Работа газа

1. Первый закон термодинамики

Существование двух способов передачи энергии термодинамической системе позво­ляет проанализировать с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода системы из какого-либо начального состоя­ния 1 в другое состояние 2 . Изменение внутренней энергии системы

 U 1-2 = U 2 - U 1

в таком процессе равно сумме работы A ’ 1-2 совершаемой над системой внешними силами и теплоты Q 1-2 сообщенной системе:

 U 1-2 = A ’ 1-2 + Q 1-2 (2. 3 )

Работа A ’ 1-2 численно равна и противопо­ложна по знаку работе A 1-2 , совершае­мой самой системой против внешних сил в том же процессе перехода:

A ’ 1-2 = - A 1-2 .

Поэтому выражение (2.6) можно переписать иначе:

Q 1-2 =  U 1-2 + A 1-2 (2. 3 )

Первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы против внешних сил.

 Q = dU +  A (2. 3 )

dU – внутренняя энергия, является полным дифференциалом.

Q и  A не являются полными дифференциалами.

Q 1-2 =
(2. 3 )

.

Исторически установление первого начала термодинамики было связано с неудачами создания вечного двигателя первого рода (перпетуум мобиле), в котором машина совершала бы работу не получая извне тепла и не затрачивая при этом никакого вида энергии. Первый закон термодинамики говорит о невозможности построения такого двигателя.

Q 1-2 =  U 1-2 + A 1-2

1. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

   1. Изобарный процесс.

р = const

A = = p ( V 2 - V 1 ) = p  V ,

где р – давление газа,  V – изменение его объема.

Т.к. PV 1 = RT 1 ; PV 2 = RT 2,

то V 2 - V 1 = (T 2 – T 1 ) и

А = R (T 2 – T 1 ); (2. 3 )

Таким образом, получаем, что универсальная газовая постоян­ная R равна работе, которую совершает моль идеального газа при повышении его температуры на один Кельвин при постоян­ном давлении.

Учитывая выражение (2.10), уравнение первого начала термодинамики (2.8) можно записать следующим образом

 Q = dU + pdV. (2. 3)

1. Изохорный процесс

V = const , следовательно, dV = 0

 А = p  V = 0

 Q =  U .

 Q =  U = R  T (2. 3 )

1. Изотермический процесс

Т = const ,

U = 0 внутренняя энергия идеального газа не изменяется, и

Q =  А

A = =
= RTln (2. 3 )

Для того, чтобы температура газа при расширении не уменьшалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения, т.е. А = Q .

Практически, чем медленнее протекает процесс, тем с большей точностью его можно считать изотермическим.

Графически работа при изотермическом процессе численно равна площади заштрихованной проекции на рис.

Сравнивая площади фигур под участками изотермы и изобары можно сделать вывод, что расширение газа от объема V 1 до объема V 2 при одинаковом начальном значении давления газа сопровождается в случае изобарного расширения совершением большей работы.

1. Теплоемкость газов

Теплоемкостью С какого-либо тела называется отношение бесконечно малого количества теплоты d Q , полученного телом, к соответствующему приращению dT его температуры:

C тела = (2. 3 )

Эта величина измеряется в джоулях на кельвин (Дж/К).

Когда масса тела равна единице, теплоемкость называется удельной. Её обозначают малой буквой с. Она измеряется в джо­улях на килограмм . кельвин (Дж/кг . К).Между теплоемкостью моля вещества и удельной теплоем­костью того же вещества существует соотношение

(2. 3 )

Используя формулы (2.12) и (2.15), можно записать

(2. 3 )

Особое значение имеют теплоемкости при постоянном объеме С V и постоянном давлении С р . Если объем остается постоянным, то dV = 0 и согласно первому началу термодинамики (2.12) вся теп­лота идет на приращение внутренней энергии тела

 Q = dU (2. 3 )

Из этого равенства вытекает, что теплоемкость моля идеального газа при постоянном объеме равна

(2. 3 )

Отсюда dU  = C V dT , а внутренняя энергия одного моля идеального газа равна

U  = C V T (2. 3 )

Внутренняя энергия произвольной массы газа т определяется по формуле

(2. 3 )

Учитывая, что для 1 моля идеального газа

U = RT ,

и считая число степеней свободы i неизменным, для молярной теплоемкости при постоянном объеме получаем

C v = = (2. 3 )

Удельная теплоемкость при постоянном объеме

с v = = (2. 3 )

Для произвольной массы газа справедливо соотношение:

 Q = dU = RdT ; (2. 3 )

Если нагревание газа происходит при постоянном давле­нии, то газ будет расширяться, совершая над внешними силами положительную работу. Поэтому теплоемкость при постоянном давлении должна быть больше, чем теплоемкость при постоян­ном объеме.

Если 1 молю газа при изобарном процессе сообщается количество теплоты  Q то введя понятие молярной теплоемкости при постоянном давлении С р = можно записать

 Q = C p dT ;

где C p – молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Т.к. в соответствии с первым началом термодинамики

 Q =  A + dU = RdT + RdT =

=(R + R)dT = (R + С V )dT,

то

С р == R + С V . (2. 3 )

Это соотношение называется уравнением Майера :

Выражение для С р можно также записать в виде:

С р = R + R =
. (2. 3 )

Удельную теплоемкость при постоянном давлении с p определим, разделив выражения (2.26) на  :

с p =
(2. 3 )

При изобарном сообщении газу массой m количества теплоты  Q его внутренняя энергия возрастает на величину  U = C V  T , а количество теплоты, переданное газу при изобарном процессе,  Q = C p  T .

Обозначив отношение теплоемкостей буквой  , получим

(2. 3 )

Очевидно,   1 и зависит только от сорта газа (числа сте­пеней свободы).

Из формул (2.22) и (2.26) следует, что молярные теплоем­кости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение справедливо в довольно широ­ком интервале температур лишь для одноатомных газов только с поступательными степенями свободы. У двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, степенями свободы: поступательными (3), вращательными (2) и колебатель­ными (2).

Таким образом, суммарное число степеней свободы достигает 7 и для молярной теплоемкости при постоянном объеме мы должны получить: С V = .

Из экспериментальной зависимости молярной теплоемкости водорода следует, что С V зависит от температуры: при низкой температуре ( 50 K ) С V = , при комнатной С V = и очень высокой - С V = .

Расхождение теории и эксперимента объясняется тем, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недоста­точна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы "замораживается" - к ней неприменим закон равномерного распределения энергии). Этим объ­ясняется последовательное (при определенных температурах) возбуждение степеней свободы, поглощающих тепловую энергию, и приведенная на рис. 13 зависимость C V = f ( T ).

При деформации конструкций происходит перемещение точек приложения внешних сил, при этом внешние силы на заданных перемещениях совершают работу.

Вычислим работу некоторой обобщенной силы (рис. 2.2.4), которая возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс. Такую нагрузку принято называть статической.

Рис.2.2.4

Пусть в произвольный момент деформации силе соответствует обобщенное перемещение. Бесконечно малое приращение силы на величину
вызовет бесконечно малое приращение перемещения
. Очевидно, что элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми величинами второго порядка,

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой , вызвавшей обобщенное перемещение,

. (2.2.5)

Полученный интеграл представляет собой площадь диаграммы
, которая для линейно деформированных систем является площадью треугольника с основанием окончательного значения перемещенияи высотой окончательного значения силы

(2.2.6)

Рис. 2.2.5

Таким образом, действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения (теорема Клапейрона).

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил работа деформаций равна полусумме произведений окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего суммарного перемещения

(2.2.7)

и не зависит от порядка нагружения системы.

Работа внутренних сил.

Внутренние силы, возникающие при деформировании упругих систем, также совершают работу.

Рассмотрим элемент стержня длиной
(рис. 2.2.6). В общем случае для плоского изгиба действие удаленных частей стержня на оставленный элемент выражается равнодействующими осевыми силами
, поперечными силамии изгибающими моментами
. Эти усилия, показанные на рис 2.2.6 сплошными линиями, по отношению к выделенному элементу являются внешними.

Рис.2.2.6

Внутренние силы, показанные штриховыми линиями, препятствуют деформации, вызываемой внешними силами, равны им по величине и обратны по направлению.

Вычислим работу, совершенную отдельно каждым внутренним силовым фактором.

Пусть элемент испытывает только действие осевых усилий, равномерно распределенных по сечению (рис. 2.2.6).

Рис. 2.2.7

Удлинение элемента в результате этого

,

Работа, постепенно возрастающих от нуля до величины
внутренних сил на этом перемещении.

. (2.2.8)

Работа внутренних сил отрицательна, поэтому в полученной формуле стоит знак «минус».

Рассмотрим теперь элемент, находящийся под действием изгибающих моментов (рис. 2.2.8).

Взаимный угол поворота сечений элемента

.

Работа изгибающих моментов

. (2.2.9)

Рис. 2.2.8

Работу постепенно возрастающих внутренних поперечных сил с учетом распределения касательных напряжений по поперечному сечению и на основании закона Гука можно записать в следующем виде

, (2.2.10)

где - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

Если стержень подвергается кручению, элементарная работа постепенно возрастающих крутящих моментов

(2.2.11)

Наконец в общем случае действия на брус в сечениях имеем шесть внутренних силовых факторов, работу которых можно определить по формуле

Историческая справка.

1) М.В. Ломоносов, проведя стройные рассуждения и простые опыты, пришел к выводу, что «причина теплоты состоит во внутреннем движении частиц связанной материи… Весьма известно, что тепло возбуждается движением: руки от взаимного трения согреваются, дерево загорается, искры вылетают при ударе кремнием о сталь, железо накаливается при ковании его частиц сильными ударами»

2) Б. Румфорд, работая на заводе по изготовлению пушек, заметил, что при сверлении пушечного ствола он сильно нагревается. Например, он помещал металлический цилиндр массой около 50 кг в ящик с водой и, сверля цилиндр сверлом, доводил воду в ящике до кипения за 2.5часа.

3) Дэви в 1799 году осуществил интересный опыт. Два куска льда при трении одного о другой начали таять и превращаться в воду.

4) Корабельный врач Роберт Майер в 1840 году во время плавания на остров Яву заметил, что после шторма вода в море всегда теплее, чем до него.

Вычисление работы.

В механике работа определяется как произведение модулей силы и перемещения: A=FS. При рассмотрении термодинамических процессов механическое перемещение макротел в целом не рассматривается. Понятие работы здесь связывается с изменением объема тела, т.е. перемещением частей макротела друг относительно друга. Процесс этот приводит к изменению расстояния между частицами, а также часто к изменению скоростей их движения, следовательно, к изменению внутренней энергии тела.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем находится газ при температуре T 1 (рис.). Будем медленно нагревать газ до температуры T 2 . Газ будет изобарно расширяться, и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние Δl . Сила давления газа при этом совершит работу над внешними телами. Так как p = const, то и сила давления F = pS тоже постоянная. Поэтому работу этой силы можно рассчитать по формуле A =F Δ l =pS Δ l =p Δ V , A= p Δ V

где ΔV - изменение объема газа. Если объем газа не изменяется (изохорный процесс), то работа газа равна нулю.

Почему при сжатии или расширении меняется внутренняя энергия тела? Почему при сжатии газ нагревается, а при расширении охлаждается?

Причиной изменения температуры газа при сжатии и расширении является следующее: при упругих соударениях молекул с движущимся поршнем их кинетическая энергия изменяется .

• Если газ сжимается, то при столкновении движущийся навстречу поршень передаёт молекулам часть своей механической энергии, в результате чего газ нагревается;

• Если газ расширяется, то после столкновения с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьшаются. в результате чего газ охлаждается.

При сжатии и расширении меняется и средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул, так как при этом меняется среднее расстояние между молекулами.

Работа внешних сил, действующих на газ

• При сжатии газа, когда ΔV = V 2 – V 1 < 0 , A>0, направления силы и перемещения совпадают;
• При расширении, когда ΔV = V 2 – V 1 > 0 , A<0, направления силы и перемещения противоположны.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа:

pV 1 = m/M*RT 1 ; pV 2 =m/M* RT 2 ⇒

p (V 2 − V 1 )= m/M* R (T 2 − T 1 ).

Следовательно, при изобарном процессе

A = m/M* R Δ T .

Если m = М (1 моль идеального газа), то при ΔΤ = 1 К получим R = A . Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой постоянной : она численно равна работе, совершаемой 1 моль идеального газа при его изобарном нагревании на 1 К.

Геометрическое истолкование работы:

Если процесс не изобарный (рис. б), то кривую p = f (V ) можно представить как ломаную, состоящую из большого количества изохор и изобар. Работа на изохорных участках равна нулю, а суммарная работа на всех изобарных участках будет равна площади заштрихованной фигуры. При изотермическом процессе (Т = const) работа равна площади заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке в.

··· Орловский выпуск ···

Г.А.БЕЛУХА ,
школа № 4, г. Ливны, Орловская обл.

Работа газа в термодинамике

При изучении работы газа в термодинамике учащиеся неизбежно сталкиваются с трудностями, обусловленными слабыми навыками вычисления работы переменной силы. Поэтому к восприятию этой темы необходимо готовиться, начиная уже с изучения работы в механике и решая с этой целью задачи на работу переменной силы путём суммирования элементарных работ на всём пути с помощью интегрирования.

Например, при вычислениях работы силы Архимеда, силы упругости, силы всемирного тяготения и т.п. надо учиться суммировать элементарные величины с помощью простейших дифференциальных соотношений типа dA = Fds . Опыт показывает, что старшеклассники легко справляются с этой задачей, – дугу траектории, на которой сила увеличивается или уменьшается, нужно разбить на такие промежутки ds , на которых силу F можно считать постоянной величиной, а затем, зная зависимость F = F (s ), подставить её под знак интеграла. Например,

Работа этих сил вычисляется с помощью простейшего табличного интеграла

Такая методика облегчает адаптацию будущих студентов к восприятию курса физики в вузе и устраняет методические сложности, связанные с умением находить работу переменной силы в термодинамике и др.

После того как учащиеся усвоили, что такое внутренняя энергия и как найти её изменение, целесообразно дать обобщающую схему:

Усвоив, что работа – это один из способов изменения внутренней энергии, десятиклассники легко рассчитывают работу газа в изобарном процессе. На данном этапе необходимо подчеркнуть, что сила давления газа на всём пути не меняется, и по третьему закону Ньютона |F 2 | = |F 1 |, знак работы находим из формулы A = Fs cos. Если = 0°, то A > 0, если = 180°, то A < 0. На графике зависимости р (V ) работа численно равна площади под графиком.

Пусть газ расширяется или сжимается изотермически. Например, газ сжимается под поршнем, давление изменяется, и в любой момент времени

При бесконечно малом перемещении поршня на dl мы получим бесконечно малое изменение объёма dV , а давление р можно считать постоянным. По аналогии с нахождением механической работы переменной силы, составим простейшее дифференциальное соотношение dA = pdV , тогда и, зная зависимость р (V ), запишем Это табличный интеграл типа Работа газа в этом случае отрицательна, т.к. = 180°:

т.к. V 2 < V 1 .

Полученную формулу можно переписать, используя соотношение

Для закрепления решим задачи.

1. Газ переходит из состояния 1 (объём V 1 , давление р 1) в состояние 2 (объём V 2 , давление р 2) в процессе, при котором его давление зависит от объёма линейно. Найдите работу газа.

Решение. Построим примерный график зависимости p от V . Работа равна площади под графиком, т.е. площади трапеции:

2. Один моль воздуха, находящийся при нормальных условиях, расширяется от объёма V 0 до 2V 0 двумя способами – изотермически и изобарно. Сравните работу, совершённую воздухом в этих процессах.

Решение

При изобарном процессе A p = р 0 V , но р 0 = RT 0 /V 0 , V = V 0 , следовательно, A p = RT 0 .

При изотермическом процессе:

Сравним:

Изучив первый закон термодинамики и его применение к изопроцессам и закрепив решением задач тему о работе в термодинамике, учащиеся подготовились к восприятию наиболее сложной части термодинамики «Работа циклов и КПД тепловых машин». Этот материал я излагаю в следующей последовательности: работа циклов – цикл Карно – КПД тепловых машин – круговые процессы.

Круговым процессом (или циклом) называется термодинамический процесс, в результате которого тело, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если все процессы в цикле равновесные, то цикл считается равновесным. Его можно изобразить графически в виде замкнутой кривой.

На рисунке показан график зависимости давления p от объёма V (диаграмма p , V ) для некоторого цикла 1–2–3–4–1. На участках 1–2 и 4–1 газ расширяется и совершает положительную работу А 1 , численно равную площади фигуры V 1 412V 2 . На участке 2–3–4 газ сжимается и совершает работу А 2 , модуль которой равен площади фигуры V 2 234V 1 . Полная работа газ за цикл А = А 1 + А 2 , т.е. положительна и равна площади фигуры 12341 .

Если равновесный цикл изображается замкнутой кривой на р , V -диаграмме, которая обходится по часовой стрелке, то работа тела положительна, а цикл накзывается прямым. Если замкнутая кривая на р , V -диаграмме обходится против часовой стрелки, то газ совершает отрицательную работу за цикл, а цикл называется обратным. В любом случае модуль работы газа за цикл равен площади фигуры, ограниченной графиком цикла на р , V -диаграмме.

В круговом процессе рабочее тело возвращается в исходное состояние, т.е. в состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: U = 0. Так как, по первому закону термодинамики, для всего цикла Q = U + A , то Q = A . Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученных за цикл, равна работе тела за цикл: A ц = Q н + Q х = Q н – |Q х |.

Рассмотрим один из круговых процессов – цикл Карно. Он состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. Пусть рабочим телом является идеальный газ. Тогда на участке 1–2 изотермического расширения, согласно первому закону термодинамики, всё получаемое газом тепло идёт на совершение положительной работы: Q 12 = A 12 . То есть нет никаких потерь тепла в окружающее пространство и никакого изменения внутренней энергии: U = 0, т.к. T 12 = const (потому что газ – идеальный).

На участке 2–3 адиабатного расширения газ совершает положительную работу за счёт изменения внутренней энергии, т.к. Q ад = 0 = U 23 + A г23 A г23 = –U 23 . Здесь также нет потерь тепла, по определению адиабатного процесса.

На участке 3–4 над газом совершается положительная работа внешней силой, но он не нагревается (изотермический процесс). Благодаря достаточно медленно протекающему процессу и хорошему контакту с холодильником газ успевает отдавать получаемую за счёт работы энергию в виде тепла холодильнику. Сам же газ совершает при этом отрицательную работу: Q 34 = A г34 < 0.

На участке 4–1 газ адиабатно (без теплообмена) сжимается до исходного состояния. При этом он совершает отрицательную работу, а внешние силы – положительную: 0 = U 41 + A г41 A г41 = –U 41 .

Таким образом, за цикл газ получает тепло только на участке 1–2 , изотермически расширяясь:

Холодильнику тепло отдаётся только при изотермическом сжатии газа на участке 3–4 :

Согласно первому закону термодинамики

A ц = Q н – |Q x |;

КПД машины, работающей по циклу Карно, найдём по формуле

Согласно закону Бойля–Мариотта для процессов 1–2 и 3–4 , а также уравнению Пуассона для процессов 2–3 и 4–1 , легко доказать, что

После сокращений получим формулу КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Работу тепловых машин, работающих по обратному циклу, методически правильно, как показывает опыт, изучать на примере работы обратного цикла Карно, т.к. он обратим и его можно провести в обратном направлении: расширять газ при понижении температуры от T н до T x (процесс 1–4 ) и при низкой температуре T x (процесс 4–3 ), а затем сжимать (процессы 3–2 и 2–1 ). Теперь двигатель совершает работу, чтобы привести в действие холодильную машину. Рабочее тело отнимает количество теплоты Q x у продуктов внутри при низкой температуре T х, а отдаёт количество теплоты Q н окружающим телам, за пределами холодильника, при более высокой температуре T н. Таким образом, машина, работающая по обратному циклу Карно, уже не тепловая, а идеальная холодильная. Роль нагревателя (отдающего тепло) выполняет тело с более низкой температурой. Но, сохранив названия элементов, как в тепловой машине, работающей по прямому циклу, мы можем представить блок-схему холодильника в следующем виде:

Обратим внимание, что тепло от холодного тела переходит в холодильной машине к телу с более высокой температурой не самопроизвольно, а за счёт работы внешней силы.

Важнейшей характеристикой холодильника является холодильный коэффициент , определяющий эффективность работы холодильника и равный отношению количества теплоты, отнятого от холодильной камеры Q х к затраченной энергии внешнего источника

За один обратный цикл рабочее тело получает от холодильника количество теплоты Q х и отдаёт в окружающее пространство количество теплоты Q н, что больше Q х на работу A дв, совершаемую электродвигателем над газом за цикл: |Q н | = |Q х | + А дв.

Энергия, затраченная двигателем (электроэнергия в случае компрессорных электрических холодильников), идёт на полезную работу над газом, а также на потери при нагревании обмоток двигателя электрическим током Q R и на трение в схеме А тр.

Если пренебречь потерями на трение и джоулево тепло в обмотках двигателя, то холодильный коэффициент

Учитывая, что в прямом цикле

после несложных преобразований получим:

Последнее соотношение между холодильным коэффициентом и КПД тепловой машины, которая может работать и по обратному циклу, показывает, что холодильный коэффициент может быть больше единицы. В этом случае тепла отнимается от холодильной камеры и возвращается в комнату больше, чем для этого используется энергии двигателем.

В случае идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно (идеального холодильника), холодильный коэффициент имеет максимальное значение:

В реальных холодильниках т.к. не вся получаемая двигателем энергия идёт на работу над рабочим телом, о чём написано выше.

Решим задачу:

Оцените стоимость изготовления 1 кг льда в домашнем холодильнике, если температура испарения фреона –t х °С, температура радиатора t н °С. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии равна Ц. Температура в комнате t .

Дано :

m , c , t , t н, t х, , Ц.
____________
Д – ?

Решение

Стоимость Д изготовления льда равна произведению работы электродвигателя на тариф Ц: Д = ЦА.

Для превращения воды в лёд с температурой 0 °С необходимо отвести от неё количество теплоты Q = m (ct + ). Считаем приближённо, что над фреоном совершается обратный цикл Карно с изотермами при температурах T н и T х. Используем формулы для холодильного коэффициента: по определению, = Q /A и для идеального холодильника ид = T х /(T н – T х). Из условия следует, что ид.

Решаем совместно три последних уравнения:

Разбирая с учащимися эту задачу, необходимо обратить внимание на то, что основная работа холодильного устройства идёт не на охлаждение продуктов, а на поддержание температуры внутри холодильного шкафа путём периодической откачки тепла, проникающего сквозь стенки холодильника.

Для закрепления темы можно решить задачу:

КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермического процесса 1–2 , изохорического 2–3 и адиабатического 3–1 , равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна T . Найдите работу, совершённую моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

Решение

При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все участки цикла, используя первый закон термодинамики, и выявить участки, где тело получает и отдаёт тепло. Проведём мысленно ряд изотерм на р , V -диаграмме. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле на изотерме, а минимальная – в т. 3 . Обозначим их через T 1 и T 3 соответственно.

На участке 1–2 изменение внутренней энергии идеального газа U 2 – U 1 = 0. По первому закону термодинамики, Q 12 = (U 2 – U 1) + А 12 . Так как на участке 1–2 газ расширялся, то работа газа А 12 > 0. Значит, и подведённое к газу количество теплоты на этом участке Q 12 > 0, причём Q 12 = А 12 .

На участке 2–3 работа газа равна нулю. Поэтому Q 23 = U 3 – U 2 .

Воспользовавшись выражениями U 2 = c V T 1 и тем, что T 1 – T 3 = T , получим Q 23 = –c V T < 0. Это означает, что на участке 2–3 газ получает отрицательное количество теплоты, т.е. отдаёт тепло.

На участке 3–1 теплообмена нет, т.е. Q 31 = 0 и, по первому закону термодинамики, 0 = (U 1 – U 3) + A 31 . Тогда работа газа
A 31 = U 3 – U 1 = c V (T 3 –T 1) = –c V T .

Итак, за цикл газ совершил работу A 12 + А 31 = А 12 – c V T и получил тепло только на участке 1–2 . КПД цикла

Так как то работа газа на изотерме равна

Геннадий Антонович Белуха – заслуженный учитель РФ, педагогический стаж 20 лет, ежегодно его ученики занимают призовые места на различных этапах всероссийской олимпиады по физике. Хобби – компьютерная техника.

Приложение нагрузки к любому сооружению вызывает его деформацию. При этом части сооружения выходят из состояния покоя, приобретают некоторые скорости и ускорения. Если нагрузка возрастает медленно, то эти ускорения невелики, а потому можно пренебречь силами инерции, развивающимися в процессе перехода системы в деформированное состояние. Такое плавное (постепенное) приложение нагрузки называется статическим.

Определим работу внешней нагрузки, например силы Р, статически приложенной к некоторой упругой системе (рис. 1.11), материал которой удовлетворяет закону Гука.

При малых деформациях к этой системе применим принцип независимости действия сил, и, следовательно, перемещения отдельных точек и сечений конструкции прямо пропорциональны величине вызывающей их нагрузки. В общем виде эту зависимость можно выразить равенством

Здесь А - перемещение по направлению действия силы Р; а - некоторый коэффициент, зависящий от материала, схемы и размеров сооружения.

Увеличим силу Р на бесконечно малую величину Это приращение вызовет возрастание перемещения на величину

Составим выражение элементарной работы внешней силы на перемещении отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:

Заменяем значение на основании формулы (1.11) выражением

Интегрируя это выражение в пределах полного изменения силы от нуля до ее конечного значения, получаем формулу для определения работы, совершенной статически приложенной внешней силой Р:

Так как то полученную формулу можно представить в виде

В общем случае направление силы Р может не совпадать с направлением вызванного ею перемещения. Так как величина работы определяется произведением силы на путь, пройденный по направлению этой силы, то под величиной А надо понимать проекцию действительного (полного) перемещения точки приложения силы на направление силы. Например, при действии силы Р под углом к горизонтальной оси (рис. 2.11) перемещение А измеряется отрезком (представляющим собой проекцию действительного перемещения на направление силы Р).

В случае, когда к системе приложена пара сил с моментом ЗК (сосредоточенный момент), выражение работы можно получить аналогичным образом. При этом необходимо выбрать соответствующий сосредоточенному моменту вид перемещения; это будет угол поворота того поперечного сечения бруса, к которому приложен момент.

Например, работа момента, статически приложенного к балке, изображенной на рис. 3.11,

где О - угол поворота (в радианах) того сечения балки, к которому приложен момент Ш.

Итак, работа внешней силы при статическом действии ее на любое упругое сооружение равна половине произведения значения этой силы на величину соответствующего ей перемещения.

Для обобщения полученного вывода под силой понимаем любое воздействие, приложенное к упругой системе, т. е. не только сосредоточенную силу, но и момент, равномерно распределенную нагрузку и т. п.; под перемещением понимаем тот вид перемещения, на котором данная сила производит работу. Сосредоточенной силе Р соответствует линейное перемещение, моменту - угловое, а равномерно распределенной нагрузке - площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.

При статическом действии на сооружение группы внешних сил работа этих сил равна половине суммы произведений каждой силы на величину соответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы сил.

Так, например, при действии на балку, изображенную на рис. 4.11, сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов работа внешних сил

Знак минус перед последним членом выражения принят потому, что направление угла поворота поперечного сечения балки, в котором приложен момент противоположно направлению этого момента.

Работу внешних сил на вызванных ими перемещениях можно выразить и иначе, а именно: через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в поперечных сечениях стержней конструкции.

Выделим из прямолинейного стержня двумя сечениями, перпендикулярными его оси (рис. 5.11), бесконечно малый элемент длиной (элемент ). Стержень состоит из бесконечно большого числа таких элементов. К элементу в общем случае плоской задачи приложены продольная сила N, изгибающий момент М и поперечная сила

Усилия N, М, Q являются внутренними, усилиями по отношению к целому стержню. Однако для выделенного элемента они являются внешними силами, а потому работу А можно получить как сумму работ, совершенных статически возрастающими усилиями N, М, Q на соответствующих деформациях элементов Рассмотрим отдельно влияние каждого из этих усилий на элемент

Элемент находящийся под действием только продольных сил N, изображен на рис. 6.11. Если левое его сечение считать неподвижным, то правое сечение под влиянием продольной силы переместится вправо на величину На этом перемещении статически возрастающая сила N совершит работу

Элемент находящийся под действием только изгибающих моментов М, изображен на рис. 7.11.

Если левое его сечение не подвижно закрепить, то взаимный угол поворота торцовых сечений элемента будет равен углу поворота До его правого сечения [см. формулу (16.7) и рис. 33.7]:

На этом угловом перемещении статически возрастающий момент М совершит работу

Элемент находящийся под действием только поперечных сил Q, изображен на рис. 8.11, а. Закрепив левое его сечение (рис. 8.11, б), приложим к правому касательные усилия равнодействующей которых является поперечная сила

Предположим, что касательные напряжения равномерно распределены по всей площади F поперечного сечения, т. е. тогда перемещение (рис. 8.11,б), вызванное действием поперечной силы Q, представляющее собой сдвиг торцовых сечений элемента друг относительно друга, на основании формулы (3.4) определится из выражения

а работа статически возрастающей силы Q на этом перемещении