Anna suunnan suuntaus. Tutkimushanke "Rinnakuva ja sen ominaisuudet"

Jätä kommentti 6,950

Kunnan budjettikoululaitos

Savinskajan lukio

Tutkimus

Suuntaviiva ja sen uudet ominaisuudet

Valmistunut: luokan 8B opiskelija

MBOU Savinskajan lukio

Kuznetsova Svetlana, 14-vuotias

Ohjaaja: matematiikan opettaja

Tulchevskaya N.A.

s. Savino

Ivanovon alue, Venäjä

2016

I. Johdanto __________________________________________________ sivu 3

II. Suuntaviivan historiasta ___________________________________ sivu 4

III Suuntaviivan lisäominaisuudet ______________________ sivu 4

IV. Ominaisuus todisteet _____________________________________ sivu 5

V. Ongelmien ratkaiseminen lisäominaisuuksien avulla __________ sivu 8

Vi. Suuntaviivojen ominaisuuksien soveltaminen tosielämässä ___________________ sivu 11

Vii. Päätelmä _________________________________________________ sivu 12

VIII. Kirjallisuus _________________________________________________ sivu 13

    Johdanto

"Tasa-arvoisten mielien keskuudessa

klo muiden ehtojen samankaltaisuus

ylittää geometrian tuntijan "

(Blaise Pascal).

Opiskellessamme aihetta "Rinnakkaispiiri" geometriatunneilla otimme huomioon rinnakkaiskuvan kaksi ominaisuutta ja kolme ominaisuutta, mutta kun aloimme ratkaista ongelmia, kävi ilmi, että tämä ei riittänyt.

Minulla on kysyttävää, onko suuntaissuunnassa edelleen ominaisuuksia ja miten ne auttavat ongelmien ratkaisemisessa.

Ja päätin tutkia rinnakkaisen lisäominaisuuksia ja näyttää, miten niitä voidaan käyttää ongelmien ratkaisemiseen.

Tutkimuksen aihe : suunnikas

Tutkimuksen kohde : rinnan suuntaiset ominaisuudet
Tavoite:

    sellaisen rinnakkaiskuvan ominaisuuksien muotoilu ja todistus, joita ei opiskella koulussa;

    näiden ominaisuuksien soveltaminen ongelmien ratkaisemiseen.

Tehtävät:

    Tutki rinnakkaisnumeron historiaa ja sen ominaisuuksien kehittymistä;

    Etsi lisää kirjallisuutta tutkittavasta aiheesta;

    Tutki rinnakkaisen lisäominaisuuksia ja todista ne;

    Näytä näiden ominaisuuksien käyttö ongelmien ratkaisemiseen;

    Harkitse rinnakkaisominaisuuksien käyttöä elämässä.
    Tutkimusmenetelmät:

    Työskentele opetus- ja populaaritieteellisen kirjallisuuden, Internet-resurssien kanssa;

    Teoreettisen aineiston tutkimus;

    Valitaan joukko tehtäviä, jotka voidaan ratkaista käyttämällä rinnakkaisen lisäominaisuuksia;

    Tarkkailu, vertailu, analyysi, analogia.

Tutkimuksen kesto : 3 kuukautta: tammi-maaliskuu 2016

    1. Suuntaviivan historiasta

Geometrian oppikirjassa luemme seuraavan suunnan: rinnan suuntainen neliö on nelikulmio, jossa vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset

Sana "parallelogram" käännetään "yhdensuuntaisiksi viivoiksi" (kreikkalaisista sanoista Parallelos - yhdensuuntainen ja gramme - viiva), tämän termin otti käyttöön Euclid. Euclid osoitti kirjassaan "Alkut" seuraavat suuntaissuuntaisen ominaisuuden ominaisuudet: suuntaissuunnan vastakkaiset puolet ja kulmat ovat samat ja lävistäjä jakaa sen puoleen. Euclid ei mainitse suunnan leikkauspistettä. Vasta keskiajan loppupuolella kehitettiin täydellinen rinnakkaisnopeuksien teoria, vasta 1700-luvulla ilmestyivät oppikirjoihin rinnakkain esitetyt lauseet, jotka todistetaan käyttämällä Eucliden teoriaa suunnasta.

III Suorakulmion muut ominaisuudet

Geometrian oppikirjassa annetaan vain 2 suuntaissuunnan ominaisuutta:

    Vastakulmat ja sivut ovat samat

    Suorakulmion diagonaalit leikkaavat ja leikkauspiste puolittuu

Eri geometrialähteistä löydät seuraavat lisäominaisuudet:

    Suorakulmion vierekkäisten kulmien summa on 180 0

    Suuntaviivan kulman puolittaja katkaisee tasakylkisen kolmion siitä;

    Suorakulmion vastakkaisten kulmien puolittimet ovat yhdensuuntaisilla suorilla viivoilla;

    Suorakulmion vierekkäisten kulmien puolittimet leikkaavat suorassa kulmassa;

    Suorakulmion kaikkien kulmien puolittimet ylittäessään muodostavat suorakulmion;

    Etäisyydet suunnan vastakkaisista kulmista samaan lävistäjään ovat samat.

    Jos yhdistämme suunnassa vastakkaiset pisteet vastakkaisten sivujen keskipisteisiin, saamme toisen suunnan.

    Suorakulmion diagonaalien neliöiden summa on kaksinkertainen sen vierekkäisten sivujen neliöiden summa.

    Jos piirrät korkeuksia suuntaissuunnassa kahdesta vastakkaisesta kulmasta, saat suorakulmion.

IV Todistus suuntaisen kuvan ominaisuuksista

    Suorakulmion vierekkäisten kulmien summa on 180 0

Annettu:

ABCD - suuntainen

Todistaa:

A +
B \u003d

Todisteet:

Ja
B - sisäpuoliset yksipuoliset kulmat yhdensuuntaisella suoralla BC: llä AD ja secant AB, mikä tarkoittaa
A +
B \u003d

2

Annettu: ABCD - suunnikas,

AK-puolittaja
JA.

Todistaa: AVK - tasakylkinen

Todisteet:

1)
1=
3 (makaa ristissä auringossa AD ja erilainen AK),

2)
2=
3 t. AK. Puolittaja,

tarkoittaa 1 \u003d
2.

3) AVK - tasakylkinen, koska 2 kolmion kulmaa ovat yhtä suuret

... Suorakulmion kulman puolittaja leikkaa siitä tasakylkisen kolmion

3

Annettu: ABCD - suuntainen,

AK - puolittaja A,

CP - puolittaja C.

Todistaa: AK ║ SR

Todisteet:

1) 1 \u003d 2 AK-puolittimesta

2) 4 \u003d 5, koska CP - puolittin

3) 3 \u003d 1 (ristikkäiskulmat kohdassa

ВС ║ АD ja AK-secant),

4) A \u003d C (suuntaissuuntaisen ominaisuuden perusteella), joten 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Kohdista 3 ja 4 seuraa, että 1 \u003d 4, ja nämä kulmat vastaavat suoria viivoja AK ja CP ja secant BC,

siten AK ║ СР (linjojen yhdensuuntaisuuden kriteerillä)

... Suorakulmion vastakkaisten kulmien puolittimet ovat yhdensuuntaisilla viivoilla

    Suorakulmion vierekkäisten kulmien puolittimet leikkaavat suorassa kulmassa

Annettu: ABCD - suuntainen,

AK-puolittaja A,

DP-puolitin D

Todistaa: DP AK.

Todisteet:

1) 1 \u003d 2, koska AK - puolittaja

Olkoon, 1 \u003d 2 \u003d x, sitten A \u003d 2x,

2) 3 \u003d 4, koska D Р - puolittaja

Olkoon 3 \u003d 4 \u003d y, sitten D \u003d 2y

3) A + D \u003d 180 0, koska rinnakkaiskulmien vierekkäisten kulmien summa on 180

2) Harkitse A ОD

1 + 3 \u003d 90 0, sitten
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Suorakulmion kaikkien kulmien puolittimet ylittäessään muodostavat suorakulmion


Annettu: ABCD - suuntainen, AK-puolittaja A,

DP-puolitin D,

CM - puolittaja C,

BF - puolittaja B.

Todistaa: KRNS-suorakulmio

Todisteet:

Aiemman ominaisuuden perusteella 8 \u003d 7 \u003d 6 \u003d 5 \u003d 90 0,

tarkoittaa, että KRNS on suorakulmio.

    Etäisyydet suunnan vastakkaisista kulmista samaan lävistäjään ovat samat.

Annettu: ABCD-rinnan suuntainen, AC-diagonaali.

VC AC, DP AC

Todistaa: BK \u003d DP

Todisteet: 1) DCР \u003d КAB, sisäisenä ristikkäisenä AB ║ CD: llä ja toissijaisella AC: llä.

2) AКB \u003d CDP (sivussa ja kahdessa vierekkäisessä kulmassa AB \u003d CD CD P \u003d AB K).

Ja tasaisissa kolmioissa vastaavat sivut ovat samat, mikä tarkoittaa DP \u003d BK.

    Jos yhdyssuunnassa yhdistämme vastakkaiset pisteet vastakkaisten sivujen keskipisteisiin, niin saamme toisen suunnan.

Annettu: ABCD-samansuuntainen.

Todistaa: VKDР - suuntainen.

Todisteet:

1) BP \u003d KD (AD \u003d BC, pisteet K ja P

jaa nämä puolet)

2) ВР ║ КD (makaa АD EKr.)

Jos nelikulmiossa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset, niin tämä nelikulmainen on suuntainen.


    Jos piirrät korkeuksia suunnassa kahdesta vastakkaisesta kulmasta, saat suorakulmion.

    Suorakulmion diagonaalien neliöiden summa on kaksi kertaa vierekkäisten sivujen neliöiden summa.

Annettu: ABCD on suuntainen. BD ja AC ovat lävistäjiä.

Todistaa: KUTEN 2 + ВD 2 \u003d 2 (AB 2 + JKr 2 )

Todisteet: 1)KYSYÄ: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (Pythagoraan lauseen mukaan)

3) AC ²+ BD ² \u003d SK² +A K² +B Р² + РD ²

4) SK \u003d BP \u003d N(korkeus )

5) AC 2 + BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 + PD 2

6) Anna olla D K \u003dA P \u003d xsitten C TOD : H 2 = CD 2 - x 2 pythagoraan lauseen mukaan )

7) AC² + BD ² \u003d CD 2 - х2 + AK 1 ²+ CD 2 -x 2 + PD 2 ,

AC² + BD ² \u003d 2CD 2 -2x 2 + A TO 2 + PD 2

8) A TO\u003d AD + x, RD \u003d AD- x,

AC² + BD ² \u003d 2CD 2 -2x 2 +(ILMOITUS + x) 2 +(ILMOITUS -x) 2 ,

KUTEN²+ ATD2 \u003d 2 AlkaenD²-2 x² + jKr 2 + 2AD x+ x 2 + JKr 2 -2AD x+ x 2 ,
 KUTEN²+ ATD² \u003d 2CD 2 + 2AD 2 \u003d 2 (CD 2 + JKr 2 ).


V ... Näiden ominaisuuksien ongelmien ratkaiseminen

    Yhden puolen vierekkäin olevan suunnan kahden kulman puolittimien leikkauspiste kuuluu vastakkaiselle puolelle. Suuntaviivan pienempi sivu on 5 ... Löydä sen isompi puoli.

Annettu: ABCD - suuntainen,

AK - puolittaja
JA,

D K - puolittaja
D, AB \u003d 5

Löytää: Aurinko

ratkaisu

Päätös

Koska AK - puolittaja
Ja sitten AVK on tasakylkinen.

Koska D K - puolittaja
D sitten DCK - tasakylkinen

DC \u003d C K \u003d 5

Sitten BC \u003d VK + SK \u003d 5 + 5 \u003d 10

Vastaus: 10

2. Etsi suunnan ympärysmitta, jos yhden sen kulman puolittaja jakaa suunnan sivun 7 cm: n ja 14 cm: n segmentteihin.


1 tapaus

Annettu:
JA,

VK \u003d 14 cm, KS \u003d 7 cm

Löytää: P-rinnakkain

Päätös

VS \u003d VK + KS \u003d 14 + 7 \u003d 21 (cm)

Koska AK - puolittaja
Ja sitten AVK on tasakylkinen.

AB \u003d VK \u003d 14 cm

Sitten P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

tapahtuu

Annettu:ABCD - suuntainen,

D K - puolittaja
D,

VK \u003d 14 cm, KS \u003d 7 cm

Löytää: P-suunnansuunta

Päätös

VS \u003d VK + KS \u003d 14 + 7 \u003d 21 (cm)

Koska D K - puolittaja
D sitten DCK - tasakylkinen

DC \u003d C K \u003d 7

Sitten P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Vastaus: 70 cm tai 56 cm

3. Suuntaviivan sivut ovat 10 cm ja 3 cm. Suuremman sivun viereisten kahden kulman puolittimet jakavat vastakkaisen puolen kolmeen osaan. Etsi nämä rivit.

1 tapaus: puolittimet leikkaavat suunnan ulkopuolella

Annettu:ABCD - suuntainen, AK - puolittaja
JA,

D K - puolittaja
D, AB \u003d 3 cm, BC \u003d 10 cm

Löytää: BM, MN, NC

Päätös

Koska AM - puolittaja
A, silloin AVM on tasakylkinen.

Koska DN - puolittin
D sitten DCN - tasakylkinen

DC \u003d CN \u003d 3

Sitten МN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 tapaus:puolittimet leikkaavat suunnan sisällä

Koska AN - puolittaja
A, tällöin ABN on tasakylkinen.

AB \u003d BN = 3 D

Ja liukuva ristikko tulisi siirtää vaaditulle etäisyydelle oviaukossa

Rinnakkaismittausmekanismi - nelilinkkinen mekanismi, jonka linkit muodostavat suunnan. Sitä käytetään käännösliikkeen toteuttamiseen saranoiduilla mekanismeilla.

Kiinteän linkin suuntainen - yksi lenkki on liikkumaton, vastakkainen suorittaa heiluvan liikkeen pysyen samansuuntaisena liikkumattoman kanssa. Kaksi peräkkäin kytkettyä suuntaista antaa lopulliselle linkille kaksi vapausastetta, jättäen sen yhdensuuntaiseksi liikkumattoman kanssa.

Esimerkkejä: bussipyyhkimet, haarukkatrukit, jalustat, ripustimet, auton jousitukset.

Suuntaviiva kiinteällä liitoksella - suuntaissuuntaista ominaisuutta käytetään pitämään vakiona kolmen pisteen väliset etäisyydet. Esimerkki: piirustusvirroitin on laite piirustusten skaalaamiseen.

Rhombus - kaikki linkit ovat saman pituisia, vastakkaisten saranaparien lähestyminen (supistuminen) johtaa kahden muun saranan laajenemiseen. Kaikki linkit toimivat pakattuna.

Esimerkkejä ovat timantinmuotoinen auton tunkki, raitiovaunun virroitin.

Sakset tai X-muotoinen mekanismi, tunnetaan myös Nürnbergin sakset - rombivariantti - kaksi linkkiä, jotka on yhdistetty keskellä saranalla. Mekanismin edut ovat kompakti ja yksinkertainen, haittana on kahden liukuparin läsnäolo. Kaksi (tai useampaa) sellaista mekanismia, jotka on kytketty sarjaan, muodostavat keskellä romman. Sitä käytetään hisseissä, lasten leluissa.

Vii Johtopäätös

Kuka on harrastanut matematiikkaa lapsuudesta lähtien,

hän kehittää huomiota, kouluttaa aivojaan,

hänen tahtonsa tukee sitkeyttä

ja sitkeyttä tavoitteen saavuttamiseksi

A. Markushevich

    Työssäni todistin rinnakkaisen lisäominaisuudet.

    Olin vakuuttunut siitä, että näitä ominaisuuksia käyttämällä voit ratkaista ongelmat nopeammin.

    Olen osoittanut näiden ominaisuuksien soveltamisen käyttämällä esimerkkejä tiettyjen ongelmien ratkaisemisesta.

    Olen oppinut paljon suunnasta, jota ei ole geometrian oppikirjassa.

    Olin vakuuttunut siitä, että geometrian tuntemus on erittäin tärkeää elämässä esimerkkien avulla rinnakkaispiirteen ominaisuuksien käytöstä.

Tutkimustyön tavoite on valmis.

Kuinka tärkeätä matemaattinen tieto on, osoittaa se tosiasia, että palkinto perustettiin sille, joka julkaisee kirjan miehestä, joka on elänyt koko elämänsä ilman matematiikan apua. Kukaan henkilö ei ole vielä saanut tätä palkintoa.

VIII Kirjallisuus

    1. A. V. Pogorelov Geometria 7-9: oppikirja yleiseen koulutukseen. instituutiot-M.: Koulutus, 2014

      L. Atanasyan ja muut. Geometria. Lisätä. Luvut luokan 8 oppikirjaan: oppikirja. käsikirja syventyvien koulujen ja luokkien opiskelijoille. matematiikan opiskelu. - M.: Vita-press, 2003

      Internet-resurssit

      wikipedia-aineistot

Tämänpäiväisessä oppitunnissa tarkastelemme rinnan suunnan perusominaisuuksia ja kiinnitämme sitten huomiota rinnan suunnan kahden ensimmäisen ominaisuuden huomioon ottamiseen ja todistamme ne. Todistuksen aikana muistelemme kolmioiden tasa-arvon merkkien soveltamista, joita tutkimme viime vuonna ja toistimme ensimmäisessä oppitunnissa. Lopuksi annetaan esimerkki tutkittujen rinnakkaispiirteiden ominaisuuksista.

Teema: Nelikulmioita

Oppitunti: Suuntaviivan merkit

Aloitetaan muistuttamalla suunnan muoto.

Määritelmä. Suunnikas- nelikulmio, jossa jokainen toinen vastakkainen sivu on yhdensuuntainen (katso kuva 1).

Kuva: 1. Suuntaviiva

Palauttaa mieleen rinnakkaisen perusominaisuudet:

Kaikkien näiden ominaisuuksien käyttämiseksi sinun on oltava varma, että kyseinen kuva on suuntainen. Tätä varten sinun on tiedettävä tosiasiat, kuten suunnan merkit. Harkitsemme kahta ensimmäistä niistä tänään.

Lause. Suuntaviivan ensimmäinen merkki.Jos nelikulmiossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset, niin tämä nelikulmainen on suunnikas. .

Kuva: 2. Suuntaviivan ensimmäinen merkki

Todisteet. Piirrä nelikulmioon lävistäjä (katso kuva 2), hän jakoi sen kahteen kolmioon. Kirjoita muistiin, mitä tiedämme näistä kolmioista:

ensimmäisen merkkinä kolmioiden tasa-arvosta.

Ilmoitettujen kolmioiden tasa-arvosta seuraa, että suorien viivojen rinnakkaisuuden merkki ylittää niiden toisistaan. Meillä on se:

Todistettu.

Lause. Suuntaviivan toinen merkki.Jos nelikulmiossa kaikki kaksi vastakkaista sivua ovat yhtä suuret, niin tämä nelikulmainen on suunnikas. .

Kuva: 3. Suuntaviivan toinen merkki

Todisteet. Piirrä nelikulmioon diagonaali (katso kuva 3), se jakaa sen kahteen kolmioon. Kirjoitetaan, mitä tiedämme näistä kolmioista, lauseen lauseen perusteella:

kolmansien tasa-arvon kolmannella kriteerillä.

Kolmioiden tasa-arvosta seuraa, että myös suorien viivojen yhdensuuntaisuuden kriteerillä niiden sekanttien leikkauspisteessä. Saamme:

rinnakkain määritelmän mukaan. Q.E.D.

Todistettu.

Tarkastellaan esimerkkiä rinnakkaispiirteen ominaisuuksien käytöstä.

Esimerkki 1. Kupera nelikulmio Etsi: a) nelikulman kulmat; b) puoli.

Päätös. Kuvataan kuva. 4.

Kuva: 4

ensimmäisen rinnakkaisominaisuuden perusteella.

Oppitunnin aihe

  • Suorakulmion diagonaalien ominaisuus.

Oppitunnin tavoitteet

  • Tutustu uusiin määritelmiin ja muista jo tutkittuja.
  • Määritä ja todista rinnan suunnan diagonaalien ominaisuus.
  • Opi soveltamaan muotojen ominaisuuksia ongelmien ratkaisemiseen.
  • Kehittäminen - kehittää opiskelijoiden huomiota, sitkeyttä, sitkeyttä, loogista ajattelua, matemaattista puhetta.
  • Koulutus - oppitunnilla kasvattaa tarkkaavainen asenne toisiinsa, kasvattaa kykyä kuunnella toverit, keskinäistä avunantoa, itsenäisyyttä.

Oppitunnin tavoitteet

  • Testaa opiskelijoiden kyky ratkaista ongelmia.

Tuntisuunnitelma

  1. Johdanto.
  2. Aikaisemmin tutkitun aineiston toistaminen.
  3. Suuntaviiva, sen ominaisuudet ja merkit.
  4. Esimerkkejä tehtävistä.
  5. Itsetarkistus.

Johdanto

"Suuret tieteelliset löydöt tarjoavat ratkaisun suuriin ongelmiin, mutta ongelmien ratkaisemisessa on löytöjä."

Suorakulmion vastakkaisten puolien ominaisuus

Suorakulmiossa vastakkaiset sivut ovat samat.

Todisteet.

Olkoon ABCD annettu rinnakkain. Ja anna sen diagonaalien kohdata kohdassa O.
Koska Δ AOB \u003d Δ COD kolmion tasa-arvon ensimmäisen merkin perusteella (∠ AOB \u003d ∠ COD pystysuorana, AO \u003d OC, DO \u003d OB, samansuuntaisten diagonaalien ominaisuuden perusteella), niin AB \u003d CD. Samoin kolmioiden BOC ja DOA yhtäläisyydestä seuraa, että BC \u003d DA. Lause on todistettu.

Suorakulmion vastakkaisten kulmien ominaisuus

Suuntakulmassa vastakkaiset kulmat ovat samat.

Todisteet.

Olkoon ABCD annettu rinnakkain. Ja anna sen diagonaalien kohdata kohdassa O.
Sen perusteella, mitä lauseessa osoitettiin, että rinnakkain vastakkaisten puolien ominaisuudet olivat A ABC \u003d Δ CDA kolmella puolella (AB \u003d CD, BC \u003d DA siitä, mitä todistettiin, AC on yleinen). Kolmioiden tasa-arvosta seuraa, että ∠ ABC \u003d ∠ CDA.
On myös todistettu, että ∠ DAB \u003d ∠ BCD, mikä seuraa ∠ ABD \u003d ∠ CDB: stä. Lause on todistettu.

Rinnakkaiskuva-diagonaalien ominaisuus

Suuntaviivan lävistäjät leikkaavat ja leikkauspiste puolittuu.

Todisteet.

Olkoon ABCD annettu rinnakkain. Piirretään diagonaalinen AC. Merkitään sen keskelle O. Jatkaessa DO-segmenttiä, poista OB 1 -segmentti yhtä kuin DO.
Edellisen lauseen AB mukaan 1 CD on suuntainen. Siksi linja AB 1 on yhdensuuntainen DC: n kanssa. Mutta pisteen A kautta voit piirtää vain yhden suoran viivan DC: n suuntaisesti. Näin ollen viiva AB 1 on sama kuin linja AB.
On myös todistettu, että BC 1 on sama kuin BC. Täten piste C on sama kuin Cl. ABCD-suuntainen samansuuntainen. Siksi suunnan diagonaalit leikkaavat ja leikkauspiste puolittuu. Lause on todistettu.

Tavallisten koulujen oppikirjoissa (esimerkiksi Pogorelovissa) todistetaan seuraavasti: diagonaalit jakavat suunnan 4-kolmioiksi. Tarkastellaan yhtä paria ja saat selville - ne ovat yhtä suuret: niiden pohjat ovat vastakkaiset sivut, vastaavat vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret kuin pystysuorat yhdensuuntaisille suorille linjoille. Eli diagonaalien segmentit ovat pareittain yhtä suuret. Kaikki.

Onko siinä kaikki?
Edellä todistettiin, että leikkauspiste jakaa diagonaalit puoliksi - jos niitä on. Annettu päättely ei osoita millään tavalla sen olemassaoloa. Toisin sanoen lauseen osa "rinnan suuntaisten viistojen leikkaavat" pysyy todistamattomana.

Hauska on, että tätä osaa on paljon vaikeampaa todistaa. Tämä seuraa muuten yleisemmästä tuloksesta: kaikilla kuperilla nelikulmilla on lävistäjät ja kaikilla ei-kuperilla ei.

Kolmioiden tasa-arvosta sivua ja kahta vierekkäistä kulmaa pitkin (toinen merkki kolmioiden tasa-arvosta) ja muita.

Lause, joka koskee kahden kolmion tasaamista sivussa ja kahta kulmaa sen vieressä, Thales on löytänyt tärkeän käytännön sovelluksen. Miletoksen satamaan rakennettiin etäisyysmittari, joka määrittää etäisyyden alukseen merellä. Se koostui kolmesta vasaralla tapista A, B ja C (AB \u003d BC) ja merkittystä suorasta viivasta SK, kohtisuorassa CA: n kanssa. Kun alus ilmestyi suoralle viivalle SC, löydettiin piste D siten, että pisteet D, B ja E olivat samalla suoralla. Kuten piirustuksesta käy ilmi, etäisyys CD maassa on haluttu etäisyys alukseen.

Kysymyksiä

  1. Puolittavatko neliön diagonaalit leikkauspisteen?
  2. Ovatko rinnan suuntaisen viivan diagonaalit yhtä suuret?
  3. Ovatko samansuuntaisen kulman vastakulmat samat?
  4. Mikä on suunnan määritelmä?
  5. Kuinka monta rinnakkaispiirteen ominaisuutta?
  6. Voiko rombi olla suuntainen?

Luettelo käytetyistä lähteistä

  1. A. Kuznetsov, matematiikan opettaja (luokat 5-9), Kiova
  2. ”Yhdistetty valtion tentti 2006. Matematiikka. Oppimateriaalit opiskelijoiden kouluttamiseen / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
  3. K. Mazur "M. I. Skanavi -lehden toimittaman kokoelman matemaattisten kilpailuongelmien ratkaisu"
  4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7-9: oppikirja oppilaitoksille"

Työskenteli oppitunnilla

A. V. Kuznetsov

S. Poturnak

Jevgeni Petrov

Voit herättää kysymyksen nykyaikaisesta koulutuksesta, ilmaista ajatuksen tai ratkaista kiireellisen ongelman Koulutusfoorumi jossa tuoreen ajattelun ja toiminnan kouluneuvosto kokoontuu kansainvälisesti. Luomalla blogi, Et vain nosta pätevän opettajan asemaa, mutta myös merkittävästi edesautot tulevaisuuden koulun kehitystä. Koulutusjohtajien kilta avaa ovet huippuluokan asiantuntijoille ja kutsuu yhteistyöhön maailman parhaiden koulujen luomiseksi.

Aiheet\u003e Matematiikka\u003e Luokan 8 matematiikka

1. Suuntaviivan määritelmä.

Jos leikkaamme yhdensuuntaisen viivan parin toisen yhdensuuntaisen viivan parin kanssa, saadaan nelikulmio, jossa vastakkaiset puolet ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Neliöissä ABDC ja EFNM (kuva 224) BD || AC ja AB || CD;

ЕF || МN ja ЕМ || FN.

Nelisivuista, jossa vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, kutsutaan suunnaksi.

2. Suuntaviivan ominaisuudet.

Lause. Suuntaviivan lävistäjä jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon.

Olkoon suuntaissuuntainen ABDC (kuva 225), jossa AB || CD ja AC || BD.

On todistettava, että diagonaali jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon.

Piirretään diagonaalinen CB suuntakuvaan ABDС. Todistetaan, että \\ (\\ Delta \\) CAB \u003d \\ (\\ Delta \\) СDВ.

CB-puoli on yhteinen näille kolmioille; ∠ABC \u003d ∠BCD sisäisinä poikittaiskulmina AB: n ja CD: n ja secant CB: n kanssa; ∠ACB \u003d ∠СВD sekä sisäiset ristikkäiskulmat yhdensuuntaisilla АС ja ВD ja toissijaisella CB: llä.

Siksi \\ (\\ Delta \\) CAB \u003d \\ (\\ Delta \\) CDB.

Samalla tavalla voidaan todistaa, että diagonaali AD jakaa suunnan kahteen yhtä suureen kolmioon ACD ja ABD.

Seuraukset:

1 . Suorakulmion vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

∠А \u003d ∠D, tämä johtuu kolmioiden CAB ja СDВ yhtäläisyydestä.

Vastaavasti ∠С \u003d ∠В.

2. Suorakulmion vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret.

AB \u003d CD ja AC \u003d BD, koska nämä ovat yhtäläisten kolmioiden sivut ja ovat vastakkaisia \u200b\u200btasaisia \u200b\u200bkulmia.

Lause 2. Suuntaviivan lävistäjät puolitetaan niiden leikkauspisteessä.

Olkoon BC ja AD suorakulmion ABDC lävistäjät (kuva 226). Todistetaan, että AO \u003d OD ja CO \u003d OB.

Tätä varten verrataan vastakkain sijoitettujen kolmiopareja, esimerkiksi \\ (\\ Delta \\) AOB ja \\ (\\ Delta \\) COD.

Näissä kolmioissa AB \u003d CD, samansuuntaisen sivun vastakkaisina puolina;

∠1 \u003d ∠2, ristikkäisinä sisäkulmina AB: n ja CD: n ja secant AD: n kanssa;

∠3 \u003d ∠4 samasta syystä, koska AB || CD ja CB ovat heidän sekanttinsa.

Tästä seuraa, että \\ (\\ Delta \\) AOB \u003d \\ (\\ Delta \\) COD. Ja tasaisissa kolmioissa, jotka ovat vastakkaisia \u200b\u200bkulmia vastapäätä, on yhtäläiset sivut. Siksi AO \u003d OD ja CO \u003d OB.

Lause 3. Suuntaviivan toisen sivun vieressä olevien kulmien summa on 180 °.

Piirrä suorakulmiossa ABCD diagonaali AC ja hanki kaksi kolmiota ABC ja ADC.

Kolmiot ovat yhtä suuret, koska ∠1 \u003d ∠4, ∠2 \u003d ∠3 (leikkauskulmat yhdensuuntaisten viivojen kanssa) ja vaihtovirta puoli on yhteinen.
Tasa-arvon \\ (\\ Delta \\) ABC \u003d \\ (\\ Delta \\) ADC perusteella AB \u003d CD, BC \u003d AD, BCB \u003d ∠D.

Yhden sivun vierekkäisten kulmien, esimerkiksi kulmien A ja D summa on yhtä suuri kuin 180 ° yksipuolisena yhdensuuntaisten viivojen kanssa.

Pri-zn-ki pa-ra-le-lo-gram-ma

1. Suuntaviivan määritelmä ja perusominaisuudet

Muista aluksi pa-ra-le-lo-gram-ma-määritelmä.

Määritelmä-de-le-ny. Suunnikas- four-you-rekh-hiilen-nick, ko-that-ro-go: lla, kukin kaksi pro-ty-in-false-puolta-pa-ral-lel-ny (katso kuva. 1).

Kuva: 1. Pa-ral-le-lo-gram

Muistaa pa-ra-le-lo-gram-ma: n pääominaisuudet:

Voidaksesi käyttää kaikkia näitä ominaisuuksia, sinun täytyy olla varma, että fi-gu-ra, joku - siellä on puhe, - pa-ra-le-lo-gram. Tätä varten sinun on tiedettävä sellaiset tosiasiat kuin pa-ra-le-lo-gram-ma merkit. Kaksi ensimmäistä heistä olemme nyt ja tarkistamme.

2. Suuntaviivan ensimmäinen merkki

Lause. Ensimmäinen merkki on pa-ra-le-lo-gram-ma.Jos neljässä sinä-rekh-hiili-ei-ke: ssä kaksi väärää vastapuolta ovat yhtä suuret ja yhtäläiset ny: n kanssa, niin tämä neljä sinä-rekh-hiili- Nimimerkki - suunnikas. .

Kuva: 2. Ensimmäinen merkki on pa-ra-le-lo-gram-ma

Todisteet. Puhutaan dia-go-nalista neljässä rekh-hiili-no-ke: ssä (katso kuva 2), hän jakoi sen kahteen trihiileen. Kirjoita, mitä tiedämme näistä kolmioista:

tunnustamalla kolmioiden pariteetti ensimmäisen kerran.

Osoitettujen kolmioiden tasa-arvosta seuraa, että suorien viivojen pa-ra-lel-tunnuksen tunnistamisen mukaan kylvön aikana, che-nii heidän se-ku-shchey. Meillä on se:

Do-ka-za-but.

3. Suuntaviivan toinen merkki

Lause. Toinen merkki on pa-ra-le-lo-gram-ma.Jos neljässä sinä-rekh-hiili-ei-ke: ssä, jokainen kaksi väärää puolta-puolta ovat yhtä suuret, niin tämä hurraa-rek-hiili-nick on suunnikas. .

Kuva: 3. Pa-ra-le-lo-gram-ma: n toinen merkki

Todisteet. Puhutaan dia-go-nalista neljässä rekh-hiili-no-ke: ssä (katso kuva 3), hän jakaa sen kahteen trihiileen. Kirjoita-hän-me tiedämme näistä kolmioista-no-kah, from-ho-dya muodosta mu-li-rov-ki theo-re-we:

kolmioiden pariteetin kolmannen merkin mukaan.

Kolmioiden-nikov yhtäläisyydestä seuraa, että suorien viivojen pa-ra-lel-tunnuksen tunnistamisen mukaan se-ku-cha. By-lo-cha-syö:

pa-ra-le-lo-gram de-le-niyun määritelmän mukaan. Q.E.D.

Do-ka-za-but.

4. Esimerkki suuntaissuunnan ensimmäisen ominaisuuden käytöstä

Harkitse esimerkkiä pa-ra-le-lo-gram-ma -merkkien käytöstä.

Esimerkki 1. Joukossa neljä-sinä-rekh-hiili-ei-ke: a) neljän sinä-rekh-hiili-ei-ka: n kulmat; b) sata ro-kaivoa.

Päätös. Fig-talvi Fig. 4.

pa-ra-le-lo-gram ensimmäisen pa-ra-le-lo-gram -merkin mukaan.

JA. pa-ra-le-lo-gram-ma: n ominaisuudella anti-in-false-kulmista, pa-ra-le-lo-gram-ma: n ominaisuudella kulmien summasta, makaa toisella puolella.

B. vääriä puolia koskevan tasa-arvon omaisuudella.

kolmas pri-merkki pa-ra-le-lo-gram-ma

5. Toisto: rinnakkaispiirteen määritelmä ja ominaisuudet

Muista se suunnikas - tämä on neljä-sinä-rook-hiili-nick, joskus-ro-go pro-ty-in-false-ro-ny-pa-mutta pa-ra-lel-ny. Eli jos - pa-ra-le-lo-gram, niin (katso kuva 1).

Pa-ral-le-lo-gram-ob-la-da-e, jolla on useita ominaisuuksia: väärät kulmat ovat yhtä suuret (), anti-väärät-ro -ovat tasa-arvoisia ( ). Lisäksi dia-go-na-li paral-le-lo-gram-ma pe-re-se-nia de-late-in-lam -kohdassa, kulmien summa, kun-le- joka haluaa para-le-lo-gram-ma: n kummallekin puolelle, on yhtä suuri jne.

Mutta kaikkien näiden ominaisuuksien käyttämiseksi on oltava ab-so-lut-mutta varma siitä, että se on ri-va-th-th-you-ryh-hiilen nick - pa-ra-le-lo-gram. Tätä varten on merkkejä pa-ra-le-lo-gram-ma: eli tosiasiat, joista voit tehdä yksinumeroisen johtopäätöksen että th-you-rykh-hiili-lempinimi on-la-e-Xia pa-ra-le-lo-gram-m. Edellisessä oppitunnissa olemme jo tutkineet kahta merkkiä. Nyt näemme kolmannen tunnin.

6. Suuntaviivan kolmas merkki ja sen todiste

Jos neljässä sinä-ryoh-hiili-ni-ke dia-go-na-li pe-re-se-ch-niya do-lam-na-lam -kohdassa, niin tämä neljä-sinä- rekh-hiili-lempinimi on-la-et-sya pa-ra-le-lo-gram-m.

Annettu:

Che-you-rook-hiili-nick; ; ...

Do-ka-zat:

Suunnikas.

Todisteet:

Tämän tosiasian saavuttamiseksi on tarpeen saada sivujen rinnakkaisuus paral-le-lo-gram-ma. Ja suorien viivojen rinnakkaisuus tekee useimmiten ka-zy-va-e-Xia niiden sisäpuolisen tasa-arvon kautta makaavien kulmien ristiin näillä suorilla. Joten, na-pra-shi-va-is-sya vieressä-th-so-so-so-so-ka-tel-tstva-th-t-t-t-t-t-th-t-ka-pa -le-lo-gram-ma: tasoittamalla tre-hiilet-nikov .

Katsotaanpa näiden kolmioiden tasa-arvo. Itse asiassa siitä seuraa ehto :. Lisäksi, koska kulmat ovat ver-t-cal-ny, ne ovat yhtä suuret. Eli:

(ensimmäinen merkki tasa-arvostatre-hiili-nikov - molemmin puolin ja niiden välinen kulma).

Kolmioiden tasa-arvosta nikov: (koska sisäiset ristikkäiskulmat ovat samat näille suorille ja se-ku-shille). Lisäksi kolmioiden tasa-arvosta seuraa, että. Tiedä-chit, me-l-chi-li, että th-you-ryh-hiili-no-ke: ssä kaksi puolta ovat yhtä suuret ja pa-ra-lel-ny. Ensimmäisen pri-zn-ku pa-ra-le-lo-gram: n mukaan: - pa-ra-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

7. Esimerkki ongelmasta rinnakkaiskuvan kolmannelle merkille ja yleistys

Tarkastellaan esimerkkiä paral-le-lo-gram-ma kolmannen attribuutin käytöstä.

Esimerkki 1

Annettu:

- suunnikas; ... - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (katso kuva 2).

Do-ka-zat: - pa-ra-le-lo-gram.

Todisteet:

Know-chit, neljässä sinä-ryoh-hiili-ni-ke dia-go-na-li -kohdassa pe-re-se-ch-niya de-l'at-na-lam. Pa-ra-le-lo-gram-ma: n kolmannen merkin mukaan tästä seuraa, että - pa-ra-le-lo-gram-ma.

Do-ka-za-but.

Jos analysoidaan paral-le-lo-gram-ma: n kolmas ominaisuus, voit huomata, että tämä attribuutti on vastaus on pa-ra-le-lo-gram-ma: n ominaisuus. Eli se, että dia-go-na-li do-lam-in-lam ei ole vain pa-ra-le-lo-gram-ma: n ominaisuus, ja sen erottuva ha-rak-te-ri-sti-che-ominaisuus, jonka mukaan-ro-mo se voidaan tehdä monista th-you-rykh-hiili-nikov.

LÄHDE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

© Tekijänoikeus 2017, https://craft-m.ru