สูตรความก้าวหน้าของความแตกต่าง วิธีค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: สูตรและตัวอย่างของการแก้ปัญหา

ทิ้งข้อความไว้ 6,950

หัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" ได้รับการศึกษาในรายวิชาพีชคณิตทั่วไปในโรงเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หัวข้อนี้มีความสำคัญสำหรับการศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เรื่องอนุกรมจำนวน ในบทความนี้เราจะทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ความแตกต่างรวมถึงปัญหาทั่วไปที่เด็กนักเรียนอาจเผชิญ

แนวคิดของความก้าวหน้าทางพีชคณิต

ความก้าวหน้าของตัวเลขคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาสามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าหากใช้กฎทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ความก้าวหน้าอย่างง่ายมีสองประเภท: เรขาคณิตและเลขคณิตซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิต มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า

ขอให้เราจินตนาการถึงจำนวนตรรกยะบางส่วนแสดงด้วยสัญลักษณ์ a1 โดยที่ดัชนีบ่งชี้เลขลำดับในอนุกรมที่พิจารณา ลองบวกเลขอื่นใน a1 แทน d จากนั้นองค์ประกอบที่สองของอนุกรมสามารถสะท้อนได้ดังนี้: a2 \u003d a1 + d ตอนนี้เพิ่ม d อีกครั้งเราจะได้: a3 \u003d a2 + d เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปคุณจะได้รับชุดตัวเลขทั้งหมดซึ่งจะเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ดังที่สามารถเข้าใจได้จากข้างต้นในการค้นหาองค์ประกอบที่ n ของลำดับนี้คุณต้องใช้สูตร: an \u003d a1 + (n-1) * d อันที่จริงการแทนที่ n \u003d 1 ลงในนิพจน์เราจะได้ a1 \u003d a1 ถ้า n \u003d 2 จากนั้นสูตรก็หมายความว่า: a2 \u003d a1 + 1 * d และอื่น ๆ

ตัวอย่างเช่นถ้าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 5 และ a1 \u003d 1 นั่นหมายความว่าอนุกรมตัวเลขของประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีรูปแบบ: 1, 6, 11, 16, 21, ...

สูตรความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

จากคำจำกัดความข้างต้นของชุดตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณาตามนั้นในการพิจารณาคุณต้องรู้ตัวเลขสองตัว: a1 และ d หลังเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้านี้ เป็นตัวกำหนดพฤติกรรมของทั้งชุดโดยไม่ซ้ำกัน อันที่จริงถ้า d เป็นบวกอนุกรมตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในทางตรงกันข้ามในกรณีของ d เชิงลบตัวเลขในซีรีส์จะเพิ่มขึ้นเฉพาะในค่าสัมบูรณ์เท่านั้นในขณะที่ค่าสัมบูรณ์จะลดลงเมื่อเพิ่มจำนวน n

อะไรคือความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? พิจารณาสูตรพื้นฐานสองสูตรที่ใช้ในการคำนวณค่านี้:

d \u003d an + 1-an สูตรนี้ตามมาโดยตรงจากคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่กำลังพิจารณา

d \u003d (-a1 + an) / (n-1) นิพจน์นี้ได้มาจากการแสดง d จากสูตรที่กำหนดในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ สังเกตว่านิพจน์นี้ไม่ชัดเจน (0/0) ถ้า n \u003d 1 นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับองค์ประกอบอย่างน้อย 2 ชุดเพื่อกำหนดความแตกต่าง

สูตรพื้นฐานทั้งสองนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า อย่างไรก็ตามมีอีกสูตรหนึ่งที่คุณต้องรู้เช่นกัน

ผลรวมขององค์ประกอบแรก

สูตรที่สามารถใช้เพื่อหาผลรวมของจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางพีชคณิตตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ได้มาครั้งแรกโดย "เจ้าชาย" แห่งคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18 คาร์ลเกาส์ นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันในขณะที่ยังเป็นเด็กนักเรียนชั้นประถมของโรงเรียนในหมู่บ้านสังเกตว่าในการเพิ่มจำนวนธรรมชาติในแถวจาก 1 ถึง 100 คุณต้องรวมองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้ายก่อน (ค่าผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบสุดท้ายและวินาทีสุดท้ายและสาม และอื่น ๆ ) จากนั้นจำนวนนี้ควรคูณด้วยจำนวนของจำนวนเหล่านี้นั่นคือด้วย 50

สูตรซึ่งสะท้อนถึงผลลัพธ์ที่ระบุไว้สำหรับตัวอย่างหนึ่ง ๆ สามารถนำไปใช้เป็นกรณีทั่วไปได้ จะมีลักษณะดังนี้: Sn \u003d n / 2 * (an + a1) โปรดทราบว่าในการค้นหาค่าที่ระบุนั้นไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่าง d หากทราบสองคำของความก้าวหน้า (an และ a1)

ตัวอย่าง # 1. กำหนดความแตกต่างโดยรู้เงื่อนไขสองข้อของอนุกรม a1 และ an

ลองแสดงวิธีการใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นในบทความ ขอยกตัวอย่างง่ายๆ: ไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าจะเท่ากับอะไรถ้า a13 \u003d -5.6 และ a1 \u003d -12.1

เนื่องจากเราทราบค่าของสององค์ประกอบของลำดับตัวเลขโดยหนึ่งในนั้นเป็นตัวเลขแรกเราจึงสามารถใช้สูตร # 2 เพื่อกำหนดความแตกต่าง d เรามี: d \u003d (- 1 * (- 12.1) + (- 5.6)) / 12 \u003d 0.54167 ในนิพจน์เราใช้ค่า n \u003d 13 เนื่องจากคำที่มีลำดับนี้เป็นที่รู้จัก

ความแตกต่างที่เกิดขึ้นบ่งชี้ว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นแม้ว่าข้อมูลในองค์ประกอบคำสั่งปัญหาจะมีค่าเป็นลบก็ตาม จะเห็นว่า a13\u003e a1 แม้ว่า | a13 |<|a1|.

ตัวอย่าง # 2. สมาชิกเชิงบวกของความก้าวหน้าในตัวอย่าง # 1

ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างก่อนหน้าเพื่อแก้ปัญหาใหม่ มีการกำหนดสูตรดังนี้: จากหมายเลขซีเรียลใดที่องค์ประกอบของความก้าวหน้าในตัวอย่าง # 1 จะเริ่มใช้ค่าบวก?

ดังที่แสดงให้เห็นความก้าวหน้าที่ a1 \u003d -12.1 และ d \u003d 0.54167 เพิ่มขึ้นดังนั้นจากตัวเลขบางตัวตัวเลขจะเริ่มรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในการกำหนดจำนวน n นี้จำเป็นต้องแก้อสมการง่ายๆซึ่งเขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้ a\u003e 0 หรือโดยใช้สูตรที่เหมาะสมเราเขียนอสมการใหม่: a1 + (n-1) * d\u003e 0 จำเป็นต้องค้นหา n ที่ไม่รู้จักให้แสดง: n\u003e -1 * a1 / d + 1 ตอนนี้ยังคงแทนที่ค่าที่ทราบของความแตกต่างและระยะแรกของลำดับ เราได้รับ: n\u003e -1 * (- 12.1) / 0.54167 + 1 \u003d 23.338 หรือ n\u003e 23.338 เนื่องจาก n สามารถรับค่าจำนวนเต็มได้เท่านั้นจึงเป็นผลจากอสมการที่สมาชิกใด ๆ ของอนุกรมที่มีจำนวนมากกว่า 23 จะเป็นค่าบวก

ลองตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้สูตรด้านบนเพื่อคำนวณองค์ประกอบ 23 และ 24 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ เรามี: a23 \u003d -12.1 + 22 * \u200b\u200b0.54167 \u003d -0.18326 (จำนวนลบ); a24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 (ค่าบวก) ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จึงถูกต้อง: เริ่มจาก n \u003d 24 สมาชิกทั้งหมดของอนุกรมตัวเลขจะมีค่ามากกว่าศูนย์

ตัวอย่าง # 3. สามารถใส่ได้กี่ท่อน?

นี่คือปัญหาที่น่าสงสัยประการหนึ่ง: ในระหว่างการตัดไม้มีการตัดสินใจที่จะวางท่อนไม้แปรรูปไว้ด้านบนซึ่งกันและกันดังแสดงในรูปด้านล่าง วิธีนี้สามารถซ้อนกันได้กี่ล็อกที่รู้ว่าจะมีทั้งหมด 10 แถว?

ด้วยวิธีการพับบันทึกนี้สามารถสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือแต่ละแถวที่ตามมาจะมีหนึ่งบันทึกน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้านั่นคือมีความก้าวหน้าทางพีชคณิตความแตกต่างคือ d \u003d 1 สมมติว่าจำนวนบันทึกในแต่ละแถวเป็นสมาชิกของความคืบหน้านี้และเมื่อพิจารณาถึง a1 \u003d 1 (จะมีเพียงบันทึกเดียวเท่านั้นที่จะอยู่ด้านบนสุด) เราจะพบหมายเลข a10 เรามี: a10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10 นั่นคือในแถวที่ 10 ซึ่งอยู่บนพื้นจะมีบันทึก 10 รายการ

ผลรวมทั้งหมดของโครงสร้าง "เสี้ยม" นี้สามารถหาได้โดยใช้สูตรเกาส์ เราได้รับ: S10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 บันทึก

หลายคนเคยได้ยินเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่ไม่ใช่ทุกคนที่มีความคิดที่ดีว่ามันคืออะไร ในบทความนี้เราจะให้คำจำกัดความที่เหมาะสมและพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และให้ตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

นิยามทางคณิตศาสตร์

ดังนั้นหากเรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต (แนวคิดเหล่านี้กำหนดสิ่งเดียวกัน) นั่นหมายความว่ามีอนุกรมตัวเลขหนึ่งที่เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: ทุก ๆ สองตัวเลขที่อยู่ติดกันในแถวจะแตกต่างกันตามค่าเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์เขียนไว้ดังนี้

ในที่นี้ n หมายถึงจำนวนขององค์ประกอบ a n ในลำดับและหมายเลข d คือความแตกต่างของความก้าวหน้า (ชื่อของมันตามมาจากสูตรที่นำเสนอ)

การรู้ความแตกต่าง d หมายถึงอะไร? เกี่ยวกับจำนวนที่อยู่ติดกันว่าอยู่ห่างจากกันแค่ไหน อย่างไรก็ตามความรู้เกี่ยวกับ d เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับการพิจารณา (ฟื้นฟู) ความก้าวหน้าทั้งหมด จำเป็นต้องรู้ตัวเลขอีกหนึ่งตัวซึ่งอาจเป็นองค์ประกอบใด ๆ ของซีรีส์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาตัวอย่างเช่น 4, a10 แต่ตามกฎแล้วจะใช้ตัวเลขแรกนั่นคือ 1

สูตรสำหรับการกำหนดองค์ประกอบของความก้าวหน้า

โดยทั่วไปข้อมูลข้างต้นเพียงพอแล้วที่จะดำเนินการแก้ไขปัญหาเฉพาะ อย่างไรก็ตามก่อนที่จะมีการให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างเราได้นำเสนอสูตรที่มีประโยชน์สองสามสูตรซึ่งจะช่วยอำนวยความสะดวกในกระบวนการแก้ปัญหาในภายหลัง

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบใด ๆ ของลำดับหมายเลขสามารถพบได้ดังต่อไปนี้:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ง

แน่นอนทุกคนสามารถตรวจสอบสูตรนี้ได้ด้วยการค้นหาง่ายๆ: ถ้าคุณแทนที่ n \u003d 1 คุณจะได้องค์ประกอบแรกถ้าคุณแทนที่ n \u003d 2 นิพจน์จะให้ผลรวมของจำนวนแรกและผลต่างและอื่น ๆ

เงื่อนไขของปัญหาหลายอย่างประกอบขึ้นในลักษณะที่สำหรับคู่ของตัวเลขที่รู้จักซึ่งมีการกำหนดตัวเลขในลำดับด้วยจำเป็นต้องเรียกคืนอนุกรมตัวเลขทั้งหมด (ค้นหาความแตกต่างและองค์ประกอบแรก) ตอนนี้เราจะแก้ปัญหานี้ในแง่ทั่วไป

ดังนั้นให้มีสององค์ประกอบที่มีตัวเลข n และ m เมื่อใช้สูตรที่ได้รับข้างต้นคุณสามารถสร้างระบบสองสมการ:

ก n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
ก m \u003d a 1 + (ม - 1) * ง

ในการหาปริมาณที่ไม่รู้จักเราจะใช้วิธีง่ายๆที่รู้จักกันดีในการแก้ระบบดังกล่าว: เราลบด้านซ้ายและด้านขวาเป็นคู่ความเท่าเทียมกันยังคงเป็นจริง เรามี:

ก n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m \u003d (n - 1) * d - (m - 1) * d \u003d d * (n - m)

ดังนั้นเราจึงกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักออกไป (a 1) ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายเพื่อกำหนด d:

d \u003d (a n - a m) / (n - m) โดยที่ n\u003e m

เรามีสูตรที่ง่ายมาก: ในการคำนวณความแตกต่าง d ตามเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องใช้อัตราส่วนของความแตกต่างขององค์ประกอบด้วยตัวเองและจำนวนลำดับเท่านั้น คุณควรให้ความสนใจกับประเด็นสำคัญประการหนึ่ง: ความแตกต่างจะเกิดขึ้นระหว่างคำว่า "อาวุโส" และ "ต่ำ" นั่นคือ n\u003e m ("อาวุโส" หมายถึงคำที่ยืนอยู่ไกลจากจุดเริ่มต้นของลำดับค่าสัมบูรณ์ของมันอาจมากหรือน้อย องค์ประกอบ "อายุน้อยกว่า" มากขึ้น)

นิพจน์สำหรับความแตกต่าง d ของความก้าวหน้าควรแทนที่ด้วยสมการใด ๆ ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้ค่าของเทอมแรก

ในยุคของการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เด็กนักเรียนหลายคนพยายามหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานของพวกเขาบนอินเทอร์เน็ตดังนั้นจึงมักมีคำถามประเภทนี้เกิดขึ้น: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทางออนไลน์ สำหรับคำขอดังกล่าวเครื่องมือค้นหาจะแสดงหน้าเว็บจำนวนหนึ่งโดยไปที่ซึ่งคุณจะต้องป้อนข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไข (อาจเป็นได้ทั้งสองสมาชิกของความคืบหน้าหรือผลรวมของจำนวนที่กำหนด) และรับคำตอบทันที อย่างไรก็ตามแนวทางในการแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ก่อให้เกิดผลในแง่ของการพัฒนาของนักเรียนและความเข้าใจในสาระสำคัญของงานที่มอบหมายให้เขา

วิธีแก้ปัญหาโดยไม่ต้องใช้สูตร

มาแก้ปัญหาแรกโดยไม่ใช้สูตรใด ๆ ข้างต้น ให้องค์ประกอบของอนุกรมได้รับ: a6 \u003d 3, a9 \u003d 18 จงหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

องค์ประกอบที่มีชื่อเสียงวางอยู่ใกล้กันในแถว คุณต้องเพิ่มความแตกต่าง d ให้น้อยที่สุดกี่ครั้งจึงจะได้ค่ามากที่สุด สามครั้ง (ครั้งแรกที่เพิ่ม d เราได้องค์ประกอบที่ 7 ครั้งที่สอง - ครั้งที่แปดในที่สุดครั้งที่สาม - ครั้งที่เก้า) ต้องบวกเลขตัวไหนถึงสามสามถึงจะได้ 18? นี่คือหมายเลขห้า จริงๆ:

ดังนั้นความแตกต่างที่ไม่รู้จัก d \u003d 5

แน่นอนวิธีแก้ปัญหาสามารถดำเนินการได้โดยใช้สูตรที่เหมาะสม แต่ไม่ได้ทำตามวัตถุประสงค์ คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาควรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนและชัดเจนว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร

งานที่คล้ายกับงานก่อนหน้านี้

ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาที่คล้ายกัน แต่เปลี่ยนข้อมูลอินพุต ดังนั้นมันควรจะพบถ้า a3 \u003d 2, a9 \u003d 19

แน่นอนคุณสามารถหันมาใช้วิธี "เฉพาะหน้า" ได้อีกครั้ง แต่เนื่องจากมีการกำหนดองค์ประกอบของแถวซึ่งค่อนข้างห่างจากกันวิธีนี้จึงไม่สะดวกอย่างสิ้นเชิง แต่การใช้สูตรผลลัพธ์จะนำเราไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว:

d \u003d (ก 9 - ก 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2.83

ที่นี่เราได้ปัดเศษขึ้น การปัดเศษนี้นำไปสู่ข้อผิดพลาดมากเพียงใดสามารถตัดสินได้โดยการตรวจสอบผลลัพธ์:

ก 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ผลลัพธ์นี้แตกต่างเพียง 0.1% จากค่าที่ระบุในเงื่อนไข ดังนั้นการปัดเศษที่ใช้ไปยังค่าที่ใกล้ที่สุดในร้อยจึงถือได้ว่าเป็นทางเลือกที่ประสบความสำเร็จ

งานสำหรับการใช้สูตรสำหรับสมาชิก

พิจารณาตัวอย่างคลาสสิกของปัญหาเพื่อกำหนด d ที่ไม่รู้จัก: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 \u003d 12, a5 \u003d 40

เมื่อมีการกำหนดลำดับพีชคณิตที่ไม่รู้จักสองจำนวนและหนึ่งในนั้นคือองค์ประกอบ a 1 คุณไม่จำเป็นต้องคิดนาน แต่คุณควรใช้สูตรสำหรับ n เทอมทันที ในกรณีนี้เรามี:

ก 5 \u003d ก 1 + d * (5 - 1) \u003d\u003e d \u003d (ก 5 - ก 1) / 4 \u003d (40 - 12) / 4 \u003d 7

เราได้จำนวนที่แน่นอนเมื่อหารดังนั้นจึงไม่มีประเด็นในการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่คำนวณได้เหมือนที่ทำในย่อหน้าก่อนหน้า

ลองแก้ปัญหาอื่นที่คล้ายกัน: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 \u003d 16, a8 \u003d 37

เราใช้วิธีการที่คล้ายกันกับวิธีก่อนหน้านี้และรับ:

ก 8 \u003d ก 1 + d * (8 - 1) \u003d\u003e d \u003d (ก 8 - ก 1) / 7 \u003d (37 - 16) / 7 \u003d 3

มีอะไรอีกที่คุณควรรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกเหนือจากปัญหาในการค้นหาความแตกต่างที่ไม่รู้จักหรือองค์ประกอบแต่ละส่วนแล้วมักจำเป็นต้องแก้ปัญหาของผลรวมของสมาชิกตัวแรกของลำดับ การพิจารณาปัญหาเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหัวข้อของบทความอย่างไรก็ตามเพื่อความสมบูรณ์ของข้อมูลเราให้สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของจำนวน n ชุด:

∑ n i \u003d 1 (a i) \u003d n * (a 1 + a n) / 2

ตัวอย่างเช่นลำดับ \\ (2 \\); \\(ห้า\\); \\(แปด\\); \\ (สิบเอ็ด \\); \\ (14 \\) ... เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการเพิ่มสามเท่า (สามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการเพิ่มสามเท่า):

ในความก้าวหน้านี้ความแตกต่าง \\ (d \\) เป็นบวก (เท่ากับ \\ (3 \\)) ดังนั้นแต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \\ (d \\) สามารถเป็นลบได้เช่นกัน เช่นในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \\ (16 \\); \\(สิบ\\); \\ (4 \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... ผลต่างของความก้าวหน้า \\ (d \\) เท่ากับลบหก

และในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะมีขนาดเล็กกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่สร้างความก้าวหน้าเรียกมันว่า สมาชิกของ (หรือองค์ประกอบ)

พวกเขาแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่นความก้าวหน้าทางเลขคณิต \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ right \\) \\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \\ (a_1 \u003d 2 \\); \\ (a_2 \u003d 5 \\); \\ (a_3 \u003d 8 \\) และอื่น ๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับความก้าวหน้า \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ right \\) \\)

การแก้ปัญหาสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โดยหลักการแล้วข้อมูลข้างต้นเพียงพอแล้วที่จะแก้ปัญหาเกือบทุกปัญหาสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงที่เสนอที่ OGE)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกระบุโดยเงื่อนไข \\ (b_1 \u003d 7; d \u003d 4 \\) ค้นหา \\ (b_5 \\)
การตัดสินใจ:

ตอบ: \\ (b_5 \u003d 23 \\)

ตัวอย่าง (OGE) สามพจน์แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะได้รับ: \\ (62; 49; 36 ... \\) จงหาค่าของเทอมเชิงลบแรกของความก้าวหน้านี้ ..
การตัดสินใจ:

	เราได้รับองค์ประกอบแรกของลำดับและเรารู้ว่ามันเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ นั่นคือแต่ละองค์ประกอบแตกต่างจากที่อยู่ใกล้เคียงโดยใช้หมายเลขเดียวกัน ค้นหาว่าอันไหนลบอันก่อนหน้าออกจากองค์ประกอบถัดไป: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\)
	ตอนนี้เราสามารถฟื้นฟูความก้าวหน้าของเราเป็นองค์ประกอบ (เชิงลบแรก) ที่เราต้องการได้
	เสร็จแล้ว คุณสามารถเขียนคำตอบ

ตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) มีการกำหนดองค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันหลายรายการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \\ (... 5; x; 10; 12,5 ... \\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่ระบุด้วยตัวอักษร \\ (x \\)
การตัดสินใจ:

	ในการค้นหา \\ (x \\) เราจำเป็นต้องทราบว่าองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้ามากเพียงใดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองหามันจากองค์ประกอบใกล้เคียงที่รู้จักสององค์ประกอบ: \\ (d \u003d 12.5-10 \u003d 2.5 \\)
	และตอนนี้เราพบสิ่งที่ต้องการโดยไม่มีปัญหาใด ๆ : \\ (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7.5 \\)
	เสร็จแล้ว คุณสามารถเขียนคำตอบ

ตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ระบุโดยเงื่อนไขต่อไปนี้: \\ (a_1 \u003d -11 \\); \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) หาผลรวมของหกพจน์แรกของความก้าวหน้านี้
การตัดสินใจ:

เราต้องหาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้า แต่เราไม่รู้ความหมายเราได้รับองค์ประกอบแรกเท่านั้น ดังนั้นก่อนอื่นเราจะคำนวณค่าโดยใช้ค่าที่กำหนดให้กับเรา:

\\ (n \u003d 1 \\); \\ (a_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\)
\\ (n \u003d 2 \\); \\ (a_ (2 + 1) \u003d a_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\)
\\ (n \u003d 3 \\); \\ (a_ (3 + 1) \u003d a_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4 \\)
เมื่อคำนวณองค์ประกอบทั้งหกที่เราต้องการแล้วเราจะพบผลรวมของมัน

\\ (S_6 \u003d a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \u003d \\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

พบจำนวนที่ต้องการ

ตอบ: \\ (S_6 \u003d 9 \\)

ตัวอย่าง (OGE) ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \\ (a_ (12) \u003d 23 \\); \\ (a_ (16) \u003d 51 \\) ค้นหาความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้านี้
การตัดสินใจ:

ตอบ: \\ (d \u003d 7 \\)

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็นปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนมากสามารถแก้ไขได้ง่ายๆเพียงแค่ทำความเข้าใจกับสิ่งสำคัญนั่นคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นห่วงโซ่ของตัวเลขและแต่ละองค์ประกอบถัดไปในห่วงโซ่นี้จะได้รับโดยการเพิ่มหมายเลขเดียวกันลงในรายการก่อนหน้า (ความแตกต่างของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจมีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกในการตัดสินใจแบบ "เผชิญหน้า" ตัวอย่างเช่นสมมติว่าในตัวอย่างแรกเราต้องหาองค์ประกอบที่ห้า \\ (b_5 \\) ไม่ได้ แต่เป็นสามร้อยแปดสิบหก \\ (b_ (386) \\) มันคืออะไรเรา \\ (385 \\) คูณสี่? หรือลองนึกภาพว่าในตัวอย่างสุดท้ายคุณต้องหาผลรวมของเจ็ดสิบสามองค์ประกอบแรก คุณจะทรมานเพื่อคณานับ ...

ดังนั้นในกรณีเช่นนี้พวกเขาจะไม่แก้ "ตัวต่อตัว" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้มาสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และสูตรหลักคือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \\ (n \\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับ \\ (n \\) -th term: \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\) โดยที่ \\ (a_1 \\) เป็นเทอมแรกของการพัฒนา
\\ (n \\) - จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการค้นหา
\\ (a_n \\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่มีหมายเลข \\ (n \\)

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาอย่างน้อยสามในร้อยหรือแม้แต่องค์ประกอบที่ล้านโดยรู้เพียงสิ่งแรกและความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ระบุโดยเงื่อนไข: \\ (b_1 \u003d -159 \\); \\ (d \u003d 8.2 \\) ค้นหา \\ (b_ (246) \\)
การตัดสินใจ:

ตอบ: \\ (b_ (246) \u003d 1850 \\)

สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรก: \\ (S_n \u003d \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\ cdot n \\) โดยที่

\\ (a_n \\) - คำสุดท้ายที่จะเพิ่ม;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกระบุโดยเงื่อนไข \\ (a_n \u003d 3,4n-0,6 \\) หาผลรวมของสมาชิก \\ (25 \\) ตัวแรกของความก้าวหน้านี้
การตัดสินใจ:

\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\)		ในการคำนวณผลรวมของยี่สิบห้าองค์ประกอบแรกเราจำเป็นต้องทราบค่าของเทอมแรกและที่ยี่สิบห้า ความก้าวหน้าของเรากำหนดโดยสูตรของพจน์ที่ n ขึ้นอยู่กับจำนวน (ดูรายละเอียด) ลองคำนวณองค์ประกอบแรกโดยแทนที่องค์ประกอบหนึ่งสำหรับ \\ (n \\)
\\ (n \u003d 1; \\) \\ (a_1 \u003d 3.4 1-0.6 \u003d 2.8 \\)		ตอนนี้เราพบเทอมที่ยี่สิบห้าแทนที่ยี่สิบห้าแทน \\ (n \\)
\\ (n \u003d 25; \\) \\ (a_ (25) \u003d 3.4 25-0.6 \u003d 84.4 \\)		ตอนนี้เราสามารถคำนวณจำนวนที่ต้องการได้โดยไม่มีปัญหาใด ๆ
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (2.8 + 84.4) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		คำตอบพร้อมแล้ว

ตอบ: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\)

สำหรับผลรวม \\ (n \\) ของเงื่อนไขแรกคุณจะได้รับสูตรอื่น: คุณต้อง \\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\ เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรก: \\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\) โดยที่

\\ (S_n \\) - ผลรวมที่ต้องการ \\ (n \\) ขององค์ประกอบแรก;
\\ (a_1 \\) - คำสรุปแรก;
\\ (d \\) - ความแตกต่างของความก้าวหน้า;
\\ (n \\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของ \\ (33 \\) ตัวแรก - อดีตสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \\ (17 \\); \\ (15.5 \\); \\ (สิบสี่ \\) …
การตัดสินใจ:

ตอบ: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\)

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่คุณต้องการเพื่อแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด เราจะสรุปหัวข้อโดยพิจารณาปัญหาที่คุณไม่เพียง แต่ต้องใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังต้องคิดสักนิดด้วย (ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้มีประโยชน์☺)

ตัวอย่าง (OGE) หาผลบวกของพจน์เชิงลบทั้งหมด: \\ (- 19,3 \\); \\ (- สิบเก้า \\); \\ (- 18.7 \\) ...
การตัดสินใจ:

\\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n-1) ง) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		งานคล้ายกับงานก่อนหน้านี้มาก เราจะเริ่มแก้ปัญหาด้วย: ก่อนอื่นเราจะพบ \\ (d \\)
\\ (d \u003d a_2-a_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0.3 \\)		ตอนนี้ฉันจะแทนที่ \\ (d \\) ในสูตรสำหรับผลรวม ... และที่นี่มีความแตกต่างเล็กน้อยปรากฏขึ้น - เราไม่รู้ \\ (n \\) อีกอย่างเราไม่รู้ว่าจะต้องเพิ่มสมาชิกกี่คน จะหาได้อย่างไร? ลองคิดดู เราจะหยุดเพิ่มองค์ประกอบเมื่อไปถึงองค์ประกอบบวกแรก นั่นคือคุณต้องหาจำนวนองค์ประกอบนี้ อย่างไร? ลองเขียนสูตรสำหรับการคำนวณองค์ประกอบใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\) สำหรับกรณีของเรา
\\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\)
\\ (a_n \u003d -19.3 + (n-1) 0.3 \\)		เราต้องการให้ \\ (a_n \\) มากกว่าศูนย์ มาดูกันว่า \\ (n \\) สิ่งนี้จะเกิดอะไรขึ้น
\\ (- 19.3+ (n-1) 0.3\u003e 0 \\)
\\ ((n-1) 0.3\u003e 19.3 \\) \\ (\|: 0.3 \\)		เราหารทั้งสองด้านของอสมการด้วย \\ (0,3 \\)
\\ (n-1\u003e \\) \\ (\\ frac (19,3) (0,3) \\)		ย้ายลบหนึ่งอย่าลืมเปลี่ยนสัญญาณ
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ frac (19,3) (0,3) \\) \\ (+ 1 \\)		เราคำนวณ ...
\\ (n\u003e 65,333 ... \\)		... และปรากฎว่าองค์ประกอบบวกแรกจะมีหมายเลข \\ (66 \\) ดังนั้นค่าลบสุดท้ายจึงมี \\ (n \u003d 65 \\) มาตรวจสอบกันก่อน
\\ (n \u003d 65; \\) \\ (a_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) 0.3 \u003d -0.1 \\) \\ (n \u003d 66; \\) \\ (a_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) 0.3 \u003d 0.2 \\)		ดังนั้นเราต้องเพิ่มองค์ประกอบ \\ (65 \\) แรก
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \\)\\ (\\ cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ ((- 38.6 + 19.2) (2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630.5 \\)		คำตอบพร้อมแล้ว

ตอบ: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ระบุโดยเงื่อนไข: \\ (a_1 \u003d -33 \\); \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\) หาผลรวมจากองค์ประกอบ \\ (26 \\) th ถึง \\ (42 \\)
การตัดสินใจ:

\\ (a_1 \u003d -33; \\) \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\)	ในปัญหานี้คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบด้วย แต่ไม่ได้เริ่มจากตัวแรก แต่มาจาก \\ (26 \\) - th สำหรับกรณีดังกล่าวเราไม่มีสูตร จะตัดสินใจอย่างไร? ง่าย - เพื่อหาผลรวมจาก \\ (26 \\) - ถึง \\ (42 \\) - โอ้ก่อนอื่นคุณต้องหาผลรวมจาก \\ (1 \\) - ถึง \\ (42 \\) - โอ้แล้วลบผลรวมออกจากมัน ก่อนถึง \\ (25 \\) - th (ดูรูป)
	สำหรับความก้าวหน้าของเรา \\ (a_1 \u003d -33 \\) และความแตกต่าง \\ (d \u003d 4 \\) (หลังจากนั้นเราจะเพิ่มทั้งสี่เข้าไปในองค์ประกอบก่อนหน้าเพื่อค้นหาองค์ประกอบถัดไป) เมื่อรู้สิ่งนี้เราจะพบผลรวมขององค์ประกอบ \\ (42 \\) - yh แรก
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ cdot 42 \u003d 2058 \\)	ตอนนี้ผลรวมขององค์ประกอบแรก \\ (25 \\) - ty
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	สุดท้ายเราคำนวณคำตอบ
\\ (S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

ตอบ: \\ (S \u003d 1683 \\)

มีสูตรอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เราไม่ได้พิจารณาในบทความนี้เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตามคุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย

โปรดทราบ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก ... ")

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลขที่แต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า (หรือน้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะยากและไม่สามารถเข้าใจได้ ดัชนีสำหรับตัวอักษรพจน์ที่ n ของความก้าวหน้าความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ทำให้สับสนใช่แล้ว ... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะออกมาทันที)

แนวคิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่ง่ายและชัดเจน สงสัย? เปล่า ๆ ) ดูเอาเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณสามารถขยายแถวนี้ได้หรือไม่? ตัวเลขใดจะไปไกลกว่าห้า? ทุกคน ... เอ่อ ... ในระยะสั้นทุกคนจะรู้ว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะไปได้ไกลกว่านี้

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณจะจับรูปแบบขยายซีรีส์และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ด หมายเลขแถว?

หากคุณรู้ว่าหมายเลขนี้คือ 20 - ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ! ไม่เพียง แต่คุณรู้สึก ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่ยังประสบความสำเร็จในการใช้ในธุรกิจ! หากคุณยังไม่เข้าใจให้อ่านต่อ

ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์)

ประเด็นสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชุดของตัวเลข นี่คือความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการพล็อตกราฟและทั้งหมดนั้น ... แล้วขยายอนุกรมหาจำนวนของอนุกรม ...

ไม่มีอะไรผิด. ความก้าวหน้าเพียงอย่างเดียวเป็นความคุ้นเคยครั้งแรกกับส่วนใหม่ของคณิตศาสตร์ ส่วนนี้เรียกว่า "Rows" และทำงานร่วมกับชุดตัวเลขและนิพจน์ ชินกับมัน)

ประเด็นสำคัญประการที่สอง

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนใด ๆ จะแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้า ในจำนวนเดียวกัน

ในตัวอย่างแรกความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะใช้เลขอะไรก็ตามมันจะมากกว่าตัวเลขก่อนหน้านี้ ในช่วงที่สอง - สาม จำนวนใด ๆ ที่มากกว่าก่อนหน้าหนึ่งโดยสาม อันที่จริงมันเป็นช่วงเวลานี้เองที่เปิดโอกาสให้เราได้จับรูปแบบและคำนวณตัวเลขที่ตามมา

ประเด็นสำคัญที่สาม

ช่วงนี้ไม่หวือหวาใช่แล้ว ... แต่มันสำคัญมาก นี่คือ: แต่ละหมายเลขในความก้าวหน้าจะอยู่ในตำแหน่งของมัน มีหมายเลขแรกมีที่เจ็ดมีสี่สิบห้าเป็นต้น หากสับสนแบบสุ่มรูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็จะหายไปด้วย ตัวเลขจะยังคงอยู่เพียงแถวเดียว

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนข้อกำหนดและการกำหนดใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ คุณต้องรู้จักพวกเขา มิฉะนั้นคุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่นคุณต้องตัดสินใจว่า:

เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 \u003d 5, d \u003d -2.5

มันสร้างแรงบันดาลใจหรือไม่) จดหมายดัชนีบางอย่าง ... และงานนั้นมันไม่ง่ายเลย คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของข้อกำหนดและการกำหนด ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญธุรกิจนี้และกลับไปที่งาน

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เป็นชุดของตัวเลขที่แต่ละหมายเลขแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้า ในจำนวนเดียวกัน

ปริมาณนี้เรียกว่า ... มาจัดการกับแนวคิดนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือจำนวนของความก้าวหน้าจำนวนเท่าใดก็ได้ มากกว่า อันก่อนหน้านี้

จุดสำคัญประการหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำ "มากกว่า". ในทางคณิตศาสตร์หมายความว่าแต่ละตัวเลขในความก้าวหน้าจะได้รับ เพิ่ม ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขก่อนหน้า

สำหรับการคำนวณสมมติว่า วินาที จำนวนแถวที่คุณต้องการ ครั้งแรก จำนวน เพิ่ม ความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคำนวณ ประการที่ห้า - ความแตกต่างเป็นสิ่งที่จำเป็น เพิ่ม ถึง ประการที่สี่ ดี ฯลฯ

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ อาจจะ บวก, จากนั้นแต่ละแถวจะกลายเป็นจริงๆ มากกว่าก่อนหน้านี้ ความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ที่นี่ทุกหมายเลขจะได้รับ เพิ่ม จำนวนบวก +5 ไปยังค่าก่อนหน้า

ความแตกต่างสามารถ เชิงลบ จากนั้นแต่ละหมายเลขในแถวจะเป็น น้อยกว่าก่อนหน้านี้ ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อ!) ลดลง

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่ทุกหมายเลขจะได้รับเกินไป เพิ่ม ไปก่อนหน้า แต่เป็นจำนวนลบอยู่แล้ว -5

อย่างไรก็ตามเมื่อทำงานกับความก้าวหน้าจะมีประโยชน์มากในการกำหนดลักษณะของมันทันทีไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ช่วยได้มากในการนำทางในการแก้ปัญหาตรวจจับข้อผิดพลาดและแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แสดงโดยตัวอักษรตามกฎ ง.

วิธีค้นหา ง เหรอ? ง่ายมาก. จำเป็นต้องลบออกจากจำนวนชุดใด ๆ ก่อนหน้านี้ จำนวน. ลบ อย่างไรก็ตามผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")

เรากำหนดตัวอย่างเช่น ง สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากน้อยไปมาก:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เรานำจำนวนแถวที่เราต้องการตัวอย่างเช่น 11 ลบออกจากแถวนั้น หมายเลขก่อนหน้า เหล่านั้น แปด:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ความแตกต่างคือสาม

คุณสามารถใช้อย่างแน่นอน จำนวนความก้าวหน้า ตั้งแต่ สำหรับความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจง ง -เหมือนเดิมเสมอ อย่างน้อยก็อยู่ตรงกลางแถว ๆ อย่างน้อยที่ไหนก็ได้ คุณไม่สามารถใช้เฉพาะตัวเลขแรก เพียงเพราะตัวเลขแรก ก่อนหน้านี้ไม่มี)

โดยวิธีการที่รู้ว่า d \u003d 3การค้นหาเลขที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ง่ายมาก บวก 3 เป็นเลขที่ห้า - เราได้ตัวที่หกมันจะเป็น 17 บวกสามเป็นเลขหกเราได้เลขเจ็ด - ยี่สิบ

เรากำหนด ง สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ลดลง:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าไม่ว่าจะเป็นสัญญาณใดในการพิจารณา ง จำเป็นจากหมายเลขใด ๆ นำอันก่อนหน้านี้ออกไป เราเลือกจำนวนของความคืบหน้าตัวอย่างเช่น -7 อันก่อนหน้าคือ -2 จากนั้น:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้: ทั้งหมดเศษส่วนไม่ลงตัวอะไรก็ได้

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในซีรีส์เรียกว่า สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้า มีหมายเลขของตัวเอง ตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดไม่มีลูกเล่นใด ๆ ที่หนึ่งสองสามสี่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่นในความก้าวหน้า 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือเทอมแรกห้าคือสองสิบเอ็ดคือสี่ดีคุณจะได้รับความคิด ... ) โปรดเข้าใจอย่างชัดเจน - ตัวเลขเอง สามารถเป็นอะไรก็ได้ทั้งหมดเศษส่วนลบอะไรก็ได้ แต่ เลขที่ - อย่างเคร่งครัด!

จะบันทึกความก้าวหน้าทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! แต่ละหมายเลขในแถวเขียนเป็นตัวอักษร เพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักใช้ตัวอักษร ก... หมายเลขสมาชิกแสดงด้วยดัชนีที่ด้านล่างขวา เราเขียนสมาชิกโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรืออัฒภาค) ดังนี้:

ก 1 ก 2 ก 3 ก 4 ก 5 .....

ก 1เป็นหมายเลขแรก ก 3 - ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรยุ่งยาก คุณสามารถเขียนชุดนี้สั้น ๆ ดังนี้: (ก).

มีความก้าวหน้า แน่นอนและไม่มีที่สิ้นสุด

สุดยอด ความก้าวหน้ามีสมาชิกจำนวน จำกัด ห้าสามสิบแปดอะไรก็ได้ แต่ - จำนวน จำกัด

ไม่มีที่สิ้นสุด ความก้าวหน้า - มีสมาชิกจำนวนไม่ จำกัด อย่างที่คุณคาดเดาได้)

คุณสามารถเขียนความคืบหน้าสุดท้ายผ่านซีรีส์เช่นนี้สมาชิกทั้งหมดและจุดต่อท้าย:

ก 1 ก 2 ก 3 ก 4 ก 5

หรือหากมีสมาชิกหลายคน:

ก 1, 2, ... ก 14, 15

รายการสั้นจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิกยี่สิบคน) เช่นนี้:

(ก), n \u003d 20

ความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถรับรู้ได้โดยจุดไข่ปลาที่ท้ายแถวดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้งานได้แล้ว งานเหล่านี้เรียบง่ายสำหรับการทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างงานสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาวิเคราะห์งานโดยละเอียดซึ่งให้ไว้ข้างต้น:

1. เขียนหกพจน์แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 \u003d 5, d \u003d -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ ได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด หมายเลขที่สองของความก้าวหน้านี้เป็นที่รู้จัก: ก 2 \u003d 5. ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า: d \u003d -2.5 คุณต้องหาสมาชิกคนที่หนึ่งสามสี่ห้าและหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจนฉันจะเขียนซีรีส์ตามเงื่อนไขของปัญหา หกเทอมแรกโดยเทอมที่สองคือห้า:

ก 1, 5, ก 3, ก 4, 5, ก 6, ....

ก 3 = ก 2 + ง

แทนนิพจน์ ก 2 \u003d 5 และ d \u003d -2.5... อย่าลืมเกี่ยวกับการลบ!

ก 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามมีขนาดเล็กกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากจำนวนมากกว่าตัวเลขก่อนหน้า เชิงลบ จากนั้นตัวเลขจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะมาพิจารณากันดีกว่า) เราพิจารณาสมาชิกคนที่สี่ของซีรีส์ของเรา:

ก 4 = ก 3 + ง

ก 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ก 5 = ก 4 + ง

ก 5=0+(-2,5)= - 2,5

ก 6 = ก 5 + ง

ก 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้นจึงมีการคำนวณเงื่อนไขจากที่สามถึงหก ผลลัพธ์คือชุดดังกล่าว:

ก 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

มันยังคงอยู่เพื่อค้นหาเทอมแรก ก 1 ตามวินาทีที่รู้จักกันดี นี่คือขั้นตอนในทิศทางอื่นไปทางซ้าย) ดังนั้นความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ง ไม่จำเป็นต้องเพิ่ม ก 2และ นำออกไป:

ก 1 = ก 2 - ง

ก 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ คำตอบงาน:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ระหว่างทางฉันจะสังเกตว่าเราแก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบ ทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงการมองหาสมาชิกของความก้าวหน้า ตามหมายเลขก่อนหน้า (ติดกัน) เราจะพิจารณาแนวทางอื่น ๆ ในการทำงานร่วมกับความก้าวหน้าในภายหลัง

ข้อสรุปที่สำคัญอย่างหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่ายๆนี้

จำไว้ว่า:

ถ้าเรารู้อย่างน้อยหนึ่งคำและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เราจะพบสมาชิกของความก้าวหน้านี้

คุณจำได้ไหม? ข้อสรุปง่ายๆนี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดหมุนรอบพารามิเตอร์หลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ความแตกต่างของความก้าวหน้าจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่าง.

แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้าทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก) อสมการสมการและสิ่งอื่น ๆ ติดอยู่กับความก้าวหน้า แต่ โดยความก้าวหน้ามาก - ทุกอย่างหมุนรอบสามพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่นพิจารณางานที่ได้รับความนิยมในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายเป็นอนุกรมถ้า n \u003d 5, d \u003d 0.4 และ a 1 \u003d 3.6

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างให้ไปแล้ว คุณต้องจำไว้ว่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกนับนับและจดบันทึกไว้อย่างไร ขอแนะนำว่าอย่าพลาดคำในเงื่อนไขของงาน: "สุดท้าย" และ " n \u003d 5". ไม่นับจนกว่าหน้าจะเป็นสีน้ำเงิน) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนเท่านั้นที่อยู่ในขั้นตอนนี้:

ก 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

ก 3 \u003d ก 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

ก 4 = ก 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

ก 5 = ก 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

ยังคงต้องเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. พิจารณาว่าหมายเลข 7 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หรือไม่ถ้า ก 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2

อืม ... ใครจะไปรู้ จะกำหนดบางสิ่งได้อย่างไร?

ยังไง ... ใช่เขียนความคืบหน้าในรูปแบบของซีรีส์แล้วดูว่าจะมีเซเว่นหรือไม่! เรามองว่า:

ก 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

ก 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

ก 4 = ก 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนแล้วว่าเราเพิ่งอายุเจ็ดขวบ เล็ดรอดผ่าน ระหว่าง 6.5 ถึง 7.7! ทั้งเจ็ดไม่ได้อยู่ในอนุกรมของตัวเลขของเราดังนั้นทั้งเจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบคือไม่

และนี่คืองานที่สร้างจาก GIA เวอร์ชันจริง:

4. สมาชิกหลายคนติดต่อกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะถูกเขียนออกมา:

... ; สิบห้า; x; เก้า; 6; ...

แถวนี้เขียนโดยไม่มีจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิกไม่แตกต่าง ง... ไม่มีอะไรผิด. ในการแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรามองและเข้าใจสิ่งที่เป็นไปได้ ค้นพบ จากซีรีส์เรื่องนี้? พารามิเตอร์หลักสามประการคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก? ไม่มีเลขตัวเดียวที่นี่

แต่มีตัวเลขสามตัวและ - ความสนใจ! - คำ "ติดต่อกัน" ในสภาพ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง มีสองอันในแถวนี้ เพื่อนบ้าน รู้จักเบอร์? ใช่แล้ว! นี่คือ 9 และ 6 เราจึงคำนวณความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้! เราลบออกจากหก ก่อนหน้านี้ หมายเลขเช่น เก้า:

มีเพียงเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เหลืออยู่ หมายเลขก่อนหน้าสำหรับ X คืออะไร? สิบห้า. ซึ่งหมายความว่า x สามารถหาได้ง่ายโดยการบวกง่ายๆ เพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็น 15:

นั่นคือทั้งหมด ตอบ: x \u003d 12

เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง หมายเหตุ: ปัญหาเหล่านี้ไม่เกี่ยวกับสูตร เพียงเพื่อทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น) เราแค่เขียนชุดตัวเลข - ตัวอักษรดูและคิด

5. จงหาพจน์ที่เป็นบวกแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตถ้า 5 \u003d -3; d \u003d 1.1

6. เป็นที่ทราบกันดีว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3 กำหนดหมายเลข n ของสมาชิกนี้

7. เป็นที่ทราบกันดีว่าในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 \u003d 4; ก 5 \u003d 15.1. ค้นหา 3.

8. เขียนสมาชิกหลายคนติดต่อกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

... ; 15.6; x; 3.4; ...

ค้นหาคำศัพท์ในความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนตัวออกจากสถานีเพิ่มความเร็วขึ้นเรื่อย ๆ 30 เมตรต่อนาที รถไฟความเร็วในห้านาทีจะเป็นเท่าไหร่? ให้คำตอบเป็นกม. / ชม.

10. เป็นที่ทราบกันดีว่าในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 \u003d 5; ก 6 \u003d -5 ค้นหา 1.

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; เก้า; 0.3; 4.

ทุกอย่างได้ผล? วิเศษมาก! คุณสามารถฝึกฝนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผล? ไม่มีปัญหา. ในตอนพิเศษ 555 งานทั้งหมดเหล่านี้จะถูกแยกออกเป็นชิ้น ๆ ) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการปฏิบัติง่ายๆที่เน้นการแก้ปัญหาของงานดังกล่าวทันทีชัดเจนชัดเจนราวกับอยู่ในฝ่ามือ!

อย่างไรก็ตามในปริศนาเกี่ยวกับรถไฟมีสองปัญหาที่ผู้คนมักจะสะดุด หนึ่งคือความก้าวหน้าอย่างแท้จริงและอย่างที่สองเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาใด ๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากหนึ่งไปสู่อีกมิติหนึ่ง ในนั้นแสดงให้เห็นว่าควรแก้ไขปัญหาเหล่านี้อย่างไร

ในบทเรียนนี้เราได้ตรวจสอบความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และพารามิเตอร์หลักของมัน นี่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม ง กับตัวเลขเขียนซีรีส์ทุกอย่างจะถูกตัดสิน

วิธีแก้ปัญหาด้วยนิ้วใช้งานได้ดีสำหรับชิ้นส่วนสั้น ๆ ของแถวดังตัวอย่างในบทช่วยสอนนี้ หากแถวยาวขึ้นการคำนวณจะซับซ้อนขึ้น ตัวอย่างเช่นหากอยู่ในปัญหาที่ 9 ในคำถามให้แทนที่ "ห้านาที" บน "สามสิบห้านาที" งานจะโกรธมาก)

นอกจากนี้ยังมีงานที่เรียบง่ายในสาระสำคัญ แต่เหลือเชื่อในแง่ของการคำนวณเช่น:

คุณได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หา 121 ถ้า a 1 \u003d 3 และ d \u003d 1/6

แล้วเราจะเพิ่มอะไรอีกหลาย ๆ ครั้งโดย 1/6?! ฆ่าได้แล้ว!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่ายๆที่คุณสามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานี้ได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

ถ้าคุณชอบไซต์นี้ ...

ยังไงก็ตามฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ระดับแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

ลองมานั่งเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราคือพวกเขา) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขกี่ตัวเราสามารถบอกได้เสมอว่าอันไหนคือตัวแรกตัวที่สองและตัวสุดท้ายนั่นคือเราสามารถนับได้ นี่คือตัวอย่างของลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขลำดับเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ หมายเลขที่สอง (เช่นหมายเลข -th) เป็นหนึ่งเสมอ
หมายเลขที่มีหมายเลขเรียกว่าสมาชิก th ของลำดับ

โดยปกติเราจะเรียกลำดับทั้งหมดว่าตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกันโดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเหมือนและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

เป็นต้น
ลำดับตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ได้รับการแนะนำโดยนักประพันธ์ชาวโรมัน Boethius ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจในความหมายที่กว้างขึ้นว่าเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" ถูกยกมาจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องซึ่งถูกครอบครองโดยชาวกรีกโบราณ

นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งสมาชิกแต่ละคนจะมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าโดยเพิ่มในหมายเลขเดียวกัน ตัวเลขนี้เรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และแสดงโดย

พยายามพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และข้อใดไม่ใช่:

ก)
ข)
ค)
ง)

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c
ไม่ใช่ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d

กลับไปที่ความก้าวหน้าที่กำหนด () แล้วลองหาค่าของสมาชิก th มีอยู่ สอง วิธีค้นหา

1. วิธีการ

เราสามารถเพิ่มไปยังค่าก่อนหน้าของจำนวนของความก้าวหน้าจนกว่าเราจะถึงระยะที่ th ของความก้าวหน้า เป็นเรื่องดีที่เราไม่มีเหลือให้สรุปมากนัก - มีเพียงสามค่าเท่านั้น:

ดังนั้นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราต้องการหาค่าของระยะเวลาของความก้าวหน้า? การสรุปจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมงและไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่เข้าใจผิดเมื่อบวกตัวเลข
แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีที่คุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ดูภาพวาดที่คุณวาดอย่างใกล้ชิด ... แน่นอนว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้วกล่าวคือ:

ตัวอย่างเช่นลองดูว่าค่าของสมาชิก th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ถูกเพิ่มอย่างไร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ลองค้นหาด้วยตัวเองด้วยวิธีนี้ค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด

คำนวณแล้ว? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:

โปรดทราบว่าคุณได้หมายเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้านี้เมื่อเราเพิ่มสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปยังค่าก่อนหน้าอย่างต่อเนื่อง
มาลอง "ปรับแต่ง" สูตรนี้ - เรานำมาสู่รูปแบบทั่วไปและรับ:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้นและบางครั้งก็ลดลง

จากน้อยไปมาก - ความก้าวหน้าที่แต่ละค่าต่อเนื่องของสมาชิกมากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

กำลังลดลง - ความก้าวหน้าที่แต่ละค่าต่อเนื่องของสมาชิกน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้มาใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในแง่การเพิ่มและลดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลองตรวจสอบสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: ลองตรวจสอบว่าจำนวน th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะออกมาเป็นอย่างไรถ้าเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบให้แน่ใจว่าสูตรทำงานได้ทั้งการลดและเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลองหาเงื่อนไข th และ th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวคุณเอง

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น - เราจะได้มาซึ่งคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ค้นหาค่า
ง่ายๆคุณพูดและเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:

ให้แล้ว:

ถูกต้องที่สุด. ปรากฎว่าเราพบก่อนจากนั้นเราก็เพิ่มเข้าไปในหมายเลขแรกและได้รับสิ่งที่เรากำลังมองหา หากความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าเล็ก ๆ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับมัน แต่ถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไข? ยอมรับว่ามีโอกาสที่จะทำผิดพลาดในการคำนวณ
ตอนนี้คิดว่าเป็นไปได้ไหมที่จะแก้ปัญหานี้ในการกระทำเดียวโดยใช้สูตร? แน่นอนใช่และเป็นเธอที่เราจะพยายามถอนตัวตอนนี้

มาแสดงถึงเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากเรารู้สูตรในการค้นหา - นี่คือสูตรเดียวกับที่เราได้มาในตอนต้น:
แล้ว:

สมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
สมาชิกคนต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

มาสรุปสมาชิกก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของสมาชิกก่อนหน้าและตามมาของความก้าวหน้าคือค่าสองเท่าของสมาชิกของความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่งในการค้นหามูลค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าที่มีค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบกันดีจำเป็นต้องบวกค่าเหล่านั้นและหาร

ถูกต้องเราได้หมายเลขเดียวกัน มาแก้ไขวัสดุกันเถอะ คำนวณค่าความก้าวหน้าด้วยตัวคุณเองเพราะมันไม่ยากเลย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! มีเพียงสูตรเดียวที่ต้องเรียนรู้ซึ่งตามตำนานได้รับมาอย่างง่ายดายโดยนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งตลอดกาล "ราชาแห่งคณิตศาสตร์" - คาร์ลเกาส์ ...

เมื่อ Karl Gauss อายุ 9 ขวบครูคนหนึ่งที่ตรวจงานของนักเรียนในชั้นอื่น ๆ ได้ถามปัญหาต่อไปนี้ในบทเรียน: "คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจากถึง ลองนึกภาพความประหลาดใจของครูเมื่อนักเรียนคนหนึ่งของเขา (คือคาร์ลเกาส์) ให้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหาในหนึ่งนาทีในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นของผู้กล้าส่วนใหญ่หลังจากการคำนวณเป็นเวลานานได้รับผลลัพธ์ที่ผิด ...

Young Karl Gauss สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างที่คุณสามารถสังเกตเห็นได้ง่าย
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยสมาชิก -th: เราต้องหาผลรวมของสมาชิกที่กำหนดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าเราสามารถรวมค่าทั้งหมดได้ด้วยตนเอง แต่ถ้าในงานนั้นจำเป็นต้องหาผลรวมของสมาชิกตามที่ Gauss กำลังมองหา?

มาบรรยายความก้าวหน้าที่มอบให้กับเรา ดูตัวเลขที่ไฮไลต์อย่างใกล้ชิดและพยายามดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆกับพวกเขา

คุณลองหรือยัง? คุณสังเกตเห็นอะไรบ้าง? อย่างถูกต้อง! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

ตอนนี้บอกฉันว่าจะมีกี่คู่ในความคืบหน้า? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นคือ
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสมาชิกสองคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากันและคู่ที่เท่ากันที่คล้ายกันเราจะได้ผลรวมทั้งหมดคือ:
.
ดังนั้นสูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ จะเป็น:

ในบางปัญหาเราไม่ทราบศัพท์บัญญัติ แต่เราทราบถึงความแตกต่างของความก้าวหน้า พยายามแทนที่ในสูตรสำหรับผลรวมสูตรของเทอม th
คุณทำอะไรลงไป?

ทำได้ดี! ทีนี้กลับไปที่โจทย์ที่ให้กับ Karl Gauss: คำนวณตัวเองว่าผลรวมของตัวเลขเริ่มต้นจาก th คืออะไรและผลรวมของตัวเลขที่เริ่มจาก th

คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์พบว่าผลรวมของสมาชิกเท่ากันและผลรวมของสมาชิก นั่นคือวิธีที่คุณตัดสินใจ?

ในความเป็นจริงสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดย Diophantus นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ผู้คนที่มีไหวพริบกำลังใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จนถึงขีดสุด
ตัวอย่างเช่นลองนึกภาพอียิปต์โบราณและสถานที่ก่อสร้างที่มีความทะเยอทะยานที่สุดในยุคนั้น - การสร้างพีระมิด ... รูปแสดงด้านหนึ่งของมัน

ความคืบหน้าอยู่ที่ไหนที่คุณพูด? ดูอย่างใกล้ชิดและค้นหารูปแบบจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของผนังพีระมิด

มันไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงหนึ่งหากวางอิฐบล็อกไว้ในฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับด้วยการใช้นิ้วของคุณบนจอภาพคุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

ในกรณีนี้ความก้าวหน้ามีลักษณะดังนี้:.
ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (เราจะนับจำนวนบล็อกใน 2 วิธี)

วิธีที่ 1.

วิธีที่ 2.

และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนจอภาพ: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา มันมาพร้อมกัน? ทำได้ดีคุณเข้าใจผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐานได้ แต่มาจากไหน? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายกี่ก้อนในการสร้างกำแพงที่มีเงื่อนไขนี้
คุณจัดการหรือไม่
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:

ออกกำลังกาย

งาน:

Masha กำลังมีรูปร่างในช่วงฤดูร้อน ทุกวันเธอเพิ่มจำนวน squats โดย Masha จะหมอบกี่ครั้งในสัปดาห์ถ้าในการออกกำลังกายครั้งแรกเธอทำ squats
ผลรวมของจำนวนคี่ทั้งหมดที่มีอยู่ใน.
เมื่อจัดเก็บบันทึกนักตัดไม้จะเรียงซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละชั้นบนสุดมีหนึ่งบันทึกน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้า มีกี่ท่อนในการก่ออิฐหนึ่งท่อนถ้าท่อนไม้เป็นพื้นฐานของการก่ออิฐ

คำตอบ:

มากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน ในกรณีนี้
(สัปดาห์ \u003d วัน)
ตอบ:หลังจากผ่านไปสองสัปดาห์ Masha ควรหมอบวันละครั้ง
เลขคี่แรกเลขสุดท้าย
ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเลขคี่เป็นครึ่งหนึ่งอย่างไรก็ตามลองตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรสำหรับการหาพจน์ที่ - ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
ตัวเลขประกอบด้วยจำนวนคี่
แทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ในสูตร:
ตอบ:ผลรวมของจำนวนคี่ทั้งหมดที่มีอยู่คือ
มาจำปัญหาพีระมิดกันเถอะ สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละชั้นบนสุดจะลดลงทีละบันทึกจากนั้นจึงอยู่ในกลุ่มของเลเยอร์นั่นคือ
แทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
ตอบ:มีท่อนไม้ในการก่ออิฐ

สรุปผล

- ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเหมือนกันและเท่ากัน สามารถเพิ่มขึ้นและลดลง
หาสูตร - สมาชิกตัวที่สองของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้าอยู่ที่ไหน
คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - - จำนวนตัวเลขอยู่ที่ไหนในความก้าวหน้า
ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สามารถพบได้สองวิธี:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับเฉลี่ย

ลำดับหมายเลข

มานั่งเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และอาจมีจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่คุณสามารถบอกได้เสมอว่าอันไหนคืออันแรกอันที่สองและอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถนับได้ นี่คือตัวอย่างของลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลข คือชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งตัวเลขแต่ละตัวสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติที่แน่นอนและเป็นเพียงตัวเลขเดียว และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่น ๆ จากชุดนี้

หมายเลขที่มีหมายเลขเรียกว่าสมาชิก th ของลำดับ

จะสะดวกมากหากสามารถกำหนดพจน์ของลำดับได้ด้วยสูตรบางอย่าง ตัวอย่างเช่นสูตร

ระบุลำดับ:

และสูตรเป็นลำดับต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับ (เทอมแรกเท่ากันและผลต่าง) หรือ (, ความแตกต่าง)

สูตร Nth

เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำเพื่อค้นหาสมาชิกคุณจำเป็นต้องรู้ก่อนหน้านี้หรือหลาย ๆ สูตรก่อนหน้านี้:

ตัวอย่างเช่นในการค้นหาระยะที่ th ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรดังกล่าวเราจะต้องคำนวณเก้าก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นให้ จากนั้น:

ตอนนี้สูตรคืออะไร?

ในแต่ละบรรทัดเราจะเพิ่มคูณด้วยจำนวนบางส่วน เพื่ออะไร? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:

สะดวกกว่าเยอะเลยใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้หาสูตรของพจน์ที่ n แล้วหาพจน์ที่ร้อย

การตัดสินใจ:

เทอมแรกเท่ากัน อะไรคือความแตกต่าง? แต่อะไร:

(ท้ายที่สุดนี่คือเหตุผลที่เรียกว่าความแตกต่างซึ่งเท่ากับความแตกต่างของสมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตรคือ:

จากนั้นเทอมที่ร้อยคือ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจากถึงเป็นเท่าใด?

ตามตำนานนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ Karl Gauss ซึ่งเป็นเด็กชายอายุ 9 ขวบคำนวณเงินจำนวนนี้ในเวลาไม่กี่นาที เขาสังเกตเห็นว่าผลรวมของตัวเลขแรกและตัวสุดท้ายเท่ากันผลรวมของตัวที่สองและตัวสุดท้าย แต่จะเหมือนกันผลรวมของตัวที่สามและตัวที่สามจากจุดสิ้นสุดจะเท่ากันและอื่น ๆ จะมีกี่คู่? ถูกต้องครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดนั่นคือ ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ จะเป็น:

ตัวอย่าง:
หาผลรวมของการคูณสองหลักทั้งหมด

การตัดสินใจ:

หมายเลขแรกคือ แต่ละรายการจะได้รับโดยการเพิ่มไปยังหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่เราสนใจในรูปแบบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรกและความแตกต่าง

สูตรคำศัพท์สำหรับความก้าวหน้านี้:

มีสมาชิกกี่คนที่อยู่ในความคืบหน้าหากพวกเขาทั้งหมดต้องเป็นเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายในการก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

ตอบ:.

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ทุกวันนักกีฬาวิ่งมากกว่าวันก่อน ๆ เขาจะวิ่งกี่กิโลเมตรในสัปดาห์ถ้าเขาวิ่งกม. m ในวันแรก?
นักปั่นขับรถมากกว่ากิโลเมตรก่อนหน้าทุกวัน วันแรกเขาขับกม. เขาต้องเดินทางกี่วันถึงจะครอบคลุมกม.? เขาจะเดินทางกี่กิโลเมตรในวันสุดท้ายของการเดินทาง?
ราคาของตู้เย็นในร้านค้าลดลงในจำนวนที่เท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดทุกปีหากวางขายเป็นเงินรูเบิลหลังจากหกปีก็ขายเป็นรูเบิล

คำตอบ:

สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการรับรู้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ \u003d วัน) คุณต้องกำหนดผลรวมของสมาชิกแรกของความก้าวหน้านี้:
.
ตอบ:
ได้รับที่นี่: จำเป็นต้องค้นหา
เห็นได้ชัดว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้านี้:
.
แทนค่า:
เห็นได้ชัดว่ารูทไม่พอดีคำตอบคือ
ลองคำนวณระยะทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรระยะที่:
(กม.).
ตอบ:
ให้:. การค้นหา: .
มันไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว:
(ถู).
ตอบ: