Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.
To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ...razprave se trenutno nadaljujejo, pridite na splošno mnenje znanstvena skupnost še ni uspela razumeti bistva paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.
Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.
Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."
Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:
V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.
Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.
Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:
Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.
V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Sreda, 4. julij 2018
Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.
Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.
Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.
Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.
Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tukaj se začne zabava.
Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nam bodo začeli zagotavljati, da imajo bankovci istega apoena različne številke računov, kar pomeni, da jih ni mogoče obravnavati kot enake elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...
In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi množice spreminjajo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.
Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kaj je pravilno? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.
Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."
Nedelja, 18. marec 2018
Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.
Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.
Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.
1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.
2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.
3. Pretvarjanje posameznih grafičnih simbolov v številke. To ni matematična operacija.
4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.
Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih učijo šamani in uporabljajo jih matematiki. A to še ni vse.
Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.
Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, dobili bi popolnoma drugačne rezultate.
Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.
Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.
Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.
Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?
Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.
Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,
Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:
Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.
1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "pokakajoči moški" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznavajo številko in črko kot en grafični simbol.
Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena izmed tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.
Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki
Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko izvajate različne operacije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. Najenostavnejši primer je odštevanje navadnih ulomkov, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:
- Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.
Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".
Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.
Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".
Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem
Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.
- Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.
Poglejmo, kako je to videti na primeru:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".
Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje
Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot vidimo, vedoč preprosta pravila, je reševanje takih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.
- 2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
- Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
- Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
- 90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.
- Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Preprosto povedano, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
- Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
- Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
- Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.
Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.
O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.
Lastnost ulomka
Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.
Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s »3«, dobimo 6/9, če pa podobno operacijo izvedemo s številom »4«, dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec
Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Za lažjo stvar razložimo obstoječe imenovalce.
Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih; v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.
Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V imenovalcu je "2", vendar ni niti ene številke "3", ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Enake operacije izvajamo s preostalimi frakcijami.
Vse skupaj izgleda takole:
Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce
Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.
Poglejmo to kot primer: 18. 4. - 15. 3.
Iskanje večkratnika števil 18 in 15:
Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. Če želite to narediti, razdelite število, ki smo ga našli (skupni večkratnik), z imenovalcem ulomka, za katerega je treba določiti dodatne faktorje.
Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".
O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.
Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.
Odštevanje in ob celih delih
O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:
Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.
Podani primer je sestavljen iz ulomkov z enakim imenovalcem. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.
Odštevanje ulomkov od celih števil
Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti. Tak primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.
Otrok težko razume ulomke. Večina ljudi ima težave z. Pri preučevanju teme "seštevanje ulomkov s celimi števili" otrok pade v stupor in težko reši problem. V mnogih primerih je treba pred izvedbo dejanja izvesti vrsto izračunov. Na primer, pretvorite ulomke ali pretvorite nepravilni ulomek v pravi ulomek.
Otroku to jasno razložimo. Vzamemo tri jabolka, od katerih bosta dve celi, tretje pa razrežemo na 4 dele. Od narezanega jabolka ločimo eno rezino, preostale tri pa položimo poleg dveh celih sadežev. Na eno stran dobimo ¼ jabolka, na drugo pa 2¾. Če jih združimo, dobimo tri jabolka. Poskusimo 2 ¾ jabolka zmanjšati za ¼, torej odstranimo še eno rezino, dobimo 2 2/4 jabolka.
Oglejmo si podrobneje operacije z ulomki, ki vsebujejo cela števila:
Najprej si zapomnimo računsko pravilo za ulomke s skupnim imenovalcem:
Na prvi pogled je vse enostavno in preprosto. Vendar to velja samo za izraze, ki ne zahtevajo pretvorbe.
Kako najti vrednost izraza, kjer so imenovalci različni
Pri nekaterih nalogah morate poiskati pomen izraza, kjer so imenovalci različni. Poglejmo konkreten primer:
3 2/7+6 1/3
Poiščimo vrednost tega izraza tako, da poiščemo skupni imenovalec dveh ulomkov.
Za številki 7 in 3 je to 21. Cele dele pustimo enake, ulomke pa pripeljemo do 21, za to prvi ulomek pomnožimo s 3, drugi s 7, dobimo:
6/21+7/21, ne pozabite, da celih delov ni mogoče pretvoriti. Kot rezultat dobimo dva ulomka z enakim imenovalcem in izračunamo njuno vsoto:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Kaj pa, če je rezultat seštevanja nepravilen ulomek, ki že ima celo število:
2 1/3+3 2/3
V tem primeru seštejemo cele in delne dele, dobimo:
5 3/3, kot veste, je 3/3 ena, kar pomeni 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Iskanje vsote je vse jasno, poglejmo odštevanje:
Iz vsega povedanega sledi pravilo za operacije z mešanimi števili:
- Če morate od ulomka odšteti celo število, vam drugega števila ni treba predstaviti kot ulomek; dovolj je, da izvedete operacijo samo na celih delih.
Poskusimo sami izračunati pomen izrazov:
Oglejmo si podrobneje primer pod črko "m":
4 5/11-2 8/11 je števec prvega ulomka manjši od drugega. Da bi to naredili, si sposodimo eno celo število iz prvega ulomka, dobimo,
3 5/11+11/11=3 celo 16/11, odštej drugi od prvega ulomka:
3 16/11-2 8/11=1 celota 8/11
- Bodite previdni pri izpolnjevanju naloge, ne pozabite pretvoriti nepravilnih ulomkov v mešane ulomke in poudariti cel del. Če želite to narediti, morate vrednost števca deliti z vrednostjo imenovalca, nato pa tisto, kar se zgodi, nadomesti celoten del, ostanek bo števec, na primer:
19/4=4 ¾, preverimo: 4*4+3=19, imenovalec 4 ostane nespremenjen.
Povzemite:
Preden se lotimo naloge, povezane z ulomki, je treba analizirati, za kakšen izraz gre, kakšne transformacije je treba narediti na ulomku, da bo rešitev pravilna. Poiščite bolj racionalno rešitev. Ne pojdite na težji način. Načrtujte vsa dejanja, jih najprej rešite v osnutku, nato pa jih prenesite v šolski zvezek.
Da bi se izognili zmedi pri reševanju ulomkov, morate upoštevati pravilo doslednosti. Vse se odločite previdno, brez hitenja.
Z ulomki lahko izvajate različne operacije, na primer seštevanje ulomkov. Seštevanje ulomkov lahko razdelimo na več vrst. Vsaka vrsta dodajanja ulomkov ima svoja pravila in algoritem dejanj. Oglejmo si podrobneje vsako vrsto dodatka.
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Oglejmo si primer seštevanja ulomkov s skupnim imenovalcem.
Turisti so se odpravili na pohod od točke A do točke E. Prvi dan so prehodili od točke A do B oziroma \(\frac(1)(5)\) celotno pot. Drugi dan so prehodili celotno pot od točke B do D ali \(\frac(2)(5)\). Koliko so prevozili od začetka poti do točke D?
Če želite najti razdaljo od točke A do točke D, morate sešteti ulomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci pomeni, da morate sešteti števce teh ulomkov, vendar bo imenovalec ostal enak.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
V dobesedni obliki bo vsota ulomkov z enakimi imenovalci videti takole:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti so celotno pot prehodili \(\frac(3)(5)\).
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Poglejmo primer:
Sešteti morate dva ulomka \(\frac(3)(4)\) in \(\frac(2)(7)\).
Če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej najti, nato pa uporabite pravilo za seštevanje ulomkov s podobnimi imenovalci.
Za imenovalca 4 in 7 bo skupni imenovalec število 28. Prvi ulomek \(\frac(3)(4)\) je treba pomnožiti s 7. Drugi ulomek \(\frac(2)(7)\ ) je treba pomnožiti s 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(rdeča) (7) + 2 \times \color(rdeča) (4))(4 \ krat \barva(rdeča) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
V dobesedni obliki dobimo naslednjo formulo:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Seštevanje mešanih števil ali mešanih ulomkov.
Seštevanje poteka po zakonu seštevanja.
Pri mešanih ulomkih seštejemo cele dele s celimi deli in ulomke z ulomki.
Če imajo ulomki mešanih števil enake imenovalce, potem števce seštejemo, imenovalec pa ostane enak.
Seštejmo mešani števili \(3\frac(6)(11)\) in \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(modra) (\frac(6)(11))) + ( \barva(rdeča) (1) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(rdeča) (1)) + (\barva( modra) (\frac(6)(11)) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + (\barva(modra) (\frac(6) + 3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + \barva(modra) (\frac(9)(11)) = \barva(rdeča)(4) \barva(modra) (\frac (9)(11))\)
Če imajo ulomki mešanih števil različne imenovalce, potem najdemo skupni imenovalec.
Izvedimo seštevanje mešanih števil \(7\frac(1)(8)\) in \(2\frac(1)(6)\).
Imenovalec je drugačen, zato moramo najti skupni imenovalec, enak je 24. Prvi ulomek \(7\frac(1)(8)\) pomnožimo z dodatnim faktorjem 3, drugi ulomek pa \( 2\frac(1)(6)\) s 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(rdeča) (3))(8 \times \color(rdeča) (3) ) = 2\frac(1\krat \barva(rdeča) (4))(6\krat \barva(rdeča) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana vprašanja:
Kako sešteti ulomke?
Odgovor: najprej se morate odločiti, za kakšno vrsto izraza gre: ulomki imajo enake imenovalce, različne imenovalce ali mešane ulomke. Glede na vrsto izraza nadaljujemo z algoritmom rešitve.
Kako rešiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: najti morate skupni imenovalec in nato upoštevati pravilo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci.
Kako rešiti mešane ulomke?
Odgovor: cela števila seštevamo s celimi števili, ulomke pa z ulomki.
Primer #1:
Ali lahko vsota dveh povzroči pravi ulomek? Nepravilen ulomek? Navedite primere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Ulomek \(\frac(5)(7)\) je pravi ulomek, je rezultat vsote dveh pravih ulomkov \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \krat 9 + 8 \krat 5)(5 \krat 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Ulomek \(\frac(58)(45)\) je nepravi ulomek, je rezultat vsote pravih ulomkov \(\frac(2)(5)\) in \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na obe vprašanji je pritrdilen.
Primer #2:
Seštejte ulomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rdeča) (3))(3 \times \color(rdeča) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primer #3:
Mešani ulomek zapiši kot vsoto naravnega števila in pravega ulomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primer #4:
Izračunajte vsoto: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\krat 3)(5\krat 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Naloga #1:
Pri kosilu smo jedli \(\frac(8)(11)\) iz torte, zvečer pri večerji pa \(\frac(3)(11)\). Mislite, da je bila torta v celoti pojedena ali ne?
rešitev:
Imenovalec ulomka je 11 in pove, na koliko delov je bila torta razdeljena. Pri kosilu smo pojedli 8 kosov torte od 11. Pri večerji smo pojedli 3 kose torte od 11. Seštejmo 8 + 3 = 11, pojedli smo kose torte od 11, torej celotno torto.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cela torta je bila pojedena.
Opomba! Preden napišete končni odgovor, preverite, ali lahko skrajšate prejeti ulomek.
Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci, primeri:
,
,
Odštevanje pravilnega ulomka od ena.
Če je treba od enote odšteti pravi ulomek, se enota pretvori v obliko nepravilnega ulomka, njegov imenovalec je enak imenovalcu odšteti ulomek.
Primer odštevanja pravilnega ulomka od ena:
Imenovalec ulomka, ki ga želite odšteti = 7 , tj. ena predstavimo kot nepravi ulomek 7/7 in ga odštejemo po pravilu za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Odštevanje pravilnega ulomka od celega števila.
Pravila za odštevanje ulomkov - pravilno iz celega števila (naravno število):
- Dane ulomke, ki vsebujejo celo število, pretvarjamo v neprave. Dobimo normalne člene (ni važno, če imajo različne imenovalce), ki jih izračunamo po zgoraj navedenih pravilih;
- Nato izračunamo razliko med prejetima ulomkoma. Kot rezultat, bomo skoraj našli odgovor;
- Izvedemo obratno transformacijo, to je, da se znebimo nepravilnega ulomka - v ulomku izberemo cel del.
Od celega števila odštejte pravi ulomek: naravno število predstavite kot mešano število. Tisti. Vzamemo enoto v naravnem številu in jo pretvorimo v obliko nepravilnega ulomka, pri čemer je imenovalec enak tistemu odštetega ulomka.
Primer odštevanja ulomkov:
V primeru smo ena nadomestili z nepravim ulomkom 7/7 in namesto 3 zapisali mešano število ter od ulomka odšteli ulomek.
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Ali, povedano drugače, odštevanje različnih ulomkov.
Pravilo za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je potrebno te ulomke najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec (LCD) in šele nato opraviti odštevanje kot pri ulomkih z enakimi imenovalci.
Skupni imenovalec več ulomkov je LCM (najmanjši skupni večkratnik) naravna števila, ki so imenovalci teh ulomkov.
Pozor!Če imata v končnem ulomku števec in imenovalec skupne faktorje, je treba ulomek zmanjšati. Nepravi ulomek je najbolje predstaviti kot mešani ulomek. Pustiti rezultat odštevanja brez zmanjšanja ulomka, kjer je to mogoče, je nepopolna rešitev primera!
Postopek odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci.
- poiščite LCM za vse imenovalce;
- dodajte dodatne faktorje za vse ulomke;
- pomnožite vse števce z dodatnim faktorjem;
- Dobljene zmnožke zapišemo v števec, podpišemo skupni imenovalec pod vse ulomke;
- odštejemo števce ulomkov, pod razliko pa podpišemo skupni imenovalec.
Na enak način se izvede seštevanje in odštevanje ulomkov, če so v števcu črke.
Odštevanje ulomkov, primeri:
Odštevanje mešanih ulomkov.
pri odštevanje mešanih ulomkov (števil) ločeno se od celega dela odšteje celo število, od ulomka pa se odšteje ulomek.
Prva možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Če so delni deli enako imenovalci in števec ulomka odštevanca (od njega odštejemo) ≥ števec ulomka odštevalca (odštejemo ga).
Na primer:
Druga možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Pri delnih delih drugačen imenovalci. Za začetek ulomke spravimo na skupni imenovalec, nato pa od celega odštejemo cel del, od ulomka pa ulomek.
Na primer:
Tretja možnost za odštevanje mešanih ulomkov.
Ulomek odštevanca je manjši od ulomka odštevalca.
primer:
Ker Ulomki imajo različne imenovalce, kar pomeni, da tako kot pri drugi možnosti navadne ulomke najprej spravimo na skupni imenovalec.
Števec ulomka manjšega je manjši od števca ulomka odštevanca.3 < 14. To pomeni, da iz celotnega dela vzamemo enoto in to enoto reduciramo v obliko nepravilnega ulomka z enakim imenovalcem in števcem = 18.
V števec na desni strani zapišemo vsoto števcev, nato pa v števcu na desni strani odpremo oklepaje, torej vse pomnožimo in podamo podobne. V imenovalcu ne odpremo oklepaja. Običajno je, da izdelek pustimo v imenovalcih. Dobimo:
