตรมาสพิกัด I หรือ IV เนื่องจากมีเพียงพิกัด x เท่านั้น (มันคือ abscissa) จะมากกว่าศูนย์
3. tg α\u003e 0 ถ้ามุมαอยู่ในส่วนพิกัด I หรือ III สิ่งนี้ตามมาจากนิยาม: ท้ายที่สุด tg α \u003d y: x ดังนั้นจึงเป็นบวกเฉพาะเมื่อสัญญาณของ x และ y ตรงกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นในไตรมาสพิกัด I (ที่นี่ x\u003e 0, y\u003e 0) และในไตรมาสพิกัด III (x< 0, y < 0).

เพื่อความชัดเจนเรามาทำเครื่องหมายสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ไซน์โคไซน์และแทนเจนต์บน "เรดาร์" แยกกัน เราได้ภาพต่อไปนี้:

หมายเหตุ: ในการให้เหตุผลฉันไม่เคยพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สี่ - โคแทนเจนต์ ความจริงก็คือสัญญาณของโคแทนเจนต์ตรงกับสัญลักษณ์ของแทนเจนต์ - ไม่มีกฎพิเศษที่นั่น

ตอนนี้ฉันขอเสนอให้พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกับปัญหา B11 จากการทดสอบทดลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 27 กันยายน 2011 อย่างไรก็ตามวิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจทฤษฎีคือการปฏิบัติ การปฏิบัติจำนวนมากเป็นที่พึงปรารถนา แน่นอนว่าเงื่อนไขของงานมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย

งาน. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันและนิพจน์ตรีโกณมิติ (ไม่จำเป็นต้องนับค่าของฟังก์ชันเอง):

1. บาป (3π / 4);
2. cos (7π / 6);
3. tg (5π / 3);
4. บาป (3π / 4) cos (5π / 6);
5. cos (2π / 3) ตาล (π / 4);
6. บาป (5π / 6) cos (7π / 4);
7. tg (3π / 4) cos (5π / 3);
8. ctg (4π / 3) สีแทน (π / 6)

แผนการดำเนินการมีดังนี้ขั้นแรกเราแปลมุมทั้งหมดจากหน่วยวัดเรเดียนเป็นองศาหนึ่ง (π→ 180 °) จากนั้นเราจะดูว่าพิกัดใดในไตรมาสที่จำนวนผลลัพธ์อยู่ เมื่อรู้ไตรมาสเราสามารถค้นหาสัญญาณได้อย่างง่ายดาย - ตามกฎที่อธิบายไว้ เรามี:

1. บาป (3π / 4) \u003d บาป (3180 ° / 4) \u003d บาป 135 ° เนื่องจาก 135 °∈นี่คือมุมจากพิกัด II ไตรมาส แต่ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวกดังนั้นบาป (3π / 4)\u003e 0;
2. cos (7π / 6) \u003d cos (7 180 ° / 6) \u003d cos 210 ° เพราะ 210 °∈นี่คือมุมจากพิกัดไตรมาสที่สามซึ่งโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos (7π / 6)< 0;
3. tg (5π / 3) \u003d tg (5 180 ° / 3) \u003d tg 300 ° ตั้งแต่ 300 °∈เราอยู่ในไตรมาส IV ซึ่งแทนเจนต์รับค่าลบ ดังนั้น tg (5π / 3)< 0;
4. sin (3π / 4) cos (5π / 6) \u003d sin (3180 ° / 4) cos (5 180 ° / 6) \u003d sin 135 ° cos 150 ° มาจัดการกับไซน์: 135 °∈นี่คือไตรมาสที่ 2 ซึ่งไซน์เป็นบวกนั่นคือ บาป (3π / 4)\u003e 0 ตอนนี้เราทำงานกับโคไซน์: 150 °∈ - อีกครั้งในไตรมาสที่สองโคไซน์ตรงนั้นเป็นลบ ดังนั้น cos (5π / 6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π / 3) tg (π / 4) \u003d cos (2280 ° / 3) tg (180 ° / 4) \u003d cos 120 ° tg 45 ° เราดูโคไซน์: 120 °∈คือไตรมาสที่สองพิกัดดังนั้น cos (2π / 3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. อีกครั้งเราได้ผลิตภัณฑ์ที่ตัวคูณมีสัญญาณต่างกัน เนื่องจาก "ลบด้วยบวกให้ลบ" เราจึงมี: cos (2π / 3) · tg (π / 4)< 0;
6. sin (5π / 6) cos (7π / 4) \u003d sin (5 180 ° / 6) cos (7 180 ° / 4) \u003d sin 150 ° cos 315 ° เราทำงานกับไซน์: ตั้งแต่ 150 °∈เรากำลังพูดถึงพิกัด II ไตรมาสที่ไซน์เป็นค่าบวก ดังนั้นบาป (5π / 6)\u003e 0 ในทำนองเดียวกัน 315 °∈คือไตรมาสพิกัด IV โคไซน์มีค่าบวก ดังนั้น cos (7π / 4)\u003e 0 เราได้ผลคูณของจำนวนบวกสองจำนวน - นิพจน์นี้จะเป็นบวกเสมอ สรุปได้ว่า: sin (5π / 6) cos (7π / 4)\u003e 0;
7. tg (3π / 4) cos (5π / 3) \u003d tg (3180 ° / 4) cos (5 180 ° / 3) \u003d tg 135 ° cos 300 ° แต่มุม 135 °∈คือไตรมาสที่สองนั่นคือ tg (3π / 4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. เนื่องจาก "ลบด้วยบวกให้เครื่องหมายลบ" เราจึงมี: tg (3π / 4) · cos (5π / 3)< 0;
8. ctg (4π / 3) tan (π / 6) \u003d ctg (4 180 ° / 3) tan (180 ° / 6) \u003d ct 240 ° tan 30 ° เราดูอาร์กิวเมนต์ของโคแทนเจนต์: 240 °∈คือไตรมาสที่สามพิกัดดังนั้น ctg (4π / 3)\u003e 0 ในทำนองเดียวกันสำหรับแทนเจนต์ที่เรามี: 30 °∈คือไตรมาสพิกัด I นั่นคือ มุมที่ง่ายที่สุด ดังนั้น tg (π / 6)\u003e 0 เราได้นิพจน์เชิงบวกสองนิพจน์อีกครั้ง - ผลคูณของมันจะเป็นบวกด้วย ดังนั้น ctg (4π / 3) tan (π / 6)\u003e 0

สรุปได้ว่าลองพิจารณางานที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย นอกเหนือจากการค้นหาสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้วคุณจะต้องทำการคำนวณเล็กน้อยที่นี่ซึ่งเหมือนกับที่ทำในปัญหาปัจจุบัน B11 โดยหลักการแล้วสิ่งเหล่านี้แทบจะเป็นปัญหาจริงที่พบในการสอบวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหา sin αถ้า sin 2 α \u003d 0.64 และα∈ [π / 2; π].

เนื่องจากบาป 2 α \u003d 0.64 เราจึงมี: sin α \u003d ± 0.8 ยังคงตัดสินใจว่า: บวกหรือลบ? โดยสมมติฐานมุมα∈ [π / 2; π] คือไตรมาสที่สองพิกัดซึ่งไซน์ทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้น sin α \u003d 0.8 - ความไม่แน่นอนของสัญญาณจะถูกกำจัด

งาน. ค้นหา cos αถ้า cos 2 α \u003d 0.04 และα∈ [π; 3π / 2].

เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันนั่นคือ เราแยกรากที่สอง: cos 2 α \u003d 0.04 ⇒ cos α \u003d ± 0.2 โดยสมมติฐานมุมα∈ [π; 3π / 2] เช่น เรากำลังพูดถึงพิกัด III ไตรมาส มีโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบดังนั้น cos α \u003d −0.2

งาน. ค้นหา sin αถ้า sin 2 α \u003d 0.25 และα∈

เรามี: บาป 2 α \u003d 0.25 ⇒บาปα \u003d ± 0.5 ดูมุมอีกครั้ง: α∈คือส่วนพิกัด IV ซึ่งตามที่คุณทราบไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: sin α \u003d −0.5

งาน. ค้นหา tan αถ้า tan 2 α \u003d 9 และα∈

ทุกอย่างเหมือนกันเฉพาะแทนเจนต์ หารากที่สอง: tg 2 α \u003d 9 ⇒ tg α \u003d ± 3 แต่โดยสมมุติฐานมุมα∈คือพิกัด I ไตรมาส ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดรวมถึง แทนเจนต์มีค่าบวกดังนั้น tg α \u003d 3 นั่นแหล่ะ!

อนุญาตให้สร้างผลลัพธ์ลักษณะจำนวนหนึ่ง - สมบัติของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์... ในบทความนี้เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติหลักสามประการ ประการแรกบ่งบอกถึงสัญญาณของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมαขึ้นอยู่กับว่ามุมพิกัดใดของมุมไตรมาสαคืออะไร ต่อไปเราจะพิจารณาคุณสมบัติของคาบเวลาซึ่งกำหนดค่าคงที่ของค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมαเมื่อมุมนี้เปลี่ยนไปตามจำนวนการปฏิวัติจำนวนเต็ม คุณสมบัติที่สามแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้ามαและ −α

หากคุณสนใจในคุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถศึกษาได้ในส่วนที่เกี่ยวข้องของบทความ

การนำทางหน้า

สัญญาณไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในไตรมาส

ด้านล่างในย่อหน้านี้จะพบวลี "มุมของพิกัด I, II, III และ IV" ลองอธิบายว่ามุมเหล่านี้คืออะไร

ใช้วงกลมหน่วยทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A (1, 0) แล้วหมุนรอบจุด O ด้วยมุมαในขณะที่เราถือว่าเราจะไปถึงจุด A 1 (x, y)

พวกเขาพูดอย่างนั้น มุมαคือมุมของไตรมาสพิกัด I, II, III, IVถ้าจุดА 1 อยู่ในไตรมาส I, II, III, IV ตามลำดับ; ถ้ามุมαเป็นเช่นนั้นจุด A 1 อยู่บนเส้นพิกัด Ox หรือ Oy มุมนี้จะไม่อยู่ในสี่ส่วนใดส่วนหนึ่ง

เพื่อความชัดเจนเราขอนำเสนอภาพประกอบกราฟิก ในภาพวาดด้านล่างนี้จะแสดงมุมของการหมุน 30, −210, 585 และ −45 องศาซึ่งเป็นมุม I, II, III และ IV ของส่วนพิกัดตามลำดับ

มุม 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... องศาไม่ได้อยู่ในไตรมาสใดพิกัดหนึ่ง

ทีนี้มาดูกันว่าสัญญาณใดมีค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนαขึ้นอยู่กับว่ามุมของมุมαเป็นเท่าใด

สำหรับไซน์และโคไซน์นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะทำ

ตามความหมายไซน์ของมุมαคือลำดับของจุด A 1 เห็นได้ชัดว่าในไตรมาสที่ I และ II เป็นค่าบวกและในไตรมาส III และ IV เป็นค่าลบ ดังนั้นไซน์ของมุมαจึงมีเครื่องหมายบวกในไตรมาส I และ II และเครื่องหมายลบในไตรมาส III และ VI

ในทางกลับกันโคไซน์ของมุมαคือ abscissa ของจุด A 1 ในไตรมาสแรกและไตรมาสที่สี่เป็นค่าบวกและในไตรมาสที่สองและสามเป็นค่าลบ ดังนั้นค่าของโคไซน์ของมุมαในไตรมาส I และ IV จึงเป็นบวกและในไตรมาส II และ III - เป็นลบ

ในการกำหนดเครื่องหมายตามไตรมาสของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คุณต้องจำคำจำกัดความของพวกเขา: แทนเจนต์คืออัตราส่วนของลำดับของจุด A1 กับ abscissa และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A1 ต่อการกำหนด . แล้วจาก กฎสำหรับการหารตัวเลข ด้วยเครื่องหมายที่เหมือนกันและแตกต่างกันตามมาว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีเครื่องหมายบวกเมื่อสัญญาณของ abscissa และลำดับของจุด A1 เหมือนกันและมีเครื่องหมายลบ - เมื่อสัญญาณของ abscissa และลำดับของจุด A1 แตกต่าง. ดังนั้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจึงมีเครื่องหมาย + ในส่วนพิกัด I และ III และเครื่องหมายลบในไตรมาส II และ IV

ตัวอย่างเช่นในไตรมาสแรกทั้ง abscissa x และลำดับ y ของจุด A 1 เป็นบวกดังนั้นทั้งผลหาร x / y และผลหาร y / x จึงเป็นบวกดังนั้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมี + สัญญาณ. และในไตรมาสที่สอง abscissa x เป็นลบและการกำหนด y เป็นบวกดังนั้นทั้ง x / y และ y / x จึงเป็นลบดังนั้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมีเครื่องหมายลบ

เราส่งผ่านไปยังคุณสมบัติถัดไปของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

คุณสมบัติประจำงวด

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติที่ชัดเจนที่สุดของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้: เมื่อมุมถูกเปลี่ยนโดยจำนวนเต็มของการหมุนรอบเต็มค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง

สิ่งนี้เป็นที่เข้าใจได้: เมื่อมุมเปลี่ยนไปตามจำนวนการปฏิวัติจำนวนเต็มเราจะได้รับจากจุดเริ่มต้น A ถึงจุด A1 บนวงกลมหน่วยเสมอดังนั้นค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากพิกัดของจุด A 1 ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

การใช้สูตรคุณสมบัติที่พิจารณาของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถเขียนได้ดังนี้: sin (α + 2 π z) \u003d sinα, cos (α + 2 π z) \u003d cosα, tan (α + 2 π z ) \u003d tgα, ctg (α + 2 π z) \u003d ctgαโดยที่αคือมุมของการหมุนในหน่วยเรเดียน z คือค่าสัมบูรณ์ซึ่งระบุจำนวนการปฏิวัติที่สมบูรณ์ซึ่งมุมαเปลี่ยนแปลงและเครื่องหมาย ของตัวเลข z แสดงทิศทางการเลี้ยว

หากกำหนดมุมของการหมุนαเป็นองศาสูตรเหล่านี้จะถูกเขียนใหม่เป็น sin (α + 360 ° z) \u003d sinα, cos (α + 360 ° z) \u003d cosα, tg (α + 360 ° z) \u003d tgα , ctg (α + 360 ° z) \u003d ctgα

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่น, , เพราะ และ ... นี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง: หรือ.

คุณสมบัตินี้ร่วมกับสูตรการลดมักจะใช้เมื่อคำนวณค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมขนาด

คุณสมบัติที่พิจารณาของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์บางครั้งเรียกว่าสมบัติของคาบ

สมบัติของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเซนต์ของมุมตรงข้าม

ให้А 1 เป็นจุดที่ได้จากการหมุนของจุดเริ่มต้นА (1, 0) รอบจุด O โดยมุมαและจุดА 2 เป็นผลลัพธ์ของการหมุนของจุดАผ่านมุม −α ตรงข้ามกับ มุมα

สมบัติของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคทาแทนเจนต์ของมุมตรงข้ามนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ค่อนข้างชัดเจน: จุด A1 และ A2 ที่กล่าวถึงข้างต้นตรงกัน (at) หรืออยู่ในตำแหน่งสมมาตรเกี่ยวกับแกน Ox นั่นคือถ้าจุด A 1 มีพิกัด (x, y) แล้วจุด A 2 จะมีพิกัด (x, −y) จากที่นี่ตามคำจำกัดความของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เราเขียนความเท่าเทียมกันและ
เมื่อเปรียบเทียบพวกเขาเรามาถึงความสัมพันธ์ระหว่างไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเซนต์ของมุมตรงข้ามαและ −α ของรูปแบบ
นี่คือคุณสมบัติที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในรูปแบบของสูตร

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นความเท่าเทียมกันเป็นจริงและ .

ยังคงเป็นเพียงการสังเกตว่าสมบัติของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเซนต์ของมุมตรงข้ามเช่นคุณสมบัติก่อนหน้านี้มักใช้ในการคำนวณค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์และช่วยให้คุณออกไปได้อย่างสมบูรณ์ จากมุมลบ

รายการอ้างอิง.

• พีชคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับ 9 cl. วันพุธ โรงเรียน / Yu. N.Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky - M .: การศึกษา, 1990. - 272 p .: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• พีชคณิต และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: ตำราเรียน สำหรับ 10-11 cl. การศึกษาทั่วไป. สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorov - 14th ed. - M .: Education, 2004. - 384 p .: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Bashmakov M.I. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Textbook. สำหรับ 10-11 cl. วันพุธ shk. - 3rd ed. - M .: การศึกษา, 2536 - 351 น.: ป่วย. - ISBN 5-09-004617-4
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครโรงเรียนเทคนิค): หนังสือเรียน คู่มือ - ม.; สูงขึ้น. shk., 1984. -351 น., ป่วย.

มีความหลากหลาย บางคนเกี่ยวกับว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นบวกและลบซึ่งในสี่ส่วนของไซน์เป็นบวกและลบ ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้วิธีคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในมุมต่างๆและคุ้นเคยกับหลักการของฟังก์ชันการลงจุดบนกราฟ

ค่าโคไซน์คืออะไร

ถ้าเราพิจารณาแล้วเรามีอัตราส่วนภาพต่อไปนี้ซึ่งกำหนดมัน: โคไซน์ของมุม และ คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน BC กับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB (รูปที่ 1): cos ก \u003d BC / AB.

ใช้สามเหลี่ยมเดียวกันคุณจะพบไซน์ของมุมสัมผัสและโคแทนเจนต์ ไซนัสจะเป็นอัตราส่วนที่ตรงกันข้ามกับมุมของขา AC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB พบแทนเจนต์ของมุมถ้าไซน์ของมุมที่ต้องการหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน แทนสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับการหาไซน์และโคไซน์เราได้ tg นั้น ก \u003d AC / BC โคแทนเจนต์ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ตรงกันข้ามกับแทนเจนต์จะพบได้ดังนี้: ctg ก \u003d BC / AC

นั่นคือสำหรับค่ามุมเดียวกันพบว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากอัตราส่วนจะเท่ากันเสมอ ดูเหมือนว่ามันจะชัดเจนว่าค่าเหล่านี้มาจากไหน แต่ทำไมถึงได้ตัวเลขเชิงลบ?

ในการทำเช่นนี้คุณต้องพิจารณาสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีทั้งค่าบวกและค่าลบ

ชัดเจนเกี่ยวกับไตรมาสที่คืออะไร

พิกัดคาร์ทีเซียนคืออะไร? ถ้าเราพูดถึงปริภูมิสองมิติเรามีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันที่จุด O - นี่คือแกน abscissa (Ox) และแกนกำหนด (Oy) จากจุด O ในทิศทางของเส้นตรงตัวเลขบวกจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม - ค่าลบ ในที่สุดสิ่งนี้จะกำหนดโดยตรงว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นบวกและตามลำดับคือลบ

ครึ่งแรก

หากคุณวางสามเหลี่ยมมุมฉากในไตรมาสแรก (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 o) โดยที่แกน x และ y มีค่าเป็นบวก (ส่วน AO และ BO อยู่บนแกนที่มีค่า " เครื่องหมาย + ") แล้วไซน์คืออะไรโคไซน์คืออะไรจะมีค่าเป็นบวกและกำหนดให้เป็นเครื่องหมายบวก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณย้ายสามเหลี่ยมไปที่ไตรมาสที่สอง (จาก 90o เป็น 180o)?

ไตรมาสที่สอง

เราจะเห็นว่าขา AO มีค่าเป็นลบตามแกน y โคไซน์ของมุม ก ตอนนี้มันมีความสัมพันธ์กับด้านนี้ด้วยเครื่องหมายลบดังนั้นค่าสุดท้ายจึงกลายเป็นลบ ปรากฎว่าในไตรมาสใดที่โคไซน์เป็นบวกขึ้นอยู่กับตำแหน่งของสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และในกรณีนี้โคไซน์ของมุมจะกลายเป็นลบ แต่สำหรับไซน์ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงเพราะในการกำหนดสัญลักษณ์จำเป็นต้องใช้ด้าน OB ซึ่งในกรณีนี้จะยังคงมีเครื่องหมายบวก ขอสรุปสองไตรมาสแรก

หากต้องการทราบว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นบวกและเป็นลบ (เช่นเดียวกับไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ) คุณต้องดูว่าเครื่องหมายใดที่กำหนดให้กับขาข้างใดข้างหนึ่ง สำหรับโคไซน์ของมุม ก ขา AO มีความสำคัญสำหรับไซนัส - OB

จนถึงขณะนี้ไตรมาสแรกกลายเป็นไตรมาสเดียวที่ตอบคำถาม: "ไตรมาสใดที่มีไซน์และโคไซน์เป็นบวกในเวลาเดียวกัน" มาดูกันต่อไปว่าจะยังมีความบังเอิญอยู่ในสัญลักษณ์ของฟังก์ชันทั้งสองนี้หรือไม่

ในไตรมาสที่สองขา AO เริ่มมีค่าเป็นลบซึ่งหมายความว่าโคไซน์ก็กลายเป็นลบเช่นกัน ค่าบวกจะถูกเก็บไว้สำหรับไซน์

ไตรมาสที่สาม

ตอนนี้ทั้งสองขา AO และ OB กลายเป็นลบแล้ว ลองนึกถึงความสัมพันธ์ของโคไซน์และไซน์:

เพราะ \u003d AO / AB;

บาป a \u003d VO / AB

AB มีเครื่องหมายบวกเสมอในระบบพิกัดที่กำหนดเนื่องจากไม่ได้นำไปที่ทั้งสองด้านที่กำหนดโดยแกน แต่ขากลายเป็นลบซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของทั้งสองฟังก์ชันจะเป็นลบเช่นกันเพราะถ้าคุณทำการคูณหรือหารด้วยตัวเลขซึ่งมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่มีเครื่องหมายลบผลลัพธ์ก็จะเป็นเครื่องหมายนี้ด้วย

ผลลัพธ์ในขั้นตอนนี้:

1) โคไซน์เป็นบวกในไตรมาสใด? ในช่วงแรกของสาม

2) ไซน์เป็นบวกในไตรมาสใด ในครั้งแรกและครั้งที่สองของสาม

ไตรมาสที่สี่ (จาก 270 ถึง 360 o)

ที่นี่ขา AO ได้รับเครื่องหมายบวกอีกครั้งและด้วยเหตุนี้โคไซน์ก็เช่นกัน

สำหรับไซน์กรณียังคงเป็น "ลบ" เนื่องจากขา OB ยังคงอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น O

ข้อค้นพบ

เพื่อให้เข้าใจว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นบวกลบ ฯลฯ คุณต้องจำอัตราส่วนในการคำนวณโคไซน์: ขาที่อยู่ติดกับมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ครูบางคนแนะนำให้จำสิ่งนี้: มุม k (osine) \u003d (k) หากคุณจำคำว่า "โกง" นี้ได้คุณจะเข้าใจโดยอัตโนมัติว่าไซน์คืออัตราส่วนที่ตรงกันข้ามกับมุมของขากับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่อนข้างยากที่จะจำว่าโคไซน์ในไตรมาสใดเป็นค่าบวกและค่าลบ มีฟังก์ชันตรีโกณมิติมากมายและต่างก็มีความหมายในตัวเอง แต่ผลที่ตามมา: ค่าบวกสำหรับไซน์ - 1, 2 ไตรมาส (จาก 0 ถึง 180 o); สำหรับโคไซน์ 1, 4 ควอเตอร์ (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 o และจาก 270 ถึง 360 o) ในไตรมาสที่เหลือฟังก์ชันจะมีค่าที่มีเครื่องหมายลบ

บางทีอาจจะง่ายกว่าที่ใครบางคนจะจำได้ว่าเครื่องหมายใดอยู่ที่ใดตามภาพฟังก์ชัน

สำหรับไซน์จะเห็นได้ว่าจากศูนย์ถึง 180 °ยอดอยู่เหนือเส้นของค่า sin (x) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนั้นเป็นค่าบวกเช่นกัน สำหรับโคไซน์นั้นเหมือนกัน: ในไตรมาสที่โคไซน์เป็นบวก (ภาพถ่าย 7) และในไตรมาสใดที่สามารถมองเห็นได้โดยการเคลื่อนที่ของเส้นด้านบนและด้านล่างของแกน cos (x) เป็นผลให้เราจำได้สองวิธีในการกำหนดสัญลักษณ์ของฟังก์ชันไซน์คือโคไซน์:

1. ตามวงกลมในจินตนาการที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง (แม้ว่าในความเป็นจริงมันไม่สำคัญว่าวงกลมจะมีรัศมีเท่าใด แต่ในตำรามักจะให้ตัวอย่างเช่นนี้บ่อยที่สุดสิ่งนี้ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น แต่ที่ ในขณะเดียวกันหากคุณไม่ระบุว่าไม่ใช่ประเด็นเด็ก ๆ อาจสับสนได้)

2. โดยภาพของการพึ่งพาของฟังก์ชันบน (x) บนอาร์กิวเมนต์ x เองดังรูปสุดท้าย

เมื่อใช้วิธีแรกคุณจะเข้าใจได้ว่าสัญลักษณ์นั้นขึ้นอยู่กับอะไรและเราได้อธิบายรายละเอียดด้านบนนี้ รูปที่ 7 สร้างขึ้นตามข้อมูลเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงฟังก์ชันที่ได้รับและเครื่องหมายที่เป็นของในวิธีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้