Знак тригонометричної функції залежить виключно від координатної чверті, в якій розташовується числовий аргумент. Минулого разу ми вчилися переводити аргументи з радіанної міри в градусну (див. урок «Радіанна і градусна міра кута»), а потім визначати цю координатну чверть. Тепер займемося, власне, визначенням символу синуса, косинуса та тангенсу.
Синус кута α — це ордината (координата y) точки на тригонометричному колі, що виникає при повороті радіуса на кут α.
Косинус кута α - це абсциса (координата x) точки на тригонометричному колі, що виникає при повороті радіуса на кут α.
Тангенс кута - це відношення синуса до косінус. Або, що те саме, відношення координати y до координати x .
Позначення: sin α = y; cos α = x; tg α = y: x.
Всі ці визначення знайомі вам із курсу алгебри старших класів. Проте нас цікавлять не самі визначення, а наслідки, що виникають на тригонометричному колі. Погляньте:
Синім кольором позначено позитивний напрямок осі OY (вісь ординат), червоним - позитивний напрямок осі OX (вісь абсцис). У цьому «радарі» знаки тригонометричних функцій стають очевидними. Зокрема:
- sin α > 0, якщо кут α лежить у I чи II координатній чверті. Це відбувається через те, що за визначенням синус це ордината (координата y). А координата y буде позитивною саме у I та II координатних чвертях;
- cos α > 0, якщо кут α лежить у I чи IV координатній чверті. Тому що тільки там координата x (вона ж — абсцис) буде більшою за нуль;
- tg > 0, якщо кут лежить в I або III координатної чверті. Це з визначення: адже tg α = y : x , тому він позитивний лише там, де знаки x і y збігаються. Це відбувається в I координатній чверті (тут x > 0, y > 0) та III координатній чверті (x< 0, y < 0).
Для наочності відзначимо знаки кожної тригонометричної функції – синуса, косинуса та тангенсу – на окремих «радарах». Отримаємо таку картинку:
Зауважте: у своїх міркуваннях я жодного разу не говорив про четверту тригонометричну функцію — котангенс. Справа в тому, що знаки котангенсу збігаються зі знаками тангенсу – жодних спеціальних правил там немає.
Тепер пропоную розглянути приклади, схожі на завдання B11 із пробного ЄДІ з математики, який проходив 27 вересня 2011 року. кращий спосібзрозуміти теорію – це практика. Бажано багато практики. Зрозуміло, умови завдань було трохи змінено.
Завдання. Визначте знаки тригонометричних функцій та виразів (значення самих функцій рахувати не треба):
- sin (3π/4);
- cos (7?/6);
- tg (5?/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План дій такий: спочатку переводимо всі кути з радіанної міри в градусну (π → 180 °), а потім дивимося в якій чверті координатної лежить отримане число. Знаючи чверті, ми легко знайдемо знаки - за щойно описаними правилами. Маємо:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180 ° / 4) = sin 135 °. Оскільки 135° ∈ , це кут II координатної чверті. Але синус у II чверті позитивний, тому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180 ° / 6) = cos 210 °. Т.к. 210° ∈ , це кут III координатної чверті, в якій всі косинуси негативні. Отже, cos (7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180 ° / 3) = tg 300 °. Оскільки 300° ∈ , ми знаходимося у IV чверті, де тангенс набуває негативних значень. Тому tg (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 6) = sin 135 ° · cos 150 °. Розберемося із синусом: т.к. 135° ∈ , це чверть II, в якій синуси позитивні, тобто. sin (3π/4) > 0. Тепер працюємо з косинусом: 150° ∈ — знову ІІ чверть, косинуси там негативні. Тому cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 4) = cos 120 ° · tg 45 °. Дивимося на косинус: 120° ∈ - це II координатна чверть, тому cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Знову отримали твір, у якому множники різних знаків. Оскільки "мінус на плюс дає мінус", маємо: cos (2π/3) · tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180 ° / 6) · cos (7 · 180 ° / 4) = sin 150 ° · cos 315 °. Працюємо із синусом: оскільки 150° ∈ , мова йде II координатної чверті, де синуси позитивні. Отже, sin (5π/6) > 0. Аналогічно, 315° ∈ — IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Тому cos (7π/4) > 0. Отримали добуток двох позитивних чисел - такий вираз завжди позитивний. Укладаємо: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 3) = tg 135 ° · cos 300 °. Але кут 135 ° ∈ - це II чверть, тобто. tg (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Оскільки «мінус плюс дає знак мінус», маємо: tg (3π/4) · cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 6) = ctg 240 ° · tg 30 °. Дивимося на аргумент котангенсу: 240° ∈ – це III координатна чверть, тому ctg (4π/3) > 0. Аналогічно, для тангенсу маємо: 30° ∈ – це I координатна чверть, тобто. найпростіший кут. Тому tg (π/6) > 0. Знову отримали два позитивні вирази — їхній твір теж буде позитивним. Тому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
На закінчення розглянемо кілька складніших завдань. Крім з'ясування знака тригонометричної функції, тут доведеться трохи порахувати саме так, як це робиться в справжніх завданнях B11. У принципі це майже справжні завдання, які дійсно зустрічаються в ЄДІ з математики.
Завдання. Знайдіть sin α, якщо sin 2 α = 0,64 і α ∈ [π/2; π].
Оскільки sin 2 α = 0,64 маємо: sin α = ±0,8. Залишилося вирішити: плюс чи мінус? За умовою, кут α ∈ [π/2; π] - це II координатна чверть, де всі синуси позитивні. Отже, sin α = 0,8 – невизначеність зі знаками усунена.
Завдання. Знайдіть cos α, якщо cos 2 α = 0,04 та α ∈ [π; 3π/2].
Діємо аналогічно, тобто. вилучаємо квадратний корінь: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. За умовою, кут α ∈ [π; 3π/2], тобто. мова йде про ІІІ координатну чверть. Там усі косинуси негативні, тому cos α = −0,2.
Завдання. Знайдіть sin α, якщо sin 2 α = 0,25 та α ∈ .
Маємо: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Знову дивимося на кут: α ∈ — IV координатна чверть, у якій, як відомо, синус буде негативним. Таким чином укладаємо: sin α = −0,5.
Завдання. Знайдіть tg α, якщо tg 2 α = 9 і α ∈ .
Все те саме, тільки для тангенсу. Виймаємо квадратний корінь: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Але за умовою кут α ∈ це I координатна чверть. Усі тригонометричні функції, в т.ч. тангенс, там позитивні, тож tg α = 3. Все!
Дозволяють встановити низку характерних результатів – властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. У цій статті ми розглянемо три основні властивості. Перше вказує знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута α залежно від цього, кутом якої координатної чверті є α . Далі ми розглянемо властивість періодичності, що встановлює незмінність значень синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу кута при зміні цього кута на ціле число оборотів. Третя властивість виражає залежність між значеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу протилежних кутів α і −α .
Якщо Вас цікавлять властивості функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса, їх можна вивчити у відповідному розділі статті .
Навігація на сторінці.
Знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу по чвертях
Нижче в цьому пункті зустрічатиметься фраза «кут I, II, III і IV координатної чверті». Пояснимо, що це за кути.
Візьмемо одиничну коло , відзначимо на ній початкову точку А(1, 0) , і повернемо її навколо точки O на кут α, при цьому вважатимемо, що ми потрапимо до точки A 1 (x, y) .
Кажуть що кут α є кутом I, II, III, IV координатної чвертіякщо точка А 1 лежить в I, II, III, IV чверті відповідно; якщо ж кут такий, що точка A 1 лежить на будь-якій з координатних прямих Ox або Oy , то цей кут не належить жодній з чотирьох чвертей.
Для наочності наведемо графічну ілюстрацію. На кресленнях нижче зображені кути повороту 30, -210, 585 і -45 градусів, які є кутами I, II, III і IV координатних чвертей відповідно.
Кути 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градусів не належать жодній з координатних чвертей.
Тепер розберемося, які знаки мають значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α залежно від того, кутом якої чверті є α .
Для синуса та косинуса це зробити просто.
За визначенням синус кута - це ордината точки А 1 . Вочевидь, що у І і ІІ координатних чвертях вона позитивна, а III і IV чвертях – негативна. Таким чином, синус кута α має знак плюс у I та II чвертях, а знак мінус – у III та VI чвертях.
У свою чергу косинус кута α - це абсцис точки A 1 . У І та IV чвертях вона позитивна, а у ІІ та ІІІ чвертях – негативна. Отже, значення косинуса кута α у І та IV чвертях позитивні, а у II та III чвертях – негативні.
Щоб визначити знаки по чвертях тангенсу та котангенсу, потрібно згадати їх визначення: тангенс – це відношення ординати точки A 1 до абсциси, а котангенс – відношення абсциси точки A 1 до ординати. Тоді з правил розподілу чиселз однаковими та різними знаками слід, що тангенс і котангенс мають знак плюс, коли знаки абсциси та ординати точки A 1 однакові, і мають знак мінус – коли знаки абсциси та ординати точки A 1 різні. Отже, тангенс і котангенс кута мають знак + у І та ІІІ координатних чвертях, і знак мінус – у ІІ та ІV чвертях.
Дійсно, наприклад, у першій чверті і абсцису x, і ордината y точки A 1 позитивні, тоді і приватне x/y, і приватне y/x - позитивно, отже, тангенс і котанген мають знаки + . А в другій чверті абсцису x – негативна, а ордината y – позитивна, тому і x/y та y/x – негативні, звідки тангенс і котангенс мають знак мінус.
Переходимо до наступної властивості синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.
Властивість періодичності
Зараз ми розберемо, мабуть, найбільш очевидну властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута. Воно полягає в наступному: при зміні кута на ціле число повних обертів значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу цього кута не змінюються.
Це і зрозуміло: при зміні кута на ціле число оборотів ми з початкової точки А завжди потраплятимемо в точку А 1 на одиничному колі, отже значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса залишаються незмінними, оскільки незмінні координати точки A 1 .
За допомогою формул аналізовану властивість синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу можна записати так: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tg(α+2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , де α - кут повороту в радіанах, z – будь-яке , абсолютна величинаякого вказує кількість повних оборотів, куди змінюється кут α , а знак числа z вказує напрямок повороту.
Якщо ж кут повороту α заданий у градусах, то зазначені формули перепишуться у вигляді sin(α+360°z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .
Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, 
, так як 
, а 
. Ось ще приклад: або .
Ця властивість разом із формулами приведення дуже часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу «великих» кутів.
Розглянуту властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу іноді називають властивістю періодичності.
Властивості синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів
Нехай А 1 – точка, отримана внаслідок повороту початкової точки А(1, 0) навколо точки O на кут α, а точка А 2 – це результат повороту точки А на кут −α протилежний куту α .
Властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів базується на досить очевидному факті: згадані вище точки А 1 і А 2 або збігаються (при ), або розташовуються симетрично щодо осі Ox . Тобто, якщо точка A 1 має координати (x, y) то точка А 2 матиме координати (x, −y) . Звідси за визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу записуємо рівності та .
Зіставляючи їх, приходимо до співвідношень між синусами, косинусами, тангенсами та котангенсами протилежних кутів α і −α виду .
Це і розглядається властивість у вигляді формул.
Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, справедливі рівності та 
.
Залишається лише помітити, що властивість синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів протилежних кутів, як і попередня властивість, часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, і дозволяє повністю уникнути негативних кутів.
Список літератури.
- Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
- Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
- Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Різноманітні. Деякі їх - у тому, у яких чвертях косинус позитивний і негативний, у яких чвертях синус позитивний і негативний. Все виявляється просто, якщо знаєш, як обчислити значення даних функцій у різних кутах і знайомий із принципом побудови функцій на графіку.
Які значення косинуса
Якщо розглядати, то ми маємо наступне співвідношення сторін, яке його визначає: косинусом кута ає відношення прилеглого катета ВС до гіпотенузи АВ (рис. 1): cos a= НД/АВ.
За допомогою цього трикутника можна знайти синус кута, тангенс і котангенс. Синусом буде співвідношення протилежного до кута катета АС до гіпотенузи АВ. Тангенс кута знаходиться, якщо синус шуканого кута розділити на косинус того самого кута; підставивши відповідні формули знаходження синуса та косинуса, отримаємо, що tg a= АС/ВС. Котангенс, як зворотна до тангенсу функція, буде так: ctg a= НД/АС.
Тобто при однакових значеннях кута виявилося, що у прямокутному трикутнику співвідношення сторін завжди однакове. Здавалося б, зрозуміли, звідки ці значення, але чому виходять негативні числа?
Для цього потрібно розглядати трикутник в системі декартової координат, де присутні як позитивні, так і негативні значення.
Наочно про чверть, де яка
Що таке декартові координати? Якщо говорити про двовимірний простір, ми маємо дві спрямовані прямі, які перетинаються в точці О – це вісь абсцис (Ох) та вісь ординат (Оу). Від точки О у напрямі прямої розташовуються позитивні числа, а в зворотний бік- Негативні. Від цього, зрештою, безпосередньо залежить, у яких чвертях косинус позитивний, а яких, відповідно, негативний.
Перша чверть
Якщо розмістити прямокутний трикутник у першій чверті (від 0 до 90 про), де вісь х і у мають позитивні значення (відрізки АТ і ВО лежать на осях там, де значення мають знак "+"), то що синус, що косинус теж матимуть позитивні значення, і їм надано значення зі знаком «плюс». Але що відбувається, якщо перемістити трикутник у другу чверть (від 90 до 180 о)?
Друга чверть
Бачимо, що по осі у катет АТ отримав від'ємне значення. Косинус кута aтепер має у відсотковому співвідношенні цю бік з мінусом, тому й підсумкове його значення стає негативним. Виходить, що те, в якій чверті позитивний косинус, залежить від розміщення трикутника в системі декартових координат. І в цьому випадку косинус кута набуває негативного значення. А ось для синуса нічого не змінилося, адже для визначення його знака потрібна сторона ВВ, яка залишилася в даному випадку зі знаком плюс. Підіб'ємо підсумок за першими двома чвертями.
Щоб з'ясувати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний (і навіть синус та інші тригонометричні функції), необхідно дивитися те що, який знак присвоєний тому чи іншому катету. Для косинуса кута aважливий катет АТ, для синусу - ОВ.
Перша чверть поки що стала єдиною, що відповідає питанням: «У яких чвертях синус і косинус позитивний одночасно?». Подивимося далі, чи ще збіги за знаком цих двох функцій.
У другій чверті катет АТ став мати негативне значення, отже, і косинус став негативним. Для синусу збережено позитивне значення.
Третя чверть
Тепер обидва катета АТ та ВВ стали негативними. Згадаймо співвідношення для косинуса та синуса:
Cos a = АТ/АВ;
Sin a = ВО/АВ.
АВ завжди має позитивний знак у цій системі координат, тому що не спрямована в жодну з двох визначених осями сторін. А ось катети стали негативними, а значить і результат для обох функцій теж негативний, адже якщо робити операції множення або поділу з числами, серед яких одне і одне має знак «мінус», то результат теж буде з цим знаком.
Підсумок на цьому етапі:
1) У якій чверті косинус позитивний? У першій із трьох.
2) У якій чверті синус позитивний? У першій та другій з трьох.
Четверта чверть (від 270 про до 360 про)
Тут катет АТ знову набуває знак "плюс", а значить і косинус теж.
Для синуса справи все ще «негативні», адже катет ВВ залишився нижчим від початкової точки О.
Висновки
Для того щоб розуміти, в яких чвертях косинус позитивний, негативний і т.д., потрібно запам'ятати співвідношення для обчислення косинуса: катет, що прилягає до кута, поділений на гіпотенузу. Деякі вчителі пропонують запам'ятати так: к(осинус) = (к) кутку. Якщо запам'ятати цей «чит», то автоматично розумієш, що синус – це ставлення протилежного до кута катета до гіпотенузи.
Запам'ятати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний, досить складно. Тригонометричних функцій багато, і всі вони мають свої значення. Але все-таки, як наслідок: позитивні значення для синуса - 1, 2 чверті (від 0 до 180 про); для косинуса 1, 4 чверті (від 0 до 90 про і від 270 про до 360 про). У решті чвертей функції мають значення з мінусом.
Можливо, комусь буде легше запам'ятати, де якийсь знак, за зображенням функції.
Для синуса видно, що з нуля до 180 про гребінь перебуває над лінією значень sin(x), отже, і функція тут позитивна. Для косинуса так само: у якій чверті косинус позитивний (фото 7), а який негативний видно по переміщенню лінії над і під віссю cos(x). Як наслідок, ми можемо запам'ятати два способи визначення знака функцій синус, косинус:
1. За уявним колом з радіусом рівним одиниці (хоча, насправді, не важливо, який радіус у кола, але в підручниках найчастіше наводять саме такий приклад; це полегшує сприйняття, але в той же час, якщо не обмовитися, що це не має значення, діти можуть заплутатися).
2. По зображенню залежності функції (х) від самого аргументу х, як на останньому малюнку.
За допомогою першого способу можна ЗРОЗУМІТИ, від чого залежить знак, і ми докладно роз'яснили це вище. Малюнок 7, побудований за цими даними, якнайкраще візуалізує отриману функцію та її знакопринадлежність.
